K là trung điểm của MN.. M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC.. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.. Gọi I là trung điểm của CD, G là trọng tâm của tam giác BCI.. Phân tích c
Trang 1Bài 25: Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là điểm thuộc AC sao cho CN = 2NA K là trung điểm của MN Chứng minh:
a) AK = 14 AB + 61 AC b) KD = 41 AB + 31
AC.
Bài 26 : Cho hình thang OABC M, N lần lượt là trung điểm của OB và
OC Chứng minh rằng:
a) AM = 21 OB- OA b) BN = 21 OC - OB c) MN = 21 (OC - OB)
Bài 27:Cho tam giác ABC Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC Chứng minh rằng :
a) AB = -32 CM - 34 BN b) AC = - 34 CM - 32 BN
c) MN =
3
1
3
1
Bài 28: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi H là điểm đối xứng của
B qua G
a) Chứng minh: AH = 32 AC- 31 AB và CH = -13(AB+ AC)
b) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh: MH = 61 AC- 65 AB
Bài 29: Cho hình bình hành ABCD, đặt AB=a, AD=b Gọi I là trung điểm của CD, G là trọng tâm của tam giác BCI Phân tích các vectơ BI , AG
theo a, b
Bài 30: Cho lục giác đều ABCDEF Phân tích các vectơBC, BDtheo các vectơ AB và AF
Trang 2Bài 31: Cho hình thang OABC, AM là trung tuyến của tam giác ABC Hãy phân tích vectơ AM theo các vectơ OA,OB,OC
Bài 32:Cho tam giác ABC Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho MB 3MC, NA = 3CN , PA PB=0
a) Tính PM , PN theo AB, AC b) Chứng minh: M, N, P thẳng hàng
Bài 33:Cho tam giác ABC Gọi A1, B1, C1 lần lượt là trung điểm của BC,
CA, AB
a) Chứng minh: AA1 + BB1 + CC1 = 0
b) Đặt BB1 = u, CC1 = v Tính BC,CA,AB theo u và v
Bài 34: Cho tam giác ABC Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI Gọi F là điểm trên cạnh BC kéo dài sao cho 5FB = 2FC
a) Tính AI , AF theo AB và AC
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Tính AG theo AI và AF
Bài 35: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi H là điểm đối xứng của G qua B
a) Chứng minh: HA - 5HB + HC=0
b) Đặt AG = a, AH = b Tính AB, AC theo a và b
Trang 3
Bài 25: Giải
A
K
D
M
N
a) Chứng minh: AK = 41 AB + 61 AC
Điểm K là trung điểm của MN (gt)
AN + AM = 2AK
=> AK = 21 (AN + AM )
Nhưng theo giả thiết, ta có:
AM = 12 AB và AN = 13 AC
=> AK = 21 ( 12 AB + 31 AC)
= 41 AB + 61 AC
b) Chứng minh: KD = 41 AB + 31 AC
Ta có: KD = AD - AK
= 21 (AB + AC) – (14 AB + 61 AC)
= 41 AB + 31 AC
Bài 26 Giải
Trang 4
O
C
A
B
a) Chứng minh: AM = 12 OB- OA
Theo giả thiết: 21 OB = OM
b) Chứng minh: BN = 21 OC - OB
Theo giả thiết: 21 OC = ON
Ta có: 21 OC- OB = ON - OB= BN
c) Chứng minh: MN = 12 (OC- OB)
Ta có: 21 (OC- OB) = 21 OC - 12 OB = ON - OM = MN
Bài 27 Giải
N M
A
a) C/m: AB = - 32 CM - 34 BN
tam giác ABC
Ta có: GB - GA = AB (1)
=> GA + GB = -GC (2)
Cộng vế theo vế (1) và (2) ta được:
Trang 5
GB
2GB= AB-GC
AB= 2GB + GC
= 2 32 BN + 32 CM
=
-3
4
BN -
3
2
CM
b) C/m: AC = - 34 CM - 32 BN
GA + GC = -GB (2)
Cộng vế theo vế (1) và (2), ta được
2GC = AC - GB
= 2
3
2
CM +
3
2
BN
= -34 CM - 32 BN
c) C/m: MN = 31 BN 31 CM
mà GN = 31 BN ; GM = 13 CM
=> MN = 31 BN 31 CM
Bài 28 Giải
G M
A'
B
A
C H
a) Chứng minh: AH= 32 AC- 31 AB và CH = -31 (AB+ AC).
Ta có:AH = 32 (AH + HC) - 31(AH +HB)
Trang 6= 32 AH + 32 HC - 31 AH - 31 HB
= 31 AH + 32 HC- 31 HB
= 31 AH + 32 (HA+ AC) - 31(HA+AB)
= 31 AH + 32 HA + 32 AC - 31 HA - 31 AB
AH = 32 AC- 31 AB
Ta có: 3CH = 2CH + GC + CH + CG
= 2CH + GH + HA
= 2CH + BG + HA
= BG + GA + CH +HA
= BA CA
3CH = -AB-AC
=> CH = -31(AB+ AC).
Bài 29 Giải
G
B' I'
I
Phân tích các vectơ BI, AG theo a, b.
Ta có: CI = -21 a
BI = CI + BC = -12 a + b
Ta có: CH = - 41 a
BH = CH + BC = -14 a + b
BG = 32 BH = 32 (-14 a + b) = -61 a + 32 b
AG = AB + BG = a-61 a + 32 b= 65 a +32 b
Bài 30 Giải
Trang 7
C
D B
F
Phân tích các vectơBC,BD theo các vectơ AB và AF
Xét lục giác ABCDEF, có
góc A + góc F1 = 180o
=> BC = - AB + AF + 2AB= AB+ AF
=> BD = CD + BC =BC + AF = AF + AB+ AF = 2AF +
AB
Bài 31 Giải
M
O
A
Phân tích vectơ AM theo các vectơ OA,OB,OC
Ta có: AM = 12 (AC + AB)
= 21 (OC OA + OB OA)
=21 (OC +OB - 2OA)
= OC 2OB - OA
Bài 32 Giải
Trang 8
P A
N
a) Tính PM , PN theo AB, AC
PB = 21 AB
BC = BA + AC= -AB + AC
BM - 3BC= - 23 (AB - AC)
PM = PB + BM = 21 AB- 23(AB - AC )
= 12 AB - 23 AB+23 AC
= -AB + 23 AC
Bài 33 Giải
B1 C1
A
a) Chứng minh: AA1 + BB1 + CC1 = 0
Gọi G là giao điểm của các đường trung tuyến AA1, BB1, CC1 Tức G là
GA + GB + GC = 0
Ta có: AA1 = GA1 - GA (1)
BB1 = GB1 - GB (2)
CC1 = GC1 - GC (3)
Cộng vế theo vế (1), (2), (3), được
Trang 9AA1 + BB1 + CC1 = GA1 + GB1 + GC1 – (GA + GB + GC)
b) Đặt BB1 = u, CC1 = v Tính BC,CA,AB theo u và v
Ta có: B1 C= B1 G + GC = 31u 32 v
BC = BB1 +B1 C = u 31u 32 v
= 32 u 32 v
Ta có: C1 A = BC1 = 32 u 32 v
AC = CC1 + C1 A = v + 32u 32 v
= 32 u 31 v
Ta có: B1 A= B1 G + GA = 13u 32 v
AB1 = 13u + 32 v
AB = AB1 + B1 B = 31u + 32 v – u
= 32 u + 32 v
Bài 35 Giải
G
A1 C1
A
H
b) Đặt AG = a, AH = b Tính AB, AC theo a và b
BG = 21 HG = 21 (-b + a)
AB = AG + GB = a - 12 (-b + a)
= a + 21 b - 21 a= 12 a + 21 b
Gọi M là trung điểm của AC
Trang 10Ta có: AM = AB + BM
= AB + 23 BG = 21 a + 21 b + 23 21 (-b + a) = 12 a + 21 b - 43 b +43 a = 45 a - 14 b
AC = 2AM = 2(
4
5a b )= 52 a - 12 b