CHuyên đề 1 mệnh đề tập hợp

Chương 1: MỆNH ĐỀ TẬP HỢP §1 MỆNH ĐỀ A TĨM TẮT LÍ THUYẾT MỆNH ĐỀ Định nghĩa Mệnh đề logic (gọi tắt mệnh đề) câu khẳng định hoặc sai • Một mệnh đề khơng thể vừa vừa sai • Một câu khẳng định gọi mệnh đề Một câu khẳng định sai gọi mệnh đề sai Những điểm cần lưu ý • Các câu hỏi, câu cảm thán, câu mệnh lệnh khơng phải mệnh đề • Mệnh đề thường kí hiệu chữ in hoa Ví dụ: Q:“6 chia hết cho 3” • Một câu mà chưa thể nói hay sai chắn sai, khơng thể vừa ! vừa sai mệnh đề Ví dụ: “Có sống ngồi Trái Đất” mệnh đề • Trong thực tế, có mệnh đề mà tính sai ln gắn với thời gian địa điểm cụ thể: thời gian địa điểm sai thời gian địa điểm khác Nhưng thời điểm nào, địa điểm ln có giá trị chân lí sai Ví dụ: Sáng bạn An học MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN Định nghĩa Những câu khẳng định mà tính đúng-sai chúng tùy thuộc vào giá trị biến gọi mệnh đề chứa biến Å ã Ví dụ: Cho P (x) : x > x với x số thực Khi P (2) mệnh đề sai, P mệnh đề MỆNH ĐỀ PHỦ ĐỊNH Định nghĩa Cho mệnh đề P Mệnh đề “Không phải P ” gọi mệnh đề phủ định P kí hiệu P HDedu - Page CHƯƠNG MỆNH ĐỀ TẬP HỢP MỆNH ĐỀ • Mệnh đề P mệnh đề phủ định P hai câu khẳng định trái ngược Nếu P P sai, P sai P • Mệnh đề phủ định P diễn đạt theo nhiều cách khác Chẳng hạn, xét mệnh đề P : “2 số chẵn” Khi đó, mệnh đề phủ định P phát biểu P : “2 số chẵn” “2 số lẻ” MỆNH ĐỀ KÉO THEO VÀ MỆNH ĐỀ ĐẢO Định nghĩa Cho hai mệnh đề P Q Mệnh đề “Nếu P Q” gọi mệnh đề kéo theo • Kí hiệu P ⇒ Q • Mệnh đề kéo theo sai P Q sai • P ⇒ Q phát biểu “ P kéo theo Q”, “P suy Q” hay “Vì P nên Q” Chú ý • Trong tốn học, định lí mệnh đề đúng, thường có dạng: P ⇒ Q Khi ta nói P giả thiết, Q kết luận định lí, P điều kiện đủ để có Q, Q điều kiện cần ! để có P • Trong logic tốn học, xét giá trị chân lí mệnh đề P ⇒ Q người ta không quan tâm đến mối quan hệ nội dung hai mệnh đề P , Q Khơng phân biệt trường hợp P có phải ngun nhân để có Q hay khơng mà quan tâm đến tính đúng, sai chúng Ví dụ: “Nếu mặt trời quay quanh trái đất Việt Nam nằm châu Âu” mệnh đề Vì hai mệnh đề P : “Mặt trời quay xung quanh trái đất” Q: “Việt Nam nằm châu Âu” mệnh đề sai Định nghĩa Cho mệnh đề kéo theo P ⇒ Q Mệnh đề Q ⇒ P gọi mệnh đề đảo mệnh đề P ⇒ Q ! Mệnh đề đảo mệnh đề không thiết mệnh đề MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG Định nghĩa Cho hai mệnh đề P Q Mệnh đề có dạng “P Q” gọi mệnh đề tương đương • Kí hiệu P ⇔ Q • Mệnh đề P ⇔ Q hai mệnh đề P ⇒ Q Q ⇒ P sai (Hay P ⇔ Q hai mệnh đề P Q sai) • P ⇔ Q cịn phát biểu “P Q”, “P tương đương với Q”, hay “P điều kiện cần đủ để có Q” ! Hai mệnh đề P , Q tương đương với hồn tồn khơng có nghĩa nội dung chúng nhau, mà nói lên chúng có giá trị chân lí (cùng sai) Ví dụ: “Hình vng có góc tù 100 số nguyên tố” mệnh đề HDedu - Page CHƯƠNG MỆNH ĐỀ TẬP HỢP MỆNH ĐỀ CÁC KÍ HIỆU ∀ VÀ ∃ • Kí hiệu ∀ (với mọi): “∀x ∈ X, P (x)” “∀x ∈ X : P (x)” • Kí hiệu ∃ (tồn tại): “∃x ∈ X, P (x)” “∃x ∈ X : P (x)” Chú ý ! B • Phủ định mệnh đề “∀x ∈ X, P (x)” mệnh đề “∃x ∈ X, P (x)” • Phủ định mệnh đề “∃x ∈ X, P (x)” mệnh đề “∀x ∈ X, P (x)” CÁC DẠNG TOÁN Dạng Mệnh đề có nội dung đại số số học ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Tìm mệnh đề phủ định mệnh đề sau: √ a) A : “ số hữu tỉ” b) B : “n chia hết cho n chia hết cho 15” c) C : “∀x ∈ N : x2 + x + > 0” x y d) D : “∃x ∈ N, ∃y ∈ R : + = 2” y x Lời giải √ a) A : “ không số hữu tỉ” b) B : “n không chia hết cho n không chia hết cho khơng chia hết cho 15 ” c) C : “∃x ∈ N : x2 + x + ≤ 0” x y d) D : “∀x ∈ N, ∀y ∈ R : + = 2” y x Ví dụ Xét tính - sai mệnh đề sau tìm mệnh đề phủ định nó: a) ∀x ∈ R : x2 + > b) ∃x ∈ R : x2 + x + = c) ∃x ∈ R : x > x2 Lời giải a) Mệnh đề Phủ định A : ∃x ∈ R : x2 + ≤ b) Mệnh đề sai phương trình x2 + x + = vơ nghiệm R Phủ định B : “∀x ∈ R : x2 + x+ = c) Mệnh đề đúng, ví dụ x = Phủ định ∀x ∈ R : x ≤ x2 HDedu - Page CHƯƠNG MỆNH ĐỀ TẬP HỢP MỆNH ĐỀ Ví dụ Điều chỉnh mệnh đề sau để mệnh đề đúng: a) ∀x ∈ R : 3x − = b) ∀x ∈ R : x2 − 4x = c) ∃x ∈ R : x2 + < d) ∀x ∈ R : x > x Lời giải a) ∃x ∈ R : 3x − = b) ∃x ∈ R : x2 − 4x = c) ∃x ∈ R : x2 + > ∀x ∈ R : x2 + > d) ∃x ∈ R : x > x Ví dụ Chứng minh “Nếu n2 số chẵn n số chẵn.” Lời giải Giả sử n số lẻ ⇒ n = 2k + 1, k ∈ N ⇒ n2 = 4k + 4k + = (2k + 2k) + ⇒ n2 số lẻ (trái giả thiết) Vậy n số chẵn Ví dụ Chứng minh rằng: a) Với số nguyên n n3 − n chia hết cho b) Với số nguyên n n(n − 1)(2n − 1) chia hết cho Lời giải a) Ta có: n3 − n = n(n2 − 1) = n(n − 1)(n + 1) = (n − 1)n(n + 1) Do n − 1, n, n + số nguyên liên tiếp nên có số chia hết cho Khi (n − 1)n(n + 1) chia hết cho hay n3 − n chia hết cho b) Ta có n − 1, n số nguyên liên tiếp nên tích n(n − 1)(2n − 1) chia hết cho Xét số nguyên liên tiếp n − 1, n, n + 1, số có số chia hết cho • Nếu số n − 1, n cho hết cho tích n(n − 1)(2n − 1) chia hết cho • Nếu n+1 chia hết cho 2n−1 = 2(n+1)−3 chia hết cho Suy tích n(n−1)(2n−1) chia hết cho Vậy tích n(n − 1)(2n − 1) vừa chia hết cho vừa chia hết chia hết cho BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Hãy xét tính - sai mệnh đề sau tìm mệnh đề phủ định chúng: a) A : “∀x ∈ R : x2 > 1” HDedu - Page CHƯƠNG MỆNH ĐỀ TẬP HỢP MỆNH ĐỀ b) B : “∃x ∈ Z : 6x2 − 13x + = 0” c) C : “∀x ∈ N, ∃y ∈ N : y = x + 2” x y d) D : “∀x ∈ R, ∀y ∈ R : + ≥ 0” y x Bài Xét tính - sai mệnh đề sau Nếu mệnh đề sai sửa lại cho đúng: a) ∀x ∈ R : x > ⇒ x > 16 b) ∀x ∈ R : x2 > 36 ⇒ x > ax2 + bx + c = c) có nghiệm kép ⇔ ∆ = b2 − 4ac = a=0 d) ∀a, b, c ∈ R : a>b ⇔ a > c b>c  a e) ∀a, b ∈ Z : ⇔ ab  b.2 Bài Xét tính - sai mệnh đề sau tìm mệnh đề phủ định chúng: a) ∀a ∈ R, ∀b ∈ R : (a + b)2 = a2 − 2ab + b2 b) ∀a ∈ R, ∀b ∈ R : a2 + > b2 + c) ∃a ∈ R, ∃b ∈ R : a + b > d) ∃a ∈ R, ∀b ∈ R : a2 < b e) ∀a ∈ R, ∃b ∈ R : a2 = b + a2 + b + c = ab + bc + ca a b Bài Chứng minh ∀a, b > : + ≥ (vô lý) b a a b Vậy ∀a, b > : + ≥ b a Bài f) ∀a, b, c ∈ R mà a + b + c = − a) Nếu a + b < hai số a b nhỏ b) Nếu x = −1 y = −1 x + y + xy = −1 c) Nếu tích hai số tự nhiên số lẻ tổng chúng số chẵn d) Nếu x2 + y = x = y = |x| < ⇒ |x + y| < |1 + xy| |y| < √ √ √ Bài Chứng minh a + a + < a + 1, ∀a > Bài Chứng minh Bài Chứng minh ac > 2(b + d) hai phương trình sau có nghiệm x2 + ax + b = (1) x2 + cx + d = (2) Bài Chứng minh ta nhốt n + gà vào n lồng có lồng chứa gà HDedu - Page CHƯƠNG MỆNH ĐỀ TẬP HỢP MỆNH ĐỀ Bài 10 Chứng minh với số tự nhiên n: a) n2 + n + không chia hết cho b) n2 + 11n + 39 không chia hết cho 49 Dạng Mệnh đề có nội dung hình học ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Xét tính đúng-sai mệnh đề sau: a) P : “Hai véc-tơ có độ dài nhau” b) Q : “Hai véc-tơ chúng có độ dài nhau” Lời giải a) Mệnh đề P mệnh đề theo định nghĩa hai véc-tơ b) Mệnh đề Q mệnh đề sai Hai véc-tơ chúng hướng có độ dài Như thiếu điều kiện hướng hai véc-tơ Ví dụ Cho tam giác ABC Xét tính đúng-sai mệnh đề sau: a) Nếu AB + AC = BC tam giác ABC vng B “ b) Nếu AB > AC C > B c) Tam giác ABC thỏa mãn đồng thời hai điều kiện AB = AC A = 600 Lời giải a) Mệnh đề sai Mệnh đề là: “Nếu AB + AC = BC tam giác ABC vuông A” b) Mệnh đề theo mối liên hệ góc cạnh đối diện tam giác c) Mệnh đề theo dấu hiệu nhận biết tam giác Ví dụ Cho tứ giác lồi ABCD Xét tính đúng-sai mệnh đề sau: a) Tứ giác ABCD hình chữ nhật thỏa mãn AC = BD b) Tứ giác ABCD hình chữ nhật có ba góc vng Lời giải a) Mệnh đề sai Mệnh đề có cấu trúc P ⇔ Q mệnh đề P ⇒ Q: “Tứ giác ABCD hình chữ nhật AC = BD” mệnh đề mệnh đề Q ⇒ P mệnh đề sai b) Mệnh đề đúng, theo dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Xét tính đúng-sai mệnh đề sau: #» #» a) Hai véc-tơ #» a b hướng với véc-tơ #» c #» a , b hướng HDedu - Page CHƯƠNG MỆNH ĐỀ TẬP HỢP MỆNH ĐỀ #» b) Trong ba véc-tơ khác véc-tơ phương có hai véc-tơ hướng Bài Xét tính đúng-sai mệnh đề sau: a) Hai tam giác chúng có diện tích b) Một tam giác tam giác có góc 60◦ hai đường trung tuyến Bài Xét tính đúng-sai mệnh đề sau: a) Một tứ giác hình bình hành có cặp cạnh đối song song b) Một tứ giác hình bình hành có hai đường chéo Bài Cho tứ giác ABCD Xét hai mệnh đề: P : “Tứ giác ABCD hình vng” Q: “Tứ giác ABCD hình thoi có hai đường chéo nhau” Phát biểu mệnh đề P ⇔ Q hai cách cho biết mệnh đề hay sai Bài Xét tập hợp: X: tập hợp tứ giác A: Tập hợp hình vng B: Tập hợp hình chữ nhật D: Tập hợp hình thoi E: Tập hợp tứ giác có trục đối xứng Phát biểu thành lời nội dung mệnh đề sau xét tính sai chúng a) ∀x ∈ X, x ∈ B ⇒ x ∈ A b) ∀x ∈ X, x ∈ A ⇒ x ∈ D c) ∀x ∈ X, x ∈ E ⇒ x ∈ B d) ∀x ∈ X, x ∈ D ⇒ x ∈ E e) ∃x ∈ E : x ∈ / B Dạng Thành lập mệnh đề - Mệnh đề phủ định a) Phát biểu thành lời cho cho mệnh đề dạng kí hiệu b) Dùng kí hiệu ∀, ∃ phát biểu mệnh đề c) Xét tính Đúng – Sai mệnh đề d) Phủ định mệnh đề ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Phát biểu thành lời mệnh đề sau đây: a) “∀x ∈ R, x2 = 0” b) “∃x ∈ R, x2 < ” c) “∀x ∈ R, ≥ x” x √ d) “∃x ∈ R, x > x” Lời giải HDedu - Page CHƯƠNG MỆNH ĐỀ TẬP HỢP MỆNH ĐỀ a) Mọi số thực có bình phương khác khơng c) Mọi số thực có nghịch đảo lớn b) Tồn số thực mà bình phương nhỏ d) Tồn số thực cho bậc hai lớn Ví dụ Dùng kí hiệu ∀, ∃ phát biểu mệnh đề sau: a) Tồn số tự nhiên chia hết cho b) Mọi số không âm lớn không c) Tồn số thực không số dương không số âm Lời giải a) “∃n ∈ N, n 9” b) “∀x ≥ 0, x > 0” c) “∃x ∈ R, x = 0” Ví dụ Xét tính Đúng – Sai mệnh đề sau: a) “∀x ∈ R, x2 > 0” b) “∀n ∈ N, n2 > n” Lời giải a) ∃x = ∈ R, 02 = ⇒ Mệnh đề sai b) ∃n = ∈ N, 12 = ⇒ Mệnh đề sai Ví dụ Phủ định mệnh đề sau đây: a) Tất tập sách dễ b) Có hình thang nội tiếp đường tròn c) “∃x ∈ R, x + = 5” d) “∀x ∈ R, x > 5” Lời giải a) Tồn tập sách không dễ b) Mọi hình thang khơng nội tiếp đường tròn c) “∀x ∈ R, x + = 5” d) “∃x ∈ R, x ≤ 5” BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Phát biểu thành lời mệnh đề sau đây: a) “∃x ∈ R, = x” x HDedu - Page CHƯƠNG MỆNH ĐỀ TẬP HỢP MỆNH ĐỀ ∈ N” n2 c) “∀x ∈ R, x − 4x + > 0” b) “∃n ∈ N, d) “∃x ∈ Z, x2 + 5x ≤ 0” Bài Dùng kí hiệu ∀, ∃ phát biểu mệnh đề sau: a) Có số tự nhiên khác không mà bậc hai thuộc tập số tự nhiên khác khơng b) Mọi số nguyên số tự nhiên c) Có số tự nhiên không số nguyên d) Mọi số tự nhiên số thực e) Tồn số thực khơng có nghịch đảo Bài Phủ định mệnh đề sau: a) Mọi học sinh lớp em biết dùng máy tính b) Có học sinh lớp em chưa leo núi c) Mọi học sinh lớp em khơng biết đá bóng d) Có học sinh lớp em thích bóng chuyền Bài Xét xem mệnh đề sau hay sai nêu mệnh đề phủ định chúng a) “∀x ∈ R, x2 − 7x + 15 > 0” b) “∃x ∈ R, x3 + 2x2 + 8x + 16 = 0” c) “∀x ∈ R, ∀y ∈ R, 2x + 3y = 5” d) “∃x ∈ R, ∃y ∈ R, x2 + y − 2x − 4y = −1” Bài Tìm hai giá trị thực x đề từ câu sau ta mệnh đề mệnh đề sai a) x2 < x b) x = c) x2 > d) x > x BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài Chứng minh rằng: Nếu nhốt 25 thỏ vào chuồng có chuồng chứa nhiều thỏ Bài Cho mệnh đề chứa biến P (n) : “n số chẵn” Q(n) : “7n + số chẵn” a) Phát biểu chứng minh mệnh đề “∀n ∈ N, P (n) ⇒ Q(n)” b) Phát biểu chứng minh mệnh đề đảo mệnh đề câu HDedu - Page CHƯƠNG MỆNH ĐỀ TẬP HỢP C MỆNH ĐỀ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu Trong câu sau, câu mệnh đề? A Buồn ngủ q! B Hình thoi có hai đường chéo vng góc với C số phương D Băng Cốc thủ Mianma Câu Trong câu sau, có câu mệnh đề? a) Huế thành phố Việt Nam b) Sông Hương chảy ngang qua thành phố Huế c) Hãy trả lời câu hỏi này! d) + 19 = 24 e) + 81 = 25 f) Bạn có rỗi tối khơng? g) x + = 11 A B C D Câu Trong câu sau, có câu mệnh đề? a) Hãy nhanh lên! b) Hà Nội thủ đô Việt Nam c) + + = 15 d) Năm 2018 năm nhuận A B C D Câu Trong câu sau, có câu mệnh đề? a) Cố lên, đói rồi! b) Số 15 số nguyên tố c) Tổng góc tam giác 180◦ d) x số nguyên dương A B C D Câu Trong câu sau, câu mệnh đề? A Đi ngủ đi! C Bạn học trường nào? B Trung Quốc nước đông dân giới D Không làm việc riêng học Câu Trong mệnh đề sau, mệnh đề mệnh đề đúng? A Tổng hai số tự nhiên số chẵn hai số số chẵn B Tích hai số tự nhiên số chẵn hai số số chẵn C Tổng hai số tự nhiên số lẻ hai số số lẻ D Tích hai số tự nhiên số lẻ hai số số lẻ Câu Trong câu sau, câu mệnh đề đúng? A Nếu a ≥ b a2 ≥ b2 B Nếu a chia hết cho a chia hết cho HDedu - Page 10 CHƯƠNG MỆNH ĐỀ TẬP HỢP CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP ĐÁP ÁN D 11 D B 12 A B 13 B D 14 C B 15 C B 16 C B 17 A B 18 D A 19 B 10 D 20 B 21 A 22 C 23 B 24 B 25 D 26 A 27 A 28 B 29 C 30 D 31 A 32 A 33 A 34 A 35 C 36 C 37 C 38 D 39 A 40 A 41 A 51 C 42 B 52 A 43 A 53 D 44 C 54 D 45 A 55 D 46 A 56 B 47 B 57 B 48 A 58 A 49 D 59 A 50 D 60 A 61 C 62 C 63 B 64 D 65 A 66 C 67 C 68 B 69 B 70 D 71 A 72 A 73 C 74 A 75 D 76 A 77 B 78 B 79 D 80 B 81 C 91 D 82 D 92 B 83 D 93 D 84 A 94 C 85 D 95 C 86 B 96 A 87 C 97 A 88 B 98 A 89 B 99 C 90 C 100 D 101 B 102 C 103 D 104 D 105 A 106 B 107 D 108 D 109 D 110 A 112 A 113 C 114 A 115 B 116 A 117 B 118 C 119 A 120 C 121 A 122 A 132 A 123 A 133 C 124 C 134 C 125 C 136 A 126 A 137 B 127 C 139 C 128 A 140 B 129 C 141 A 130 A 142 D 131 C 143 A 144 B 145 D 146 A 147 A 148 C 149 B 150 B 151 B 152 A 153 D 154 D 155 A 156 C HDedu - Page 61 CHƯƠNG MỆNH ĐỀ TẬP HỢP CÁC TẬP HỢP SỐ §4 CÁC TẬP HỢP SỐ A TĨM TẮT LÍ THUYẾT CÁC TẬP HỢP SỐ ĐÃ HỌC Định nghĩa Tập hợp số tự nhiên N = {0, 1, 2, 3, } N∗ = {1, 2, } Định nghĩa Tập hợp số nguyên Z = { , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, } a với a, b ∈ Z, b = b Định nghĩa Tập hợp số thực kí hiệu R, gồm số thập phân hữu hạn, vơ hạn tuần hồn vơ Định nghĩa Tập hợp số hữu tỉ kí hiệu Q, số viết dạng phân số hạn khơng tuần hồn Các số thập phân vơ hạn khơng tuần hồn gọi số vô tỉ CÁC TẬP CON THƯỜNG DÙNG CỦA R Trong toán học ta thường gặp tập hợp sau tập hợp số thực R a Khoảng (a; b) = {x ∈ R|a < x < b} a (a; +∞) = {x ∈ R|a < x} a b (−∞; b) = {x ∈ R|x < b} b b Đoạn [a; b] = {x ∈ R|a ≤ x ≤ b} a b c Nửa khoảng [a; b) = {x ∈ R|a ≤ x < b} a b (a; b] = {x ∈ R|a < x ≤ b} a b [a; +∞) = {x ∈ R|a ≤ x} a (−∞; b) = {x ∈ R|x ≤ b} b Kí hiệu +∞ đọc dương vơ cực (hoặc dương vơ cùng), kí hiệu −∞ đọc âm vô cực (hoặc âm ! vô cùng) HDedu - Page 62 CHƯƠNG MỆNH ĐỀ TẬP HỢP B CÁC TẬP HỢP SỐ CÁC DẠNG TOÁN Dạng Xác định giao - hợp hai tập hợp a) Xác định giao hai tập hợp ta làm sau • Biểu diễn tập hợp lên trục số • Dùng định nghĩa giao để xác định phần tử tập hợp b) Cho hai tập tập số thực A B Tìm A ∪ B ta làm sau • Biểu diễn tập A trục số, gạch chéo phần khơng thuộc A • Làm tương tự tập B • Phần khơng gạch chéo hình A ∪ B c) Đối với hai tập A B khác để tìm A ∪ B ta nhớ x ∈ A ∪ B ⇔ x∈A x∈B ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Xác định tập hợp (0; 3) ∪ (−3; 2) biểu diễn trục số Lời giải • Biểu diễn tập hợp A trục số • Biểu diễn tập B trục số −3 • Kết hợp hai trục số ta tập A ∪ B = (−3; 3) −3 Ví dụ Cho m > Xác định tập hợp [−2; m) ∪ [0; 4) Lời giải Vì m > nên m > ⇒ [0; 4) ⊂ [−2; m) ⇒ [−2; m) ∪ [0; 4) = [−2; m) Ví dụ Cho hai tập hợp A = {x ∈ R| − ≤ x ≤ 3}, B = {x ∈ R| − < x < 2} Tìm A ∩ B −1 A Lời giải −2 B ⇒ A ∩ B = [−1; 2) HDedu - Page 63 CHƯƠNG MỆNH ĐỀ TẬP HỢP CÁC TẬP HỢP SỐ Ví dụ Xác định tập hợp sau biểu diễn chúng trục số a) (0; 3) ∩ (2; 4) b) R ∩ (−1; 1) Lời giải a) ⇒ (0; 3) ∩ (2; 4) = (2; 3) b) −1 ⇒ R ∩ (−1; 1) = (−1; 1) Ví dụ Cho tập hợp A = {x ∈ R||x + 2| < 2}, B = {x ∈ R||x + 4| ≥ 3}, C = [−5; 3) Tìm tập hợp a) A ∩ B b) B ∩ C c) A ∩ B ∩ C d) A ∪ B e) A ∩ B ∪ C f) (A ∪ B) ∩ (B ∪ C) Lời giải |x + 2| < ⇔ −2 < x + < ⇔ −4 < x < Do A = (−4; 0) x + ≤ −3 x ≤ −7 |x + 4| ≥ ⇔ ⇔ Do B = (−∞; −7] ∪ [−1; +∞) x+4≥3 x ≥ −1 Biểu diễn tập A trục số: ( ) −4 Biểu diễn tập B trục số: ] [ −7 −1 Biểu diễn tập C trục số: [ −5 ) a) A ∩ B = [−1; 0) b) B ∩ C = (−∞; −7] ∪ [−5; +∞) HDedu - Page 64 CHƯƠNG MỆNH ĐỀ TẬP HỢP CÁC TẬP HỢP SỐ c) A ∩ B ∩ C = [−1; 0) d) A ∪ B = (−∞; −7] ∪ (−4; +∞) e) A ∩ B ∪ C = [−5; 3) f) (A ∪ B) ∩ (B ∪ C) (A ∪ B) = (−∞; −7] ∪ (−4; +∞) (B ∪ C) = (−∞; −7] ∪ [−5; +∞) Do (A ∪ B) ∩ (B ∪ C) = (−∞; −7] ∪ (−4; +∞) Ví dụ Cho tập hợp A = {x ∈ R| R| x+1 ≥ 0}, B = {x ∈ R|9 − x2 ≤ 0}, C = {x ∈ x−1 x+1 ≤ 1} Tìm tập hợp x+3 a) A ∩ B ∩ C b) (A ∪ B) ∩ C c) (A ∪ C) ∩ B d) A ∩ (B ∪ C) Lời giải x ≤ −1 x+1 • ≥0⇔ Do A = (−∞; −1] ∪ (1; +∞) x−1 x>1 • − x2 ≤ ⇔ x ≤ −3 x≥3 Do B = (−∞; −3] ∪ [3; +∞) x +  2x +   ≥ −1 ≥0   x+1 x+1 x + x + • ≤ ⇔ −1 ≤ ≤1⇔ ⇔ ⇔   x+3 x+3 x + ≤  −2 ≤ x+3 x+3 Do C = [−2; +∞) x ∈ (−∞; −3) ∪ [−2; +∞) x ∈ (−3; −∞) Biểu diễn tập A trục số: ] ( −1 Biểu diễn tập B trục số: ] [ −3 Biểu diễn tập C trục số: [ −2 a) A ∩ B ∩ C = [3; +∞) b) (A ∪ B) = (−∞; −1] ∪ (1; +∞) (A ∪ B) ∩ C = [−2; −1] ∪ (1; +∞) c) (A ∪ C) = R (A ∪ C) ∩ B = B = (−∞; −3] ∪ [3; +∞) d) (B ∪ C) = (−∞; −3] ∪ [−2; +∞) A ∩ (B ∪ C) = (−∞; −3] ∪ (1; +∞) HDedu - Page 65 CHƯƠNG MỆNH ĐỀ TẬP HỢP CÁC TẬP HỢP SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Xác định tập hợp [0; 5) ∪ (−4; 2) biểu diễn trục số Bài Cho hai tập hợp A = [m + 1; 10) với m < tập hợp B = (5; 8) Hãy xác định tập hợp A ∪ B Bài Cho hai tập hợp A = {x ∈ R|1 < x ≤ 4}, B = {x ∈ R| − < x} Tìm A ∩ B Bài Cho A = [−2; 4] , B = (2; +∞) , C = (−∞; 3) Xác định tập hợp sau biểu diễn chúng trục số a) A ∩ B, B ∩ C b) R ∩ A, R ∩ B Bài Cho tập hợp A = {x ∈ R| |2x − 1| ≤ 1}, B = {x ∈ R| |3x − 6| > 3}, C = [1; 2] Tìm tập hợp a) A ∩ B ∩ C b) A ∪ B ∪ C c) (A ∩ B) ∪ C d) A ∪ (B ∩ C) x2 − − 3x Bài Cho tập hợp A = {x ∈ R| > 0}, B = {x ∈ R| ≥ 2}, C = [0; 3] Tìm tập + x2 x+2 hợp a) A ∩ B ∩ C b) A ∪ B ∪ C c) (A ∩ B) ∪ C d) A ∪ (B ∩ C) e) B ∩ (A ∪ C) f) (A ∪ B) ∩ C Dạng Xác định hiệu phần bù hai tập hợp • Biểu diễn tập hợp lên trục số • Dùng định nghĩa phép toán hiệu, phần bù để xác định phần tử tập hợp ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Cho hai tập hợp A = {x ∈ R| − ≤ x ≤ 3}, B = {x ∈ R| − < x < 2} Tìm A \ B, B \ A −1 A Lời giải −2 B ⇒ A \ B = [2; 3] , B \ A = (−2; −1) HDedu - Page 66 CHƯƠNG MỆNH ĐỀ TẬP HỢP CÁC TẬP HỢP SỐ Ví dụ Cho hai tập hợp A = {x ∈ R|1 < x ≤ 4}, B = {x ∈ R| − < x} Tìm CB A A Lời giải −3 B ⇒ CB A = (−3; 1] ∪ (4; +∞) Ví dụ Xác định tập hợp sau biểu diễn chúng trục số a) (0; 3) \ (2; 4) b) R \ (−1; 1) Lời giải a) ⇒ (0; 3) \ (2; 4) = (0; 2] b) −1 ⇒ R \ (−1; 1) = (−∞; −1] ∪ [1; +∞) Ví dụ Xác định tập hợp sau biểu diễn chúng trục số a) R \ ((0; 1) ∪ (2; 3)) b) R \ ((3; 5) ∩ (4; 6)) Lời giải a) ⇒ R \ ((0; 1) ∪ (2; 3)) = (−∞; 0] ∪ [1; 2] ∪ [3; +∞) b) Ta có ((3; 5) ∩ (4; 6)) = (4; 5) ⇒ R \ ((3; 5) ∩ (4; 6)) = (−∞; 4] ∪ [5; +∞) HDedu - Page 67 CHƯƠNG MỆNH ĐỀ TẬP HỢP CÁC TẬP HỢP SỐ Ví dụ Cho hai nửa khoảng A = (−1; 0] , B = [0; 1) Tìm A \ B CR A Lời giải −1 A B ⇒ A \ B = (−1; 0) CR A = (−∞; −1] ∪ (0; +∞) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho hai tập hợp A = {x ∈ R|x ≤ 2}, B = {x ∈ R| − < x} Tìm A \ B, B \ A Bài Cho hai tập hợp A = {x ∈ R| − < x < < x ≤ 4}, B = {x ∈ R| − < x} Tìm CB A Bài Cho a, b, c, d số thực a < b < c < d Tìm (a; d) \ (b; c) (b; d) \ (a; c) Bài Cho A = [−2; 4] , B = (2; +∞) , C = (−∞; 3) Xác định tập hợp sau biểu diễn chúng trục số a) A \ B, B \ A b) R \ A, R \ B, R \ C Bài Cho hai nửa khoảng A = (0; 2] , B = [1; 4) Tìm CR (A ∪ B) CR (A ∩ B) Dạng Tìm m thỏa điều kiện cho trước ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Cho A = (−∞; m], B = [6; +∞) Tìm m để a) A ∩ B = ∅ b) (A ∩ B) ⊂ [1; 8] Lời giải a) Biểu diễn tập hợp A = (−∞; m] trục số: ] m Biểu diễn tập hợp B = [6; +∞) trục số: [ A ∩ B = ∅ ⇔ m ≥ b) Với m ≥ : A ∩ B = [6; m] (A ∩ B) ⊂ [1; 8] ⇔ m ≤ Vậy ≤ m ≤ thỏa yêu cầu toán HDedu - Page 68 CHƯƠNG MỆNH ĐỀ TẬP HỢP CÁC TẬP HỢP SỐ Ví dụ Tìm m biết a) (−1; 3) ∩ (m; +∞) = ∅ b) (5; m) ∪ (3; 9) = (3; 9) c) (4; 12) \ (−∞; m) = ∅ Lời giải a) Biểu diễn tập hợp (−1; 3) trục số: ( ) −1 Biểu diễn tập hợp (m; +∞) trục số: ( m (−1; 3) ∩ (m; +∞) = ∅ ⇔ m ≥ b) Biểu diễn tập hợp (5; m) trục số: ( ) m Biểu diễn tập hợp (3; 9) trục số: ( ) (5; m) ∪ (3; 9) = (3; 9) ⇔ ≤ m ≤ c) Biểu diễn tập hợp (4; 12) trục số: ( ) 12 Biểu diễn tập hợp (−∞; m) trục số: ) m (4; 12) \ (−∞; m) = ∅ ⇔ m ≥ 12 Ví dụ Cho tập khác rỗng: A = (m − 1; 5] B = (−3; 2m + 3); m = R Tìm m để a) A ∩ B = ∅ b) A ⊂ B c) B ⊂ A d) (A ∩ B) ⊂ (−2; 4) Lời giải Đầu tiên ta cần xét điều kiện để tập A, B khác ∅ là: m−1 −3 Với điều kiện (∗) ta có: a) A ∩ B = ∅ ⇔ 2m + > m − ⇔ m > −4 HDedu - Page 69 CHƯƠNG MỆNH ĐỀ TẬP HỢP CÁC TẬP HỢP SỐ Đối chiếu với điều kiện (∗), giá trị m − ≥ −3 m ≥ −2 b) A ⊂ B ⇔ ⇔ 2m + > m>1 Đối chiếu với điều kiện (∗), giá trị m − ≤ −3 m ≤ −2 c) B ⊂ A ⇔ ⇔ 2m + ≤ m≤1 Đối chiếu với điều kiện (∗), giá trị m thỏa yêu cầu toán −3 < m < ⇔ m > m thỏa yêu cầu toán < m < ⇔ m ≤ −2 m  thỏa yêu cầu toán −3 < m ≤ −2 m ≥ −1 m − ≥ −2 ⇔ ⇔ −1 ≤ m ≤ (thỏa yêu cầu điều kiện (∗)) m ≤ 2m + ≤ d) (A ∩ B) ⊂ (−2; 4) ⇔ ï ị m+1 Ví dụ Cho tập A = m − 1; , B = (−∞; −3) ∪ [3; +∞) Tìm m để a) A ⊂ B b) (A ∩ B) = ∅ Lời giải Trước tiên ta cần tìm điều kiện để tồn tập A là: m − ≤ m+1 ⇔ m ≤ (∗) Biểu diễn tập hợp A trục số: [ ] m+1 m−1 Biểu diễn tập hợp B trục số: ) [ −3 m + < −3 m < −7 ⇔ ⇔ A ⊂ [3; +∞) m ≥ m−1≥3 Đối chiếu điều  kiện (∗), ta có m < −7 thỏa yêu cầu toán m − ≥ −3 m ≥ −2 b) A ∩ B = ∅ ⇔ m + ⇔ ⇔ −2 ≤ m <  m