Hình 12 chuyên đề 1 khối đa diện

CHƯƠNG KHỐI ĐA DIỆN BÀI KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN A KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN Định nghĩa Hình H gồm đa giác phẳng thoả mãn hai điều kiện sau gọi hình đa diện Hai đa giác khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác ! Mỗi hình đa diện H chia điểm không gian thành hai miền không giao miền miền khối đa diện, có miền ngồi chứa hồn tồn đường thẳng Định nghĩa Hình H điểm nằm hình H gọi khối đa diện giới hạn hình H Ví dụ Chứng minh khối đa diện có mặt tam giác số mặt số chẵn Lời giải Gọi n số mặt đa diện đó, p số cạnh đa diện Do mặt khối đa diện tam giác nên số cạnh n tam giác 3n Nhưng cạnh đa diện cạnh chung hai mặt nên 2p = 3n, n phải số chẵn Ví dụ Chứng minh khối đa diện có đỉnh đỉnh chung số lẻ mặt, tổng số đỉnh số chẵn Lời giải Gọi k số đỉnh p số cạnh khối đa diện Gọi A1 ; A2 ; Ak đỉnh c1 ; c2 ; ; ck số cạnh qua đỉnh tương ứng Vậy số cạnh qua k đỉnh là: c1 + c2 + + ck với c1 ; : ck số lẻ Nhưng cạnh lại qua hai đỉnh nên 2p = c1 + c2 + + ck nên k số chẵn BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Chứng minh đa diện có mặt Bài Chứng minh khơng tồn hình đa diện có số đỉnh lớn số cạnh B HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU Phép dời hình khơng gian Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M xác định gọi phép biến hình khơng gian Phép biến hình khơng gian gọi phép dời hình bảo tồn khoảng cách hai điểm tùy ý Một số phép dời hình thường gặp a) Phép tịnh tiến theo vectơ #» v phép biến hình biến điểm M thành điểm M # » cho M M = #» v M M M b) Phép đối xứng qua mặt phẳng (P ) phép biến hình biến điểm thuộc (P ) thành nó, biến điểm khơng thuộc (P ) thành điểm M cho (P ) mặt phẳng trung trực M M Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P ) biến hình (H) thành (P ) gọi mặt phẳng đối xứng (H) M1 P M c) Phép đối xứng tâm O M phép biến hình biến điểm O thành nó, biến điểm M khác O thành điểm M cho O trung điểm M M O Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành O gọi tâm đối xứng (H) M ∆ d) Phép đối xứng qua đường thẳng ∆ (phép đối xứng trục qua trục ∆) phép phép biến hình biến điểm M thuộc ∆ thành nó, biến điểm M khơng thuộc ∆ thành điểm M cho ∆ đường trung trực M M Nếu phép đối xứng qua đường thẳng ∆ biến hình (H) thành M M ∆ gọi trục đối xứng (H) Nhận xét • Thực liên tiếp phép dời hình phép dời hình • Phép dời hình biến đa diện (H) thành đa diện (H ), biến đỉnh, cạnh, mặt (H) thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng (H ) 3 Hai hình Hai hình gọi có phép dời hình biến hình thành hình Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A B C D Chứng minh hai tứ diện A B BC A D DC Lời giải A D B C A B D C Phép đối xứng qua mặt phẳng (AA C C) biến điểm A , C thành nó, biến B thành D , biến B thành D suy hai tứ diện A B BC A D DC đối xứng qua mặt phẳng (AA C C), hai tứ diện BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho lăng trụ ABCDEF.A B C D E F có đáy lục giác Gọi I trung điểm nối hai tâm đáy Gọi (α) mặt phẳng qua I cắt tất cạnh bên lăng trụ Chứng minh (α) chia lăng trụ thành hai đa diện Bài Cho ABC.A B C hình lăng trụ, E, I, F trung điểm AA ; BB ; CC Chứng minh mặt phẳng IEF chia lăng trụ ABC.A B C thành hai hình C PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP KHỐI ĐA DIỆN Ta nói khối đa diện (H) chia thành n khối đa diện (H1 ), (H2 ), , (Hn ) hay lắp ghép n khối đa diện (H1 ), (H2 ), , (Hn ) thành khối đa diện (H) (H) hợp n khối đa diện (H1 ), (H2 ), , (Hn ) hai khối đa diện (Hi ) (Hj ) (i = j) khơng có điểm chung Một khối đa diện ln phân chia thành khối tứ diện Ví dụ Chia khối lăng trụ tam giác thành ba khối tứ diện Lời giải Khối lăng trụ ABC.A B C phân chia thành khối tứ diện A B C C, A B BC A ABC C A B C A B A C A C B A B C B B A C A B A C B Ví dụ Chia khối tứ diện thành bốn khối tứ diện Lời giải Cho tứ diện ABCD, gọi A , B , C , D trọng tâm tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Các đường thẳng AA , BB , CC , DD đồng quy điểm G, G trọng tâm tứ diện Tứ diện ABCD nên C đối xứng với D qua mặt phẳng (ABA ) hai tứ diện GABD GABC đối xứng với qua mặt phẳng (ABA ), suy hai khối tứ diện nhau, chứng minh tương tự ta suy bốn khối tứ diện GABD, GABC, GBCD GACD Vậy khối tứ diện ABCD chia thành bốn khối tứ diện A G B A D A G G B A B C G D C D C G B D C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Chia khối lập phương thành sáu khối tứ diện Bài Chia khối chóp tứ giác thành tám khối tứ diện 2 BÀI KHỐI ĐA DIỆN LỒI, KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Khối đa diện lồi, Khối đa diện Định nghĩa Khối đa diện (H ) gọi khối đa diện lồi đoạn thẳng nồi hai điểm (H ) nằm (H ) C A S B A A B O D ! C C B Một khối đa diện khối đa diện lồi miền ln nằm phía mặt phẳng qua mặt Cơng thức Ơ-le: Trong khối đa diện lồi gọi Đ số đỉnh, C số cạnh, M số mặt ta ln có Đ − C + M = 2 Khối đa diện Định nghĩa Khối đa diện khối đa diện lồi có tính chất sau Mỗi mặt đa giác p cạnh Mỗi đỉnh đỉnh chung q mặt Khối đa diện gọi khối đa diện loại {p; q} Định lí Chỉ có năm loại khối đa diện Đó loại {3; 3}, {4; 3}, {5; 3} {3; 5} Tham khảo hình biểu diễn năm loại khối đa diện Khối lập phương Khối tứ diện Khối bát diện Khối 12 mặt Khối 20 mặt Một số kết quan trọng khối đa diện lồi Cho khối tứ diện đều, ta có + Các trọng tâm mặt đỉnh khối tứ diện + Các trung điểm trung điểm cạnh đỉnh khối bát diện đều(khối tám mặt đều) Tâm mặt khối lập phương đỉnh khối bát diện Tâm mặt khối bát diện đỉnh hình lập phương Hai đỉnh khối bát diện dọi hai đỉnh đối diện bát diện chúng khơng thuộc cạnh khối Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi đường chéo cuả khối bát diện Khi + Ba đường chéo cắt trung điểm đường + Ba đường chéo dơi vng góc + Ba đường chéo Đa diện cạnh a Đỉnh Cạnh Mặt Thể tích V Bán kính mặt cầu ngoại tiếp Tứ diện {3; 3} √ 2a V = 12 √ a R= Lập phương {4; 3} 12 V = a3 √ a R= Bát diện {3; 4} 12 √ 2a V = √ a R= Mười hai mặt {5; 3} 20 30 12 √ 15 + V = a √ √ + 15 R= a Hai mươi mặt {3; 5} 12 30 20 √ 15 + 5 V = a 12 Giả sử khối đa diện loại {p; q} có Đ đỉnh, C cạnh M mặt ta ln có q · Đ = 2C = P · M √ R= 10 + √ 20 a B CÁC VÍ DỤ Ví dụ Trong khối đa diện đây, khối có số cạnh số lẻ? A Khối lăng trụ B Khối chóp C Khối hộp D Khối tứ diện Ví dụ Trong khối đa diện đây, khối có số cạnh ln số chẵn? A Khối chóp B Khối đa diện C Khối chóp cụt D Khối lăng trụ Ví dụ Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau A Khối mặt có cạnh B Khối tứ diện có cạnh C Số cạnh khối chóp chẵn D Khối lập phương có 12 cạnh Ví dụ Trong khối đa diện lồi với mặt tam giác, gọi C số cạnh M số mặt hệ thức sau đúng? A 3M = 2C B 3M = 5C C 2M = 3C D 2M = C Ví dụ Trong khối đa diện lồi mà đỉnh đỉnh chung ba cạnh, gọi C số cạnh D số đỉnh hệ thức sau đúng? A 3D = 2C B 3D = 5C C 4D = 3C D 2D = C Ví dụ Trong khối đa diện lồi 10 đỉnh, mặt có cạnh? A 15 B 12 C 18 D 20 C 18 D 20 Ví dụ Khối 12 mặt có cạnh? A 30 B 16 BÀI KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Khái niệm thể tích khối đa diện Định nghĩa Người ta chứng minh rằng: đặt tương ứng cho khối đa diện (H) số dương V(H) thỏa mãn tính chất sau: Nếu (H) khối lập phương có cạnh V(H) = Nếu hai khối đa diện (H1 ) (H2 ) V(H1 ) = V(H2 ) Nếu khối đa diện (H) phân chia thành hai khối đa diện (H1 ) (H2 ) thì: V(H) = V(H1 ) + V(H2 ) Số dương V(H) nói gọi thể tích khối đa diện (H) Số gọi thể tích hình đa diện giới hạn khối đa diện (H) Khối lập phương có cạnh gọi khối lập phương đơn vị Định lí Thể tích khối hộp chữ nhật tích ba kích thước Thể tích khối lăng trụ Định lí Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B chiều cao h V =B·h Thể tích khối chóp Định lí Thể tích khối chóp có diện tích đáy B chiều cao h V = ·B·h Tỷ số thể tích Tính chất Cho hình chóp S.ABC Trên đoạn thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A , B , C khác S Khi VS.A B C SA SB SC = · · VS.ABC SA SB SC Một vài cơng thức tính diện tích đa giác thường gặp Trong trường hợp đơn giản, diện tích đáy lăng trụ chóp (B) diện tích hình đa giác đơn giản sau Diện tích tam giác Đối với tam giác thường ta sử dụng công thức tính diện tích sau đây: » 1 abc S∆ABC = a · = a · b · sin C = = pr = p(p − a)(p − b)(p − c) 2 4R Với R bán kính đường trịn ngoại tiếp; r bán kính đường tròn nội tiếp; p = a+b+c nửa chu vi tam giác ABC Tuy nhiên, trường hợp đơn giản ta lại thường gặp tam giác đặc biệt sau 1 Tam giác ABC vuông A: S∆ABC = AB · AC 2√ t2 Tam giác ABC cạnh t: S∆ABC = Diện tích tứ giác Các tứ giác đặc biệt mà ta thường gặp toán: 1 Hình vng ABCD cạnh t: SABCD = t2 = AC · BD 2 Hình chữ nhật ABCD: SABCD = AB · AD Hình thoi: SABCD = AC · BD = AB · AD · sin A Hình bình hành ABCD: SABCD = AB · AD · sin A Hình thang ABCD: SABCD = (a + b) · h B CÁC DẠNG TỐN DẠNG Thể tích khối chóp tam giác Phương pháp giải Cơng thức tính thể tích khối chóp: V = · B · h Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh Cạnh bên SA vng góc √ với mặt phẳng đáy SA = Tính thể tích khối chóp S.ABC Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a cạnh bên 2a Tính thể tích khối chóp √ Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A AB = a, AC = a Mặt bên SAB tam giác cân nằm mặt phẳng vng góc với đáy Cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy góc 60◦ Tính theo a thể tích V khối chóp DẠNG Thể tích khối chóp tứ giác Phương pháp giải Sử dụng cơng thức tính thể tích khối chóp V = ·B·h √ ’ = 60◦ Cạnh bên Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh 2, BAD √ SA vng góc với mặt phẳng đáy SC = Tính thể tích khối chóp S.ABCD √ Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, BC = a Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy cạnh SC tạo với mặt đáy góc 30◦ Tính thể tích khối chóp S.ABCD ’ = 60◦ Hình Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, ABC chiếu S lên mặt phẳng (ABCD) O, góc tạo SC mp(SBD) 45◦ Tính thể tích khối chóp S.ABCD DẠNG Thể tích khối lăng trụ đứng Phương pháp giải Cơng thức thể tích khối lăng trụ: V = B · h √ Ví dụ Cho hình lăng trụ ABC.A B C có đường cao AA = a 3, tam giác ABC vuông B có AB = a, A C tạo với (ABA ) góc 45◦ Thể tích khối lăng trụ ABC.A B C tính theo a Ví dụ Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC tam giác vuông B, BC = a, √ mp(A BC) tạo với đáy góc 30◦ ∆A BC có diện tích a2 Tính thể tích khối lăng trụ Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có ABCD hình vng, AC = 2a tạo với mặt phẳng (BCD) góc 60◦ Tính thể tích khối hộp ABCD.A B C D theo a DẠNG Thể tích khối lăng trụ xiên Phương pháp giải Cơng thức thể tích khối lăng trụ: V = B · h Ví dụ 10 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A B C có đáy tam giác cạnh cm , cạnh bên √ cm tạo với mặt phẳng đáy góc 30◦ Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A B C √ Ví dụ 11 Cho lăng trụ ABCD.A B C D có ABCD hình chữ nhật AB = a, AD = a 3, A A = A B = A D = 2a Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A B C D DẠNG Tỉ số thể tích Phương pháp giải Để tính thể tích khối chóp tam giác tính tỉ số thể tích khối chóp tam giác ta sử dụng kết sau: Nếu A , B , C điểm (khác điểm S) nằm đường thẳng SA, SB, SC hình chóp S.ABC VS.A B C SA SB SC = · · VS.ABC SA SB SC Nếu ta cần tính thể tích V khối đa diện K mà khơng phải khối chóp hay khối lăng trụ ta thường coi V tổng hiệu của thể tích hai khối đa diện khác mà hai khối khối chóp khối lăng trụ √ Ví dụ 12 Cho hình chóp A.BCD có đáy BCD tam giác vuông C với BC = a, CD = a Hai mặt phẳng (ABD) (ABC) vng góc với mặt phẳng (BCD) Biết AB = a M, N thuộc cạnh AC, AD cho AM = 2M C, AN = N D Tính thể tích khối chóp A.BM N ’ = ASB ’ = ASB ’ = 60◦ SA = a, SB = b, SC = c Ví dụ 13 Cho hình chóp S.ABC có ASB Tính thể tích hình chóp S.ABC theo a, b, c ’ = 60◦ , SA ⊥ Ví dụ 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, BAD (ABCD), SA = a Gọi C trung điểm SC Mặt phẳng (P ) qua AC song song với BD, cắt cạnh SB, SD hình chóp B , D Tính thể tích khối chóp S.AB C D DẠNG Ứng dụng thể tích để tính khoảng cách Phương pháp giải Sử dụng cơng thức thể tích V = · B · h Ví dụ 15 Cho hình tứ diện ABCD có AD vng góc với mặt phẳng (ABC), AC = AD = cm, AB = cm, BC = cm Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) ’ = 30◦ , SBC tam giác Ví dụ 16 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông A, ABC cạnh a mặt bên SBC vng góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ C đến (SAB) 3a , hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm cạnh AB Tính theo a thể Ví dụ 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SD = tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) Ví dụ 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Tam giác SAB nằm √ mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Biết SD = 2a góc tạo đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) 30◦ Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) ’ = 120◦ , hai Ví dụ 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I cạnh a, DAB mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với đáy Góc (SBC) mặt đáy 60◦ Tính thể tích S.ABCD khoảng cách A đến (SBC) DẠNG Thể tích khối đa diện liên quan đến giá trị lớn giá trị nhỏ Phương pháp giải Ví dụ 20 Cho nhơm hình vng cạnh 24 cm Người ta cắt bốn góc nhơm bốn hình vng nhau, hình vng có cạnh x (cm), gập nhơm lại hình vẽ bên để hộp khơng nắp Tìm x để hộp nhận tích lớn 24cm x Ví dụ 21 Cho nhơm hình chữ nhật ABCD có AD = 30 cm Ta gập nhôm theo hai cạnh M N P Q vào phía đến AB DC trùng nhau, với AN = P D (như hình vẽ bên dưới) để hình lăng trụ Tìm độ dài đoạn AN để thể tích khối lăng trụ lớn B Q M C Q M B≡C A N P D N P 30 cm A≡D Ví dụ 22 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy SA = b > Trên cạnh AB lấy điểm M cho AM = x với < x < a biết x2 + b2 = a2 Tìm giá trị lớn thể tích khối chóp S.ADCM Ví dụ 23 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD tâm O, biết khoảng cách từ tâm O đến (SBC) a Đặt AB = x Tìm giá trị x để thể tích khối chóp S.ABCD đạt giá trị nhỏ  ... chóp tứ giác thành tám khối tứ diện 2 BÀI KHỐI ĐA DIỆN LỒI, KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Khối đa diện lồi, Khối đa diện Định nghĩa Khối đa diện (H ) gọi khối đa diện lồi đoạn thẳng nồi... {3; 5} Tham khảo hình biểu diễn năm loại khối đa diện Khối lập phương Khối tứ diện Khối bát diện Khối 12 mặt Khối 20 mặt Một số kết quan trọng khối đa diện lồi Cho khối tứ diện đều, ta có + Các... thành n khối đa diện (H1 ), (H2 ), , (Hn ) hay lắp ghép n khối đa diện (H1 ), (H2 ), , (Hn ) thành khối đa diện (H) (H) hợp n khối đa diện (H1 ), (H2 ), , (Hn ) hai khối đa diện (Hi