CHƯƠNG MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU BÀI MẶT NĨN, MẶT TRỤ A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Mặt nón Định nghĩa Trong mặt phẳng (P ) cho hai đường thẳng d ∆ cắt điểm O tạo với góc β với 0◦ < β < 90◦ Khi quay mặt phẳng (P ) xung quanh ∆ đường thẳng d sinh mặt trịn xoay gọi mặt nón tròn xoay đỉnh O Người ta thường gọi tắt mặt nón trịn xoay mặt nón Đường thẳng ∆ gọi trục, đường thẳng d gọi đường sinh góc β gọi góc đỉnh mặt nón O Định nghĩa Cho tam giác OIM vng I Khi quay tam giác xung quanh cạnh góc vng OI đường gấp khúc OM I tạo thành β hình gọi hình nón trịn xoay, gọi tắt hình nón d ∆ Đường thẳng OI gọi trục, O gọi đỉnh, OI gọi đường cao OM gọi đường sinh hình nón Hình trịn tâm I, bán kính r = IM gọi đáy hình nón Phần mặt trịn xoay sinh điểm cạnh OM quay quanh OI gọi mặt xung quanh hình nón Định nghĩa O Khối nón trịn xoay phần không gian giới hạn hình nón trịn xoay, kể hình nón Người ta cịn gọi tắt khối nón trịn xoay khối nón Những điểm khơng thuộc khối nón gọi điểm ngồi khối h nón Nhuỹng điểm thuộc khối nón khơng thuộc hình nón ứng với khối nón gọi điểm khối nón Ta gọi đỉnh, mặt, đáy, đường sinh hình nón theo thứ tự I r đỉnh, măt đáy, đường sinh khối nón tương ứng Tính chất Gọi h chiều cao, l độ dài đường sinh r bán kính đáy hình nón, ta có: M Diện tích xung quanh hình nón: Sxq = πrl 1 Thể tích khối nón: V = Sh = πr2 h (S diện tích đáy) 3 Mặt trụ Định nghĩa Trong mặt phẳng (P ) cho hai đường thẳng ∆ l song song nhau, cách khoảng r Khi quay (P ) quanh trục cố định ∆ đường thẳng r l sinh mặt nón trịn xoay gọi mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt B C mặt trụ Đường thẳng ∆ gọi trục, đường thẳng l gọi đường sinh khoảng cách r gọi bán kính mặt trụ Định nghĩa Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB đường gấp khúc ABCD tạo thành hình gọi hình trụ trịn xoay hay ∆ l A D gọi tắt hình trụ Đường thẳng AB gọi trục, đoạn thẳng CD gọi đường sinh, độ dài AB = CD gọi chiều cao, hai hình trịn (A; AD) (B; BC) gọi hai đáy hình trụ Khối trụ trịn xoay, gọi tắt khối trụ phần không gian giới hạn hình trụ trịn xoay, kể hình trụ Tính chất Gọi h chiều cao r bán kính đáy hình trụ, ta có: Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2πrh Thể tích khối trụ: V = Sh = πr2 h (S diện tích đáy) B CÁC DẠNG TỐN DẠNG Thiết diện qua trục hình trụ, hình nón Phương pháp giải Thiết diện qua trục hình trụ ln hình chữ nhật nhận trục OO hình trụ làm đường trung bình A O B A O B Thiết diện qua trục hình nón đỉnh S ln tam giác cân đỉnh S S A O B Ví dụ Cho hình nón đỉnh S có thiết diện qua trục tam giác có cạnh Tính thể tích khối nón Ví dụ Cho hình trụ có thiết diện qua trục hình vng Tính tỉ số k (k < 1) diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ Ví dụ Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác vng cân Tính diện tích thiết √ diện biết thể tích khối nón 18π DẠNG Thiết diện khơng qua trục hình trụ, hình nón Phương pháp giải √ Ví dụ Cho hình nón đỉnh S, có chiều cao a 2, đáy đường trịn tâm O, bán kính 2a, mặt phẳng qua đỉnh S hình √ nón cắt đường trịn O theo dây cung AB, biết tam a giác OAB tù có diện tích , tính góc tạo mặt phẳng với mặt phẳng đáy hình nón Ví dụ Cho hình trụ có hai đáy đường trịn (O) (O ), bán kính đáy 2a, chiều cao √ 5a Mặt phẳng (α) song song với trục OO cách trục đoạn a 3, tính diện tích thiết diện tạo mặt phẳng (α) hình trụ DẠNG Góc khoảng cách nón trụ Phương pháp giải Góc đường thẳng d mặt phẳng d (α) A ϕ d O H α B1 Xác định giao điểm O d (α) B2 Trên d lấy điểm A khác O định H hình chiếu A lên (α) ’ B3 Góc d (α) góc AOH Góc hai mặt phẳng β c a I α b B1 Xác định điểm I giao tuyến ∆ hai mặt phẳng B2 Xác định a ⊂ (α), a⊥∆, b ⊂ (β), b⊥∆ B3 Góc (α) (β) góc a b Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách hai đường thẳng chéo ∆ d B1 Xác định mặt phẳng (α) chứa ∆ song song với d B2 Xác định khoảng cách d (α) Đó khoảng cách ∆ d Ví dụ Cho hình nón có đường cao h = 16, bán kính đáy r = 12 Tính diện tích thiết diện khối nón cắt mặt phẳng (α) qua đỉnh hình nón, biết khoảng cách từ tâm đáy đến (α) Ví dụ Cho hình nón có đường cao SO Gọi M , P hai điểm đường trịn đáy Tính diện ’ tích xung quanh hình nón biết khoảng cách từ tâm đáy đến M P SM O = 30◦ , ’ SM P = 60◦ Ví dụ Cho hình nón có đường cao SO = 12, bán kính đáy r = 24 Tính diện tích thiết diện khối nón cắt mặt phẳng (α) biết góc SO mặt phẳng (α) 60◦ Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy 60◦ Tính thể tích khối nón có đỉnh S đường trịn đáy đường trịn ngoại tiếp ABCD √ Ví dụ 10 Một hình trụ trịn xoay, bán kính đáy R, trục OO = R Gọi hai điểm A, B nằm hai đường tròn (O) (O ) cho AB = 2R Tính góc đường thẳng AB OO Ví dụ 11 Cho hình trụ trịn xoay có hai đáy hai hình trịn (O) (O ) Gọi A, B hai điểm đường trịn (O ) Tính diện tích xung quanh hình trụ biết tam giác OAB cạnh a góc mặt phẳng (OAB) mặt phẳng chứa (O ) 60◦ Ví dụ 12 Một hình trụ có bán kính r chiều cao h = r Một hình vng ABCD có hai cạnh AB CD hai dây cung hai đường tròn đáy (O) (O ) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng ABCD, biết đường thẳng BC đường sinh hình trụ BÀI MẶT CẦU A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Mặt cầu Định nghĩa Tập hợp điểm M không gian cách điểm O cố định khoảng R gọi mặt cầu tâm O, bán kính R, kí hiệu S(O; R) M Khi đó, S(O; R) = {M |OM = R} Với hai điểm C, D ∈ S(O; R) đoạn thẳng CD gọi dây cung mặt cầu R O Dây cung qua tâm gọi đường kính mặt cầu Khi đó, độ dài đường kính 2R Định nghĩa Cho mặt cầu tâm O bán kính R A điểm khơng gian Nếu OA = R ta nói điểm A nằm mặt cầu S(O; R) Nếu OA < R ta nói điểm A nằm mặt cầu S(O; R) Nếu OA > R ta nói điểm A nằm mặt cầu S(O; R) Tập hợp điểm thuộc mặt cầu S(O; R) với điểm nằm mặt cầu gọi khối cầu hình cầu tâm O bán kính R Tính chất Cho mặt cầu S(O; R) mặt phẳng (P ) Gọi d khoảng cách từ tâm O mặt cầu đến mặt phẳng (P ) Ta có: Nếu h > R mặt phẳng (P ) khơng cắt mặt cầu S(O; R) Nếu d = R mặt phẳng (P ) mặt cầu S(O; R) có điểm chung Khi đó, ta nói mặt phẳng (P ) tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) Điểm tiếp xúc gọi tiếp điểm, (P ) gọi mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện mặt cầu √ Nếu d < R mặt phẳng (P ) cắt mặt cầu S(O; R) theo đường trịn bán kính R = R2 − d2 Đặc biệt, d = tâm O thuộc mặt phẳng (P ), giao tuyến (P ) S(O; R) đường trịn tâm O bán kính R Đường trịn gọi đường tròn lớn ! Điều kiện cần đủ để mặt phẳng (P ) tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) (P ) vng góc với bán kính tiếp điểm Tính chất Cho mặt cầu S(O; R) đường thẳng ∆ Gọi d khoảng cách O đến đường thẳng ∆ Khi đó, d > R ⇔ ∆ không cắt mặt cầu S(O; R) d < R ⇔ ∆ cắt mặt cầu hai điểm phân biệt d = R ⇔ ∆ mặt cầu S(O; R) tiếp xúc Do đó, điều kiện cần đủ để ∆ tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) d = R Định lí Cho mặt cầu S(O; R) điểm A nằm mặt cầu Khi đó, Qua A có vơ số tiếp tuyến với mặt cầu Tập hợp tiếp tuyến tạo thành mặt nón đỉnh A Độ dài đoạn thẳng nối A với tiếp điểm Định lí Cho mặt cầu S(O; R) điểm A nằm mặt cầu Khi đó, Qua A có vơ số tiếp tuyến với mặt cầu Tất tiếp tuyế vng góc với bán kính mặt cầu A nằm mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu A Người ta nói mặt cầu nội tiếp hình đa diện mặt cầu tiếp xúc với tất mặt hình đa diện, nói mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện tất đỉnh hình đa diện nằm mặt ! cầu Tính chất Cho mặt cầu bán kính R Khi đó, Diện tích mặt cầu: S = 4πR2 Thể tích khối cầu: V = πR3 ! Diện tích S mặt cầu bán kính R lần diện tích hình trịn lớn mặt cầu Thể tích V khối cầu bán kính R thể tích khối chóp có diện tích đáy diện tích mặt cầu có chiều cao bán kính khối cầu B CÁC DẠNG TỐN DẠNG Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy (hình chóp đều) Phương pháp giải 1) Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy Xét hình chóp S.A1 A2 An có cạnh bên SA1 vng góc với đáy (A1 A2 An ) đáy A1 A2 An nội tiếp đường tròn tâm O Tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp xác định sau Dựng trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy d (đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy vng góc với mặt phẳng đáy) Dựng mặt phẳng trung trực cạnh bện SA1 cắt d I ⇒ I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, bán kính R = IA1 = IA2 = = IAn = IS 2) Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Cho hình chóp S.A1 A2 An có đáy đa giác nơi tiếp đường trịn tâm O Tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp xác định sau Dựng trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy d Trong mặt phẳng chứa d cạnh bên hình chóp, chẳng hạn SA1 , dựng đường thẳng trung trực cạnh SA1 cắt SO I ⇒ I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.A1 A2 An , bán kính R = IA1 = IA2 = = IAn = IS ! Tập hợp điểm khơng gian nhìn hai điểm cho trước góc vng mặt cầu có đường kính đoạn thẳng nối hai điểm cho trước Ví dụ Cho tứ diện ABCD có đáy ABC tam giác vng B, DA ⊥ (ABC) Tìm tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Biết AB = 3a, BC = 4a, DA = 5a Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, cạnh 2a Cạnh bên SA ⊥ (ABCD), góc SO mặt phẳng (ABCD) 45◦ Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có SA = AB = a Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD √ Ví dụ Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a cạnh bên 2a Gọi O trọng tâm tam giác ABC Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Tính thể tích khối cầu diện tích mặt cầu DẠNG Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có mặt bên vng góc với đáy (hình chóp khác) Phương pháp giải Phương pháp : - Xác định (∆1 ) trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy - Xác định (∆2 ) trục đường tròn ngoại tiếp đa giác thuộc mặt bên vng góc đáy - Tìm tâm mặt cầu O giao điểm (∆1 ) (∆2 ) Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD biết SAB tam giác cạnh a nằm mặt phẳng vng góc với (ABCD) Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD biết ABCD hình vng cạnh a Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh 1, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng có cạnh 6, mặt bên SAB tam ’ = 120◦ Tính diện tích mặt cầu giác cân S, nằm mặt phẳng vng góc với đáy ASB ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có SAB tam giác đều, nằm mặt phẳng vng góc √ với đáy có diện tích Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD Biết ABCD √ hình thang cân có AC = 3, AD = 13 DẠNG Mặt cầu ngoại tiếp hình hộp, nội tiếp hình chóp Phương pháp giải Mặt cầu nội tiếp hình đa diện mặt cầu tiếp xúc với tất mặt hình đa diện, cịn mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện tất đỉnh hình đa diện nằm mặt cầu Khi mặt cầu nội tiếp (ngoại tiếp) hình đa diện, người ta nói hình đa diện ngoại tiếp (nội tiếp) mặt cầu Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a Hãy xác định tâm bán kính mặt cầu trường hợp sau đây: a) Đi qua đỉnh hình lập phương; b) Tiếp xúc với 12 cạnh hình lập phương; c) Tiếp xúc với mặt bên hình lập phương Ví dụ 10 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AA = a, AB = b, AD = c a) Hãy xác định tâm bán kính mặt cầu qua đỉnh hình hộp; b) Tính bán kính đường trịn giao tuyến mặt phẳng (ABCD) với mặt cầu Ví dụ 11 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, mặt bên tạo với đáy góc α (0◦ < α < 90◦ ) Xác định tâm tính theo a α bán kính r mặt cầu nội tiếp hình chóp ’ = α Xác định Ví dụ 12 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a góc ASB tâm tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp ... pháp giải Mặt cầu nội tiếp hình đa diện mặt cầu tiếp xúc với tất mặt hình đa diện, cịn mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện tất đỉnh hình đa diện nằm mặt cầu Khi mặt cầu nội tiếp (ngoại tiếp) hình đa... tiếp hình đa diện mặt cầu tiếp xúc với tất mặt hình đa diện, nói mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện tất đỉnh hình đa diện nằm mặt ! cầu Tính chất Cho mặt cầu bán kính R Khi đó, Diện tích mặt cầu: ... tích khối trụ: V = Sh = πr2 h (S diện tích đáy) B CÁC DẠNG TỐN DẠNG Thiết diện qua trục hình trụ, hình nón Phương pháp giải Thiết diện qua trục hình trụ ln hình chữ nhật nhận trục OO hình trụ làm