Nguyên hàm tích phân và ứng dụng - Nguyễn Chin Em

Nắm được điểm này, ta có thể viết ra biểu thức f ( x ) một cách rõ ràng, và tìm được các giá trị cụ thể của C... Mệnh đề.[r]

(1)

CHƯƠNG 3 NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 1

1 NGUYÊN HÀM

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1 Nguyên hàm tính chất

1.1 Nguyên hàm

1.2 Tính chất

2 Phương pháp tính nguyên hàm 2.1 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số

2.2 Phương pháp tính nguyên hàm phần

2.3 Bảng nguyên hàm

2.4 Bảng nguyên hàm mở rộng

3 Các dạng tốn tập 3.1 Tính ngun hàm bảng nguyên hàm

3.1.1 Bài tập vận dụng

3.2 Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến số 22

3.2.1 Bài tập áp dụng 23

3.3 Nguyên hàm phần 35

3.3.1 Ví dụ tập 35

4 Phương pháp đổi biến số 39 B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 39 Nhận biết 39 1.1 ĐÁP ÁN 54

2 Thông hiểu 54 2.1 ĐÁP ÁN 69

3 Vận dụng thấp 69 3.1 ĐÁP ÁN 81

4 Vận dụng cao 81 4.1 ĐÁP ÁN 86

2 TÍCH PHÂN 87 A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 87 Khái niệm tích phân 87 1.1 Định nghĩa tích phân 87

1.2 Tính chất tích phân 87

(2)

3 Các dạng tốn tập 88

3.1 Tích phân tính chất tính phân 88

3.1.1 Ví dụ tập 88

3.2 Tích phân hàm số phân thức hữu tỉ 93

3.2.1 Ví dụ tập 93

3.3 Tính chất tích phân 95

3.3.1 Ví dụ tập 96

3.4 Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối b Z a |f(x)|dx 107

3.4.1 Ví dụ tập 107

3.5 Phương pháp đổi biến số 109

3.5.1 Ví dụ tập 109

3.6 Tích phân phần 140

3.6.1 Ví dụ tập 140

B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 150 Nhận biết 150 1.1 ĐÁP ÁN 161

2 Thông hiểu 161 2.1 ĐÁP ÁN 191

3 Vận dụng thấp 192 3.1 ĐÁP ÁN 227

4 Vận dụng cao 228 4.1 ĐÁP ÁN 246

3 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 247 A TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 247 Hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh 247 Hình phẳng giới hạn hai đường cong 247 B TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY 247 C Dạng tốn tập 248 Diện tích hình phẳng tốn liên quan 248 1.1 Diện tích hình phẳng 248

1.2 Tìm vận tốc, gia tốc, quãng đường vật lí 251

2 Thể tích 254 2.1 Thể tích vật thể 254

(3)

1 Nhận biết 259 1.1 ĐÁP ÁN 277

2 Thông hiểu 277

2.1 ĐÁP ÁN 286

3 Vận dụng thấp 287

3.1 ĐÁP ÁN 297

4 Vận dụng cao 297

(4)

DỤNG

BÀI 1. NGUYÊN HÀM

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1 NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT 1.1 Nguyên hàm

Định nghĩa 1. Cho hàm số f(x)xác định trênK Hàm sốF(x)được gọi lànguyên hàmcủa hàm số f(x)

trênK nếuF0(x)=f(x)với mọix∈K.

Định lí 1. Nếu F(x)là nguyên hàm hàm số f(x) trên K thì với số C, hàm số G(x)=

F(x)+C cũng nguyên hàm hàm số f(x)trênK.

Định lí 2. NếuF(x)là nguyên hàm hàm số f(x)trênK thì nguyên hàm hàm số f(x)trên K đều có dạngF(x)+C, vớiC là số.

Định lí 3. Mọi hàm số f(x)liên tục trênK đều có ngun hàm trênK. 1.2 Tính chất

Tính chất 1.

Z

f0(x) dx=f(x)+C

Tính chất 2.

Z

k f(x) dx=k

Z

f(x) dx (klà số khác0) Tính chất 3.

Z Ê

f(x)g(x)Ô dx=

Z

f(x) dx± Z

g(x) dx

2 PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 2.1 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số

Định lí 4. Nếu Z

f(u) du=F(u)+Cvàu=u(x)là hàm số có đạo hàm liên tục thì Z

f(u(x))u0(x) dx=F(u(x))+C

2.2 Phương pháp tính nguyên hàm phần

Định lí 5. Nếu hai hàm sốu=u(x)và v=v(x)có đạo hàm liên tục trênK thì Z

u(x)·v0(x) dx=u(x)v(x)− Z

u0(x)v(x) dx

Nhận xét. Vìv0(x) dx=dv,u0(x) dx=dunên đẳng thức viết dạng Z

udv=uv−

Z

vdu.

Để tính nguyên hàm Z

f(x) dxbằng phần ta làm sau:

Bước 1: Chọn u,vsao cho f(x) dx=udv(chú ý dv=v0(x) dx) Sau tínhv= Z

(5)

Bước 2:Thay vào cơng thức(∗)và tính Z

vdu Chú ý Cần phải lựa chọnuvàdvhợp lí cho ta dễ dàng tìm đượcvvà tích phân

Z

vdudễ tính Z

udv Ta thường gặp dạng sau

1 Dạng 1: I=

Z

P(x) ·

sinx

cosx

¸

dx Với dạng này, ta đặt   

 

u=P(x) dv=

· sinx

cosx

¸ dx

2 Dạng 2: I= Z

P(x) eax+bdx, đóP(x)là đa thức Với dạng này, ta đặt (

u=P(x) dv=eax+bdx

3 Dạng 3: I= Z

P(x) ln (mx+n) dx, đóP(x)là đa thức Với dạng này, ta đặt

½u=ln (mx+n) dv=P(x) dx

4 Dạng 4: I=

Z · sinx

cosx

¸

exdx Với dạng ta đặt   

 

u= ·

sinx

cosx

¸

dx=exdx

2.3 Bảng nguyên hàm bản

Nguyên hàm hàm sơ cấp Nguyên hàm hàm hợpu=u(x)

1

Z

0 dx=C

Z

0 du=C

2

Z

1 dx=x+C

Z

1 du=u+C

3

Z

xα dx= x

α+1

α+1+C Z

uα du=u

α+1 α+1+C

4

Z 1

x dx=ln|x| +C

Z 1

u du=ln|u| +C

5

Z

ex dx=eex+C

Z

eudu=eu+C

6

Z

ax dx= a

x

lna+C

Z

au du= a

u

lna+C

7

Z

cosxdx=sinx+C

Z

cosudu=sinu+C

8

Z

sinxdx= −cosx+C

Z

sinu du= −cosu+C

9

Z 1

cos2x dx=tanx+C

Z 1

cos2u du=tanu+C

10

Z 1

sin2x dx= −cotx+C 10

Z 1

sin2u du= −cotu+C

11

Z 1 2pxdx=

p

x+C 11

Z 1

2pudu=

p

u+C

2.4 Bảng nguyên hàm mở rộng

1

Z

(ax+b)αdx=1 a

(ax+b)α+1

α+1 +C(α6= −1) 10

Z 1

ax+bdx=

1

aln|ax+b| +C

2

Z

eax+bdx=1

ae

ax+b

+C 11

Z

cos(ax+b)dx=1

asin(ax+b)+C

3

Z

sin(ax+b)dx= −1

acos(ax+b)+C 12

Z 1

cos2(ax+b)dx=

(6)

4

Z 1

sin2(ax+b)dx= −

acot(ax+b)+C 13

Z

tan(ax+b)dx= −1

aln|cos(ax+b)| +C

5

Z

cot(ax+b)dx=1

aln|sin(ax+b)| +C 14

Z dx

a2+x2 =

aarctan x a+C

6

Z dx

a2−x2 = 2aln

¯ ¯ ¯

a+x a−x

¯ ¯

¯+C 15

Z dx p

x2+a2 =ln ³

x+px2+a2´+C

7

Z dx p

a2−x2 =arcsin

x

|a|=C 16

Z dx

x.px2−a2 =

aarccos

¯ ¯ ¯

x a

¯ ¯ ¯+C

8

Z

ln(ax+b)dx=

à

x+b a

ả

ln(ax+b)x+C 17

Z

p

a2−x2dx= x p

a2−x2

2 +

a2

2 arcsin

x a+C

9

Z

eaxcosbxdx=e

ax(acosbx)+bsinbx

a2+b2 +C 18

Z

eaxsinbxdx=e

ax(asinbx)−bcosbx

a2+b2 +C

3 CÁC DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP 3.1 Tính nguyên hàm bảng nguyên hàm

Phương pháp giải

1 Tích đa thức lũy thừa−−−−−−−−−→PP khai triển

2 Tích hàm mũ−−−−−−−−−→PP khai triển theo công thức mũ

3 Chứa căn−−−−−−−−−→PP chuyển lũy thừa

4 Tích lượng giác bậc sin cosin−−−−−−−−−→PP Sử dụng cơng thức tích thành tổng

• sinacosb=1

2[sin(a+b)+sin(a−b)]

• sinasinb=1

2[cos(a−b)−cos(a+b)]

• cosacosb=1

2[cos(a+b)+cos(a−b)]

5 Bậc chẵn sin cosin⇒Hạ bậc:sin2x=1

2−

2cos 2a,cos 2x

=1 2+

1

2cos 2a

6 Nguyên hàm hàm số hữu tỷI=

Z P(x)

Q(x)dx, vớiP(x),Q(x)là đa thức

• Nếu bậc tử sốP(x)≥bậc mẫu sốQ(x)−−−−−−−−−→PP Chia đa thức

• Nếu bậc tử sốP(x)<bậc mẫu sốQ(x)−−−−−−−−−→PP Phân tích mẫu sốQ(x)thành tích số, sử dụng đồng thức đưa dạng tổng phân số (PP che)

(x−m)(ax2+bx+c)=

A x−m+

Bx+C

ax2+bx+c, với∆=b

2−4ac.

(x−a)2(x−b)2 =

A x−a+

B

(x−a)2+

C x−b+

D

(x−b)2

Nhận xét. Nếu mẫu khơng phân tích thành tích tìm hiểu phần đổi biến. 3.1.1 Bài tập vận dụng

Ví dụ 1. Tính nguyên hàm hàm số

f(x)=3x2+1

(7)

ĐS: x3+x

6 +C Lời giải: Ta cóF(x)=

Z µ

3x2+1

3x ¶

dx=x3+x

2

6 +C

Bài 1. Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)(giả sử điều kiện xác định), biết

1 f(x)=2x3−5x2−4x+7=

ĐS: 2x

4−5 3x

3−2x2+7x+C

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

¡

2x3−5x2−4x+7¢

dx=1

2x

−5 3x

3

−2x2+7x+C ä

2 f(x)=6x5−12x3+x2−8=

ĐS:x6−3x4+1 3x

3−8x+C

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

¡

6x5−12x3+x2−8¢

dx=x6−3x4+1

3x

−8x+C ä

3 f(x)=(x2−3x)(x+1)

ĐS:F(x)=1 4x

4−2 3x

3−3 2x

2+C

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

(x2−3x)(x+1)dx=

Z

(x3−2x2−3x)dx=1

4x

−2 3x

3 −3

2x

+C ä

4 f(x)=(x−1)(x2+2)

ĐS:F(x)=1 4x

4−1 3x

3+x2−2x+C

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

(x−1)(x2+2)dx=

Z

(x3−x2+2x−2)dx=1

4x

−1 3x

3

+x2−2x+C ä

5 f(x)=x(x2+1)2

ĐS:F(x)=1 6(x

2+1)3+C

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

x(x2+1)2dx= Z

(x2+1)2d(x 2+1)

2 =

1 6(x

2

+1)3+C ä

6 f(x)=(3−x)3

ĐS:F(x)= −1 4(3−x)

4+C

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

(3−x)3dx= −

Z

(3−x)3d(3−x)= −1 4(3−x)

4

+C ä

7 f(x)=(2x+1)5

ĐS:F(x)=

12(2x+1) 6+C

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

(2x+1)5dx= Z

(2x+1)5d(2x+1)

2 =

1

12(2x+1)

(8)

8 f(x)=(2x−10)

ĐS:F(x)=

4038(2x−10)

2019+C

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

(2x−10)2018dx=1

2 Z

(2x−10)2018d(2x−10)=

4038(2x−10) 2019

+C ä

9 f(x)=(3−4x)2019

ĐS:F(x)= −

8080(3−4x)

2020+C

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

(3−4x)2019dx= −1 Z

(3−4x)2019d(3−4x)= −

8080(3−4x) 2020

+C ä

10 f(x)=(2x2−1)2

ĐS:F(x)=4 5x

5−4 3x

3+x+C

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

(2x2−1)2dx=

Z ¡

4x4−4x2+1¢ dx=4

5x

−4 3x

3

+x+C ä

11 f(x)=(x2+1)3

ĐS:F(x)=1 7x

7+3 5x

5+x3+x+C

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

(x2+1)3dx=

Z ¡

x6+3x4+3x2+1¢ dx=1

7x

+3 5x

5

+x3+x+C ä Ví dụ 2. Tìm ngun hàmF(x)của hàm số f(x)=4x3−4x+5thỏa mãn F(1)=3

ĐS:F(x)=x4−2x2+5x−1 Lời giải:Ta cóF(x)=

Z

f(x)dx= Z

¡

4x3−4x+5¢

dx=x4−2x2+5x+C VìF(1)=3⇔1−2+5+C=3⇔C= −1

Suy raF(x)=x4−2x2+5x−1

Bài 2. Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)thỏa mãn điều kiệnF(x◦)=k

1 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)= −x3+3x2−2xthỏa mãnF(1)=0

ĐS:F(x)= −x

4 +x

3−x2+1

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

f(x) dx= Z

¡

−x3+3x2−2x¢dx= −x

4 +x

−x2+C VìF(1)=0nênC=1

4 Suy raF(x)= −

x4

4 +x

3−x2+1

4 ä

2 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=3x3−2x2+1thỏa mãn F(−2)=3

ĐS:F(x)=3x

4 − 2x3

3 +x− 37

3

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

f(x) dx=

Z ¡

3x3−2x2+1¢

dx=3x

4

4 − 2x3

3 +x+C

VìF(−2)=3nênC= −37

3 Suy raF(x)= 3x4

4 − 2x3

3 +x− 37

(9)

3 GọiF(x)là nguyên hàm hàm sốf(x)= −5x4+4x2−6thỏa mãnF(3)=1 TínhF(−3)

ĐS:F(−3)=451

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

f(x) dx=

Z ¡

−5x4+4x2−6¢dx= −x5+4x

3

3 −6x+C

VìF(3)=1nênC=226 Suy raF(x)= −x5+4x

3

3 −6x+226

Do đóF(−3)=451 ä

4 Hàm số f(x)=x3+3x2+2có nguyên hàmF(x)thỏaF(2)=14 TínhF(−2)

ĐS:F(−2)= −10

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

f(x) dx=

Z ¡

x3+3x2+2¢

dx=x

4

4 +x

+2x+C VìF(2)=14nênC= −2 Suy raF(x)= x

4

4 +x

3+2x−2.

Do đóF(−2)= −10 ä

5 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=(1−x)9thỏa10F(2)=9

ĐS:F(x)= −(1−x) 10

10 +1

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

f(x) dx=

Z ¡

(1−x)9¢

dx= −(1−x)

10

10 +C

Vì10F(2)=9nênC=1 Suy raF(x)= −(1−x) 10

10 +1 ä

6 Hàm số f(x)=(2x+1)3 có nguyên hàm lF(x)thaF

à ả

=4 TớnhF

à ả

S:F

à ả

=34

-Li giải.

Ta cóF(x)= Z

f(x) dx=

Z ¡

(2x+1)3¢

dx=(2x+1)

4

8 +C

VỡF

à ả

=4nờnC=2 Suy raF(x)=(2x+1)

8 +2

Do đóF

µ ¶

=34 ä

7 Hàm số f(x)=(1−2x)5 có ngun hàm làF(x)thỏaF

µ −1

2 ¶

=2

3 TínhF(1) S:F

à ả

=71 12

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

f(x) dx= Z

¡

(1−2x)5¢dx= −(1−2x)

12 +C

VỡF

à

2 ả

=2

3 nênC=6 Suy raF(x)= −

(1−2x)6 12 +6

Do úF

à ả

=71

(10)

8 Gọi F(x)là nguyên hàm hàm số f(x)=(2x−3)2 thỏa F(0)=

3 Tính giá trị biểu thức

P=log2[3F(1)−2F(2)]

ĐS:P=log2[3F(1)−2F(2)]=2

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

f(x) dx=

Z ¡

(2x−3)2¢

dx=(2x−3)

3

6 +C

VìF(0)=1

3 nênC= 29

6 Suy raF(x)=

(2x−3)3 +

29

6 ⇒F(1)= 13

3 ;F(2)=5

Do đóP=log2[3F(1)−2F(2)]=2 ä

9 GọiF1(x)là nguyên hàm hàm số f1(x)=x(x+2)2thỏaF1(0)=1vàF2(x)là nguyên hàm hàm số f2(x)=x3+4x2+5thỏaF2(0)= −2 Tìm nghiệm phương trìnhF1(x)=F2(x)

ĐS: ½

1;3 ¾

-Lời giải.

Ta cóF1(x)= Z

f1(x) dx= Z

x(x+2)2dx= Z

¡

x3+4x2+4x¢dx= x

4 + 4x3

3 +2x

+C VìF1(0)=1nênC=1 Suy raF1(x)= x

4

4 + 4x3

3 +2x

2+1 (1).

Tương tựF2(x)= Z

f2(x) dx=

Z ¡

x3+4x2+5¢

dx=x

4

4 + 4x3

3 +5x+C

VìF2(0)= −2nênC= −2 Suy raF2(x)= x

4 + 4x3

3 +5x−2 (2)

Từ(1)và(2), ta cóF1(x)=F2(x)⇔2x2+1=5x−2⇔2x2−5x+3=0⇔ 

 

x=1

x=3

2

ä

10 GọiF1(x)là nguyên hàm hàm số f1(x)=(x+1)(x+2)thỏaF1(0)=0và F2(x)là nguyên hàm hàm số f2(x)=x2+x−2thỏa F2(0)=0 Biết phương trình F1(x)=F2(x)có hai nghiệm

x1, x2 Tính2x1+2x2 . ĐS: 17

16

-Lời giải.

Ta cóF1(x)= Z

f1(x) dx=

Z

(x+1)(x+2) dx=

Z ¡

x2+3x+2¢

dx=x

3

3 + 3x3

2 −2x+C

VìF1(0)=0nênC=0 Suy raF1(x)= x

3 + 3x3

2 −2x (1)

Tương tựF2(x)= Z

f2(x) dx=

Z ¡

x2+x2−2¢

dx= x

3

3 +

x2

2 −2x+C

VìF2(0)=0nênC=0 Suy raF2(x)= x

3 +

x2

2 −2x (2)

Từ(1)và(2), ta cóF1(x)=F2(x)⇔ 3x

2 +2x=

x2

2 −2x⇔x

2+4x=0⇔ 



x=0

x= −4

Khi đó20+2−4=17

16 ä

Ví dụ 3. Tìm nguyên hàmF(x)của hàm sốf(x)(giả sử điều kiện xác định).f(x)=x2−3x+1

x⇒ F(x)=

Z

(11)

ĐS: x

3 − 2x

2+ln|x| +C

Lời giải: Ta cóF(x)= Z µ

x2−3x+1

x

¶

dx= x

3 − 2x

2

+ln|x| +C

Bài 3. Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)(giả sử điều kiện xác định)

1 f(x)=3x2+1

x−2⇒F(x)=

Z

f(x) dx=

ĐS:x3+ln|x| −2x+C

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z µ

3x2+1 x−2

¶

dx=x3+ln|x| −2x+C ä

2 f(x)=3x2−2 x−

1

x2 ⇒F(x)= Z

f(x) dx=

ĐS:x3−2 ln|x| +1 x+C

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z µ

3x2−2 x−

1

x2 ¶

dx=x3−2 ln|x| +1

x+C ä

3 f(x)=x

2−3x+1

x ⇒F(x)=

Z x2

−3x+1

x dx=

=

ĐS: x

2 −3x+ln|x| +C

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z x2

−3x+1

x dx=

Z µ

x−3+1

x

¶

dx=x

2

2 −3x+ln|x| +C ä

4 f(x)=2x

4−x2−3x

x2 ⇒F(x)= Z 2x4

−x2−3x

x2 dx= =

ĐS: 2x

3 −x−3 ln|x| +C

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z 2x4

−x2−3x

x2 dx=

Z µ

2x2−1−3

x

¶

dx=2x

3

3 −x−3 ln|x| +C ä

5 f(x)=

2x−1 ĐS:

2ln|2x−1| +C

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z 1

2x−1dx=

Z d(2x −1) 2x−1 =

1

2ln|2x−1| +C ä

6 f(x)=

3−4x

ĐS:−1

4ln|3−4x| +C

(12)

Ta cóF(x)=

3−4xdx= −4

−

3−4x = −4ln|3−4x| +C ä

7 f(x)=

3x+1 ĐS:

3ln|3x+1| +C

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

5

3x+1dx= Z

d(3x+1) 3x+1 =

5

3ln|3x+1| +C ä

8 f(x)=

2−4x

ĐS:−3

4ln|2−4x| +C

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z 3

2−4xdx= −

3

Z d(2 −4x) 2−4x = −

3

4ln|2−4x| +C ä

9 f(x)= 5−2x+

2

x+

3

x2 ĐS:−ln|5−2x| +2 ln|x| −3

x+C

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z µ

2 5−2x+

2

x+

3

x2 ¶

dx= − Z

d(5−2x) 5−2x +2

Z

xdx+3

Z

x2dx= −ln|5−2x| +2 ln|x| −

x+C ä

10 f(x)= 2x+1+

5

x−

2

x2 ĐS:2 ln|2x+1| +5 ln|x| +2

x+C

-Lời giải.

Ta có F(x)= Z µ

4 2x+1+

5

x−

2

x2 ¶

dx=2

Z d(2x +1) 2x+1 +5

Z 1

xdx−2

Z 1

x2dx=2 ln|2x+1| +5 ln|x| +

x+C ä

11 f(x)= 12 (x−1)2+

2

2x−3 ĐS:− 12

x−1+ln|2x−3| +C

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z µ

12 (x−1)2+

2 2x−3

¶

dx=12 Z

(x−1)−2d(x−1)+

Z d(2x−3) 2x−3 = −

12

x−1+ln|2x−3|+C ä

12 f(x)= (3x−1)2−

9

3x−1 ĐS:−

3x−1−3 ln|3x−1| +C

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z µ

6 (3x−1)2−

9 3x−1

¶ dx=2

Z

(3x−1)−2d(3x−1)−3

Z d(3x −1) 3x−1 = −

2

3x−1−3 ln|3x−

(13)

Ví dụ 4. Tìm ngun hàmF(x)của hàm sốf(x)(giả sử điều kiện xác định) f(x)=1

x+

1 (2−x)2− 2x⇒F(x)=

Z

f(x) dx=

ĐS:ln|x| −

x−2−x 2+C Lời giải: Ta cóF(x)=

Z µ

x+

1 (2−x)2−2

¶

dx=ln|x| − x−2−x

2 +C

1 f(x)=

x3−

x2+

x4 ⇒F(x)= Z

f(x) dx=

ĐS:− 2x2+

2

x−

4 3x3+C

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z µ

1

x3−

x2+

x4 ¶

dx= −

2x2+

x−

4

3x3+C ä

2 f(x)=

(2x−1)3⇒F(x)= Z

f(x) dx=

ĐS:−

2(2x−1)2+C

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z µ

2 (2x−1)3

¶

dx= −

2(2x−1)2+C ä

1 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=

2x−5 thỏa mãnF(1)=2 ln p

3

ĐS:F(x)=1

2ln|2x−5| + 2ln

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

f(x) dx= Z

1

2x−5dx=

2ln|2x−5| +C

VìF(1)=2 lnp3nênC=1

2ln Suy raF(x)=

2ln|2x−5| +

2ln ä

2−10x thỏa mãnF(2)=3 ln

ĐS:F(x)= −1

2ln|10x−2| +

2ln 18+3 ln

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

f(x) dx=

Z 5

2−10xdx= −

1

2ln|10x−2| +C

VìF(2)=3 ln 2nênC=1

2ln 18+3 ln Suy raF(x)= −

2ln|10x−2| +

2ln 18+3 ln ä

3 BiếtF(x)là nguyên hàm hàm sốf(x)=

x−1 F(2)=1 TínhF(3) ĐS:F(3)=ln 2+1

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

f(x) dx=

Z 1

x−1dx=ln|x−1| +C

(14)

4 BiếtF(x)là nguyên hàm hàm sốf(x)=

2x+1 vàF(0)=2 TínhF(e) ĐS:F(e)=ln (2e+1)+2

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

f(x) dx=

Z 1

2x+1dx=ln|2x+1| +C

VìF(0)=2nênC=2 Suy raF(x)=ln|2x+1| +2 Do đóF(e)=ln (2e+1)+2 ä

5 cho hàm số y=f(x)thỏa mãn f0(x)=

2x−1 f(1)=1 Tính f(5) ĐS: f(5)=2 ln 3+1

-Lời giải.

Ta có f(x)= Z

f0(x) dx=

Z 1

2x−1dx=ln|2x−1| +C

Vì f(1)=1nênC=1 Suy f(x)=ln|2x−1| +1 Do f(5)=2 ln 3+1 ä

6 Cho hàm số f(x)xác định thỏa mãn f0(x)=

2x−1, f(0)=1 f(1)=2 Giá trị biểu thức

P=f(−1)+f(3)

ĐS: f(−1)+f(3)=3+ln 15

-Lời giải.

Ta có f(x)= Z

f0(x) dx= Z 2

2x−1dx=ln|2x−1| +C, với mọix

Xét

à ;1

2 ả

Ta cú f(0)=1, suy raC=1 Do đó, f(x)=ln|2x−1| +1, với mọix∈

à ;1

2 ả

Suy f(1)=1+ln Xột trờn

à 2;+

ả

Ta có f(1)=2, suy raC=2

Do đó, f(x)=ln|2x−1| +2, vi mi

à 2;+

ả

Suy f(3)=2+ln Vậy f(−1)+f(3)=3+ln 3+ln 5=3+ln 15

Mấu chốt tốn tính chất hàm f(x), hàm f(x)là hàm phân nhánh (hàm cho nhiều biểu thức) thường xuất tốn tích phân, ngun hàm thơng thường Nắm điểm này, ta viết biểu thức f(x)một cách rõ ràng, tìm giá trị cụ thể củaC ä

7 Cho hàm số f(x) xác định thỏa mãn f0(x)=

x−1, f(0)=3 f(2)=4 Giá trị biểu thức

P=f(−2)+f(5)

ĐS: f(−2)+f(5)=5+2 ln 2+ln

-Lời giải.

Ta có f(x)= Z

f0(x) dx=

Z 2

x−1dx=ln|x−1| +C, với mọix

Xét trên(−∞; 1) Ta có f(0)=3, suy raC=1

Do đó, f(x)=ln|x−1| +1, với mọix∈(−∞; 1) Suy f(−2)=1+ln Xét trên(1;+∞) Ta có f(2)=4, suy raC=4

Do đó, f(x)=ln|x−1| +4, với

à 2;+

ả

(15)

Vậy f(−2)+f(5)=5+2 ln 2+ln ä

8 Cho hàm số f(x)xác định thỏa mãn f0(x)=

3x−1, f(−2)=2và f(1)=1 Giá trị biểu thức

P=f(−1)+f(4)

ĐS: f(−1)+f(4)=3+2 ln 2−ln 7+2 ln 11

-Lời giải.

Ta có f(x)= Z

f0(x) dx=

Z 6

3x−1dx=2 ln|3x−1| +C, với mọix

Xột trờn

à ;1

3 ả

Ta có f(−2)=2, suy raC=2−ln Do đó, f(x)=2 ln|3x−1| +2−ln 7, với mọix∈

µ −∞;1

3 ¶

Suy f(−1)=2+4 ln 2−ln Xét trờn

à 3;+

ả

Ta có f(1)=1, suy raC=1−2 ln Do đó, f(x)=2 ln|3x−1| +1−2 ln 2, với

µ 3;+∞

¶

Suy f(4)=1+2 ln 11−2 ln

Vậy f(−1)+f(4)=3+2 ln 2−ln 7+2 ln 11 ä Bài 6.

1 Cho hàm số f(x)xác định trênR? thỏa mãn f00(x)=

x2, f(−1)=1, f(1)=0và f(2)=0 Giá trị

biểu thức f(−2)bằng

A 1+2 ln B 2+ln C 3+ln D ln

ĐS: f(−2)=1+2 ln

-Lời giải.

Ta có f0(x)= Z

f00(x) dx=

Z 1

x2dx= −

x+C1

Suy ra, f(x)= Z

f0(x) dx=

Z · −1

x+C1

¸

dx= −ln|x|+C1x+C2=

 



−ln(x)+C1x+C21 khix>0 −ln(−x)+C1x+C22 khix<0

Với f(−1)=1, f(1)=0và f(2)=0, ta có hệ

    

   

f(−1)=ln(1)+C1·(−1)+C22=1

f(1)=ln(1)+C1·(1)+C21=0

f(2)=ln(2)+C1·(2)+C21=0 ⇔

    

   

−C1+C22=1

C1+C21=0 2C1+C21= −ln(2)

⇔     

   

C1= −ln

C21=ln

C22=1+ln

Khi đó, f(x)=  



−lnx−xln 2+ln khix>0 −ln(−x)−xln 2+1+ln x<0

Vậy f(−2)=1+2 ln

Chọn đáp án A ä

2 Cho hàm số f(x)xác định trênR\{2}thỏaf0(x)= |2x−4|, f(1)=1và f(3)= −2 Giá trị biểu thức

f(−1)+f(4)bằng bao nhiêu?

A −6 B C −14 D

ĐS:−6

(16)

Ta có|2x−4| = 



2x−4 khix>2 4−2x khix<2

Khi đó, f(x)= Z

f0(x) dx=  



x2−4x+C1 khix>2 4x−x2+C2 khix<2

mà

 



f(3)= −2

f(1)=1 ⇔  



32−4·3+C1= −2 4·1−12+C2=1 ⇔

 



C1=1

C2= −2⇔

f(x)=  



x2−4x+1 khix>2 4x−x2−2 khix<2

Vậy f(−1)+f(4)=4·(−1)−(−1)2−2+[42−4·4+1]= −6

3 Cho hàm số f(x)xác định trênR\ {−1; 1}thỏa f0(x)=

x2−1; f(−3)+f(3)=0và f µ −1 ¶ +f µ ¶

=2 Tính giá trị biểu thứcP=f(−2)+f(0)+f(4)

A ln 2−2 ln 3−ln B ln 3−ln 5+1

C ln 3−ln D ln 3−ln 5+6

ĐS:2 ln 3−ln 5+1

-Lời giải.

f(x)= Z

f0(x) dx=

Z 2

x2−1dx= Z

1

x1

x+1 ả

dx=ln|x−1| −1

2ln|x+1| +C

Hay f(x)=ln ¯ ¯ ¯ ¯

x−1

x+1 ¯ ¯ ¯ ¯+ C=                  ln µx −1

x+1 ¶

+C1 khix>1 ln

à1 x x+1 ả

+C2 1<x<1 ln

àx

x+1 ả

+C3 khix< 1

Theo đề ta có

  



f(3)+f(3)=0

f ả +f µ ¶

=2⇔       

ln 2+C1+ln

2+C3=0 ln 3+C2+ln1

3+C2=2 ⇔

 



C1+C3=0

C2=1

Do f(−2)+f(0)+f(4)=ln 3+C3+C2+ln

5+C1=ln 3+ln 3−ln 5+1=2 ln 3−ln 5+1

Chọn đáp án B ä

4 Cho hàm số f(x)xác định trờnR\ ẵ

1;1 ắ

tha f0(x)= 4x+1

2x2+x1; f(1)+f(2)=0; f

3 ả

=ln 20

và f(0)+f(1)=0 Tính giá trị biểu thc f(3)+f(3)+f

à

2 ả

A ln

7 ả

B −ln

C ln D ln 14

S:ln ả

-Li gii.

Ta có f(x)= Z

f0(x) dx=

Z 4x +1

2x2+x−1dx=

Z 1

2x2+x−1d(2x

+x−1)=ln|2x2+x−1| +C

Khi đó, f(x)=             

ln(2x2+x−1)+C1 khix< −1 ln(1−x−2x2)+C2 −1<x<1

2 ln(2x2+x−1)+C3 khix>1

(17)

Mà           

f(1)+f(−2)=0

f

à ả

=ln 20

f(0)+f(1)=0 ⇔         

ln 2+C3+ln 5+C1=0 ln 5+C3=ln 20

ln 1+C2+ln 2+C3=0 ⇔         

C1+C3= −ln 10

C3=ln

C2+C3= −ln ⇔         

C1= −ln 40

C2= −ln

C3=ln

Khi đó, f(−3)+f(3)+f

µ −1

2 ¶

=ln 14+C1+ln 20+C3+C2=ln 14−ln 40+ln 20+ln 4ln 8=ln

7 ả

5 Cho hàm số f(x)xác định trênR\ {1; 2}thỏa f0(x)= |x−1| +|x−2|; f(0)+f

à ả

=0v f(4)=2 Tớnh giỏ tr ca biu thcP=f(1)+f

à ả

+f(3)bằng

A −

26 B −

35 C −3

2 D −

5 36

ĐS:−35

-Lời giải.

Ta có f0(x)= |x−1| + |x−2| =         

3−2x khix<1 khi1<x<2 2x−3 khix>2

Khi f(x)= Z

f0(x) dx=

        

3x−x2+C1 khix<1

x+C2 khi1<x<2

x2−3x+C3 khix>2

Mà     

f(0)+f

à ả

=0

f(4)=2

    

C1+4

3+C2=0 4+C3=2

⇔     

C1+C2= −4

3

C3= −2

Suy f(−1)+f

à ả

+f(3)=(4+C1)+

3 2+C2

¶

+C3= −5

2−

3−2= − 35

6

6 Cho hàm số f(x)xác định trênR\ {0}thỏa f0(x)=xln|x|; f(−1)=3

4 f(2)= −1 Tính giá trị

biểu thứcP=f(−2)+f(1) ĐS:P= −1

4

-Lời giải.

f0(x)=  



xlnx khix>0

xln(−x) khix<0

Đặt

 



u=lnx

dv=xdx⇒

      

du=1

xdx v= x

2

Khi đó,

Z

xlnxdx=x

2 lnx−

x

(18)

Tương tự ta có

f(x)=    

  

x2

2 lnx−

x

2+C1 khix>0

x2

2 ln(−x)+

x

2+C2 khix<0

Mà f(−1)=3 4⇔ −

1

2+C2=

4⇒C2=

và f(2)= −1⇔2 ln 2−1+C1= −1⇔C1= −2 ln

Do đó,P=f(−2)+f(1)= −ln 2−1+C2−1

2+C1=2 ln 2− 2+

5

4−2 ln 2= −

4 ä

7 Cho f0(x)=2x+1; f(1)=5 phương trình f(x)=5 có hai nghiệm x1;x2 Tính tổng log2|x1| +

log2|x2| ĐS:1

-Lời giải.

f(x)= Z

f0(x) dx=

Z

(2x+1) dx=x2+x+C Mà f(1)=5⇔2+C=5⇔C=3

Mặt khác f(x)=5có hai nghiệmx1;x2, nênx2+x+3=5có hai nghiệm1;−2

Suy ralog2|x1| +log2|x2| =log2|x1·x2| =log2|−2| =1 ä

8 Cho f0(x)= (2x−1)2 −

1

(x−1)2 thỏa f(2)= −

3 Biết phương trình f(x)= −1 có nghiệm

x=x0 Tính2017x0. ĐS:1

-Lời giải.

Ta có f(x)= Z

f0(x) dx=

Z · (2x−1)2−

1 (x−1)2

¸

dx= −

2x−1+

x−1+C

Mà f(2)= −1 3⇔ −

1

3+1+C1= −

3⇔C1= −1

Phương trình f(x)= −1 ⇔ − 2x−1+

1

x−1−1= −1 có nghiệm x=0, suy 2017

x0 = 20070=1

ä

9 Cho hàm số có đạo hàm cấp hai f00(x)=12x2+6x−4và thỏa f(0)=1, f(1)=3 Tính giá trị

hàm số f(x)tạix= −1 ĐS:−3

-Lời giải.

Ta có f0(x)= Z

f00(x) dx=

Z

(12x2+6x−4) dx=4x3+3x2−4x+C1

f(x)= Z

f0(x) dx=

Z

(4x3+3x2+C1) dx=x4+x3−2x2+C1x+C2 Mà

 



f(0)=1

f(1)=3⇔  



C2=1

C1+C2=3⇔  



C1=2

C2=1

Suy f(x)=x4+x3−2x2+2x+1⇒ f(−1)= −3 ä

10 Tìm hàm số f(x), biết f0(x)=ax+ b

x2, f0(1)=0, f(1)=4và f(−1)=2 Tính f(2) ĐS:5

-Lời giải.

f(x)= Z

f0(x) dx=

Z µ

ax+ b x2

¶

dx=a

2x

−b

x+C

Ta có

     

    

f0(1)=0⇔a+b=0

f(1)=4⇔ a

2−b+C=4

f(−1)=2⇔ a

2+b+C=2 ⇔

     

    

a=1

b= −1

c=5

2

Suy ra, f(x)=1 2x

2+1

x+

5

(19)

11 Cho hàm số f(x)xác định trên[−1; 2]thỏa f(0)=1và f2(x)·f0(x)=1+2x+3x2 Hãy tìm giá trị nhỏ

nhất hàm số giá trị lớn hàm số f(x)trên[−1; 2] ĐS:m=f(−1)=p3−2và

M=f(2)=p3 43

-Lời giải.

Z

f2(x)·f0(x) dx=

Z

(1+2x+3x2) dx⇔1

3f 3(x)

=x3+x2+x+C⇔ f3(x)=3(x3+x2+x+C)

mà f(0)=1⇔ f3(0)=1⇔C=1

3 Suy ra, f

3(x)=3x3+3x2+3x+1⇒f(x)=p3

3x3+3x2+3x+1.

Mà f0(x)=1+2x+3x

f2(x) >0∀x, nên f(x)là hàm đồng biến

Vậy giá trị nhỏ hàm số làm=f(−1)=p3 −2và giá trị nhỏ hàm số làM=f(2)=p343

ä Ví dụ 5. Tìm ngun hàm hàm số f(x)thỏa f(x)=pnax+b⇒F(x)=

Z

n

p

ax+bdx=

ĐS:F(x)= n

(n+1)a·(ax+b) n

p

ax+b+C

Lời giải:Đặt t=pn ax+b⇒tn=ax+b⇒n·tn−1dt=a·dx Suy raF(x)=

Z n

·tn−1·t

a dt=

n

(n+1)a·t

n+1

+C= n

(n+1)a·(ax+b) n

p

ax+b+C Nhận xét.

Z

n

p

ax+bdx= n

(n+1)a·(ax+b) n

p

ax+b+C •Vớin=2, suy raF(x)=

Z p

ax+bdx=

3a(ax+b)

p

ax+b+C. •Vớin=3, suy raF(x)=

Z p

ax+bdx=

4a(ax+b) p

ax+b+C.

Bài 7. Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)thỏa mãn điều kiệnF(x0)=k

1 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=pxthỏa mãnF(4)=19

ĐS:F(x)=2 3x

p

x+1

-Lời giải.

F(x)= Z p

xdx=2

3x p

x+C

màF(4)=19 ⇒

2 34

p

4+C=19

3 ⇒C=1

VậyF(x)=2 3x

p

x+1 ä

2 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=p2x−1thỏa mãnF(1)=4 ĐS:F(x)=1

3(2x−1) p

2x−1+1

-Lời giải.

F(x)= Z p

2x−1 dx=

3·2(2x−1) p

2x−1+C

màF(1)=4 3⇒

1

3(2·1−1) p

2·1−1+C=4

3 ⇒C=1

VậyF(x)=1

3(2x−1) p

2x−1+1 ä

3 Tìm nguyên hmF(x)ca hm s f(x)=p4x5tha mónF

à ả

=2

ĐS:F(x)=1

6(4x−5) p

(20)

-Lời giải.

F(x)= Z p

2x−1 dx=

3·4(4x−5) p

4x−5+C

màF

µ ả

=21

4Ã9 45

¶… 4·9

4−5+C=2⇒C=

VậyF(x)=1

6(4x−5) p

4x−5+2

3 ä

4 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=p5−2xthỏa mãnF

µ ¶

= −7 ĐS:F(x)= −1

3(5−2x) p

5−2x+1

3

-Lời giải.

F(x)= Z p

5−2xdx=

3·(−2)(5−2x) p

5−2x+C= −1

3(5−2x) p

5−2x+C

màF

µ ¶

= −7 3⇒ −

1

52Ã1

ả

52Ã1

2+C= −

3⇒C=

VậyF(x)= −1

3(5−2x) p

5−2x+1

3 ä

5 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=p1−xthỏa mãnF(−3)=5

ĐS:F(x)= −2 3(1−x)

p

1−x+7

-Lời giải.

F(x)= Z p

1−xdx=

3·(−1)(1−x) p

1−x+C= −2

3(1−x) p

1−x+C

màF(−3)=5 3⇒ −

2

3(1−(−3)) p

1−(−3)+C=5

3⇒C=7

VậyF(x)= −2 3(1−x)

p

1−x+7

ä

6 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=p3 2x−4thỏa mãnF(−2)=1 ĐS:F(x)=3

8(2x−4) p

2x−4−23

-Lời giải.

F(x)= Z

3 p

2x−4 dx=

4·2(2x−4) p

2x−4+C=3

8(2x−4) p

2x−4+C

màF(−2)=1 4⇒

3

8(2·(−2)−4) p

2·(−2)−4+C=1

4⇒C= − 23

4

VậyF(x)=3

8(2x−4) p

2x−4−23

ä

7 GọiF(x)là nguyên hàm hàm sốf(x)=p3 x−2thỏa mãnF(3)=7

T=2log13[F(10)]+3log13[F(−6)].

ĐS:T=2log1312+3log1312

-Lời giải.

F(x)= Z

3 p

x−2 dx=3

4(x−2) p

x−2+C

màF(3)=7 4⇒

3 4(3−2)

3 p

3−2+C=7

(21)

VậyF(x)=3 4(x−2)

3 p

x−2+1, nênF(10)=13; F(−6)=13

VậyT=2log13[F(10)]+3log13[F(−6)]=2log1312+3log1312. ä

8 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=p3 3−5xthỏa mãnF(−1)= −8 ĐS:F(x)= −

20(3−5x) p

3−5x+4

5

-Lời giải.

F(x)= Z

3 p

3−5xdx=

4·(−5)(3−5x) p

3−5x+C= −

20(3−5x) p

3−5x+C

màF(−1)= −8 5⇒ −

3

20(3−5·(−1)) p

3−5·(−1)+C= −8

5⇒C=

VậyF(x)= −

20(3−5x) p

3−5x+4

5

ä

9 Cho f(x)= pn

ax+b⇒F(x)=

Z 1

n

p

ax+bdx=

ĐS:F(x)= n (n−1)a·

ax+b n

p

ax+b+C

-Lời giải.

Đặtt=pnax+b⇔tn=ax+b⇔n·tn−1dt=adx Suy ra,F(x)=

Z 1

n

p

ax+bdx=

Z n ·tn−1

at dt=

Z n ·tn−2

a dt= n

(n−1)a·t

n−1

+C= n (n−1)a·

ax+b n

p

ax+b+ C

ä Nhận xét.

Z 1

n

p

ax+bdx= n

(n−1)a·

ax+b n

p

ax+b+C.

•Vớin=2, suy raF(x)=

Z 1

p

ax+bdx=

2

a·

p

ax+b+C. •Vớin=3, suy raF(x)=

Z 1

3 p

ax+bdx=

3 2a·

3

p

(ax+b)2+C.

10 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=p

4x−1 thỏa mãnF(3)=3 p

11

ĐS:F(x)=p4x−1+2p11

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

f(x) dx=

Z 2

p

4x−1dx= 2·2

4 p

4x−1+C=p4x−1+C

MàF(3)=3p11⇔p4·3−1+C=3p11⇔C=2p11

VậyF(x)=p4x−1+2p11 ä

3x−1 thỏa mãnF(2)= p

5

ĐS:F(x)=2

p

3x−1+1

p

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

f(x) dx=

Z 2

p

3x−1dx=

p

3x−1+C

MàF(2)=p5⇔

p

3·2−1+C=p5⇔C=1

3 p

5

VậyF(x)=2

p

3x−1+1

p

(22)

1−2x thỏa mãnF −2 =2018

ĐS:F(x)= −p1−2x+2020

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

f(x) dx=

Z 1

p

1−2xdx=

2 −2

p

12x+C= p12x+C

MF

à

2 ả

=2018⇔ − …

1−2·−3

2 +C=2018⇔C=2020

VậyF(x)= −p1−2x+2020 ä

13 Biết

Z dx

p

x+2+px+1=a(x+2) p

x+2+b(x+1)px+1+Cvớia,blà số hữu tỷ vàClà số TínhS=3a+b

ĐS:S=4

3

-Lời giải.

F(x)=

Z dx

p

x+2+px+1=

Z (x+2)−(x+1) p

x+2+px+1dx=

Z (px+2−px+1)·(px+2+px+1) p

x+2+px+1 dx

F(x)= Z

(px+2−px+1) dx=2

3(x+2) p

x+2−2 3(x+1)

p

x+1+C

Ta cóa=2

3;b= −

3 nênS=3a+b=

3 ä

14 BiếtF(x)là nguyên hàm hàm số f(x)=p

x+px+1 thỏaF(0)=

T=3 [F(3)+F(2)]+4p2

ĐS:T=16

-Lời giải.

F(x)=

Z dx p

x+px+1= Z (x

+1)−x

p

x+px+1dx= Z (px

+1−px)·(px+1+px) p

x+2+px+1 dx

F(x)= Z

(px+1−px) dx=2 3(x+1)

p

x+1−2 3x

p

x+C

Ta cóF(0)=2 3⇔

2 3(0+1)

p

0+1−2 30

p

0+C=2

3 ⇔C=0,

T=3 [F(3)+F(2)]+4p2=3 ·

2 3(3+1)

p

3+1−2 33

p 3+2

3(2+1) p

2+1−2 32

p

¸

+4p2=16 ä

Ví dụ 6. Tìm ngun hàmF(x)của hàm số f(x)=p

2x+1−p2x−2 thỏaF(1)= p

2

ĐS:F(x)=1

3(2x+1) p

2x−1+1

3(2x−2) p

(23)

Lời giải: Ta có:

F(x)=

Z 3

p

2x+1−p2x−2dx=

Z 3¡p2x+1+p2x−2¢ ¡p

2x+1−p2x−2¢ ¡p2x+1+p2x−2¢dx =

Z 3¡p2x+1+p2x−2¢

3 dx

= Z ³p

2x+1+p2x−2´dx

= Z p

2x+1 dx+ Z p

2x−2 dx

=1

Z p

2x+1 d(2x+1)+1

Z p

2x−2 d(2x−2) =1

3(2x+1) p

2x−1+1

3(2x−2) p

2x−2+C

VìF(1)=p2nên suy rap3+C=p2⇒C=p2−p3 VậyF(x)=1

3(2x+1) p

2x+1+1

3(2x−2) p

2x−2+p2−p3

Bài 8.

1 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=p 9x

x+10+p10−8x thỏaF(0)=

p 10

ĐS:F(x)=2

3(x+10) p

x+10+

12(10−8x) p

10−8x−13

p 10

-Lời giải.

F(x)=

Z 9x

p

x+10+p10−8xdx=

Z 9x¡px+10−p10−8x¢ ¡p

x+10+p10−8x¢ ¡p

x+10−p10−8x¢dx =

Z 9x¡px+10−p10−8x¢

9x dx

= Z ³p

x+10−p10−8x´dx

= Z p

x+10 d(x+10)+1

Z p

10−8xd(10−8x) =2

3(x+10) p

x+10+

12(10−8x) p

10−8x+C

VìF(0)=p10nên suy 15

2 p

10+C=p10⇒C= −13

2 p

10 VậyF(x)=2

3(x+10) p

x+10+

12(10−8x) p

10−8x−13

2 p

10 ä

2 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=p 6x

3x+7−p7−3x thỏaF(2)=1

ĐS:F(x)=2

9(3x+7) p

3x+7−2

9(7−3x) p

7−3x+11 −

26

(24)

-Lời giải.

F(x)= Z

6x

p

3x+7−p7−3xdx=

Z 6x¡p3x+7+p7−3x¢ ¡p

3x+7−p7−3x¢ ¡p3x+7+p7−3x¢dx =

Z 6x¡p3x+7+p7−3x¢ 6x dx

= Z ³p

3x+7+p7−3x´dx

=1

Z p

3x+7 d(3x+7)−1

Z p

7−3xd(7−3x) =2

9(3x+7) p

3x+7−2

9(7−3x) p

7−3x+C

VìF(2)=1nên suy

913 p

13−2

9+C=1⇒C= 11

9 − 26

9 p

13 VậyF(x)=2

9(3x+7) p

3x+7−2

9(7−3x) p

7−3x+11

9 − 26

9 p

13 ä

(x+1)px−xpx+1 thỏaF(2)=2 p

2

ĐS:F(x)=2px+2px+1−2p3

-Lời giải.

F(x)=

Z 1

(x+1)px−xpx+1dx=

Z 1

p

xpx+1¡px+1−px¢dx =

Z ¡px+1+px¢ p

xpx+1¡px+1−px¢ ¡px+1+px¢dx =

Z px+1+px p

xpx+1 dx =

Z µ p

x+

1 p

x+1 ¶

dx

= Z 1

p

xdx+

1 p

x+1d(x+1) =2px+2px+1+C

VìF(2)=2p2nên suy ra2p2+2p3+C=2p2⇒C= −2p3

VậyF(x)=2px+2px+1−2p3 ä

(x+2)px+1+(x+1)px+2 thỏaF(3)=4

(25)

-Lời giải.

F(x)=

Z 1

(x+2)px+1+(x+1)px+2dx=

Z 1

p

x+1px+2¡px+2−px+1¢dx =

Z ¡px+2−px+1¢ p

x+2px+1¡px+2−px+1¢ ¡px+2+px+1¢dx =

Z px

+2−px+1 p

x+2px+1 dx =

Z µ p

x+1− p

x+2 ¶

dx

= Z 1

p

x+1d(x+1)− p

x+2d(x+2) =2px+1−2px+2+C

VìF(3)=4nên suy ra4−2p5+C=4⇒C=2p5

VậyF(x)=2px+1−2px+2+2p5 ä

(x+2)px−xpx+2 thỏaF(1)= p

3

ĐS:F(x)=2px+1−2px+2+2p5

-Lời giải.

F(x)=

Z 1

(x+2)px−xpx+2dx=

Z 1

p

xpx+2¡px+2−px¢dx =

Z ¡px+2+px¢ p

x+2px¡px+2−px¢ ¡px+2+px¢dx

= Z px

+2+px

2px+2px dx

= Z µ

1

1 p

x+

1

1 p

x+2 ¶

dx

= Z 1

2pxdx+

1

2px+2d(x+2) =px+px+2+C

VìF(1)=p3nên suy ra1+p3+C=p3⇒C= −1

VậyF(x)=px+px+2−1 ä

Ví dụ 7. Tìm ngun hàmF(x)của hàm số f(x)=x+sinxthỏa mãn điều kiệnF(0)=19

ĐS:F(x)=1 2x

2−cosx+20 Lời giải: Ta có:F(x)=

Z

(x+sinx) dx=1

2x

−cosx+C VìF(0)=19nên suy ra0−1+C=19⇒C=20

VậyF(x)=1 2x

2−cosx+20.

1 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=sinx−cosxthỏa mãn điều kiệnF³π

4 ´

=0

(26)

-Lời giải. Ta có:F(x)=

Z

(sinx−cosx) dx= −cosx−sinx+C VìF³π

4 ´

=0nên suy ra− p

2 −

p

2 +C=0⇒C= p

2

VậyF(x)= −cosx−sinx+p2 ä

2 BiếtF(x)là nguyên hàm hàm sốf(x)=2x−3 cosxvà F³π

2 ´

=π

4 TínhF(π)

ĐS:F(x)=x2−3 sinx+3

-Lời giải.

Ta có:F(x)= Z

(2x−3 cosx) dx=x2−3 sinx+C VìF

³π ´

=π

4 nên suy π2

4 −3+C=0⇒C=3

VậyF(x)=x2−3 sinx+3 ä

3 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)= ³

sinx 2−cos

x

2 ´2

thỏa mãn điều kiệnF³π

2 ´

=3π ĐS:F(x)=x+cosx+π

-Lời giải.

Ta có: F(x)= Z ³

sinx 2−cos

x

2 ´2

dx =

Z ³ sin2x

2−2 sin

x

2cos

x

2+cos 2x

2 ´

dx =

Z

(1−sinx) dx= x+

cosx+C VìF³π

2 ´

=3π

2 nên suy π 2+C=

3π

2 ⇒C=π

VậyF(x)=x+cosx+π ä

cos2x thỏa mãn điều kiệnF ³

−π ´

=2

ĐS:F(x)=2 tanx+4

-Lời giải.

Ta có:F(x)= Z 2

cos2xdx=2 tanx+C

VìF³−π

4 ´

=2nên suy ra−2+C=2⇒C=4

VậyF(x)=2 tanx+4 ä

sin2x thỏa mãn điều kiệnF

³ −π

6 ´

=0

ĐS:F(x)= −cotx−p3

-Lời giải.

Ta có:F(x)= Z 1

sin2xdx= −cotx+C

VìF³−π

6 ´

=0nên suy rap3+C=0⇒C= −p3

VậyF(x)= −cotx−p3 ä

6 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=x

µ

2+

xsin2x

¶

4 ´

= −1

ĐS:F(x)=x2−cotx−π

2

16

-Lời giải.

Ta có:F(x)= Z

x

à

2+

xsin2x

ả dx=

Z

2x+

sin2x

ả

(27)

VìF³π

4 ´

= −1nên suy π

2

16−1+C= −1⇒C= − π2 16

VậyF(x)=x2−cotx−π

2

16 ä

7 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=sinx+

cos2x thỏa mãn điều kiệnF ³

−π ´

= p

2 ĐS:F(x)= −cosx+tanx+p2+1

-Lời giải.

Ta có:F(x)= Z µ

sinx+ cos2x

¶

dx= −cosx+tanx+C VìF

³ −π

4 ´

= p

2

2 nên suy ra−

p

2 −1+C= p

2

2 ⇒C= p

2+1

VậyF(x)= −cosx+tanx+p2+1 ä

8 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=1+tan2xthỏa iu kinF

à 5

6 ả

= p

3 ĐS:F(x)=tanx+2

p 3

-Lời giải.

Ta có:F(x)= Z

¡

1+tan2xÂ

dx=tanx+C VỡF

à5

ả =

p

3 nên suy ra−

p 3 +C=

p

3 ⇒C= 2p3

3

VậyF(x)=tanx+2

p

3 ä

9 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=tan2xthỏa mãn điều kiệnF(0)=3

ĐS:F(x)=tanx−x+3

-Lời giải.

Ta có:F(x)= Z

tan2xdx= Z

¡

tan2x+1−1¢

dx=tanx−x+C VìF(0)=3nên suy ra0−0+C=3⇒C=3

VậyF(x)=tanx−x+3 ä

10 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=(tanx+cotx)2thỏa mãn điều kiệnF³π

4 ´

=3

ĐS:F(x)=tanx−cotx+3

-Lời giải.

Ta có:

F(x)= Z

(tanx+cotx)2dx= Z

¡

tan2x+2+cot2x¢ dx=

Z ¡

tan2x+1+cot2x+1¢ dx

=tanx−cotx+C

VìF³π

4 ´

=3nên suy ra1−1+C=3⇒C=3

VậyF(x)=tanx−cotx+3 ä

11 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)= cos 2x

sin2xcos2x thỏa mãn điều kiệnF ³π

4 ´

=0

ĐS:F(x)= −cotx−tanx+2

(28)

Ta có:F(x)= cos 2x

sin2xcos2xdx=

cos x−sin x

sin2xcos2x dx=

1 sin2x−

1

cos2x dx= −cotx−tanx+C

VìF³π

4 ´

=0nên suy ra−1−1+C=0⇒C=2

VậyF(x)= −cotx−tanx+2 ä

12 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=sin2x

2 thỏa mãnF

³π ´

=4

ĐS:F(x)=1 2x−

1

2sinx+ 9−π

4

-Lời giải.

Ta có:F(x)= Z

sin2x 2dx=

Z 1 −cosx

2 dx= 2x−

1

2sinx+C

VìF³π

2 ´

=4nên suy π

4−

2+C=4⇒C= 9−π

4

VậyF(x)=1 2x−

1

2sinx+ 9−π

4 ä

13 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=cos2x

2 thỏa mãnF

³π ´

=π

ĐS:F(x)=1 2x+

1

2sinx−

-Lời giải.

Ta có:F(x)= Z

cos2x 2dx=

Z 1

+cosx

2 dx= 2x+

1

2sinx+C

VìF³π

2 ´

=π

4 nên suy π 4+

1 2+C=

π

4⇒C= −

VậyF(x)=1 2x+

1

2sinx−

2 ä

Ví dụ 8. Tìm ngun hàmF(x)của hàm số f(x)=cos 2xthỏa mãn điều kiệnF³π

4 ´

=5 ĐS:F(x)=1

2sin 2x+2 Lời giải: Ta có:F(x)=

Z

cos 2xdx=1

2sin 2x+C

VìF³π

4 ´

=5

2 nên suy 2+C=

5

2⇒C=2

VậyF(x)=1

2sin 2x+2

1 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=sin(1−2x)thỏa mãn điều kiệnF

µ ¶

=1

ĐS:F(x)=1

2cos(1−2x)+

-Lời giải.

Ta có:F(x)= Z

sin(1−2x) dx= −1

2 Z

sin(1−2x) d(1−2x)=1

2cos(1−2x)+C

VìF

à ả

=1nờn suy

2+C=1⇒C=

VậyF(x)=1

2cos(1−2x)+

2 ä

2 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=cos4x−sin4xthỏa mãn điều kiệnF

³π ´

=3 ĐS:F(x)=1

(29)

-Lời giải. Ta có:F(x)=

Z ¡

sin cos4x−sin4x¢ dx=

Z ¡

cos2x−sin2x¢ ¡

cos2x+sin2x¢ dx=

Z

cos 2xdx=1

2sin 2x+

C VìF³π

4 ´

=3

2 nên suy 2+C=

3

2⇒C=1

VậyF(x)=1

2sin 2x+1 ä

3 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=cos4x+sin4xthỏa mãn điều kiệnF³π

4 ´

=3π 16 ĐS:F(x)=3

4x+

16sin 4x

-Lời giải.

Ta có:cos4x+sin4x=¡

cos2x+sin2x¢

−2 cos2xsin2x=1−1 2sin

22x =1−1

4(1−cos 4x)= 4+

1

4cos 4x

Do ú:F(x)= Z

Ă

cos4x+sin4xÂdx= Z à3

4+ 4cos 4x

¶

dx=3 4x+

1

16sin 4x+C

VìF³π

4 ´

=3π

16 nên suy 3π 16+C=

3π

16⇒C=0

VậyF(x)=3 4x+

1

16sin 4x ä

4 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=sinx(2+cosx)thỏa mãn điều kiện4F(0)=11

ĐS:F(x)= −1

2(2+cosx) 2+29

4

-Lời giải.

Ta có:F(x)= Z

sinx(2+cosx) dx= − Z

(2+cosx) d(2+cosx)= −1

2(2+cosx)

+C Vì4F(0)=11nên suy ra4

µ −9

2+C ¶

=11⇒C=29

4

VậyF(x)= −1

2(2+cosx) 2+29

4 ä

5 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=cos³3x+π

6 ´

3 ´

=5 ĐS:F(x)=1

3sin ³

3x+π

6 ´

+1

-Lời giải.

Ta có:F(x)= Z

cos³3x+π

6 ´

dx=1

3sin ³

3x+π

6 ´

+C VìF³π

3 ´

=5

6 nên suy ra− 6+C=

5

6⇒C=1

VậyF(x)=1 3sin

³ 3x+π

6 ´

+1 ä

6 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=cos 6x−cos 4xthỏa mãn điều kiệnF³π

8 ´

= p

2 12 ĐS:F(x)=1

6sin 6x−

4sin 4x+

-Lời giải.

Ta có:F(x)= Z

(cos 6x−cos 4x) dx=1

6sin 6x−

4sin 4x+C

VìF³π

8 ´

= p

2

12 nên suy p

2 12 −

1 4+C=

p

12 ⇒C=

VậyF(x)=1

6sin 6x−

4sin 4x+

(30)

7 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=sin 2x+3x thỏa mãn điều kiệnF(0)=0

ĐS:F(x)= −1

2cos 2x+x

+1

-Lời giải.

Ta có:F(x)= Z

¡

sin 2x+3x2¢

dx= −1

2cos 2x+x

+C VìF(0)=0nên suy ra−1

2+C=0⇒C=

VậyF(x)= −1

2cos 2x+x 3+1

2 ä

8 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=1+tan2x

2 thỏa mãn điều kiệnF ³π

2 ´

=5

ĐS:F(x)=2 tanx 2+3

-Lời giải.

Ta có:F(x)= Z ³

1+tan2x ´

dx=2 Z ³

1+tan2x ´

d³x ´

=2 tanx 2+C

VìF

³π ´

=5nên suy ra2+C=5⇒C=3 VậyF(x)=2 tanx

2+3 ä

sin2xcos2x thỏa mãn điều kiệnF ³π

4 ´

=3

ĐS:F(x)= −2 cot 2x+3

-Lời giải.

Ta có:F(x)=

Z 1

sin2xcos2xdx=

Z 4

sin22xdx=

Z 2

sin22xd(2x)= −2 cot 2x+C

VìF

³π ´

=3nên suy ra0+C=3⇒C=3

VậyF(x)= −2 cot 2x+3 ä

(cosx−sinx)2 thỏa mãn điều kiệnF(0)=1 ĐS:F(x)= −cot³x−π

4 ´

−1

-Lời giải.

Ta có:

F(x)=

Z 2

(cosx−sinx)2dx=

Z 2

³p

2 sin³x−π

4

´´2dx=

Z 1

sin2 ³

x−π

´d ³

x−π

4 ´

= −cot³x−π

4 ´

+C VìF(0)=1nên suy ra1+C=0⇒C= −1

VậyF(x)= −cot³x−π

4 ´

−1 ä

(cosx+sinx)2 thỏa mãn điều kiệnF(0)= ĐS:F(x)= −1

2cot ³

x+π

4 ´

+1

-Lời giải.

Ta có:

F(x)=

Z 1

(cosx+sinx)2dx=

Z 1

³p

2 sin³x+π

4

´´dx=

Z 1

2 sin2³x+π

4 ´d

³

x+π

4 ´

= −1 2cot

³

x+π

4 ´

+C VìF(0)=1

2 nên suy ra− 2+C=

1

2⇒C=1

VậyF(x)= −1 2cot

³

x+π

4 ´

(31)

12 Một nguyên hàm F(x) hàm số f(x)=a+bcos 2x thỏa mãn điều kiện F(0)= π 2, F

³π ´

= π

F

³ π 12

´ =π

3

ĐS:F(x)= −2 3x−

2π

9 sin 2x+ π

-Lời giải.

Ta có:F(x)= Z

(a+bcos 2x) dx=ax+1

2bsin 2x+C

VìF(0)=π 2,F

³π ´

=π vàF

³ π 12

´ =π

3 nên ta có hệ: 

     

     

C =π

2

aπ

2 +C = π

aπ

12+

b

4+C = π

⇔        

      

C=π

2

a=−2

3

b=−4π

9

VậyF(x)= −2 3x−

2π

9 sin 2x+ π

2 ä

13 Một nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=2 sin 5x+px+3

5 thỏa mãn điều kiện đồ thị hai hàm số

F(x)và f(x)cắt điểm nằm trục tung Tìm hàm sốF(x)

ĐS:F(x)= −2

5cos 5x+ 3x

p

x+3

5x+1

-Lời giải.

Ta có:F(x)= Z µ

2 sin 5x+px+3

5 ¶

dx= −2

5cos 5x+ 3x

p

x+3

5x+C

Đồ thị hàm số f(x)=2 sin 5x+px+3

5 cắt trục tung điểm A

0;3 ả

Vỡ đồ thị hai hàm sốF(x)và f(x)cắt điểm nằm trục tung nên suy raF(x)đi qua

imA

à 0;3

5 ả

Do đó:

−2 5+C=

3

5 ⇒C=1

VậyF(x)= −2

5cos 5x+ 3x

p

x+3

5x+1 ä

Ví dụ 9. Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=cos2xthỏa mãnF(0)=10

Lời giải:F(x)=1 2x+

1

4sin 2x+10

-Lời giải.

Ta có:F(x)= Z

cos2xdx=

Z 1

+cos 2x

2 dx= 2x+

1

4sin 2x+C

VìF(0)=10nên suy raC=10 VậyF(x)=1

2x+

4sin 2x+10 ä

1 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=sin22x, biết đồ thị hàm số y=F(x)đi qua điểm³π

2; π ´

ĐS:F(x)=1 2x−

1 8sin 4x

(32)

Ta có:F(x)= sin22xdx= −

2 dx=2x−8sin 4x+C

Vì đồ thị hàm sốy=F(x)đi qua điểm³π

2; π ´

nên suy ra:

π 4+C=

π

4 ⇒C=0

VậyF(x)=1 2x−

1

8sin 4x ä

2 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=(1+sinx)2thỏa mãnF(0)=0

ĐS:F(x)=3

2x−2 cosx−

4sin 4x+2

-Lời giải.

Ta có:

F(x)= Z

(1+sinx)2dx=

Z ¡

1+2 sinx+sin2xÂ dx=

Z

2+2 sinx 2cos 2x

¶ dx

=3

2x−2 cosx−

4sin 4x+C

VìF(0)=0nên suy ra−2+C=0⇒C=2 VậyF(x)=3

2x−2 cosx−

4sin 4x+2 ä

3 Một nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=4m π +sin

2x thỏa mãnF(0)=1và F³π ´

=π

8 Tìm giá thực

của tham sốm

ĐS:m= −3

4

-Lời giải.

Ta có:F(x)= Z µ

4m

+sin 2x

ả dx=

Z 4m

π + 2−

1 2cos 2x

ả dx=

à 4m

+ ¶

x−1

4sin 2x+C

VìF(0)=1vàF³π

4 ´

=π

8 nên ta có hệ 

 

 

C =1

m+π

8+ =

π

⇒   

 

C =1

m = −3

4

Vậym= −3

4 ä

4 Cho hàm số f(x)=a

π+cos2xTìm tất giá trị củaađể f(x)có nguyên hàmF(x)thỏa mãn

đồng thờiF(0)=1 vàF

³π ´

=π

ĐS:a=π 2−2

-Lời giải.

Ta có:F(x)= Z ³a

π+cos 2x´dx

= Z µa

π+ 2+

1 2cos 2x

ả dx=

àa +

1 ¶

x+1

4sin 2x+C

VìF(0)=1 F

³π ´

=π

4 nên suy ra: 

  

  

C =1

4

a

4+ π 8+

1

4+C = π

⇔  



C=

a= π

2−2

Vậya=π

2−2 ä

5 Tìm hàm số f(x), biết f0(x)=cos2 ³

x+π ´

và f(0)=13

ĐS: f(x)=1 2x+

1

(33)

-Lời giải. Ta có:f(x)=

Z

cos2³x+π

4 ´

dx=

Z µ 2+

1 2cos

³ 2x+π

2 ´¶

dx=

Z

1 2sin 2x

ả

dx=1

2x+

4cos 2x+C

Vì f(0)=13

4 nên suy 4+C=

13

4 ⇒C=3

Vậy f(x)=1 2x+

1

4cos 2x+3 ä

Ví dụ 10. Gọi F1(x)là nguyên hàm hàm số f1(x)=sin2x thỏa F1(0)=0 F2(x)là nguyên hàm hàm số f2(x)=cos2xthỏa mãnF2(0)=0 Giải phương trìnhF1(x)=F2(x)

ĐS:x=kπ

2 Lời giải: Ta có,F1(x)=

Z

sin2xdx=1

2 Z

(1−cos 2x)dx=1

2

x1

2sin 2x ả

+C

mF1(0)=01

01 2sin

ả

+C=0⇒C=0

Khi đó,F1(x)=1 µ

x−1

2sin 2x ¶

Tương tự,F2(x)= Z

cos2xdx=1

2 Z

(1+cos 2x)dx=1

2 µ

x+1

2sin 2x ả

+C

mF2(0)=01

0+1 2sin

¶

+C=0⇒C=0

Khi ú,F2(x)=1

x+1

2sin 2x ả

Theo đề bài,

F1(x)=F2(x) ⇒

2 µ

x1

2sin 2x ả

=1

x+1

2sin 2x ¶

⇒ sin 2x=0 ⇒ 2x=kπ

⇒ x=kπ

2

1 Tìm nguyên hàm hàm số f(x)=cos4xthỏa mãnF³π

4 ´

=p2

ĐS:F(x)=1 µ

3x+2 sin 2x+1

4sin 4x ¶

+8p2−2−3π

-Lời giải.

Ta có,

F(x) = Z

cos4xdx= Z µ

1+cos 2x

2 ¶2

dx=1 Z

¡

1+2 cos 2x+cos22xÂ

dx

=

Z

1+2 cos 2x+1+cos 4x

2 ¶

dx

= Z

(3+4 cos 2x+cos 4x)dx

= µ

3x+2 sin 2x+1

4sin 4x ¶

(34)

màF π

4 = 2⇒ π

4 +2 sin π

2+4sinπ +C= 2⇒C=8 2−2− π

Vậy ngun hàm cần tìm làF(x)=1 µ

3x+2 sin 2x+1

4sin 4x ¶

+8p2−2−3π

4 ä

2 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=sin42xthỏa mãnF(0)=3 ĐS:F(x)=1

8 µ

3x−sin 4x−1

8sin 8x ¶

+3

-Lời giải.

Ta có,F(x) = Z

sin42xdx= Z µ

1−cos 4x

2 ¶2

dx=1 Z

¡

1−2 cos 4x+cos24x¢dx

=

Z µ

1−2 cos 4x+1−cos 8x

2 ¶

dx=1

8 Z

(3−4 cos 4x−cos 8x)dx

= µ

3x−sin 4x−1 8sin 8x

ả +C

mF(0)=3

1

0−sin 0−1 8sin

¶

+C=3

8⇒C=

Vậy nguyên hàm cần tìm làF(x)=1

3xsin 4x1 8sin 8x

ả +3

8 ä

Ví dụ 11. Hàm số f(x)=sin 3xcosxcó nguyên hàm làF(x)thỏaF³π

6 ´

=15

16 TínhF ³π

4 ´

ĐS:F(x)=1 µ

−1

4cos 4x− 2cos 2x

¶ +1 Lời giải:

F(x) = Z

(sin 3xcosx)dx

= Z

(sin 4x+sin 2x)dx

= µ

−1

4cos 4x− 2cos 2x

¶ +C

Theo giả thuyết,F³π

6 ´

=15 16⇒

1 µ

−1 4cos

2π −

1 2cos

π ¶

+C=15

16⇒C=1

Vậy có ngun hàm cần tìm làF(x)=1 µ

−1

4cos 4x− 2cos 2x

¶ +1

Bài 13. Tìm ngun hàmF(x)của hàm số f(x)thỏa mãn điều kiệnF(x◦)=k

1 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=2 sinxcos 3xthỏa mãnF³π

2 ´

= −3

ĐS:F(x)= −cos 4x +

cos 2x

2 −

-Lời giải.

F(x)= Z

2 sinxcos 3xdx=

Z

(sin 4x+sin(−2x)) dx=

Z

(sin 4x−sin 2x) dx= −cos 4x

4 + cos 2x

2 +C

F

³π ´

= −3⇔ −cos 2π +

cosπ

2 +C= −3⇔ − 4+

−1

2 +C= −3⇔C= −

VậyF(x)= −cos 4x +

cos 2x

2 −

(35)

2 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=sin 4xcosxthỏa mãnF(π)=4

ĐS:F(x) =

2 µ

−cos 5x −

cos 3x

3 ¶

+56 15

-Lời giải.

F(x)= Z

sin 4xcosxdx=1

2 Z

(sin 5x+sin 3x) dx=1

2 µ

−cos 5x −

cos 3x

3 ¶

+C

F(π)=4⇔ µ

−cos 5π −

cos 3π

¶

+C=4⇔1 5+ ả

+C=4C=56

15

VậyF(x)=1 µ

−cos 5x −

cos 3x

3 ¶

+56

15 ä

3 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=cos 5xcosxthỏa mãnF³π

4 ´

=5

ĐS:F(x)=1 µ

sin 6x

6 + sin 4x

4 ¶

+61 12

-Lời giải.

F(x)= Z

cos 5xcosxdx=1 Z

(cos 6x+cos 4x) dx=1 µ

sin 6x

6 + sin 4x

4 ¶

+C

F³π

4 ´

=5⇔



 

sin 6π + sinπ  

+C=5⇔ µ −1 + ¶

+C=5⇔C=61

12

VậyF(x)=1 µ

sin 6x

6 + sin 4x

4 ¶

+61

12 ä

4 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=cos 6xcos 2xthỏa mãn F

³π ´

= −2

ĐS:F(x)=1 µ

sin 8x

8 + sin 4x

4 ¶

+ p

3−64 32

-Lời giải.

F(x)= Z

cos 6xcos 2xdx=1

2 Z

(cos 8x+cos 4x) dx=1

2 µ

sin 8x

8 + sin 4x

4 ¶

+C

F³π

6 ´

= −2⇔1



 

sin 8π +

sin 4π





+C= −2⇔      − p + p     

+C= −2⇔C=

p 3−64

32

VậyF(x)=1 µ

sin 8x

8 + sin 4x

4 ¶

+ p

3−64

32 ä

5 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=cos 2xcos 8xthỏa mãn F³π

8 ´

=2018

ĐS:F(x)=1

µsin 10x 10 +

sin 6x

6 ¶

+2018− p

2 60

-Lời giải.

F(x) = Z

cos 2xcos 8xdx

= Z

(cos 10x+cos(−6x)) dx

= Z

(cos 10x+cos 6x) dx

= µ

sin 10x

10 + sin 6x

6 ¶

(36)

F³π

8 ´

=2018

⇔



 

sin 10π 10 +

sin 6π





+C=2018

⇔



  

sin5π 10 +

sin3π



  +

C=2018

⇔



   

− p

2 10 +

p 2



   

+C=2018

⇔ C=2018− p

2 60

VậyF(x)=1 µ

sin 10x

10 + sin 6x

6 ¶

+2018− p

2

60 ä

6 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=sin 7xsinxthỏa mãnF³π

3 ´

= −7

ĐS:F(x)= −1 µ

sin 8x

8 − sin 6x

6 ¶

+ p

3 32 −7

-Lời giải.

F(x)= Z

sin 7xsinxdx= −1

2 Z

(cos 8x−cos 6x) dx= −1

2 µ

sin 8x

8 − sin 6x

6 ¶

+C

F³π

3 ´

= −7⇔ −1



 

sin 8π −

sin 6π





+C= −7⇔ −



   

p −

0 

   

+C= −7⇔C= p

3 32 −7

VậyF(x)= −1 µ

sin 8x

8 − sin 6x

6 ¶

+ p

3

32 −7 ä

7 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=sinxsin 3xthỏa mãnF³π

4 ´

=1 ĐS:F(x)= −1

2 µ

sin 4x

4 − sin 2x

2 ¶

+1

-Lời giải.

F(x) = Z

sinxsin 3xdx

= −1 Z

(cos 4x−cos(−2x)) dx

= −1 Z

(cos 4x−cos 2x) dx

= −1 µ

sin 4x

4 − sin 2x

2 ¶

(37)

F³π

4 ´

=1 ⇔ −1

2 

 

sin 4π 4 −

sin 2π



 +C=

1

⇔ −1



 

sinπ −

sinπ 2



 +C=

1 ⇔ −1

2

0

1 ả

+C=1 ⇔ C=1

4

VậyF(x)= −1 µ

sin 4x

4 − sin 2x

2 ¶

+1

4 ä

8 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=sin 10xsin 5xthỏa mãnF

³π ´

=9

ĐS:F(x)= −1 µ

sin 15x

15 − sin 5x

5 ¶

+133 15

-Lời giải.

F(x)= Z

sin 10xsin 5xdx= −1

2 Z

(cos 15x−cos 5x) dx= −1

2 µ

sin 15x

15 − sin 5x

5 ¶

+C

F³π

2 ´

=9⇔ −1



 

sin 15π 15 −

sin 5π





+C=9⇔ − µ

−1 15−

1 ¶

+C=9⇔C=133

15

VậyF(x)= −1 µ

sin 15x

15 − sin 5x

5 ¶

+133

15 ä

Ví dụ 12. Tìm ngun hàmF(x)của hàm số f(x)=e3xthỏa mãnF(0)=1

ĐS:F(x)=1 3e

3x+2

3 Lời giải: F(x)=

Z

e3xdx=1 3e

3x

+C

F(0)=1⇔ 3e

0+C=1⇔C=2

VậyF(x)=1 3e

3x

+2

1 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=e3x+1thỏa mãnF(0)= e

3 Tínhln

3[3F(1)].

ĐS:ln3[3F(1)]=64

-Lời giải.

F(x)= Z

e3x+1dx=1

3e

3x+1+C.

F(0)= e ⇔

1

3e+C=

e

3⇔C=0 ⇒F(x)=1

3e

3x+1⇒F(1)= e4 ln3[3F(1)]=ln3

· 3e

4

3 ¸

(38)

2 Tìm ngun hàmF(x)của hàm số f(x)=¡2+e3x¢2

thỏa mãnF(0)=

2 TínhF · ĐS:F

à ả

=3e

2 +12e

-Lời giải.

F(x)= Z

¡

2+e3x¢2 dx=

Z ¡

e6x+4e3x+4¢

dx= e

6x

6 + 4e3x

3 +4x+C

F(0)=3 2⇒

e0

6 + 4e0

3 +0+C= 2⇒

1 6+

4 3+C=

3

2⇒C=0 ⇒F(x)= e

6x

6 + 4e3x

3 +4x F

à ả

= e 613

6 + 4e313

3 +4 3=

e2

6 + 4e

3 +

3 ä

3 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=e−x(2ex+1)thỏa mãn F(0)=1

ĐS:F(x)=2x−e−x+2

-Lời giải.

F(x)= Z

e−x¡

2ex+1¢ dx=

Z ¡

2+e−x¢

dx=2x−e−x+C

F(0)=1⇒2·0−e0+C=1⇒C=2

VậyF(x)=2x−e−x+2 ä

4 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=ex(3+e−x)thỏa mãnF(ln 2)=3

ĐS:F(x)=3ex+x−4−ln

-Lời giải.

F(x)= Z

ex¡

3+e−x¢ dx=

Z ¡

3ex+1¢

dx=3ex+x+C

F(ln 2)=3⇒3eln 2+ln 2+C=2⇒C= −4−ln

VậyF(x)=3ex+x−4−ln ä

5 Tìm nguyên hàmF(x)của hm s f(x)=pe4x2tha mónF

1 ả

=1

ĐS:F(x)= e 2x−1

2 +

-Lời giải.

F(x)= Z

p

e4x−2dx= Z

e4x2−2dx= Z

e2x−1dx=e

2x−1 +C

F

à ả

=1 e 212−1

2 +C=1⇒C=

VậyF(x)= e 2x−1

2 +

2 ä

6 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=e3x−1−

x2 thỏa mãnF(1)=2+

e2

3· ĐS:F(x)=e

3x−1 +

1

x+1

-Lời giải.

F(x)= Z

e3x−1−

x2dx=

e3x−1 +

1

(39)

F(1)=2+e

3 ⇒

e3·1−1

3 +

1+C=2+

e2

3 ⇒C=1

VậyF(x)= e 3x−1

3 +

x+1 ä

7 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=2017x thỏa mãnF(1)=ln−12017

ĐS:F(x)= 2017

x

ln 2017− 2016 ln 2017

-Lời giải.

F(x)= Z

2017xdx= 2017

x

ln 2017+C

F(1)=ln−12017⇒ 2017

ln 2017+C=ln

−12017

⇒C= −2016

ln 2017

VậyF(x)= 2017

x

ln 2017− 2016

ln 2017 ä

8 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=3x−2x·3xthỏa mãnF(0)= − ln 6+2 ĐS:F(x)=

x

ln 3− 6x ln 6+2−

1 ln

-Lời giải.

F(x)= Z

3x−2x·3xdx=

Z

3x−6xdx=

x

ln 3− 6x ln 6+C

F(0)= −

ln 6+2⇒ 30 ln 3−

60

ln 6+C= −

ln 6+2⇒ ln 3−

1

ln 6+C= −

ln 6+2⇒C=2− ln

VậyF(x)=

x

ln 3− 6x ln 6+2−

1

ln ä

9 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=9x−3x2 thỏa mãnF(0)= ln 9+2

ĐS:F(x)=

x

ln 9−x 3+2

-Lời giải.

F(x)= Z

9x−3x2dx=

x

ln 9−x

+C

F(0)=

ln 9+2⇒ 90

ln 9−0+C=

ln 9+2⇒C=2

VậyF(x)=

x

ln 9−x

3+2. ä

10 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=4x22x+3thỏa mãnF(0)=

ln TínhA=

[ln 2·F(1)]3 210 · ĐS:A=32

-Lời giải.

F(x)= Z

4x22x+3dx=

Z

8·16xdx=8 16

x

ln 16+C=2 16x ln 2+C

F(0)= ln ⇒2

160 ln 2+C=

2

ln 2⇒C=0 ⇒F(x)=216

x

ln

A=[ln 2·F(1)]

210 = ·

ln 2·216

ln ¸3

(40)

11 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=22x3x7x thỏa mãnF(1)= ln 84·

ĐS:F(x)= 84

x

ln 84− 83 ln 84

-Lời giải.

F(x)= Z

22x3x7xdx=

Z

84xdx= 84

x

ln 84+C

F(1)= ln 84⇒

841

ln 84+C=

ln 84⇒C= − 83 ln 84

VậyF(x)= 84

x

ln 84− 83

ln 84 ä

12 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=2x3−2x thỏa mãnF(1)=2 9· ĐS:F(x)=

¡2

¢x ln29 +

2 Ã

1− ln29

!

-Lời giải.

F(x)= Z

2x3−2xdx=

Z µ

¶x dx=

¡2

¢x ln29 +C

F(1)=2 ⇒

¡2

¢1

ln29 +C=

9⇒C= Ã

1− ln29

!

VậyF(x)= ¡2

9 ¢x ln29 +

2 Ã

1− ln29

!

ä

Ví dụ 13. f(x)=2x+1

x−1 ⇒F(x)=

Z 2x+1

x−1 dx=

ĐS:F(x)=2x+3 ln|x−1| +C

Lời giải: F(x)= Z 2x

+1

x−1 dx= Z

2+

x−1dx=2x+3 ln|x−1| +C

1 f(x)=3x+1

x−2 ⇒F(x)= Z 3x

+1

x−2 dx=

ĐS:F(x)=3x+7 ln|x−2| +C

-Lời giải.

F(x)= Z 3x

+1

x−2 dx= Z

3+

x−2dx=3x+7 ln|x−2| +C ä

2 f(x)= x+1

2x+3⇒F(x)=

Z x+1 2x+3 dx=

ĐS:F(x)=x 2−

ln|2x+3| +C

-Lời giải.

F(x)= Z x

+1 2x+3dx=

Z 1 2−

1

2 (2x+3)dx=

x

2−

ln|2x+3|

2 +C ä

3 f(x)= x−1

3x+1⇒F(x)=

Z x−1 3x+1 dx=

ĐS:F(x)=x 3−

4 ln|3x+1| +C

-Lời giải.

F(x)= Z x

−1 3x+1dx=

Z 1 3−

4

3 (3x+1)dx=

x

3−

4 ln|3x+1|

(41)

4 f(x)=x

2+x+1

x+1 ⇒F(x)= Z

f(x)dx=

ĐS:F(x)= x

2 +ln|x+1| +C

-Lời giải.

F(x)= Z x2

+x+1

x+1 dx= Z

x+

x+1dx=

x2

2 +ln|x+1| +C ä

5 f(x)=4x

+6x+1

2x+1 ⇒F(x)= Z

f(x)dx=

ĐS:F(x)=x2+2x−ln|2x+1| +C

-Lời giải.

F(x)=

Z 4x2+6x+1 2x+1 dx=

Z

2x+2−

2x+1dx=x

+2x−ln|2x+1| +C ä

6 f(x)=x

2−x+2

2x+1 ⇒F(x)= Z

f(x)dx=

ĐS:F(x)=x

4 − 3x

4 +

11 ln|2x+1| +C

-Lời giải.

F(x)= Z x2

−x+2 2x+1 dx=

Z x 2−

3 4+

11

4 (2x+1)dx=

x2

4 − 3x

4 +

11 ln|2x+1|

4 +C ä

7 f(x)=4x

3+4x2−1

2x+1 ⇒F(x)= Z

f(x)dx=

ĐS:F(x)=2x

3 +

x2

2 −

x

2−

ln|2x+1| +C

-Lời giải.

F(x)= Z 4x3

+4x2−1 2x+1 dx=

Z

2x2+x−1 2−

1

2 (2x+1)dx= 2x3

3 +

x2

2 −

x

2−

ln|2x+1|

2 +C ä

8 f(x)=x

3−2x2+3x−5

2x+3 ⇒F(x)= Z

f(x)dx=

ĐS:F(x)=x

6 − 7x2

8 + 33x

8 −

139 ln|2x+3| +C

-Lời giải.

F(x)= Z x3

−2x2+3x−5 2x+3 dx=

Z x2 −

7x

4 + 33

8 − 139

8 (2x+3)dx=

x3

6 − 7x2

8 + 33x

8 −

139 ln|2x+3| +C ä

Ví dụ 14. Tìm nguyên hàm số f(x)=

x2−a2 ⇒F(x)=

Z

f(x)dx=

ĐS:F(x)= ln¯¯

¯

x−a x+a

¯ ¯ ¯ 2a +C

Lời giải: F(x)=

Z 1

x2−a2 dx= 2a

Z µ

x−a−

1

x+a

¶

dx= ln

¯ ¯ ¯

x−a x+a

¯ ¯ ¯ 2a +C

1 f(x)=

x2−4⇒F(x)= Z

f(x)dx=

ĐS:F(x)= ln

¯ ¯ ¯ ¯

x−2

(42)

-Lời giải.

F(x)= Z 1

x2−4dx= ln

¯ ¯ ¯ ¯

x−2

x+2 ¯ ¯ ¯ ¯

4 +C ä

2 f(x)=

x(x+1)⇒F(x)= Z

f(x)dx=

ĐS:F(x)=ln ¯ ¯ ¯

x x−1

¯ ¯ ¯+C

-Lời giải.

F(x)=

Z 1

x(x+1)dx= Z 1

x−

1

x+1dx=ln ¯ ¯ ¯

x x−1

¯ ¯

¯+C ä

3 f(x)=

x2+3x⇒F(x)= Z

f(x)dx=

ĐS:F(x)=ln ¯ ¯ ¯

x x+3

¯ ¯ ¯+C

-Lời giải.

F(x)=

Z 3

x2+3xdx= Z 1

x−

1

x+3dx=ln ¯ ¯ ¯

x x+3

¯ ¯

¯+C ä

4 f(x)=

x2−4x⇒F(x)= Z

f(x)dx=

ĐS:F(x)=ln ¯ ¯ ¯ ¯

x−4

x ¯ ¯ ¯ ¯+ C

-Lời giải.

F(x)=

Z 4

x2−4xdx= Z 1

x−4−

x dx=ln

¯ ¯ ¯ ¯

x−4

x

¯ ¯ ¯ ¯+

C ä

5 f(x)=

x2−6x+5⇒F(x)= Z

f(x)dx=

ĐS:F(x)=1 4ln

¯ ¯ ¯ ¯

x−5

x−1 ¯ ¯ ¯ ¯+

C

-Lời giải.

F(x)=

Z 1

x2−6x+5dx=

Z 1

(x−1)(x−5)dx=

Z 1

x−5−

x−1dx= 4ln ¯ ¯ ¯ ¯

x−5

x−1 ¯ ¯ ¯ ¯+

C ä

6 f(x)=

x2+4x−5⇒F(x)= Z

f(x)dx=

ĐS:F(x)=1 6ln

¯ ¯ ¯ ¯

x+5

x−1 ¯ ¯ ¯ ¯+

C

-Lời giải.

F(x)=

Z 1

x2+4x−5dx=

Z 1

(x+5)(x−1)dx=

Z 1

x−1−

x+5dx= 6ln ¯ ¯ ¯ ¯

x−1

x+5 ¯ ¯ ¯ ¯+

C ä

7 f(x)=

2x2−x−6⇒F(x)= Z

f(x)dx=

ĐS:F(x)=1 7ln ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

x−2

x+32

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ +C

-Lời giải.

F(x)= Z

1

2x2−x−6dx= Z

1

2(x+32)(x−2)dx= 2·

1 2+32

Z

x−2−

x+32 dx=

1 7ln ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

x−2

x+32

¯ ¯ ¯ ¯ ¯

(43)

8 f(x)=

2x2−3x−9⇒F(x)= Z

f(x)dx=

ĐS:F(x)=1 9ln

¯ ¯ ¯ ¯ ¯

x−3

x+32

¯ ¯ ¯ ¯ ¯

+C

-Lời giải.

F(x)=

Z 1

2x2−3x−9dx=

Z 1

2(x+32)(x−3)dx= 2·

1 3+32

Z 1

x−3−

x+32 dx=

1 9ln

¯ ¯ ¯ ¯ ¯

x−3

x+32

¯ ¯ ¯ ¯ ¯

+C ä

9 f(x)= 4x−5

x2−x−2⇒F(x)= Z

f(x)dx=

ĐS:F(x)=ln|x−2| +3 ln|x+1| +C

-Lời giải.

Áp dụng công thức: mx+n

(ax+b)(cx+d)=

ad−bc

·

−(mb−na)

ax+b +

md−nc cx+d

¸

F(x) =

Z 4x −5

x2−x−2dx =

Z 4x −5 (x−2)(x+1)dx =

Z 1 1+2

·

−(4·(−2)−(−5))

x−2 +

4·1−(−5)

x+1 ¸

dx

= Z 1

3 ·

3

x−2+

x+1 ¸

dx

= Z ·

1

x−2+

x+1 ¸

dx

= ln|x−2| +3 ln|x+1| +C

ä

10 f(x)= 4x+11

x2+5x+6⇒F(x)= Z

f(x)dx=

ĐS:F(x)=3 ln|x+2| +ln|x+3| +C

-Lời giải.

(ax+b)(cx+d)=

ad−bc

·

−(mb−na)

ax+b +

md−nc cx+d

¸

F(x) =

Z 4x +11

x2+5x+6dx =

Z 4x +11 (x+2)(x+3)dx =

Z 1 3−2

·

−(4·2−(11·1))

x+2 +

4·3−11·1

x+3 ¸

dx

=

Z · 3

x+2+

x+3 ¸

dx

= ln|x+2| +ln|x+3| +C

ä

11 f(x)= x+1

x2−x−6⇒F(x)= Z

f(x)dx=

ĐS:F(x)=4

5ln|x−3| +

(44)

-Lời giải.

(ax+b)(cx+d)=

ad−bc

·

−(mb−na)

ax+b +

md−nc cx+d

¸

F(x)= Z x

+1

x2−x−6dx=

Z x

+1

(x−3)(x+2)dx= Z

1

·

x−3+

x+2 ¸

dx=

5ln|x−3| +

5ln|x+2| +C ä

12 f(x)= 5x−3

x2−3x+2⇒F(x)= Z

f(x)dx=

ĐS:F(x)=

-Lời giải.

(ax+b)(cx+d)=

ad−bc

·

−(mb−na)

ax+b +

md−nc cx+d

¸

F(x) =

Z 5x −3

x2−3x+2dx =

Z 5x −3 (x−2)(x−1)dx =

Z 1

·

x−2+ −2

x−1 ¸

dx

= Z ·

7

x−2−

x−1 ¸

dx

= ln|x−2| −2 ln|x−1| +C

ä

13 f(x)=2x

2+6x−4

x(x2−4) ⇒F(x)= Z

f(x)dx=

ĐS:F(x)=ln|x| −ln|x+2| +2 ln|x−2| +C

-Lời giải.

F(x)= Z 2x2

+6x−4

x(x2−4) dx= Z ·

1

x−

1

x+2+

x−2 ¸

dx=ln|x| −ln|x+2| +2 ln|x−2| +C ä

14 f(x)= 2x

−6x−6

x3−6x2+11x−6⇒F(x)= Z

f(x)dx=

ĐS:F(x)=10 ln|x−2| −3 ln|x−3| −5 ln|x−1| +C

-Lời giải.

F(x) =

Z 2x2

−6x−6

x3−6x2+11x−6dx =

Z · 10

x−2−

x−3−

x−5 ¸

dx

= 10 ln|x−2| −3 ln|x−3| −5 ln|x−1| +C

ä

15 f(x)=

x2−6x+9⇒F(x)= Z

f(x)dx=

ĐS:F(x)= −

x−3+C

-Lời giải.

F(x)= Z

1

x2−6x+9dx= Z

1

(x−3)2 dx= −

(45)

16 f(x)= 3x+2

4x2−4x+1⇒F(x)= Z

f(x)dx=

ĐS:F(x)=3

4ln|2x−1| −

4(2x−1)+C

-Lời giải.

F(x) =

Z 3x +2 4x2−4x+1dx =

Z "3

2(2x−1)+ (2x−1)2

#

dx

= Z ·

3 2(2x−1)+

1 2(2x−1)2

¸

dx

=

4ln|2x−1| −

4(2x−1)+C

ä

17 f(x)= 3x+1

(x+1)3 ⇒F(x)= Z

f(x)dx=

ĐS:F(x)= −

x+1+

(x+1)2+C

-Lời giải.

F(x) =

Z 3x +1 (x+1)3 dx =

Z ·

3(x+1)−2 (x+1)3

¸

dx

= Z ·

3 (x+1)2−

2 (x+1)3

¸

dx

= −

x+1+

(x+1)2+C

ä

Ví dụ 15. Tìm ngun hàm hàm số f(x)= 2x−1

(x−1)3 ⇒F(x)= Z

f(x) dx=

ĐS:F(x)= −

x−1−

2(x−1)2+CLời giải:

F(x) =

Z 2x−1 (x−1)3dx =

Z ·

2(x−1)+1 (x−1)3

¸ dx

= Z ·

2 (x−1)2+

1 (x−1)3

¸ dx

= −

x−1−

2(x−1)2+C

1 f(x)=

x2(x−1)⇒F(x)= Z

f(x) dx=

ĐS:F(x)=ln|x−1| −ln|x| +1

(46)

-Lời giải.

F(x) = Z

1

x2(x−1)dx =

Z ·x2

−(x2−1)

x2(x−1) ¸

dx

= Z ·

1

x−1−

x+1

x2 ¸

dx

= Z ·

1

x−1−

x−

1

x2 ¸

dx

= ln|x−1| −ln|x| +1 x+C

ä

2 f(x)=

(x−1)(x+2)2 ⇒F(x)= Z

f(x) dx=

ĐS:F(x)=2

9ln|x−1| −

9ln|x+2| + 3·

1

x+2+C

-Lời giải.

F(x) =

Z 2

(x−1)(x+2)2dx =

3 Z ·x

+2−(x−1) (x−1)(x+2)2 ¸

dx

=

Z ·

1

(x−1)(x+2)− (x+2)2

¸ dx

=

Z ·1

µ 1

x−1−

x+2 ¶

− (x+2)2

¸ dx

=

9ln|x−1| −

9ln|x+2| + 3·

1

x+2+C

ä

3 f(x)=

x(x−1)2 ⇒F(x)= Z

f(x) dx=

ĐS:F(x)= −

x−1−3 ln|x−1| +3 ln|x| +C

-Lời giải.

F(x) =

Z 3

x(x−1)2dx =

Z ·

3x−3(x−1)

x(x−1)2 ¸

dx

= Z ·

3 (x−1)2−

3

x(x−1) ¸

dx

= Z ·

3 (x−1)2−

3

x−1+

x

¸ dx

= −

x−1−3 ln|x−1| +3 ln|x| +C

ä

4 f(x)=

(x2−x)(x−2)2⇒F(x)= Z

f(x) dx=

ĐS:F(x)= −ln|x| +4 ln|x−1| −3 ln|x−2| −

x−2+C

(47)

Ta có f(x)=

(x2−x)(x−2)2 =

A x +

B x−1+

D x−2+

E

(x−2)2 ⇒A(x−1)(x−2)2+Bx(x−2)2+D x(x−1)(x−2)+Ex(x−1)=4

⇒(A+B+D)x3+(−5A−4B−3D+E)x2+(8A+4B+2D−E)x−4A=4

⇒        

      

A+B+D=0

−5A−4B−3D+E=0 8A+4B+2D−E=0

−4A=4

⇔        

      

A= −1

B=4

D= −3

E=2

Khi

F(x) = Z

f(x) dx

= Z ·

−1

x+

4

x−1−

x−2+ (x−2)2

¸ dx

= −ln|x| +4 ln|x−1| −3 ln|x−2| −

x−2+C

ä

5 f(x)= x+1

x(x−1)2 ⇒F(x)= Z

f(x) dx=

ĐS:F(x)=ln|x| −ln|x−1| −

x−1+C

-Lời giải.

Ta có f(x)= x+1

x(x−1)2=

A x +

B x−1+

D

(x−1)2 ⇒A(x−1)2+Bx(x−1)+D x=x+1

⇒(A+B)x2+(−2A−B+D)x+A=x+1 ⇒

    

   

A+B=0

−2A−B+D=1

A=1

⇔     

   

A=1

B= −1

D=2

Khi

F(x) = Z

f(x) dx

=

Z ·1

x−

1

x−1+ (x−1)2

¸ dx

= ln|x| −ln|x−1| −

x−1+C

ä

6 f(x)= x

2+10x−6

x3−2x2−7x−4⇒F(x)= Z

f(x) dx=

ĐS:2 ln|x−4| −ln|x+1| −

x+1+C

-Lời giải.

Ta có f(x)= x

2+10x−6

x3−2x2−7x−4=

x2+10x−6 (x−4)(x+1)2=

A x−4+

B x+1+

D

(x+1)2 ⇒A(x+1)2+B(x−4)(x+1)+D(x−4)=x2+10x−6

⇒(A+B)x2+(2A−3B+D)x+A−4B−4D=x2+10x−6 ⇒

    

   

A+B=1

2A−3B+D=10

A−4B−4D= −6 ⇔

    

   

A=2

B= −1

(48)

Khi

F(x) = Z

f(x) dx

= Z ·

2

x−4−

x+1+ (x+1)2

¸ dx

= ln|x−4| −ln|x+1| −

x+1+C

ä

7 f(x)= 3x+6

x(x−1)(x−2)2 ⇒F(x)= Z

f(x) dx=

ĐS:−3

2ln|x| +9 ln|x−1| − 15

2 ln|x−2| −

x−2+C

-Lời giải.

Ta có f(x)= 3x+6

x(x−1)(x−2)2=

A x +

B x−1+

D

(x−2)+

E

(x−2)2

⇒A(x−1)(x−2)2+Bx(x−2)2+D x(x−1)(x−2)+Ex(x−1)=3x+6

⇒(A+B+D)x3+(−5A−4B−3D+E)x2+(8A+4B+2D−E)x−4A=3x+6

⇒        

      

A+B+D=0

−5A−4B−3D+E=0 8A+4B+2D−E=3

−4A=6

⇔          

        

A= −3

2

B=9

D= −15

2

E=6

Khi

F(x) = Z

f(x) dx

= Z ·

− 2x+

9

x−1− 15 2(x−2)+

6 (x−2)2

¸ dx

= −3

2ln|x| +9 ln|x−1| − 15

2 ln|x−2| −

x−2+C

ä Ví dụ 16. Tìm ngun hàm hàm sốF(x)của hàm số f(x)= x

x+1 thỏaF(2)=3−ln ĐS:F(x)=x−ln|x+1| +1Lời giải: Ta có

F(x) = Z

f(x) dx

=

Z x

x+1dx =

Z 1

x+1 ả

dx

= x−ln|x+1| +C

Ta lại cóF(2)=3−ln 3⇔2−ln 3+C=3−ln 3⇔C=1 VậyF(x)=x−ln|x+1| +1

(49)

1 Tìm nguyên hàm hàm sốF(x)của hàm số f(x)= x

x−1 biết đồ thị hàm số y=F(x)đi qua

điểmM(2; 5)

ĐS:F(x)=1 2x

2+x+ln|x−1| +1

-Lời giải.

Ta có

F(x) = Z

f(x) dx

=

Z x2

x−1dx =

Z

x+1+

x1 ả

dx

= 2x

2

+x+ln|x−1| +C

Ta lại cóF(2)=5⇔2+2+ln 1+C=5⇔C=1 VậyF(x)=1

2x

2+x+ln|x−1| +1. ä

2 Tìm nguyên hàm hàm sốF(x)của hàm số f(x)= x

x+2 biếtF(−1)=3 ĐS:F(x)=1

2x

2−2x+4 ln|x+2| +1

-Lời giải.

Ta có

F(x) = Z

f(x) dx

=

Z x2

x+2dx =

Z µ

x−2+

x+2 ¶

dx

= 2x

2

−2x+4 ln|x+2| +C

Ta lại cóF(−1)=3⇔1

2+2+4 ln 1+C=3⇔C=

VậyF(x)=1 2x

2−2x+4 ln|x+2| +1

2 ä

3 Hàm số f(x)= x

3

x2+2x+1 có nguyên hàm làF(x)thỏaF(−2)=6 TínhF(0)

ĐS:F(0)=2

(50)

Ta có

F(x) = Z

f(x) dx

=

Z x3

x2+2x+1dx =

Z · x3 +1 (x+1)2−

1 (x+1)2

¸ dx

=

Z ·x2

−x+1

x+1 − (x+1)2

¸ dx

= Z ·

x−2+

x+1− (x+1)2

¸ dx

= 2x

2

−2x+3 ln|x+1| +

x+1+C

Ta lại cóF(−2)=6⇔2+4+3 ln 1−1+C=6⇔C=1 Do đóF(x)=1

2x

2−2x+3 ln|x+1| +

x+1+1

VậyF(0)=2 ä

4 Hàm số f(x)= x

(x+1)3 cú mt nguyờn hm lF(x)thaF

3 ả

=5 TớnhF

à

2 ả

S:F

à

2 ả

=1

-Lời giải.

Ta có

F(x) = Z

f(x) dx

=

Z x (x+1)3dx =

Z x

+1−1 (x+1)3 dx =

Z · 1 (x+1)2−

1 (x+1)3

¸ dx

= −

x+1+

2(x+1)2+C

Ta li cúF

à

2 ả

=5⇔2+2+C=5⇔C=1 Do đóF(x)= −

x+1+

2(x+1)2+1

VyF

à

2 ả

=1 ä

5 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)= 3x+1

(x+1)3 biếtF(−2)=5

ĐS:F(x)= −

x+1+ (x+1)2+1

(51)

Ta có

F(x) = Z

f(x) dx

=

Z 3x +1 (x+1)3dx =

Z 3(x

+1)−2 (x+1)3 dx =

Z · (x+1)2−

2 (x+1)3

¸ dx

= −

x+1+

(x+1)2+C

Ta lại cóF(−2)=5⇔3+1+C=5⇔C=1 VậyF(x)= −

x+1+

(x+1)2+1 ä

6 Hàm số f(x)= x

(2x+1)3 có ngun hàm làF(x)thỏaF µ

−1 ả

=1

9 TớnhF

1 ả

S:F

à

8 ¶

=0

-Lời giải.

Ta có

F(x) = Z

f(x) dx

=

Z x

(2x+1)3dx =

2 Z 2x

+1−1 (2x+1)3 dx =

2 Z ·

1 (2x+1)2−

1 (2x+1)3

¸ dx

= −1 4·

1 2x+1+

1 8·

1

(2x+1)2+C

Ta lại cóF

µ −1

4 ¶

=1 9⇔ −

1 2+

1 2+C=

1

9⇔C=

Do đóF(x)= − 4(2x+1)+

1 8(2x+1)2+

1

VyF

à

8 ả

=0 ä

7 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)= x

x−1 biếtF(2)= ĐS:F(x)=1

3x 3+1

2x

2+x+ln|x−1| −5

(52)

Ta có

F(x) = Z

f(x) dx

=

Z x3

x−1dx =

Z x3

−1+1

x−1 dx =

Z µ

x2+x+1+

x−1 ¶

dx

= 3x

3 +1

2x

+x+ln|x−1| +C

Ta lại cóF(2)=5 ⇔

8

3+2+2+C=

3⇔C= −5

VậyF(x)=1 3x

3+1 2x

2+x+ln|x−1| −5. ä

8 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=x 3−1

x+1 biếtF(1)= ĐS:F(x)=1

3x 3−1

2x

2+x−2 ln|x+1| +2 ln 2

-Lời giải.

Ta có

F(x) = Z

f(x) dx

= Z x3

−1

x+1 dx =

Z x3

+1−2

x+1 dx =

Z µ

x2−x+1−

x+1 ¶

dx

= 3x

3 −1

2x

+x−2 ln|x+1| +C

Ta lại cóF(1)=5 ⇔

1 3−

1

2+1−2 ln 2+C=

6 ⇔C=2 ln

VậyF(x)=1 3x

3 −1

2x

+x−2 ln|x+1| +2 ln ä

9 Hàm số f(x)= x

x+2 có nguyên hàm làF(x)thỏaF(−3)=0 TínhF(−1)

ĐS:F(−1)=74

-Lời giải.

Ta có

F(x) = Z

f(x) dx

=

Z x3

x+2dx =

Z x3

+8−8

x+2 dx =

Z µ

x2−2x+4−

x+2 ¶

dx

= 3x

3

(53)

Ta lại cóF(−3)=0⇔ −9−9−12+C=0⇔C=30 Do đóF(x)=1

3x

−x2+4x−8 ln|x+2| +30 VậyF(−1)=74

3 ä

10 Biết f0(x)=2x+3

x+1 f(2)=6 Tính giá trị củae

f(0).

ĐS:ef(0)=1 3e

2

-Lời giải.

Ta có

f(x) = Z

f0(x) dx

=

Z 2x +3

x+1 dx =

Z µ 2+

x+1 ¶

dx

= 2x+ln|x+1| +C

Ta lại có f(2)=6⇔4+ln 3+C=6⇔C=2−ln Do f(x)=2x+ln|x+1| +2−ln

Vậyef(0)=e2−ln 3=1 3e

2. ä

11 GọiF(x)là nguyên hàm f(x)= x−3

x2+2x−3 thỏaF(0)=0 TínhF(−2)

ĐS:F(−2)= −2 ln

-Lời giải.

Ta có f(x)= x−3

x2+2x−3=

A x−1+

B

x+3 ⇒(A+B)x+3A−B=x−3 ⇒

 



A+B=1 3A−B= −3⇔

   

  

A= −1

B=3

2

Khi

F(x) = Z

f(x) dx

=

Z x −3

x2+2x−3dx =

Z µ −1

2·

x−1+ 2·

1

x+3 ¶

dx

= −1

2ln|x−1| +

2ln|x+3| +C

Ta lại cóF(0)=0⇔3

2ln 3+C=0⇔C= − 2ln

Do đóF(x)= −1

2ln|x−1| +

2ln|x+3| − 2ln

VậyF(−2)= −2 ln ä

12 GọiF(x)là nguyên hàm f(x)=(x+1)

x+2 thỏaF(−1)=

2 TínhF(2)

ĐS:F(2)=2+ln

(54)

Ta có

F(x) = Z

f(x) dx

= Z

(x+1)2

x+2 dx =

Z x2

+2x+1

x+2 dx =

Z

x+

x+2 ả

dx

= 2x

2

+ln|x+2| +C

Ta lại cóF(−1)=1 2⇔

1 2+C=

1

2⇔C=0

Do đóF(x)=1 2x

2+ln|x+2|.

VậyF(2)=2+ln ä

13 Tìm nguyên hàm F(x)của hàm số f(x)=

4x2+4x+1; biết đồ thị hàm số y=F(x)i qua

imM

à 1;1

2 ả

ĐS:F(x)= − 2(2x+1)

-Lời giải.

Ta có

F(x) = Z

f(x) dx

=

Z 1

4x2+4x+1dx =

Z (2x+1)2dx = −

2(2x+1)+C

Ta lại cóF(−1)=1 2⇔

1 2+C=

1

2⇔C=0

VậyF(x)= −

2(2x+1) ä

14 Hàm số f(x)=2x+9

x+3 có nguyên hàm làF(x)thỏaF(−2)=0 Biết phương trìnhF(x)=2x+4có

hai nghiệmx1, x2 Tính tổng

2x1 + 2x2

ĐS: 2x1 +

1 2x2 =20

-Lời giải.

Ta có

F(x) = Z

f(x) dx

=

Z 2x +9

x+3 dx =

Z µ 2+

x+3 ¶

dx

(55)

Ta lại cóF(−2)=0⇔ −4+C=0⇔C=4

Khi phương trình F(x)=2x+4⇔2x+3 ln|x+3| +4=2x+4⇔ |x+3| =1⇔ 



x+3=1

x+3= −1 ⇔ 



x= −2 (=x1)

x= −4 (=x2) Vậy 2x1 +

1

2x2 =20 ä

15 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=2x

2+2x+3

2x+1 , biết đồ thị hàm số y=F(x)cắt trục

tung điểm có tung độ

8

ĐS:F(x)=1 2x

2+1 2x+

5

4ln|2x+1|

-Lời giải.

Ta có

F(x) = Z

f(x) dx

=

Z 2x2+2x+3 2x+1 dx =

Z µ

x+1

2+ 2·

1 2x+1

¶ dx

= 2x

2 +1

2x+

4ln|2x+1| +C

Ta lại cóF(0)=9

8 ⇔C=

VậyF(x)=1 2x

2+1 2x+

5

4ln|2x+1| ä

x2+3x thỏa mãnF(1)= − 3ln ĐS:F(x)=1

3ln|x| −

3ln|x+3| −ln

-Lời giải.

Ta có

F(x) = Z

f(x) dx

=

Z 1

x2+3xdx =

3 Z µ

1

x−

1

x+3 ¶

dx

=

3ln|x| −

3ln|x+3| +C

Ta lại cóF(1)= −5

3ln 2⇔ −

3ln 4+C= −

3ln 2⇔C= −ln

VậyF(x)=1

3ln|x| −

3ln|x+3| −ln ä

x2+x−2; biết đồ thị hàm số y=F(x)cắt trục

tung điểm có tung độ

3ln

ĐS:F(x)=1 3ln

¯ ¯ ¯ ¯

x−1

x+2 ¯ ¯ ¯ ¯+

(56)

-Lời giải. Ta có

F(x) = Z

f(x) dx

=

Z 1

x2+x−2dx =

3 Z µ

1

x−1−

x+2 ¶

dx

=

3ln|x−1| −

3ln|x+2| +C

Ta lại cóF(0)=2

3ln 2⇔ −

3ln 2+C=

3ln 2⇔C=ln

VậyF(x)=1 3ln

¯ ¯ ¯ ¯

x−1

x+2 ¯ ¯ ¯ ¯+

ln ä

x2−x−6; biết F(−1)= 5ln

ĐS:F(x)=1 5ln

¯ ¯ ¯ ¯

x−3

x+2 ¯ ¯ ¯ ¯+

ln

-Lời giải.

Ta có

F(x) = Z

f(x) dx

=

Z 1

x2−x−6dx =

5 Z µ

1

x−3−

x+2 ¶

dx

=

5ln|x−3| −

5ln|x+2| +C

Ta lại cóF(−1)=6 5ln 4⇔

1

5ln 4+C=

5ln 4⇔C=ln

VậyF(x)=1 5ln

¯ ¯ ¯ ¯

x−3

x+2 ¯ ¯ ¯ ¯+

ln ä

19 Hàm số f(x)=

x2−3x+2 có ngun hàm làF(x)thỏaF(3)=0 TínhF µ

2 ¶

ĐS:F

µ ¶

=3 ln

-Lời giải.

Ta có

F(x) = Z

f(x) dx

=

Z 1

x2−3x+2dx =

Z µ

x−2−

x−1 ¶

dx

= ln|x−2| −ln|x−1| +C

Ta lại cóF(3)=0⇔ −ln 2+C=0⇔C=ln Do đóF(x)=ln

¯ ¯ ¯ ¯

x−2

x−1 ¯ ¯ ¯ ¯+

ln

VậyF

à ả

=ln4 3ln

1

(57)

20 Hàm số f(x)= 2x+3

2x2−x−1 có nguyên hàm làF(x)thỏaF(−1)= 11

3 ln Tìme

F(0).

ĐS:eF(0)=4

-Lời giải.

Ta có f(x)= 2x+3 2x2−x−1=

A

2x+1+

B x−1

⇒A(x−1)+B(2x+1)=2x+3⇒(A+2B)x−A+B=2x+3⇒  



A+2B=2 −A+B=3⇔

   

  

A= −4

3

B=5

3

Khi

F(x) = Z

f(x) dx

=

Z 2x +3 2x2−x−1dx =

Z µ −4

3· 2x+1+

5 3·

1

x−1 ¶

dx

= −2

3ln|2x+1| +

3ln|x−1| +C

Ta lại cóF(−1)=11 ln 2⇔

5

3ln 2+C= 11

3 ln 2⇔C=2 ln

Do đóF(x)= −2

3ln|2x+1| +

3ln|x−1| +2 ln

VậyeF(0)=e2 ln 2=4 ä

21 Hàm số f(x)= 4x+11

x2+5x+6 có nguyên hàm làF(x)thỏaF(−1)=ln Tìme

F(−4).

ĐS:eF(−4)=3 ln

-Lời giải.

Ta có f(x)= 4x+11

x2+5x+6=

A x+2+

B x+3

⇒A(x+3)+B(x+2)=4x+11⇒(A+B)x+3A+2B=4x+11⇒  



A+B=4 3A+2B=11⇔

 



A=3

B=1

Khi

F(x) = Z

f(x) dx

=

Z 4x+11

x2+5x+6dx =

Z µ

x+2+

x+3 ¶

dx

= ln|x+2| +ln|x+3| +C

Ta lại cóF(−1)=ln 2⇔ln 2+C=ln 2⇔C=0 Do đóF(x)=3 ln|x+2| +ln|x+3|

VậyeF(−4)=3 ln ä

22 Hàm số f(x)= 5x+3

x2+7x+12 có nguyên hàm làF(x)thỏaF(−2)=18 ln TìmF(−5)

ĐS:F(−5)= −11 ln

(58)

Ta có f(x)= +

x2+7x+12= x+3+x+4

⇒A(x+4)+B(x+3)=5x+3⇒(A+B)x+4A+3B=5x+3⇒  



A+B=5 4A+3B=3⇔

 



A= −12

B=17

Khi

F(x) = Z

f(x) dx

= Z

5x+3

x2+7x+12dx =

Z µ − 12

x+3+ 17

x+4 ¶

dx

= −12 ln|x+3| +17 ln|x+4| +C

Ta lại cóF(−2)=18 ln 2⇔17 ln 2+C=18 ln 2⇔C=ln Do đóF(x)= −12 ln|x+3| +17 ln|x+4| +ln

VậyF(−5)= −12 ln 2+ln 2= −11 ln ä

23 Hàm số f(x)= 9x−10

6x2−11x+3 có nguyên hàm làF(x)thỏa F(1)=ln Gọi x1, x2 hai nghiệm

của phương trìnhF(x)=ln|3x−1| +1

2ln Tính3

x1+3x2.

ĐS:3x1+3x2=28

-Lời giải.

Ta có f(x)= 9x−10 6x2−11x+3=

A

2x−3+

B

3x−1

⇒A(3x−1)+B(2x−3)=9x−10⇒(3A+2B)x−A−3B=9x−10⇒  



3A+2B=9 −A−3B= −10⇔

 



A=1

B=3

Khi

F(x) = Z

f(x) dx

=

Z 9x −10 6x2−11x+3dx =

Z µ 2x−3+

3 3x−1

¶ dx

=

2ln|2x−3| +ln|3x−1| +C

Ta lại cóF(1)=ln 2⇔C=0 Do đóF(x)=1

2ln|2x−3| +ln|3x−1|

Phương trìnhF(x)=ln|3x−1| +1 2ln 3⇔

1

2ln|2x−3| +ln|3x−1| =ln|3x−1| +

2ln 3⇔ |2x−3| =3 ⇔





2x−3=3 2x−3= −3⇔





x=3 (=x1)

x=0 (=x2)

Vậy3x1+3x2=28. ä

24 Hàm số f(x)=

x2(x+1) có ngun hàm làF(x)thỏaF(1)=ln TínhF(−2)

ĐS:F(−2)=3 2−ln

(59)

Ta có f(x)=

x2(x+1)=

A x+1+

B x +

D x2

⇒Ax2+Bx(x+1)+D(x+1)=1⇒(A+B)x2+(B+D)x+D=1⇒     

   

A+B=0

B+D=0

D=1 ⇔

    

   

A=1

B= −1

D=1

Khi

F(x) = Z

f(x) dx

= Z

1

x2(x+1)dx =

Z µ 1

x+1−

x+

1

x2 ¶

dx

= ln|x+1| −ln|x| −1 x+C

Ta lại cóF(1)=ln 2⇔ln 2−1+C=ln 2⇔C=1 Do đóF(x)=ln|x+1| −ln|x| −1

x+1

VậyF(−2)= −ln 2+1 2+1=

3

2−ln ä

3.2 Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến số

Định lí Cho

Z

f(u) du=F(u)+Cvà u=u(x)là hàm số có đạo hàm liên tục thì Z

f[u(x)]u0(x) dx=F[u(x)]+C

Một số dạng đổi biến thường gặp

1



      

I= Z

f(ax+b)n·xdx−−−−−−−−→phương pháp Đặt t=ax+b⇒dt=adx

I= Z

f

à xn

axn+1+1 ảm

dxphng phỏp t t=axn+1+1dt=a(n+1)xndx, với m,n∈Z

I= Z

f(ax2+b)n·xdx−−−−−−−−→phương pháp Đặt t=ax2+b⇒ dt=2axdx

2 I= Z

n

p

f(x)·f0(x) dx−−−−−−−−→phương pháp Đặtt=pn

f(x)⇒tn=f(x)⇒ntn−1dt=f0(x) dx

3



  

I=

Z

f(lnx)·1

xdx

phương pháp

−−−−−−−−→ Đặt t=lnx⇒dt=1 xdx I=

Z

f(a+blnx)·1

xdx

phương pháp

−−−−−−−−→ Đặt t=a+blnx⇒ dt=b xdx

4



  

I=

Z

f(ex)·exdx−−−−−−−−→phương pháp Đặt t=ex⇒ dt=exdx

I= Z

f(a+bex)·exdx−−−−−−−−→phương pháp Đặt t=a+bex⇒ dt=bexdx

5



  

I=

Z

f(cosx)·sinxdx−−−−−−−−→phương pháp Đặt t=cosx⇒ dt= −sinxdx

I= Z

(60)

6



  

I= Z

f(sinx)·cosxdx−−−−−−−−→phương pháp Đặt t=sinx⇒dt=cosxdx

I=

Z

f(a+bsinx)·cosxdx−−−−−−−−→phương pháp Đặt t=a+bsinx⇒ dt=bcosxdx

7 I=

Z

f(tanx)· dx cos2x

phương pháp

−−−−−−−−→Đặtt=tanx⇒dt=

cos2xdx=(1+tan 2x) dx.

8 I=

Z

f(cotx)· dx sin2x

phương pháp

−−−−−−−−→Đặtt=cotx⇒ dt= −

sin2xdx= −(1+cot

2x) dx.

9 I=

Z

f(sin2x; cos2x)·sin 2xdx−−−−−−−−→phương pháp Đặt "

t=sin2x⇒ dt=sin 2xdx;

t=cos2x⇒dt= −sin 2xdx

10 I= Z

f(sinx±cosx)·(sinx∓cosx) dx−−−−−−−−→phương pháp Đặtt=sinx±cosx⇒ dt=(cosx∓sinx) dx

4! Chú ý:Sau đổi biến tính nguyên hàm xong, ta cần trả lại biến cũ ban đầu làx. 3.2.1 Bài tập áp dụng

Ví dụ 1. TínhI=

Z

x(1−x)2018dx ĐS:I=(1−x)

2020

2020 −

(1−x)2019 2019 +C Lời giải: Đặtt=1−x⇒x=1−t⇒dx= −dt

Suy

I = −

Z

(1−t)t2018dt= Z

¡

t2019−t2018¢ dt

= t 2020

2020−

t2019

2019+C=

(1−x)2020 2020 −

(1−x)2019 2019 +C

VậyI=

Z

x(1−x)2018dx=(1−x)

2020

2020 −

(1−x)2019 2019 +C Bài 1. Tìm nguyên hàm hàm số sau

1 TínhI=

Z

x(1+x)2017dx

ĐS: I=(1+x) 2019

2019 −

(1+x)2018 2018 +C

-Lời giải.

Đặtt=1+x⇒x=t−1⇒dx=dt

Suy

I =

Z

(t−1)t2017dt=

Z ¡

t2018−t2017¢ dt

= t 2019

2019−

t2018

2018+C=

(1+x)2019 2019 −

(1+x)2018 2018 +C

VậyI=

Z

x(1+x)2017dx=(1+x)

2019

2019 −

(1+x)2018

2018 +C ä

2 TínhI=

Z

x(x2+1)5dx

ĐS:I=

¡

x2+1¢6 12 +C

(61)

Đặtt=x2+1⇒ dt=2xdx⇒xdx=1

2dt

Suy

I =

2 Z

t5dt=1

2·

t6

6 +C= ¡

x2+1¢6 12 +C

VậyI=

Z

x(x2+1)5dx=

¡

x2+1¢6

12 +C ä

3 TínhI=

Z

x2(x−1)9dx

ĐS:I=(x−1) 12

12 +2

(x−1)11 11 +

(x−1)10 10 +C

-Lời giải.

Đặtt=x−1⇒x=t+1⇒dx=dt

Suy

I =

Z

(t+1)2t9dt=

Z ¡

t11+2t10+t9¢ dt

= t 12

12+2

t11

11+

t10

10+C=

(x−1)12 12 +2

(x−1)11 11 +

(x−1)10 10 +C

VậyI=

Z

x2(x−1)9dx=(x−1)

12

12 +2

(x−1)11 11 +

(x−1)10

10 +C ä

4 TínhI= Z

2£

x¡

1−x2đơ5 dx

ĐS:I= − ¡

1−x2¢6

6 +

2¡

1−x2¢7

7 −

¡

1−x2¢8 +C

-Lời giải.

Ta cóI= Z

2£

x¡

1−x2đô5 dx=

Z

x4¡

1−x2¢5

·2xdx

Đặtt=1−x2⇒x2=1−t⇒2xdx= −dt

Suy

I = −

Z

(1−t)2t5dt= Z

¡

−t5+2t6−t7¢ dt

= −t

6 + 2t7

7 −

t8

8 +C= − ¡

1−x2¢6 +

2¡

1−x2¢7

7 −

¡

1−x2¢8 +C

VậyI=

Z 2£

x¡

1−x2đô5

dx= − ¡

1−x2¢6 +

2¡

1−x2¢7

7 −

¡

1−x2¢8

8 +C ä

5 TínhI=

Z

x5¡

1−x3¢6 dx

ĐS: I= −

¡

1−x3¢7 21 +

¡

1−x3¢8 24 +C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z

x5¡

1−x3¢6 dx=

Z

x3¡

1−x3¢6 ·x2dx

Đặtt=1−x3⇒x3=1−t⇒x2dx= −1 3dt

Suy

I = −1

3 Z

(1−t)t6dt= −1 Z

¡

t6−t7¢dt

= −t

21+

t8

24+C= − ¡

1−x3¢7

21 + ¡

1−x3¢8

(62)

VậyI= x5¡

1−x3¢6

dx= − 1−x

21 + 1−x

24 +C ä

6 TínhI= Z

x3¡2−3x2¢8dx

ĐS:I= −

¡

2−3x2¢9 81 +

¡

2−3x2¢10 180 +C

-Lời giải.

Ta cóI= Z

x3¡2−3x2¢8dx= Z

x2¡2−3x2¢8·xdx

Đặtt=2−3x2⇒x2=2−t

3 ⇒xdx= − 6dt

Suy

I = −1

6 Z

2t

3 ả

t8dt= −

18 Z

¡

2t8−t9¢ dt

= −t

81+

t10

180+C= − ¡

2−3x2¢9 81 +

¡

2−3x2¢10 180 +C

VậyI=

Z

x3¡

2−3x2¢8

dx= −

¡

2−3x2¢9 81 +

¡

2−3x2¢10

180 +C ä

Z xdx

x2+2

ĐS:I=1

2ln(x

2+2)+C Lời giải: Đặtt=x2+2⇒x2=t−2⇒2xdx=dt⇒xdx=1

2dt

Suy

I =

Z 1 2·

1

tdt =

1

2ln|t| +C =

2ln|x

+2| +C=1

2ln(x

+2)+C

VậyI=

Z xdx

x2+2= 2ln(x

2

+2)+C

Bài 2. Tìm nguyên hàm hàm số sau

1 TínhI=

Z xdx

(x+1)5 ĐS:I= −

1 3(x+1)3+

1

4(x+1)4+C

-Lời giải.

Đặtt=x+1⇒x=t−1⇒dx=dt

Suy

I =

Z t−1

t5 dt= Z

1

t4

t5 ả

dt

= t −3 −3−

t−4

−4+C= − 3(x+1)3+

1

4(x+1)4+C

VậyI=

Z x dx

(x+1)5 = − 3(x+1)3+

1

4(x+1)4+C ä

2 TínhI=

Z x3dx ¡

1+x2¢3 ĐS:I= −

1 2¡1+x2¢+

1 4¡

(63)

-Lời giải. Ta cóI=

Z x3dx ¡

1+x2¢3 = Z x2

·xdx

¡

1+x2¢3

Đặtt=1+x2⇒x2=t−1⇒2xdx=dt⇒xdx=1 2dt

Suy

I =

2

Z t−1

t3 dt=

Z µ

t2−

t3 ¶

dt

=

àt1

t2

2 ả

+C= −

2¡1+x2¢+ 4¡

1+x2¢2+C

VậyI=

Z x3dx ¡

1+x2¢3= − 2¡

1+x2¢+ 4¡

1+x2¢2+C ä

3 TínhI=

Z 4x3dx ¡

x4+2¢2 ĐS:I= −

1

x4+2+C

-Lời giải.

Đặtt=x4+2⇒x4=t−2⇒4x3dx=dt

Suy

I =

Z 1

t2dt=

t−1

−1+C= −

x4+2+C

Vậy=

Z 4x3dx ¡

x4+2¢2= −

x4+2+C ä

4 TínhI=

Z x5dx

x2+1 ĐS: I=

¡

x2+1¢2 −

¡

x2+1¢ +1

2ln ¡

x2+1¢ +C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z x5dx

x2+1= Z x4

·xdx x2+1

Đặtt=x2+1⇒x2=t−1⇒2xdx=dt⇒xdx=1 2dt

Suy

I =

2 Z (t

−1)2

t dt=

1

Z µ

t−2+1

t

¶ dt

=

àt2

2 2t+ln|t| ả

+C= Ă

x2+1Â2

4 −

¡

x2+1¢ +1

2ln ¡

x2+1¢ +C

VậyI=

Z x5dx

x2+1= ¡

x2+1¢2

4 −

¡

x2+1¢ +1

2ln ¡

x2+1¢

+C ä

5 TínhI=

Z x4dx

x10−4 ĐS:I=

1 20ln

¯ ¯ ¯ ¯

x5−2

x5+2 ¯ ¯ ¯ ¯+

C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z x4dx

x10−4=

Z x4dx ¡

x5−2¢ ¡

x5+2¢

(64)

Suy

I =

5 Z ·

1 (t−2)(t+2)

¸

dt=

20 Z µ

1

t−2−

t+2 ¶ dt = 20ln ¯ ¯ ¯ ¯

t−2

t+2 ¯ ¯ ¯ ¯+

C= 20ln

¯ ¯ ¯ ¯

x5−2

x5+2 ¯ ¯ ¯ ¯+

C

VậyI=

Z x4dx

x10−4= 20ln ¯ ¯ ¯ ¯

x5−2

x5+2 ¯ ¯ ¯ ¯+

C ä

6 TínhI=

Z µ 1+1

x

¶3 dx

x2 ĐS: I= −

1 µ

1+1

x

¶4 +C

-Lời giải.

Đặtt=1+1

x⇒

1

x =t−1⇒

dx

x2 = −dt

Suy

I = −

Z

t3dt= −t

4 +C= − µ

1+1

x

ả4 +C

VyI=

Z 1+1

x

¶3 dx x2 = −

1 µ

1+1

x

¶4

+C ä

Z (x

+1)2017

(2x+3)2019dx ĐS:I= 2018·

µ x +1 2x+3

¶2018 +C

Lời giải: Ta cóI=

Z (x

+1)2017 (2x+3)2019dx=

Z µ x +1 2x+3

¶2017 ·

(2x+3)2dx

Đặtt= x+1

2x+3⇒dt=

(2x+3)2dx

Suy

I =

Z

t2017dt= t 2018

2018+C= 2018·

à x +1 2x+3

ả2018 +C

VyI=

Z

(x+1)2017 (2x+3)2019dx=

1 2018·

µ x +1 2x+3

¶2018 +C

1 TínhI=

Z x5

(x+1)7dx ĐS: I=

1 6·

³ x

x+1 ´6

+C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z x5

(x+1)7dx= Z ³ x

x+1 ´5

· (x+1)2dx

Đặtt= x

x+1⇒ dt= (x+1)2dx

Suy

I =

Z

t5dt=t

6 +C= 6·

³ x

x+1 ´6

+C

VậyI=

Z x5

(x+1)7dx= 6·

³ x

x+1 ´6

+C ä

2 TínhI=

Z (7x −1)99

(2x+1)101dx ĐS: I=

1 900·

µ 7x−1 2x+1

(65)

Z (7x −1)99 (2x+1)101dx=

Z 7x1 2x+1

ả99 Ã

(2x+1)2dx

Đặtt=7x−1

2x+1 ⇒dt=

(2x+1)2dx⇒=

(2x+1)2dx= 9dt

Suy

I =

9 Z

t99dt=1

9·

t100

100+C= 900Ã

à 7x1 2x+1

ả100 +C

VậyI=

Z (7x −1)99 (2x+1)101dx=

1 900Ã

à 7x1 2x+1

ả100

+C ọ

3 TínhI=

Z x9dx ¡

x2+1¢6 ĐS:I=

1 10Ã

à x2

x2+1 ả5

+C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z x9dx Ă

x2+1Â6 =

Z x2

x2+1 ¶4

·¡ x

x2+1¢2dx

Đặtt= x

2

x2+1⇒dt= 2x

¡

x2+1¢2dx⇒

x

¡

x2+1¢2dx= 2dt

Suy

I =

2 Z

t4dt=1

2·

t5

5 +C= 10·

µ x2

x2+1 ¶5

+C

VậyI=

Z x9 dx

Ă

x2+1Â6= 10Ã

à x2

x2+1 ¶5

+C ä

4 TínhI=

Z x2001dx ¡

x2+1¢1002 ĐS:I=

1 2002·

à x2

x2+1 ả1001

+C

-Li gii.

Ta cóI=

Z x2001dx ¡

x2+1¢1002=

Z x2

x2+1 ả1000

ÃĂ x

x2+1¢2dx

Đặtt= x

2

x2+1⇒dt= 2x

¡

x2+1¢2dx⇒

x

¡

x2+1¢2dx= 2dt

Suy

I =

2 Z

t1000dt=1

2·

t1001

1001+C= 2002Ã

à x2

x2+1 ả1001

+C

VậyI=

Z x2001dx ¡

x2+1¢1002= 2002·

à x2

x2+1 ả1001

+C ọ

Vớ dụ 4. TínhI=

Z (x

+1) dx

p

x2+2x−4 ĐS: I=

p

x2+2x−4+C

Łời giải: Đặtt=px2+2x−4⇒t2=x2+2x−4 ⇒2tdt=(2x+2) dx⇒(x+1) dx=tdt

Suy

I =

Z t

tdt=

Z

(66)

VậyI= Z

(x+1) dx

p

x2+2x−4=

p

x2+2x−4+C.

1 TínhI=

Z (2x

−3) dx

p

x2−3x−5 ĐS: I=2

p

x2−3x−5+C

-Lời giải.

Đặtt=px2−3x−5⇒t2

=x2−3x−5 ⇒2tdt=(2x−3) dx⇒(2x−3) dx=2tdt

Suy

I =

Z 2t

t dt=

Z

2 dt=2t+C=2px2−3x−5+C.

VậyI=

Z (2x−3) dx p

x2−3x−5=2

p

x2−3x−5+C. ä

2 TínhI= Z

xp2017−xdx ĐS:I=2(2017−x)

2p2017−x

5 −

4034(2017−x)p2017−x

3 +C

-Lời giải.

Đặtt=p2017−x⇒x=2017−t2⇒dx= −2tdt

Suy

I =

Z

(2017−t2)·t·(−2t) dt= Z

(2t4−4034t2) dt

= 2t

5 −

4034t3

3 +C=

2(2017−x)2p2017−x

5 −

4034(2017−x)p2017−x

3 +C

VậyI=

Z

xp2017−xdx=2(2017−x)

2p2017 −x

5 −

4034(2017−x)p2017−x

3 +C ä

3 TínhI=

Z

xpx2+3 dx. ĐS: I=(x

2+3)px2+3

3 +C

-Lời giải.

Đặtt=px2+3⇒t2=x2+3⇒2tdt=2xdx⇒xdx=tdt.

Suy

I =

Z

t2dt=t

3

3 +C=

(x2+3)px2+3 +C

VậyI=

Z

xpx2+3 dx=(x

2+3)px2+3

3 +C ä

4 TínhI=

Z

xp2019−x2dx. ĐS:I= −(2019−x

2)p2019 −x2

3 +C

-Lời giải.

Đặtt=p2019−x2⇒t2=2019−x2⇒2tdt= −2xdx⇒xdx= −tdt.

Suy

I =

Z

−t2dt= −t

3 +C= −

(2019−x2)p2019−x2

3 +C

VậyI=

Z

xp2019−x2dx= −(2019−x

2)p2019−x2

(67)

5 TínhI= Z

xp3 x2−2018 dx. ĐS: I=3(x

2−2018)p3

x2−2018

8 +C

-Lời giải.

Đặtt=p3 x2−2018⇒t3=x2−2018⇒3t2dt=2xdx⇒xdx=3 2t

2dt.

Suy

I =

2 Z

t3dt=3

2·

t4

4 +C=

3(x2−2018)p3 x2−2018

8 +C

VậyI=

Z

xp3 x2−2018 dx=3(x

2−2018)p3

x2−2018

8 +C ä

6 TínhI=

Z 2x p

x2+4dx ĐS:I=

3 »

¡

x2+4¢2 +C

-Lời giải.

Đặtt=p3 x2+4⇒t3=x2+4⇒3t2dt=2xdx.

Suy

I =

Z 3t2

t dt=

Z

3tdt=3t

2 +C= 3 »

¡

x2+4¢2+C

VậyI=

Z 2x p

x2+4dx= 3 »

¡

x2+4¢2

+C ä

7 TínhI= Z

5xp3 1−x2dx. ĐS:I= −15

¡

1−x2¢p3

1−x2+C

-Lời giải.

Đặtt=p3 1−x2⇒t3=1−x2⇒3t2dt= −2xdx⇒xdx= −3t2 dt

Suy

I = −3

2 Z

5t3dt= −15 ·

t4

4 +C= − 15

8 ¡

1−x2¢p3

1−x2+C.

VậyI=

Z

5xp3 1−x2dx= −15

¡

1−x2¢p3

1−x2+C. ä

8 TínhI=

Z x2 p

1−xdx ĐS: I= −2

p

1−x+4(1−x) p

1−x

3 −

2(1−x)2p1−x

5 +C

-Lời giải.

Đặtt=p1−x⇒x=1−t2⇒ dx= −2tdt

Suy

I =

Z ¡1−t2¢2

t ·(−2t) dt= −2

Z ¡

1−2t2+t4¢ dt

= −2t+4·t

3 −2·

t5

5 +C= −2 p

1−x+4(1−x)

p 1−x

3 −

2(1−x)2p1−x

5 +C

VậyI=

Z x2 p

1−xdx= −2

p

1−x+4(1−x)

p 1−x

3 −

2(1−x)2p1−x

5 +C ä

9 TínhI=

Z x3 p

4−x2dx ĐS:I=

¡

4−x2¢p 4−x2

3 −4

p

4−x2+C

(68)

Ta cóI= p x 4−x2d

x= p x

4−x2· xdx

Đặtt=p4−x2⇒t2=4−x2⇒x2=4−t2⇒2xdx= −2tdt⇒xdx= −tdt.

Suy

I =

Z 4−t2

t ·(−t) dt=

Z ¡

t2−4¢ dt

= t

3 −4t+C= ¡

4−x2¢p4−x2

3 −4

p

4−x2+C.

VậyI=

Z x3 p

4−x2dx= ¡

4−x2¢p4−x2

3 −4

p

4−x2+C. ä

10 TínhI=

Z dx

xpx2+4 ĐS:I=

1 4ln ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ p

x2+4−2 p

x2+4+2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ +C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z dx

xpx2+4=

Z xdx

x2px2+4

Đặtt=px2+4⇒t2

=x2+4⇒x2=t2−4⇒2xdx=2tdt⇒xdx=tdt

Suy

I =

Z 1

t2−4dt=

Z

t2

t+2 ả dt = 4ln ¯ ¯ ¯ ¯

t−2

t+2 ¯ ¯ ¯ ¯+

C=1 4ln ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ p

x2+4−2 p

x2+4+2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

+C

VậyI=

Z dx

xpx2+4= 4ln ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ p

x2+4−2 p

x2+4+2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

+C ä

11 TínhI=

Z dx

xpx2+9 ĐS:I=

1 6ln ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ p

x2+9−3 p

x2+9+3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ +C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z dx

xpx2+9=

Z xdx

x2px2+9

Đặtt=px2+9⇒t2

=x2+9⇒x2=t2−9⇒2xdx=2tdt⇒xdx=tdt

Suy

I =

Z 1

t2−9dt=

Z µ

t−3−

t+3 ¶ dt = 6ln ¯ ¯ ¯ ¯

t−3

t+3 ¯ ¯ ¯ ¯+

C=1 6ln ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ p

x2+9−3 p

x2+9+3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

+C

VậyI=

Z dx

xpx2+9= 6ln ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ p

x2+9−3 p

x2+9+3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

+C ä

12 TínhI= Z

x53 »

¡

1−2x2¢2dx ĐS:

I= −

80 ¡

1−2x2¢»3 ¡

1−2x2¢2 +

64 ¡

1−2x2¢2»3 ¡

1−2x2¢2 −

176 ¡

1−2x2¢3»3 ¡

1−2x2¢2 +C

(69)

Ta cóI=

Z

x53 »

¡

1−2x2¢2 dx=

Z

x43 »

¡

1−2x2¢2 ·xdx

Đặtt=p3 1−2x2⇒t3=1−2x2⇒x2=1−t3

2 ⇒xdx= − 3t2

4 dt

Suy

I =

Z 1t3

2 ả2

Ãt2Ã

à 3t

2

4 ả

dt=

16 Z

¡

t4−2t7+t10¢ dt

= − 16

µt5 −

2t8

8 +

t11

11 ¶

+C

= − 80

¡

1−2x2¢»3 ¡

1−2x2¢2 +

64 ¡

1−2x2¢2»3 ¡

1−2x2¢2 −

176 ¡

1−2x2¢3»3 ¡

1−2x2¢2 +C

VậyI= −

80 ¡

1−2x2¢ »

¡

1−2x2¢2 +

64 ¡

1−2x2¢2 »

¡

1−2x2¢2 −

176 ¡

1−2x2¢3 »

¡

1−2x2¢2

+C ä

13 TínhI=

Z 2x3−3x2+x p

x2−x+1 dx ĐS:I=

2¡x2−x+1¢px2−x+1

3 −2

p

x2−x+1+C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z 2x3

−3x2+x

p

x2−x+1 dx= Z (2x

−1)(x2−x) p

x2−x+1 dx=

Z (x2 −x) p

x2−x+1·(2x−1) dx

Đặtt=px2−x+1⇒t2=x2−x+1⇒x2−x=t2−1⇒(2x−1) dx=2tdt.

Suy

I =

Z t2−1

t ·2tdt=

Z ¡

2t2−2¢ dt

= 2t

3 −2t+C=

2¡x2−x+1¢px2−x+1

3 −2

p

x2−x+1+C.

VậyI=

Z 2x3

−3x2+x

p

x2−x+1 dx= 2¡

x2−x+1¢p

x2−x+1

3 −2

p

x2−x+1+C. ä

Z lnxdx

xp1+lnx ĐS:I=

2 (1+lnx)p1+lnx

3 −2

p

1+lnx+C

Lời giải: Đặtt=p1+lnx⇒t2=1+lnx⇒lnx=t2−1⇒ dx

x =2tdt

Suy

I =

Z t2−1

t ·2tdt=

Z ¡

2t2−2¢ dt

= 2t

3 −2t+C=

2 (1+lnx)p1+lnx

3 −2

p

1+lnx+C

VậyI=

Z lnxdx

xp1+lnx =

2 (1+lnx)p1+lnx

3 −2

p

1+lnx+C

1 TínhI=

Z lnxp1

+3 lnx

x dx ĐS: I=

2 (1+3 lnx)2p1+3 lnx

45 −

2 (1+3 lnx)p1+3 lnx

27 +C

-Lời giải.

Đặtt=p1+3 lnx⇒t2=1+3 lnx⇒lnx=t 2−1

3 ⇒ dx

x =

2t

(70)

Suy

I =

Z ¡t2−1¢t ·

2t

3 dt= Z

¡

t4−t2¢ dt

=

µt5 −

t3

3 ¶

+C=2 (1+3 lnx)

2p1

+3 lnx

45 −

2 (1+3 lnx)p1+3 lnx

27 +C

VậyI=

Z lnxp1

+3 lnx

x dx=

2 (1+3 lnx)2p1+3 lnx

45 −

2 (1+3 lnx)p1+3 lnx

27 +C ä

2 TínhI=

Z dx

xp31+lnx ĐS:I=

3p3 (1+lnx)2 +C

-Lời giải.

Đặtt=p3 1+lnx⇒t3=1+lnx⇒lnx=t3−1⇒ dx

x =3t

2dt.

Suy

I =

Z 1

t·3t

2dt =

Z 3tdt

= 3t

2 +C=

3p3 (1+lnx)2 +C

VậyI=

Z dx

xp3 1+lnx=

3p3 (1+lnx)2

2 +C ä

3 TínhI= Z

ln2xdx

xp1+lnx ĐS: I=

2 (1+lnx)2p1+lnx

5 −

4 (1+lnx)p1+lnx

3 +2

p

1+lnx+C

-Lời giải.

Đặtt=p1+lnx⇒t2=1+lnx⇒lnx=t2−1⇒ dx

x =2tdt

Suy

I =

Z ¡t2−1¢2

t ·2tdt=

Z ¡

2t4−4t2+2¢ dt

= 2t

5 − 4t3

3 +2t+C=

2 (1+lnx)2p1+lnx

5 −

4 (1+lnx)p1+lnx

3 +2

p

1+lnx+C

VậyI=

Z ln2xdx

xp1+lnx=

2 (1+lnx)2p1+lnx

5 −

4 (1+lnx)p1+lnx

3 +2

p

1+lnx+C ä

4 I=

Z

exp5−exdx.

ĐS: −2

¡p

5−ex¢3 +C

-Lời giải.

Đặtt=p5−ex⇒t2=5−ex⇒ −2tdt=exdx. Suy raI=

Z

t·(−2t) dt= −2 Z

t2dt=−2

3 t

+C=−2

3 ³p

5−ex´3+C. ä

5 I=

Z dx p

ex+3

ĐS: p1

¡ ln¯¯

p

ex+3−p3¯ ¯−ln

¯ ¯

p

ex+3+p3¯ ¯ ¢

+C

(71)

Đặtt=pex+3⇒t2=ex+3⇒ex=t2−3⇒dx= 2t

t2−3dt

Suy

I=

Z 1

t ·

2t

t2−3dt=2 Z 1

t2−3dt = 2p3

Z

tp3

t+p3 ả

dt

= p1

³ ln¯¯

¯t− p

3¯¯ ¯−ln

¯ ¯ ¯t+

p 3¯¯

¯ ´

+C

= p1

³ ln¯¯

¯ p

ex+3−p3¯¯ ¯−ln

¯ ¯ ¯

p

ex+3+p3¯¯ ¯ ´

+C

ä

6 I=

Z

cosxp3 sinx+2 dx

ĐS:

³p

3 sinx+2´3+C

-Lời giải.

Đặtt=p3 sinx+2⇒t2=3 sinx+2⇒

3tdt=cosxdx

Suy raI=

Z

t·2

3tdt= Z

t2dt=2

9t

+C=2

9 ³p

3 sinx+2´3+C ä

7 I= Z

sinxp2018+cosxdx

ĐS: −2

¡p

2018+cosx¢3+C

-Lời giải.

Đặtt=p2018+cosx⇒t2=2018+cosx⇒ −2tdt=sinxdx Suy raI=

Z

t·(−2t) dt= −2 Z

t2dt=−2

3 t

+C=−2

3 ³p

2018+cosx´3+C ä

8 I= Z

1

xlnxp6+3 ln2x

dx

ĐS: 2p6

³ ln

¯ ¯ ¯

p

6+3 ln2x−p6 ¯ ¯ ¯−ln

¯ ¯ ¯

p

6+3 ln2x+p6 ¯ ¯ ¯ ´

+C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z lnx

xln2xp6+3 ln2x

dx

Đặtt=p6+3 ln2x⇒t2=6+3 ln2x⇒ 3tdt=

1

xlnxdx

Suy

I=

Z 1

t2−6 ·t

·1 3tdt=

Z 1

t2−6dt = 2p6

Z µ

t−p6−

t+p6 ¶

dt

= 2p6

³ ln

¯ ¯ ¯t−

p

¯ ¯ ¯−ln

¯ ¯ ¯t+

p

¯ ¯ ¯ ´

+C

= 2p6

³ ln

¯ ¯ ¯

p

6+3 ln2x−p6 ¯ ¯ ¯−ln

¯ ¯ ¯

p

6+3 ln2x+p6 ¯ ¯ ¯ ´

+C ä

9 I=

Z x

x+px2−1dx

ĐS: 3x

3−1

³p

(72)

Z ³

x−px2−1´·xdx= Z

x2dx−

Z

xpx2−1 dx=I 1−I2

I1=

Z

x2dx=1

3x

+C1

I2=

Z

xpx2−1 dx.

Đặtt=px2−1⇒t2=x2−1⇒tdt=xdx.

Suy raI2=

Z

t·tdt=

Z

t2dt=1

3t

+C2=1

3 ³p

x2−1´3+C

VậyI=1 3x

3−1

³p

x2−1´3+C. ä

10 I=

Z x3 p

x4+1−x2dx

ĐS: 6x

6+1

³p

x4+1´3+C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z ³

p

x4+1+x2´

·x3dx=

Z

x3px4+1 dx+ Z

x5dx=I1+I2

I2=

Z

x5dx=1

6x

+C1

I1=

Z

x3px4+1 dx.

Đặtt=px4+1⇒t2=x4+1⇒1

2tdt=x 3dx.

Suy I1=

Z

t·1

2tdt= Z

t2dt=

6t

+C2=1

6 ³p

x4+1´3+C

2 Vậy I= 6x

6+1

³p

x4+1´3+C. ä

11 I=

Z 3x

p

x2+2+px2−1dx

ĐS: ³p

x2+2´3

3 +

³p

x2−1´3 +C

-Lời giải.

Ta cóI= Z

x

³p

x2+2−px2−1 ´

dx= Z

xpx2+2 dx− Z

xpx2−1 dx=I1−I2

I1= Z

p

x2+2 dx.

Đặta=px2+2⇒a2=x2+2⇒ada=xdx.

Suy raI1=

Z

a2da=a

3

3 +C1= ³p

x2+2 ´3

3 +C1

I2=

Z

xpx2−1 dx.

Đặtb=px2−1⇒b2=x2−1⇒bdb=xdx.

Suy raI2=

Z

b2db=b

3

3 +C2= ³p

x2−1´3 +C2

VậyI=

³p

x2+2´3

3 +

³p

x2−1´3

3 +C ä

Ví dụ 6. I=

Z lnx

x dx

(73)

Lời giải:

Đặtt=lnx⇒dt=1

xdx Suy I=

Z

tdt= t

2

2 +C= ln2x

2 +C Bài 6. Tìm nguyên hàm hàm số sau:

1 I=

Z ln2x

x dx

ĐS: ln 3x +C

-Lời giải.

Đặtt=lnx⇒ dt=1

xdx Suy I=

Z

t2dt=t

3

3 +C= ln3x

3 +C ä

2 I= Z 1

+lnx x dx

ĐS: (1+lnx)

2 +C

-Lời giải.

Đặtt=1+lnx⇒dt=1

xdx Suy I=

Z

tdt= t

2

2 +C=

(1+lnx)2

2 +C ä

3 I= Z 1

+ln4x x dx

ĐS:lnx+ln

5x +C

-Lời giải.

Đặtt=lnx⇒ dt=1

xdx Suy I=

Z

(1+t4) dt=t+t

5

5 +C=lnx+ ln5x

5 +C ä

4 I=

Z 3 lnx +1

xlnx dx

ĐS:ln|x| +ln|xlnx| +C

-Lời giải.

Đặtt=xlnx⇒ dt=(lnx+1) dx Suy

I=

Z 3 lnx +1

xlnx dx=

Z 2 lnx

+lnx+1

xlnx dx=

Z 2

xdx+

Z lnx +1

xlnx dx = ln|x| +

Z dt

t

= ln|x| +ln|t| +C

= ln|x| +ln|xlnx| +C ä

5 I=

Z lnx

x(2+lnx)2dx

ĐS:ln|2+lnx| +2·

2+lnx+C

-Lời giải.

Đặtt=2+lnx⇒dt=1

xdx

Suy raI=

Z lnx

x(2+lnx)2dx= Z t

−2

t2 dt=

Z 1

tdt−

Z 2

t2dt=ln|t|+2

1

t+C=ln|2+lnx|+2·

1 2+lnx+

(74)

6 I= 4+lnx x dx

ĐS:

2³p4+lnx´3

3 +C

-Lời giải.

Đặtt=p4+lnx⇒t2=4+lnx⇒2tdt=1 xdx

Suy raI= Z p4

+lnx

x dx=

Z

2t2dt=2 Z

t2dt=2t

3 +C=

2³p4+lnx´3

3 +C ä

7 I=

Z p1

+3 lnx x dx

ĐS:

³p

1+3 lnx

´3 +C

-Lời giải.

Đặtt=p1+3 lnx⇒t2=1+3 lnx⇒2tdt=3 xdx

Suy raI= Z p1

+3 lnx

x dx=

Z 2 3t

2 dt=2

3·

t3

3 +C=

³p

1+3 lnx

´3

+C ä

8 I=

Z lnx

xp1+lnxdx

ĐS:

³p

1+lnx´3+2p1+lnx+C

-Lời giải.

Đặtt=p1+lnx⇒t2=1+lnx⇒2tdt=1

xdx

Suy I =

Z lnx

xp1+lnxdx =2

Z t(t2−1)

t dt =2

Z

(t2−1) dt= 2·t

3 −2t+C =

³p

1+lnx´3+

2p1+lnx+C ä

Ví dụ 7. I=

Z exdx ex−1

ĐS:ln|ex−1| +C

Lời giải: Đặtt=ex−1⇒dt=exdx Suy I=

Z exdx ex−1=

Z 1

tdt=ln|t| +C=ln|e

x

−1| +C

Bài 7. Tìm nguyên hàm hàm số sau:

1 I=

Z dx ex+3

ĐS: 3(ln|e

x| −ln|ex+3|)+C

-Lời giải.

Đặtt=ex+3⇒ dt=exdx Suy

I=

Z dx ex+3=

Z exdx ex(ex+3)=

Z 1

(t−3)tdt=

Z µ 3(t−3)−

1 3t

¶

dt =

3ln|t−3| −

3ln|t| +C =

3 ¡

(75)

2 I=

Z dx ex+4

ĐS: 4(ln|e

x| −ln|ex+4|)+C

-Lời giải.

Đặtt=ex+4⇒ dt=exdx Suy

I=

Z dx ex+4=

Z exdx ex(ex+4)=

Z 1

(t−4)tdt=

Z µ 4(t−4)−

1 4t

¶

dt =

4ln|t−4| −

4ln|t| +C =

4 ¡

ln|ex| −ln|ex+4|¢+C ä

3 I=

Z dx ex+e−x

ĐS:arctan ex+C

-Lời giải.

Đặtt=ex⇒dt=exdx Suy I= Z

dx

ex+e−x =

Z

exdx

e2x+1=

Z

t2+1dt

Đặtt=tanu⇒dt=

cos2udu

VậyI=

Z 1

tan2u+1·

cos2udu= Z

du=u+C=arctant+C=arctan ex+C ä

4 I=

Z exdx ex+e−x

ĐS: 2ln|e

2x+1| +C

-Lời giải.

Đặtt=e2x+1⇒dt=2e2xdx Suy raI=

Z exdx ex+e−x =

Z e2xdx e2x+1 =

1

Z 1

tdt=

1

2ln|t| +C= 2ln|e

2x

+1| +C ä

5 I=

Z dx ex+2e−x−3

ĐS:ln|ex−2| −ln|ex−1| +C

-Lời giải.

Đặtt=ex⇒dt=exdx Ta có

I= Z

dx

ex+2e−x−3=

Z

exdx

e2x+2−3ex =

Z

1

t2−3t+2dt= Z

1

(t−2)(t−1)dt = Z

1

t−2−

t−1dt = ln|t−2| −ln|t−1| +C

= ln|ex−2| −ln|ex−1| +C ä

6 I=

Z dx ex−4·e−x

ĐS: 4(ln|e

x−2

| −ln|ex+2|)+C

(76)

Ta cóI=

e2x−4dx Đặtt=ex⇒dt=exdx Suy raI=

Z dt

t2−4 =

Z µ

t−2−

t+2 ¶

=1

4(ln|t−2| −ln|t+2|)+C= ¡

ln¯¯ex−2 ¯ ¯−ln

¯ ¯ex+2

¯ ¯ ¢

+C

ä

7 I=

Z (1+ex)3 ex dx

ĐS: −1

ex +3x+3e x+1

2e 2x+C

-Lời giải.

Ta cóI= Z

1+3ex+3e2x+e3x ex dx=

Z

ex+3+3e x

+e2x ả

dx=−1

ex +3x+3e x

+1 2e

2x

+C ä

8 I=

Z e2x+3ex e2x+3ex+2dx

ĐS:2 ln|ex+1| −ln|ex+2| +C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z ex

(ex+3) e2x+3ex+2dx Đặtt=ex⇒dt=exdx Suy raI=

Z t +3

t2+3t+2dt= Z µ

2

t+1−

t+2 ¶

dt=2 ln|t+1|−ln|t+2|+C=2 ln¯ ¯ex+1

¯ ¯−ln

¯ ¯ex+2

¯ ¯+

C

ä

9 I=

Z ex (1+ex)2dx

ĐS: −1 ex+1+C

-Lời giải.

Đặtt=ex+1⇒ dt=exdx Ta cóI=

Z dt

t2 = −1

t +C=

−1

ex+1+C ä

10 I=

Z 2ex−1 ex+1 dx

ĐS:2 ln ex+1−1 2ln(e

x)−1

2ln(e

x+2)+C

-Lời giải.

Đặtt=ex+1⇒ex=t−1⇒ dx= dt t−1

Suy

I=

Z 2(t

−1)−1

t ·

dt t−1=

Z µ

t−

1

t(t−1) ¶

dt = lnt−

Z µ

t−1−

t

¶

= lnt−ln(t−1)−ln(t)+C

= ln(ex+1)−ln(ex)−ln(ex+1)+C

ä

11 I=

Z e2x p

(77)

ĐS: ¡p

ex+1¢2

3 +

p

ex+1+C

-Lời giải.

Đặtt=pex−1⇒t2=ex−1⇒ex=t2+1⇒exdx=2tdt. Suy raI=

Z (t2+1)2t

t dt=2

Z

(t2+1) dt=2t

3

3 +2t+C=

2¡pex+1¢3 +2

p

ex+1+C ä

12 I= Z

e2xdx

p 3+ex

ĐS: 2e

x

3 p

3+ex−6p3+ex+C

-Lời giải.

Đặtt=p3+ex⇒ dt= e x

2p3+exdx Suy raI=

Z

2(t2−3) dt=2t

3

3 −6t+C= 3(3+e

x)p3

+ex−6p3+ex+C=2e x

3 p

3+ex−6p3+ex+C.

ä

13 I= Z

dx

p ex+1

ĐS:ln|pex+1−1| −ln|pex+1+1| +C.

-Lời giải.

Đặtt=pex+1⇒ dt= e x

2pex+1dx Suy

I=2 Z 1

t2−1dt=2 Z

1 2(t1)

1 2(t+1)

ả

dt = ln|t−1| −ln|t+1| +C

= ln|pex+1−1| −ln|pex+1+1| +C.

ä Ví dụ 8. I=

Z

tanxdx

ĐS:−ln|cosx| +C

Lời giải: Ta có I=

Z sinx cosxdx

Đặtt=cosx⇒dt= −sinxdx Suy I=

Z −1

tdt= −ln|t| +C= −ln|cosx| +C

1 I= Z

sin3xdx

ĐS:−cosx+cos

3x +C

-Lời giải.

Ta cóI= Z

(1−cos2x)·sinxdx Đặtt=cosx⇒ dt= −sinxdx Suy raI=

Z

−(1−t2) dt= −t+t

3 +C= −cosx+ cos3x

(78)

2 I= sin5xdx

ĐS:−cos 5x +

2 cos3x

3 −cosx+C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z

(1−cos2x)2sinxdx Đặtt=cosx⇒ dt= −sinxdx Suy raI=

Z

−(1−t2)2dt=

Z

(−t4+2t2−1) dt= −t

5

5 + 2t3

3 −t+C= − cos5x

5 +

2 cos3x

3 −cosx+C ä

3 I= Z

cos2017x·sinxdx

ĐS:−cos 2018x 2018 +C

-Lời giải.

Đặtt=cosx⇒ dt= −sinxdx Suy raI=

Z

−t2017dt= −t

2018

2018+C= −

cos2018x

2018 +C ä

4 I=

Z sinx cos2xdx

ĐS: cosx+C

-Lời giải.

Z −1

t2dt=

1

t+C=

1

cosx+C ä

5 I= Z

sin 2xcos2xdx

ĐS:−cos 4x +C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z

2 sinxcos3xdx Đặtt=cosx⇒ dt= −sinxdx Suy raI=

Z

−2t3dt= −t

2 +C= − cos4x

2 +C ä

6 I=

Z sinx 2+cosxdx

ĐS:−ln|2+cosx| +C

-Lời giải.

Đặtt=2+cosx⇒dt= −sinxdx Suy raI=

Z −1

tdt= −ln|t| +C= −ln|2+cosx| +C ä

7 I=

Z 5 sin3x 1−cosxdx

ĐS:−5 cosx−5

2cos 2x

+C

(79)

Ta cóI= Z

5(1−cos2x) sinx

1−cosx dx=

Z

5(1+cosx) sinxdx Đặtt=cosx⇒ dt= −sinxdx

Suy raI= Z

−5(1+t) dt= −5t−5t

2 +C= −5 cosx− 2cos

2x

+C ä

8 I=

Z

sin2xtanxdx

ĐS:−ln|cosx| +cos

2x +C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z sin3x cosx dx=

Z (1

−cos2x) sinx

cosx dx

Z

−1−t

t dt=

Z

t+t

ả

dt= ln|t| +t

2

2 +C= −ln|cosx| + cos2x

2 +C ä

9 I=

Z sin 2xcosx 1−cosx dx

ĐS: cos 2x

2 −2 cosx+ln|cosx| +C

-Lời giải.

Ta cóI= Z

2 sinxcos2x

1−cosx dx

Đặtt=1−cosx⇒dt=sinxdx Suy raI=

Z (1 −t)2

t dt=

Z µ

t−2+1

t

¶ dt= t

2

2 −2t+ln|t| +C= cos2x

2 −2 cosx+ln|cosx| +C ä

10 I=

Z sin 2x 4−cos2xdx

ĐS:ln|4−cos2x| +C

-Lời giải.

Đặtt=4−cos2x⇒dt=sin 2xdx Suy raI=

Z 1

tdt=ln|t| +C=ln|4−cos

2x

| +C ä

11 I=

Z sin 4x 1+cos2xdx

ĐS:−2(1+cos2x)2+6 ln|1+cos2x| +C

-Lời giải.

I= Z

2 sin 2x(2(cos2x+1)−3) 1+cos2x dx

Đặtt=1+cos2x⇒dt= −sin 2xdx Suy raI=

Z

−2(2t 2−3)

t dt=

Z

à 4t6

t

ả

dt= −2t2+6 ln|t|+C= −2(1+cos2x)2+6 ln|1+cos2x|+C

ä

12 I=

Z ³

1+tanxtanx ´

sinxdx

ĐS:−ln|cosx| +C

(80)

I=

Z cosxcos

2+sinxsin2 cosxcosx

2

sinxdx=

Z cos cosxcosx

2

sinxdx=

Z sinx cosxdx

Z −1

tdt= −ln|t| +C= −ln|cosx| +C ä

13 I=

Z sinx

cos 2x+3 cosx+2dx

ĐS:ln|cosx+1| −ln|2 cosx+1| +C

-Lời giải.

I=

Z sinx

2 cos2x+3 cosx+1dx

Đặtt=cosx⇒ dt= −sinxdx Suy

I=

Z

−

2t2+3t+1dt = Z

−

(2t+1)(t+1)dt =

Z µ

t+1− 2t+1

¶

dt=ln|t+1| −ln|2t+1| +C=ln|cosx+1| −ln|2 cosx+1| +C

ä

14 I=

Z sinx

cos 2x−cosxdx

ĐS:−1

3ln|cosx+1| +

3ln|2 cosx+1| +C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z sinx

2 cos2x−cosx−1dx

Đặtt=cosx⇒ dt= −sinxdx Suy

I=

Z

−

2t2−t−1dt = Z

−

(2t+1)(t−1)dt= −

Z

t1 2t+1

ả dt

= −1

3ln|t+1| +

3ln|2t+1| +C= −

3ln|cosx+1| +

3ln|2 cosx+1| +C ä

15 I=

Z sinx

+sin 3x

cos 2x dx

ĐS:−cos 4x +C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z 2 sin 4xcos 2x cos 2x dx=

Z

2 sin 4xdx= −cos 4x

2 +C ä

16 I=

Z

2 sinxp1+4 cosxdx

ĐS:−1

p

1+4 cosx(1+4 cosx)+C

-Lời giải.

Đặtt=p1+4 cosx⇒t2=1+4 cosx⇒tdt= −2 sinxdx Suy raI=

Z

−t2dt= −t

3 = −

p

(81)

17 TínhI=

Z sin 2x

+sinx

p

1+3 cosx dx ĐS: −

2 Ã

2¡p

1+3 cosx¢3

3 +

p

1+3 cosx

! +C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z sin 2x +sinx

p

1+3 cosx dx=

Z sinx(2 cosx +1) p

1+3 cosx

Đặtt=p1+3 cosx⇒t2=1+3 cosx⇒ −2

3tdt=sinxdx Khi

I= Z − 3t

àt2

ả +1

¶

t dt=

Z −2

9(2t

+1) dt= −2

9 µ

2t3

3 +t ¶

+C= −2

9 Ã

2¡p1+3 cosx¢3

3 +

p

1+3 cosx

! +C ä

18 TínhI=

Z dx

sinx ĐS:

1 2ln ¯ ¯ ¯ ¯

cosx−1 cosx+1 ¯ ¯ ¯ ¯+

C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z dx sinx =

Z sinxdx sin2x =

Z sinxdx 1−cos2x

Đặtt=cosx⇒ −dt=sinxdx Khi

I=

Z dt

t2−1=

Z µ

t−1−

t+1 ¶

dt=1

2(ln|t−1| −ln|t+1|)+C= 2ln ¯ ¯ ¯ ¯

t−1

t+1 ¯ ¯ ¯ ¯+

C=1

2ln ¯ ¯ ¯ ¯

cosx−1 cosx+1 ¯ ¯ ¯ ¯+ C ä

19 TínhI=

Z dx

sin3x ĐS: −

1 µ

1 1−cosx−

1

1+cosx+ln

¯ ¯ ¯ ¯

1+cosx

1−cosx

¯ ¯ ¯ ¯ ¶ +C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z dx sin3x=

Z sinxdx sin4x =

Z sinxdx (1−cos2x)2

Đặtt=cosx⇒dt= −sinxdx Khi

I =

Z

−dt

(1−t2)2 = − Z

[(1+t)+(1−t)]2dt

(1−t)2·(1+t)2 = − Z

(1+t)2+(1−t)2+2(1−t)(1+t) (1−t)2(1+t)2 dt = −1

4

Z · 1 (1−t)2+

1 (1+t)2+

1 (1−t)(1+t)

¸

dt= −1

Z · 1 (1−t)2+

1 (1+t)2+

1 1+t+

1 1−t

¸ dt

= −1 µ

1 1−t−

1 1+t+ln

¯ ¯ ¯ ¯

1+t

1−t

¯ ¯ ả

+C= 1

4

1 1−cosx−

1

1+cosx+ln

¯ ¯ ¯ ¯

1+cosx

1−cosx

¯ ¯ ¯ ¯ ¶

+C

ä

20 TínhI=

Z dx

sinx+p3 cosx ĐS: −

1 4ln ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

1+cos³x+π

3 ´

1−cos³x+π

3 ´ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ +C

-Lời giải.

Ta có

I =

Z dx

sinx+p3 cosx=

1

Z dx sin

³

x+π ´= Z sin ³

x+π

3 ´

dx

sin ³

x+π ´

sin ³

x+π ´ = Z sin ³

x+π

3 ´

dx

1−cos2³x+π ´= − 4ln ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

1+cos³x+π

3 ´

1−cos³x+π

3 ´ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

+C

(82)

Ví dụ 9.

TínhI=

Z

cotxdx ĐS: ln|sinx| +C

Lời giải:

Ta cóI= Z

cotxdx= Z

cosx

sinxdx=ln|sinx| +C

1 TínhI=

Z

cos3xdx ĐS:

3sin 3x

+C

-Lời giải.

Ta cóI=R

cos3xdx=R

cosxsin2xdx Đặtt=sinx⇒dt=cosxdx Khi I=R

t2d= t

3 +C= 3sin

3x

+C ä

2 TínhI=

Z

cos5xdx ĐS: sinx−2

3sin 3x

+1 5sin

5x +C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z

cos5xdx=

Z

cosx¡

1−sin2x¢2 dx Đặtt=sinx⇒dt=cosxdx Khi

I =

Z ¡

1−t2¢2 dt=

Z ¡

1−2t2+t4¢ dt

= t−2 3t

3 +1

5t

+C=sinx−2 3sin

3x +1

5sin 5x

+C

ä

3 TínhI=

Z

sin2019xcosxdx ĐS:

2020sin 2020x

+C

-Lời giải.

Đặtt=sinx⇒dt=cosxdx Khi I=

Z

t2019dt=

2020t 2020

+C=

2020sin 2020x

+C ä

4 TínhI= Z

(1+2 sinx) cosxdx ĐS: (1+2 sinx)

4 +C

-Lời giải.

Đặtt=1+2 sinx⇒dt=2 cosxdx⇒1

2dt=cosxdx Khi

I=

Z 1 2tdt=

1 Z

tdt=1

2·

t2

2 +C=

(1+2 sinx)2 +C

ä

5 TínhI=

Z cosx

4+sinxdx ĐS: ln|4+sinx| +C

-Lời giải.

Đặtt=4+sinx⇒dt=cosxdx Khi đóI=

Z dt

t =ln|t| +C=ln|4+sinx| +C ä

6 TínhI=

Z cosx

9−2 sinxdx ĐS: −

1

2ln|9−2 sinx| +C

(83)

Đặtt=9−2 sinx⇒dt= −2 cosxdx⇒ −1

2dt=cosxdx Khi

I =

Z − 2dt

t = −

1

Z dt

t = −

1

2ln|t| +C= −

2ln|9−2 sinx| +C

ä

7 TínhI=

Z sin 2x

1−sinxdx ĐS: −2 ln|1−sinx| +2(1−sinx)+C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z sin 2x 1−sinxdx=

Z 2 sinxcosx 1−sinx dx

Đặtt=1−sinx⇒dt= −cosxdx Khi

I=

Z

−2(1−t) dt

t =

Z µ −2

t +2

¶

dt= −2 ln|t| +2t+C= −2 ln|1−sinx| +2(1−sinx)+C ä

8 TínhI= Z

sin 2x

(2+sinx)2dx ĐS: ln|2+sinx| +

2+sinx+C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z sin 2x

(2+sinx)2dx=

Z 2 sinxcosx (2+sinx)2dx

Đặtt=2+sinx⇒dt=cosxdx Khi

I=

Z 2(t −2) dt

t2 =

Z µ

t −

4

t2 ¶

dt=2 ln|t| +4

t+C=2 ln|2+sinx| +

4

2+sinx+C

ä

9 TínhI=

Z

(1+sinx)9cosxdx ĐS: (1+sinx) 10

10 +C

-Lời giải.

Đặtt=1+sinx⇒dt=cosxdx Khi đóI= Z

t9dt=t 10

10+C=

(1+sinx)10

10 +C ä

10 TínhI= Z

sin 2xsin5xdx ĐS:

7sin 7x

+C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z

sin 2xsin5xdx=

Z

2 sin6xcosxdx Đặtt=sinx⇒dt=cosxdx Khi I=

Z

2t6dt=2

7t

+C=2

7sin 7x

+C ä

11 TínhI=

Z

(1+2 sinx)7cosxdx ĐS: (1+2 sinx)

8 +C

-Lời giải.

Đặtt=1+2 sinx⇒1

2dt=cosxdx Khi I= Z

t7dt= t

8 +C=

(1+2 sinx)8

8 +C ä

12 TínhI=

Z (2 sinx

−3) cosx

2 sinx+1 dx ĐS:

2(2 sinx+1−4 ln|2 sinx+1|)+C

-Lời giải.

Đặtt=2 sinx+1⇒ t−1

2 =sinx⇒

2dt=cosxdx Khi

I=

Z (t−1−3) 2dt

t =

1

Z µ 1−4

t

¶ dt=1

2(t−4 ln|t|)+C=

(84)

13 TínhI=

1+2 sin 2xdx ĐS: 4ln|1+2 sin 2x| +C

-Lời giải.

Đặtt=1+2 sin 2x⇒dt=4 cos 2xdx Khi

I =

Z 4dt

t =

1

Z 1

tdt

=

4ln|t| +C=

4ln|1+2 sin 2x| +C

ä

14 TínhI= Z 1

−2 sin2x

1+sin 2x dx ĐS:

1

2ln|1+sin 2x| +C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z 1

−2 sin2x

1+sin 2x dx=

Z cos 2x 1+sin 2xdx

Đặtt=1+sin 2x⇒dt=2 cos 2xdx Khi

I=

Z 2dt

t =

1

Z dt

t =

1

2ln|t| +C=

2ln|1+sin 2x| +C

ä

15 TínhI=

Z cosxdx

6−5 sinx+sin2x ĐS: ln

¯ ¯ ¯ ¯

sinx−3 sinx−2 ¯ ¯ ¯ ¯+

C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z cosxdx

6−5 sinx+sin2x=

Z cosxdx (sinx−3)(sinx−2)

Đặtt=sinx−3⇒dt=cosxdx Khi

I=

Z dt

t(t+3−2)=

Z dt

t(t+1)= Z µ

1

t −

1

t+1 ¶

dt=ln ¯ ¯ ¯ ¯

t t+1

¯ ¯ ¯ ¯+

C=ln ¯ ¯ ¯ ¯

sinx−3 sinx−2 ¯ ¯ ¯ ¯+

C

ä

16 TínhI=

Z

cosxesinxdx ĐS: esinx+C

-Lời giải.

Ta cóI= Z

cosxesinxdx=esinx+C ä

17 TínhI=

Z

cosxp1+sinxdx ĐS:

3

p

(1+sinx)3+C

-Lời giải.

Đặtt=p1+sinx⇒t2=1+sinx⇒2tdt=cosxdx Khi

I =

Z

t·2tdt=2t

3

3 +C=

p

(1+sinx)3+C

ä

18 TínhI= Z

cosxp3 sinx+1 dx ĐS:

p

(3 sinx+1)3

9 +C

(85)

Đặtt=p3 sinx+1⇒t2=3 sinx+1⇒

3tdt=cosxdx Khi

I =

Z 3t

2 dt=2

3·

t3

3 +C=

p

(3 sinx+1)3 +C

ä

19 TínhI= Z

cosxdx

2+p3 sinx+1 ĐS: ³

2+p3 sinx+1−2 ln|2+p3 sinx+1|´+C

-Lời giải.

Đặtt=2+p3 sinx+1⇒t−2=p3 sinx+1⇒(t−2)2=3 sinx+1⇒2(t−2) dt=3 cosxdx Khi

I =

Z cosxdx 2+p3 sinx+1=

Z

3·(t−2) dt

t

=

Z t −2

t dt=

2

Z µ 1−2

t

¶ dt

=

3(t−2 ln|t|)+C= ³

2+p3 sinx+1−2 ln ¯ ¯ ¯2+

p

3 sinx+1 ¯ ¯ ¯ ´

+C

ä

20 TínhI= Z dx

cosx ĐS:

1 2ln ¯ ¯ ¯ ¯

1+sinx

1−sinx

¯ ¯ ¯ ¯+

C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z dx cosx=

Z cosxdx cos2x =

Z cosxdx 1−sin2x

Đặtt=sinx⇒dt=cosxdx Khi

I =

Z dt 1−t2 =

Z 1 µ

1 1−t+

1 1+t

¶ dt

=

2(ln|1+t| −ln|1−t|)+C= 2ln ¯ ¯ ¯ ¯

1+t

1−t

¯ ¯ ¯ ¯+

C=1

2ln ¯ ¯ ¯ ¯

1+sinx

1−sinx

¯ ¯ ¯ ¯+ C ä

21 TínhI=

Z dx

cos3x ĐS:

1 µ

1 1−sinx−

1

1+sinx+ln

¯ ¯ ¯ ¯

1+sinx

1−sinx

¯ ¯ ¯ ¯ ¶ +C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z dx cos3x =

Z cosxdx cos4x =

Z cosxdx (1−sin2x)2

Đặtt=sinx⇒dt=cosxdx Khi

I =

Z dt (1−t2)2 =

1 Z

[(1+t)+(1−t)]2dt

(1−t)2·(1+t)2 =

Z (1

+t)2+(1−t)2+2(1−t)(1+t) (1−t)2(1+t)2 dt =

4 Z ·

1 (1−t)2+

1 (1+t)2+

1 (1−t)(1+t)

¸ dt=1

4 Z ·

1 (1−t)2+

1 (1+t)2+

1 1+t+

1 1t

á dt = 1−t−

1 1+t+ln

¯ ¯ ¯ ¯

1+t

1−t

¯ ¯ ¯ ¯ ¶

+C=1 µ

1 1−sinx−

1

1+sinx+ln

¯ ¯ ¯ ¯

1+sinx

1−sinx

¯ ¯ ¯ ¯ ¶

+C

ä

Z tanx

cos2xdx ĐS:

tan2x

(86)

Lời giải: Đặtt=tanx⇒dt= dx

cos2x Khi I= Z

tdt= t

2 +C= tan2x

1 TínhI=

Z sin2x

cos4xdx ĐS:

tan3x

3 +C

-Lời giải.

Ta cóI= Z

sin2x

cos4xdx= Z

tan2x

cos2xdx

Đặtt=tanx⇒dt= dx

cos2x Khi I=

Z

t2dt= t

3

3 +C= tan3x

3 +C ä

2 TínhI= Z (1

+tanx)2

cos2x dx ĐS:

(1+tanx)3 +C

-Lời giải.

Đặtt=1+tanx⇒ dt= dx

cos2x Khi đóI= Z

t2dt=t

3

3 +C=

(1+tanx)3

3 +C ä

3 TínhI= Z 2

+3 tanx

1+cos 2x dx ĐS:

1 6·

(2+3 tanx)2 +C

-Lời giải.

Ta cóI= Z 2

+3 tanx

1+cos 2x dx=

Z 2

+3 tanx

2 cos2x dx

Đặtt=2+3 tanx⇒

3dt= dx

cos2x Khi đóI= Z 1

6tdt= 6·

t2

2 +C= 6·

(2+3 tanx)2

2 +C ä

4 TínhI=

Z tan2x

cos 2xdx ĐS:

1 2ln ¯ ¯ ¯ ¯

1+tanx

1−tanx

¯ ¯ ¯ ¯−

tanx+C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z tan2x cos 2xdx=

Z tan2x

2 cos2x−1dx=

Z tan2x 2−

cos2x · dx

cos2x=

Z tan2x 2−(1+tan2x)·

dx

cos2x

cos2x Khi

I =

Z t2 1−t2dt=

Z µ 1t21

ả dt=

Z 1

1 1−t+

1 1+t−2

¶ dt = 2ln ¯ ¯ ¯ ¯

1+t

1−t

¯ ¯ ¯ ¯−

t+C=1 2ln

¯ ¯ ¯ ¯

1+tanx

1−tanx

¯ ¯ ¯ ¯−

tanx+C

ä

5 TínhI=

Z dx

sin2x−4 cos2x ĐS:

1 4ln ¯ ¯ ¯ ¯

tanx−2 tanx+2 ¯ ¯ ¯ ¯+

C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z dx

sin2x−4 cos2x=

Z dx

cos2x¡

tan2x−4¢

cos2x Khi

I =

Z dt

t2−4= Z 1

4 µ

1

t−2−

t+2 ¶

dt

=

4(ln|t−2| −ln|t+2|)+C= 4ln ¯ ¯ ¯ ¯

t−2

t+2 ¯ ¯ ¯ ¯+

C=1

4ln ¯ ¯ ¯ ¯

tanx−2 tanx+2 ¯ ¯ ¯ ¯+

(87)

ä

6 TínhI=

Z dx

sin2x+3 sinxcosx ĐS:

1 3ln ¯ ¯ ¯ ¯ tanx

tanx+3 ¯ ¯ ¯ ¯+

C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z dx

sin2x+3 sinxcosx=

Z dx

cos2x(tan2x+3 tanx)

cos2x Khi

I =

Z dt

t2+3t= Z 1 t

t+3 ả

dt

=

3(ln|t| −ln|t+3|)+C= 3ln ¯ ¯ ¯ ¯ t t+3

¯ ¯ ¯ ¯+

C=1

3ln ¯ ¯ ¯ ¯ tanx

tanx+3 ¯ ¯ ¯ ¯+ C ä

7 TínhI=

Z dx

5 cos2x−8 sinxcosx+3 sin2x ĐS: − 2ln ¯ ¯ ¯ ¯

tanx−1 tanx−5

¯ ¯ ¯ ¯+

C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z dx

5 cos2x−8 sinxcosx+3 sin2x =

Z dx

cos2x(5−8 tanx+3 tan2x)

cos2x Khi

I =

Z dt 5−8t+3t2=

Z dt

(3t−5)(t−1)= Z

−1 2·

µ

t−1− 3t−5

¶ dt

= −1

2(ln|t−1| −ln|3t−5|)+C= − 2ln ¯ ¯ ¯ ¯

t−1 3t−5

¯ ¯ ¯ ¯+

C= −1 2ln

¯ ¯ ¯ ¯

tanx−1 tanx−5

¯ ¯ ¯ ¯+ C ä

8 TínhI=

Z dx

sinxcos3x ĐS: ln|tanx| + tan2x

2 +C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z dx sinxcos3x =

Z 1

sinxcosx·

dx

cos2x=

Z 1

cos2x(tanx)· dx

cos2x = Z 1

+tan2x

tanx ·

dx

cos2x

cos2x Khi

I= Z

1+t2 t dt=

Z

t+t

ả

dt=ln|t| +t

2 +C=ln|tanx| + tan2x

2 +C

ä

9 TínhI=

Z dx

cos4xsin2x ĐS: −

1

tanx+2 tanx+

tan3x

3 +C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z dx cos4xsin2x=

Z 1

cos2xsin2x· dx

cos2x =

Z 1

cos4x(tan2x)· dx

cos2x= Z (1

+tan2x)2 tan2x ·

dx

cos2x

cos2x Khi

I =

Z (1+t2)2

t2 dt= Z µ

1

t2+2+t 2¶

dt

= −1

t+2t+ t3

3 +C= −

tanx+2 tanx+

tan3x

3 +C

(88)

10 TínhI= dx

cos4x ĐS: tanx+

tan x

3 +C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z dx cos4x =

Z 1 cos2x·

dx

cos2x= Z 1

+tan2x

cos2x dx

cos2x Khi I= Z

(1+t2) dt=t+t

3 +C=tanx+ tan3x

3 +C ä

11 TínhI=

Z (1

+sin 2x) dx

2 sinxcos3x+cos4x ĐS:

tan2x

4 +

3 tanx

4 +

ln|2 tanx+1|

8 +C

-Lời giải.

Ta có

I =

Z (1

+sin 2x) dx

2 sinxcos3x+cos4x=

Z 1

+sin 2x

2 sinxcosx+cos2x· dx

cos2x

= Z

1

cos2x+2 tanx tanx+1 ·

dx

cos2x= Z 1

+tan2x+2 tanx

2 tanx+1 · dx

cos2x

cos2x Khi

I =

Z t2

+2t+1 2t+1 dt=

Z µ1 2t+

3 4+

1 4(2t+1)

¶ dt

= t

4 + 3t

4 +

ln|2t+1| +C = tan

2x +

3 tanx

4 +

ln|2 tanx+1| +C

ä Ví dụ 11.

TínhI=

Z cotx

sin2xdx ĐS:−

cot2x

2 +C Lời giải: Đặtt=cotx⇒dt= −

sin2xdx

Do I=

Z

−tdt= −t

2 +C= − cot2x

1 TínhI= Z (2

−cotx)2

sin2x dx ĐS:

(2−cotx)3 +C

-Lời giải.

Đặtt=2−cotx⇒dt=

sin2xdx

Do đóI=

Z

t2dt=t

3

3 +C=

(2−cotx)3

3 +C ä

2 TínhI=

Z cos2x

sin4xdx ĐS:−

cot3x

3 +C

(89)

Ta cóI= Z

cos2x

sin4xdx=

Z

cot2x

sin2xdx

Đặtt=cotx⇒dt= −

sin2xdx

Do đóI=

Z

−t2dt= −t

3 +C= − cot3x

3 +C ä

3 TínhI=

Z 3−cotx

1−cos 2xdx ĐS:

1

4(3−cotx)

+C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z 3 −cotx

1−cos 2xdx=

Z 3

−cotx

1−(1−2 sin2x)dx= Z 3

−cotx

2 sin2x dx

Đặtt=3−cotx⇒dt= sin2xdx

Do đóI=

Z 1

2tdt=t

+C=1

4(3−cotx)

+C ä

4 TínhI=

Z cos4x

sin6xdx ĐS: I= −

cot5x

5 +C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z cos4x sin6xdx=

Z cot4x sin2xdx

sin2xdx

Do đóI=

Z

−t4dt= −t

5

5 +C= − cot5x

5 +C ä

5 TínhI=

Z dx

sin4x ĐS:−cotx−

cot3x

3 +C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z dx sin4x=

Z 1

+cot2x

sin2x dx

sin2xdx

Do đóI= −

Z

(1+t2) dt= −t−t

3

3 +C= −cotx− cot3x

3 +C ä

6 TínhI=

Z cot2x

cos 2xdx ĐS:−cotx−

1 2ln

¯ ¯ ¯ ¯

cotx−1 cotx+1 ¯ ¯ ¯ ¯+

C

-Lời giải.

sin2xdx= −(1+cot

2x) dx.

Ta cócos 2x=t

2−1 1+t2

Suy radt= −(1+cot2x) dx⇒dx= −

1+t2dt

Do đóI=

Z t

à

1+t2 ả

t2−1 1+t2

dt= −

Z t2

t2−1dt= − Z t2

−1+1

t2−1 dt= − Z

1+

t21 ả

dt

VậyI= −

Z µ

t+1 2·

à

t1+

t+1 ảả

dt= −t−1 2·ln

¯ ¯ ¯ ¯

t−1

t+1 ¯ ¯ ¯ ¯+

C= −cotx−1 2ln

¯ ¯ ¯ ¯

cotx−1 cotx+1 ¯ ¯ ¯ ¯+

C ä

7 TínhI=

Z cot4x

cos 2xdx ĐS:−

cot3x

3 −cotx− 2ln

¯ ¯ ¯ ¯

cotx−1 cotx+1|

¯ ¯ ¯ ¯+

(90)

-Lời giải.

sin2xdx= −(1+cot

2x) dx.

Ta cócos 2x=t 2−1 1+t2

Suy radt= −(1+cot2x) dx⇒dx= −

1+t2dt

Do đóI=

Z t

à

1+t2 ả

t2−1 1+t2

dt= −

Z t4

t2−1dt= − Z t4

−1+1

t2−1 dt= − Z µ

t2+1+

t2−1 ¶

dt

VậyI= −t

3

3 −t− 2ln

¯ ¯ ¯ ¯

t−1

t+1 ¯ ¯ ¯ ¯+

C= −cot

3x

3 −cotx− 2ln

¯ ¯ ¯ ¯

cotx−1 cotx+1|

¯ ¯ ¯ ¯+

C ä

8 TínhI=

Z dx

cosxsin3x ĐS:−

cot2x

2 −ln|cotx| +C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z dx cosxsin3x =

Z 2(1

+cot2x) sin 2x dx

sin2xdx= −(1+cot

2x) dx.

Vàsin 2x= 2t t2+1

Do đóI= −

Z 2(1+t2) (1+t2)

µ 2t t2+1

¶dt= −

Z t2+1

t dt= −

Z

t+1 t

ả

dt= t

2

2 −ln|t| +C

VậyI= −cot

2x

2 −ln|cotx| +C ä

9 TínhI=

Z sinx

(sinx+cosx)3dx ĐS:−cot ³

x+π

4 ´

+C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z sinx

(sinx+cosx)3dx=

Z 2p2 sinx sin3³x+π

4 ´dx

Đặtt=x+π

4 ⇒dt=dx

Do đóI=

Z p

2 sin³t−π

4 ´

sin3t dt=

Z 2(sint

−cost) sin3t dt=

Z µ sin2t−

cott

sin2t

¶ dt VậyI= −2 cott+cott+C= −cott+C= −cot³x+π

4 ´

+C ä

Ví dụ 12.

TínhI=

Z sin 2x

1+cos2xdx ĐS:−ln|1+cos

2x| +C Lời giải: Đặtt=1+cos2x⇒dt= −sin 2xdx

Do I=

Z −1

tdt= −ln|t| +C= −ln|1+cos

2x | +C

1 TínhI=

Z sin 2x

1+sin2xdx ĐS:ln|1+sin

2x | +C

(91)

Đặtt=1+sin2x⇒dt=sin 2xdx

Do đóI=

Z 1

tdt=ln|t| +C=ln|1+sin

2x

| +C ä

2 TínhI=

Z sin 2x

3+cos2xdx ĐS:−ln|3+cos

2x| +C

-Lời giải.

Đặtt=3+cos2x⇒dt= −sin 2xdx

Do đóI=

Z −1

tdt= −ln|t| +C= −ln|3+cos

2x

| +C ä

3 TínhI=

Z

sin 2x¡

1+sin2x¢3

dx ĐS: (1+sin

2x)4 +C

-Lời giải.

Đặtt=1+sin2x⇒dt=sin 2xdx

Do đóI=

Z

t3dt=t

4

4 +C=

(1+sin2x)4

4 +C ä

4 TínhI= Z

esin2xsin 2xdx ĐS:esin2x+C

-Lời giải.

Đặtt=sin2x⇒dt=sin 2xdx

Do đóI=

Z

etdt=et+C=esin2x+C ä

5 TínhI= Z

ecos2xsin 2xdx ĐS:−ecos2x+C

-Lời giải.

Đặtt=cos2x⇒dt= −sin 2xdx

Do đóI=

Z

−etdt= −et+C= −ecos2x+C ä

6 TínhI=

Z sin 4x

1+cos2xdx ĐS:−4(1+cos

2x)+6 ln|1+cos2x| +C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z sin 4x 1+cos2xdx=

Z 2(2 cos2x

−1) sin 2x

1+cos2x dx

Đặtt=1+cos2x⇒dt= −sin 2xdx Do đóI= −2

Z 2t−3

t dt=

Z 4+6

t

ả

dt= −4t+6 ln|t|+C= −4(1+cos2x)+6 ln|1+cos2x|+C ä

7 TínhI=

Z sin 2x

p

cos2x+4 sin2xdx ĐS:

2

p

1+sin2x+C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z sin 2x

p

cos2x+4 sin2xdx=

Z sin 2x

p

1+3 sin2x

dx Đặtt=1+3 sin2x⇒dt=3 sin 2xdx

Do đóI=1

3 Z

1 p

tdt=

2

p

t+C=2

p

1+sin2x+C ä

8 TínhI=

Z sinxcosx

p

4 cos2x+9 sin2xdx ĐS:

p

4+5 sin2x+C

(92)

Ta cóI= p

4 cos2x+9 sin2xdx= 2p

4+5 sin2x

dx Đặtt=4+5 sin2x⇒dt=5 sin 2xdx

Do đóI=

Z 1 10

1 p

tdt=

1

p

t+C=1

5

p

4+5 sin2x+C ä

Ví dụ 13.

TínhI=

Z sinx

−cosx

sinx+cosxdx ĐS:−ln|sinx+cosx| +C

Lời giải: Đặtt=sinx+cosx⇒dt= −(sinx−cosx) dx

Do I= −

Z 1

tdt= −ln|t| +C= −ln|sinx+cosx| +C

1 TínhI=

Z sinx −cosx

sinx+cosx+3dx ĐS:−ln|sinx+cosx+3| +C

-Lời giải.

Đặtt=sinx+cosx+3⇒dt= −(sinx−cosx) dx

Do đóI= −

Z 1

tdt=ln|t| +C= −ln|sinx+cosx+3| +C ä

2 TínhI=

Z cos 2x

sinx+cosx+1dx ĐS:ln|sinx+cosx+1| −sinx−cosx−1+C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z cos 2x

sinx+cosx+1dx=

Z cos2x

−sin2x

sinx+cosx+1dx= −

Z (sinx

+cosx)(sinx−cosx) sinx+cosx+1 dx

Do đóI=

Z t −1

t dt=

Z µ 1−1

t

¶

dt=t−ln|t| +C=sinx+cosx+1−ln|sinx+cosx+1| +C ä

3 TínhI=

Z cos 2x

(sinx+cosx+4)3dx ĐS:−

1

sinx+cosx+4+

2

(sinx+cosx+4)2+C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z cos 2x

(sinx+cosx+4)3dx= −

Z (sinx+cosx)(sinx−cosx) (sinx+cosx+4)3 dx

Do I=

Z t−4

t3 dt= − Z µ

4

t3−

t2 ¶

dt= −1 t +

2

t2+C= −

1

sinx+cosx+4+

2

(sinx+cosx+4)2+C ä

4 TínhI=

Z sinx

+cosx

3+sin 2x dx ĐS:−

1 4·ln

¯ ¯ ¯ ¯

sinx−cosx−2 sinx−cosx+2 ¯ ¯ ¯ ¯+

C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z sinx

+cosx

3+sin 2x dx=

Z sinx +cosx

4−(sinx−cosx)2dx

Đặtt=sinx−cosx⇒dt=(sinx+cosx) dx

Do đóI=

Z

4−t2dt= − Z

1

t2−4dt= − 4·

Z µ

t−2−

t+2 ¶

dt= −1 4·ln

¯ ¯ ¯ ¯

t−2

t+2 ¯ ¯ ¯ ¯+

C VậyI= −1

4·ln ¯ ¯ ¯ ¯

sinx−cosx−2 sinx−cosx+2 ¯ ¯ ¯ ¯+

C ä

5 TínhI=

Z 1

+sin 2x+cos 2x

sinx+cosx dx ĐS:2 sinx+C

(93)

Ta cóI= Z

1+sin 2x+cos 2x

sinx+cosx dx=

Z

(sinx+cosx)2+(cosx−sinx)(cosx+sinx) sinx+cosx dx=

Z

2 cosxdx

Do đóI=2 sinx+C ä

6 TínhI=

Z sinx

−cosx

sin 2x+2(1+sinx+cosx)dx ĐS:

1

sinx+cosx+1+C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z sinx

−cosx

sin 2x+2(1+sinx+cosx)dx=

Z sinx

−cosx

(sinx+cosx+1)2dx

Do đóI= −

Z 1

t2dt=

t+C=

1

sinx+cosx+1+C ä

7 TínhI=

Z cos 2x

2−p1+sinx−cosxdx

ĐS:−4 3(

p

1+sinx−cosx)3+4(p1+sinx−cosx)2−16p1+sinx−cosx+32 ln|2− p

1+sinx−cosx| +C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z cos 2x

2−p1+sinx−cosxdx=

Z (sinx+cosx)(sinx−cosx) p

1+sinx−cosx−2 dx

Đặtt=p1+sinx−cosx⇒t2=1+sinx−cosx⇒2t·dt=(sinx+cosx) dx Vàsinx−cosx=t2−1

Do đóI=

Z 2t(t2 −1) 2−t dt=

Z µ

−4t2+8t−16− 32 2−t

¶

dt= −4

3t

+4t2−16t+32 ln|2−t| +C VậyI= −4

3( p

1+sinx−cosx)3+4(p1+sinx−cosx)2−16p1+sinx−cosx+32 ln|2−p1+sinx−cosx|+

C ä

8 TínhI=

Z 4(sinx

+cosx)−cos 2x

2(sinx−cosx−1)−sin 2xdx ĐS:

5

4ln|sinx−cosx−1| −

4ln|sinx−cosx+3| +C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z 4(sinx

+cosx)−cos 2x

2(sinx−cosx−1)−sin 2xdx=

Z (sinx

+cosx)(4+sinx−cosx) (sinx−cosx)2+2(sinx−cosx)−3dx

Đặtt=sinx−cosx⇒dt=(sinx+cosx) dx

Do đóI=

Z

4+t

t2+2t−3dt= Z

4+t

(t−1)(t+3)dt= 4·

Z µ

t−1−

t+3 ¶

dt VậyI=5

4ln|t−1| −

4ln|t+3| +C=

4ln|sinx−cosx−1| −

4ln|sinx−cosx+3| +C ä

9 TínhI=

Z cos 2x (1+sin 2x) cos³x−π

4

´dx ĐS:−

p

sinx+cosx+C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z cos 2x

(1+sin 2x) cos³x−π

4

´dx= −

Z sin2x

−cos2x

(sinx+cosx)2 p

2

2 (sinx+cosx)

dx= −

Z p2(sinx

−cosx) (sinx+cosx)2 dx

Đặtt=sinx+cosx⇒dt= −(sinx−cosx) dx

Do đóI=

Z p2

t2 dt= p

2 Z 1

t2dt= − p

2

t +C

VậyI= −

p

sinx+cosx+C ä

(94)

Định lí.

Nếu hai hàm sốu=u(x)vàv=v(x)có đạo hàm liên tục trênK

I=

Z

u(x)v0(x) dx=u(x)v(x)− Z

u0(x)v(x) dxhay I=

Z

udv−

Z

vdu

Nhận dạng:Tích hai hàm khác loại Ví dụ: Z

exsinxdx, Z

xlnxdx,

1 Đặt:  



u= −−−−→vi phân du= dx

dv= dx −−−−−−−−→nguyên hàm v=

Suy ra:I= Z

udv=uv− Z

vdu

2 Thứ tự ưu tiên chọnu: log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ dv=phần lại

3 Lưu ý bậc đa thức bậc củalntương ứng với số lần lấy nguyên hàm

4 Dạng mũ nhân lượng giác dạng nguyên hàm phần luân hồi 3.3.1 Ví dụ tập

Ví dụ 1. Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)(giả sử điều kiện xác định) TínhI=

Z

lnxdx Chọn

 



u= .−→du= dv= .−→v= ĐS: I=xlnx−x+C

Lời giải:Đặt

 



u=lnx

dv=dx⇒

  

 

du=1

xdx v=x

Ta có:I=xlnx−

Z

x1

xdx=xlnx−x+C

Bài 1. Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)(giả sử điều kiện xác định):

1 TínhI=

Z

xlnxdx Chọn

 



u= .−→du=

dv= .−→v= ĐS:

I= x

2

2 lnx−

x2

4 +C

-Lời giải.

Đặt

 



u=lnx

dv=xdx⇒

   

  

du=1 xdx v= x

2

Ta có:I= x

2

2 ·lnx− Z x2

2 ·

xdx= x2

2 lnx−

x2

4 +C ä

2 TínhI= Z

(2x+1) lnxdx Chọn

 



u= .−→du= dv= .−→v=

ĐS:I=(x2+x) lnx−x

2

2 −x+C

-Lời giải.

Đặt

 



u=lnx

dv=(2x+1)dx⇒

  

 

du=1 xdx v=x2+x

Ta có:I=(x2+x) lnx−

Z

(x2+x)1

xdx=(x

2

+x) lnx−

Z

(x+1) dx=(x2+x) lnx−x

2

2 −x+C

(95)

3 TínhI=

Z

xln(1−x) dx Chọn

 



u= .−→du=

dv= .−→v= ĐS:

I=x

2−1

2 ln(1−x)− 4x

2 −1

2x+C

-Lời giải.

Đặt

 



u=ln(1−x) dv=xdx ⇒

   

  

du= −1

1−xdx v=x

2

I= x

2

2 ln(1−x)− Z x2

2 Ã

1 1x

ả dx

= x

2 ln(1−x)+

Z x2 1−xdx

= x

2 ln(1−x)+

Z µ

−x−1+ 1−x

¶ dx

= x

2 ln(1−x)+

x

2 xln(1x) ả

+C

= x

−1

2 ln(1−x)− 4x

2 −1

2x+C

ä

4 TínhI=

Z

xsinxdx Chọn

 



u= .−→du=

dv= .−→v= ĐS:

I= −xcosx+sinx+C

-Lời giải.

Đặt

 



u=x

dv=sinxdx ⇒

 



du=dx v= −cosx

I= −xcosx− Z

(−cosx) dx

= −xcosx+

Z

cosxdx

= −xcosx+sinx+C

ä

5 TínhI=

Z

xcosxdx Chọn

 



u= .−→du=

dv= .−→v= ĐS:

I=xsinx+cosx+C

-Lời giải.

Đặt

 



u=x

dv=cosxdx⇒

 



du=dx v=sinx

Ta có:I=xsinx−

Z

sinxdx=xsinx+cosx+C ä

6 TínhI= Z

(x+1) sin 2xdx Chọn

 



u= .−→du=

dv= .−→v= ĐS:

I= −1

2(x+1) cos 2x+

4sin 2x+C

(96)

Đặt





u=x+1

dv=sin 2xdx⇒

 

 

du=dx v= −1

2cos 2x

I= −1

2(x+1) cos 2x Z

1 2cos 2x

ả

dx= −1

2(x+1) cos 2x+ Z

cos 2xdx

= −1

2(x+1) cos 2x+

4sin 2x+C

ä

7 TínhI= Z

xsinx

2dx Chọn  



u= .−→du= dv= .−→v=

ĐS: I= −2x·cosx

2+4 sin

x

2+C

-Lời giải.

Đặt

 



u=x

dv=sinx 2dx

⇒  



du=dx v= −2 cosx

2

I= −2x·cosx 2−

Z

(−2)·cosx

2dx= −2x·cos

x

2+4 sin

x

2+C ä

8 TínhI=

Z

xsinxcosxdx Chọn

 



u= .−→du=

dv= .−→v= ĐS:

I= −1

4x·cos 2x+

8sin 2x+C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z 1

2xsin 2xdx

Đặt

  

 

u=1

2x

dv=sin 2xdx

⇒    

  

du=1

2dx

v= −1

2cos 2x

I= −1

4x·cos 2x− Z

1 4cos 2x

ả dx

= −1

4x·cos 2x+ 4·

1

2sin 2x+C = −1

4x·cos 2x+

8sin 2x+C

ä

9 TínhI= Z

x(2 cos2x−1) dx Chọn

 



u= .−→du=

dv= .−→v= ĐS:

I=1

2xsin 2x+

4cos 2x+C

-Lời giải.

I=

Z

x·cos 2xdx

Đặt

 



u=x

dv=cos 2xdx⇒

  

 

du=dx v=1

2sin 2x

I=1

2xsin 2x− Z 1

2sin 2xdx =1

2xsin 2x+

4cos 2x+C

(97)

10 TínhI=

Z

xexdx Chọn

 



u= .−→du=

dv= .−→v= ĐS:

I=x·ex−ex+C

-Lời giải.

Đặt

 



u=x

dv=exdx⇒

 



du=dx v=ex

I=x·ex− Z

exdx

=x·ex−ex+C

ä

11 TínhI=

Z

(1−2x)exdx Chọn

 



u= .−→du=

dv= .−→v= ĐS:

I=(1−2x)ex+2ex+C

-Lời giải.

Đặt

 



u=1−2x

dv=exdx⇒

 



du= −2 dx v=ex

I=(1−2x)·ex− Z

ex(−2) dx

=(1−2x)ex+2ex+C

ä

12 TínhI=

Z

xe3xdx Chọn

 



u= .−→du=

dv= .−→v= ĐS:

I=1

3xe 3x

−1 9e

3x

+C

-Lời giải.

Đặt

 



u=x

dv=e3xdx⇒

  

 

du=dx v=1

3e 3x

I=1

3e

x

− Z 1

3e 3xdx

=1 3xe

3x

−1 3·

1 3·e

3x

+C

=1 3xe

3x

−1 9e

3x

+C

ä

13 TínhI=

Z

xe−xdx Chọn

 



u= .−→du=

dv= .−→v= ĐS:

I= −xe−x−e−x+C

-Lời giải.

Đặt

 



u=x

dv=e−xdx⇒

 



du=dx v= −e−x

I= −xe−x−

Z

(−e−x) dx

= −xe−x+

Z

e−xdx

(98)

ä

14 TínhI= Z

(4x−1)e−2xdx Chọn

 



u= .−→du= dv= .−→v=

ĐS:I= −1

2(4x−1)e −2x

−e−2x+C

-Lời giải.

Đặt

 



u=4x−1

v=e−2xdx ⇒

  

 

du=4 dx v= −1

2e −2x

I= −1

2(4x−1)e −2x

− Z µ

−1 2e

−2x

·4 ¶

dx

= −1

2(4x−1)e −2x

+2 Z

e−2xdx

= −1

2(4x1)e 2x

+2Ã

1 ả

·e−2x+C

= −1

2(4x−1)e −2x

−e−2x+C

ä

15 TínhI=

Z x

sin2xdx Chọn

 



u= .−→du= dv= .−→v=

ĐS:I= −xcotx−ln|sinx| +C

-Lời giải.

Đặt

  

 

u=x

dv=

sin2xdx

⇒  



du=dx v= −cotx

I= −xcotx+ Z

(−cotx) dx

= −xcotx−

Z cosx sinxdx

= −xcotx−

Z d(sinx) sinx

= −xcotx−ln|sinx| +C

ä

16 TínhI= Z x

cos2xdx Chọn  



u= .−→du= dv= .−→v=

ĐS:I=xtanx+ln|cosx| +C

-Lời giải.

Đặt

  

 

u=x

dv= cos2xdx

⇒  



du=dx v=tanx

I=xtanx−

Z

tanxdx

=xtanx−

Z sinx cosxdx

=xtanx+

Z d(cosx) cosx

=xtanx+ln|cosx| +C

(99)

17 TínhI=

Z 2x−1

1+cos 2xdx Chọn

 



u= .−→du=

dv= .−→v= ĐS:

I=1

2(2x−1) tanx+ln|cosx| +C

-Lời giải.

Đặt

  

 

u=2x−1 dv=

2 cos2xdx ⇒

  

 

du=2 dx v=1

2tanx

I=1

2(2x−1) tanx− Z 1

2tanx·2 dx =1

2(2x−1) tanx+

Z d(cosx) cosx

=1

2(2x−1) tanx+ln|cosx| +C

ä

18 TínhI=

Z 2x

1−cos 4xdx Chọn

 



u= .−→du=

dv= .−→v= ĐS:

I= −1

2xcot 2x+

4ln|sin 2x| +C

-Lời giải.

I=

Z 2x

2 sin22xdx=

Z x sin22xdx

Đặt

  

 

u=x

dv=

sin22xdx

⇒   

 

du=dx v= −1

2cot 2x

I= −1

2xcot 2x− Z µ

−1 2cot 2x

¶ dx

= −1

2xcot 2x+

Z cos 2x sin 2xdx

= −1

2xcot 2x+ 2·

1

Z d(sin 2x) sin 2x

= −1

2xcot 2x+

4ln|sin 2x| +C

ä

19 TínhI=

Z lnx

x3 dx Chọn  



u= .−→du=

dv= .−→v= ĐS:

I= −lnx

2x2− 4x2+C

-Lời giải.

Đặt

  

 

u=lnx

dv= x3dx

⇒    

  

du=1 xdx v=x

−2 −2 =

1 −2x2

I= −lnx

2x2− Z x−2

−2 ·

xdx

= −lnx 2x2+

1

Z 1

x3dx = −lnx

2x2+ 2·

x−2

−2 +C = −lnx

2x2− 4x2+C

(100)

20 TínhI=

Z x2−1

x2 lnxdx Chọn 



u= .−→du=

dv= .−→v= ĐS:

I=

µ

x+1 x

¶

lnx−x+1 x+C

-Lời giải.

I=

Z x2−1

x2 lnxdx= Z µ

1−

x2 ¶

lnxdx

Đặt

  

 

u=lnx

dv=

à 1

x2

ả dx

   

  

du=1 xdx v=x+1

x

I= µ

x+1

x

ả lnx

Z

x+1

x

ả Ã1

xdx

=

x+1 x

ả lnx

Z 1+

x2

ả dx

=

x+1

x

ả lnx

à

x1

x

ả +C

=

x+1 x

¶

lnx−x+1 x+C

ä

21 TínhI=

Z

excosxdx Chọn

 



u= .−→du=

dv= .−→v= ĐS:

I=1

2e

x(cosx

−sinx)+C

-Lời giải.

Đặt

 



u=cosx

dv=exdx⇒

 



du= −sinxdx v=ex

I=ex·cosx+

Z

ex·sinxdx=ex·cosx+I2, vớiI2=

Z

ex·sinxdx

Đặt

 



u=sinx

dv=exdx⇒

 



du=cosxdx v=ex

I2=exsinx−R

excosxdx=exsinx−I Do đó:I=excosx−(exsinx−I)+C⇔I=1

2e

x(cosx

−sinx)+C ä

22 TínhI=

Z

exsinxdx Chọn

 



u= .−→du=

dv= .−→v= ĐS:

I=1

2e

x(sinx

−cosx)+C

-Lời giải.

Đặt

 



u=sinx

dv=exdx⇒

 



du=cosxdx v=ex

I=exsinx− Z

ex·cosxdx

=exsinx−I2

TínhI2= Z

(101)

Đặt

 



u=cosx

dv=exdx⇒

 



du= −sinxdx v=ex

I2=excosx+

Z

exsinxdx

=excosx+I

⇒I=exsinx−excosx−I

⇔2I=ex(sinx−cosx) ⇒I=1

2e

x(sinx

−cosx)+C

ä

Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm hàm sốF(x)của hàm số f(x)thỏa mãn điều kiện cho trước Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=xe−x thỏa mãnF(0)=1

ĐS:F(x)= −xe−x−e−x+1

Lời giải: Theo đề ta tính

Z

f(x) dx=

Z

xe−xdx

Đặt

 



u=x ⇒du=dx

dv=e−xdx ⇒v= −e−x

Suy

Z

xe−xdx= −xe−x+ Z

e−xdx= −xe−x−e−x+C=F(x) MàF(0)=1⇒C=1

VậyF(x)= −xe−x−e−x+1

Bài 2. Tìm nguyên hàm hàm sốF(x)của hàm số f(x)thỏa mãn điều kiện cho trước

1 Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=xcos 3xthỏa mãnF(0)=1

ĐS:F(x)=1

3xsin 3x+

9cos 3x−

-Lời giải.

Theo đề ta tính

Z

f(x) dx= Z

xcos 3xdx

Đặt

  

 

u=x ⇒du=dx

dv=cos 3xdx ⇒v=1

3sin 3x

Suy

Z

xcos 3xdx=1

3xsin 3x− Z

sin 3xdx=1

3xsin 3x+

9cos 3x+C=F(x)

MàF(0)=1⇒C= −1

9

VậyF(x)=1

3xsin 3x+

9cos 3x−

9 ä

2 ChoF(x)=lnxlà nguyên hàm hàm số f(x)

x3 Tìm nguyên hàm hàm f

0(x) lnx.

ĐS: Z

f0(x) lnxdx=x2lnx−x

2 +C

(102)

VìF(x)=lnxlà nguyên hàm hàm số

x3 nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có (lnx)0= f(x)

x3 ⇒

x = f(x)

x3

⇒ f(x)=x2⇒f0(x)=2x

Khi

Z

f0(x) lnxdx=

Z

2xlnxdx

Đặt

  

 

u=lnx ⇒du=1 xdx

dv=2xdx ⇒v=x2

Suy

Z

2xlnxdx=x2lnx− Z

xdx=x2lnx−x

2 +C ä

3 ChoF(x)=lnxlà nguyên hàm hàm số f(x)

x2 Tìm nguyên hàm hàm f0(x) lnx ĐS:

Z

f0(x) lnxdx=xlnx−x+C

-Lời giải.

VìF(x)=lnxlà nguyên hàm hàm sô f(x)

x2 nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có (lnx)0= f(x)

x2 ⇒

x= f(x)

x2

⇒ f(x)=x⇒ f0(x)=1

Khi

Z

f0(x) lnxdx=

Z

lnxdx

Đặt

  

 

u=lnx ⇒du=1 xdx

dv=dx ⇒v=x

Suy

Z

lnxdx=xlnx−

Z

1 dx=xlnx−x+C ä

4 ChoF(x)=lnxlà nguyên hàm hàm sốx f(x) Tìm nguyên hàm hàm f0(x) lnx. ĐS:

Z

f0(x) lnxdx= x2lnx+

1 2x2+C

-Lời giải.

VìF(x)=lnxlà ngun hàm hàm sơx f(x)nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có

(lnx)0=x f(x) ⇒

x =x f(x)

⇒ f(x)=

x2⇒ f

0(x)= −

x3

Khi

Z

f0(x) lnxdx=

Z −2

x3 lnxdx

Đặt

   

  

u=lnx ⇒du=1 xdx

dv=−2

x3 dx ⇒v=

x2

Suy

Z −2

x3 lnxdx=

x2lnx− Z 1

x3dx=

x2lnx+

(103)

5 ChoF(x)=x2+1là nguyên hàm f(x)

x Tìm nguyên hàm hàm f

0(x) lnx.

ĐS: Z

f0(x) lnxdx=2x2lnx−x2+C

-Lời giải.

VìF(x)=x2+1là nguyên hàm f(x)

x nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có

(x2+1)0= f(x)

x

⇒ 2x= f(x) x

⇒ f(x)=2x2⇒ f0(x)=4x

Khi

Z

f0(x) lnxdx=

Z

4xlnxdx

Đặt

  

 

u=lnx ⇒du=1 xdx

dv=4xdx ⇒v=2x2

Suy

Z

4xlnxdx=2x2lnx−

Z

2xdx=2x2lnx−x2+C ä

6 ChoF(x)=

x2 nguyên hàm

f(x)

x Tìm nguyên hàm f

0(x)(x4−x3).

ĐS: Z

f0(x) lnxdx=2x2−4x+C

-Lời giải.

VìF(x)=

x2 nguyên hàm

f(x)

x nên theo định nghĩa nguyên hàm ta cú

à

x2 ả0

= f(x)

x

⇒ −

x3=

f(x)

x

⇒ f(x)= −2

x2⇒ f

0(x)=

x3

Khi

Z

f0(x)(x4−x3) dx=

Z

(4x−4) dx=2x2−4x+C

ä

7 ChoF(x)=x2 nguyên hàm f(x)e2x Tìm nguyên hàm f0(x)e2x

ĐS: Z

f0(x)e2xdx=2x−2x2+C

-Lời giải.

VìF(x)=x2là nguyên hàm f(x)e2x nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có

(x2)0=f(x)e2x ⇒ 2x=f(x)e2x ⇒ f(x)= 2x

e2x ⇒f

0(x)=2−4x e2x Khi

Z

f0(x)e2xdx=

Z

(2−4x) dx=2x−2x2+C

(104)

8 ChoF(x)=

x2 nguyên hàm x Tìm nguyên hàm f0(x)(x

+1)

ĐS: Z

f0(x)(x3+1) dx=4x− x2+C

-Lời giải.

VìF(x)=

x2 nguyên hàm

f(x)

x nên theo định nghĩa ngun hàm ta có

µ

x2 ¶0

= f(x)

x

⇒ −

x3=

f(x)

x

⇒ f(x)= −2

x2⇒ f

0(x)=

x3

Khi

Z

f0(x)(x3+1) dx=

Z

(4+

x3) dx=4x−

x2+C

ä

9 ChoF(x)=1

x nguyên hàm củax

2f(x) Tìm nguyên hàm của f0(x)x3lnx.

ĐS: Z

f0(x)x3lnxdx= −4

xlnx−

4

x+C

-Lời giải.

VìF(x)=1

x nguyên hàm củax

2f(x)nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có

à

x

ả0

=x2f(x) −

x2=x 2f(x)

⇒ f(x)= −1

x4⇒ f

0(x)=

x5

Khi

Z

f0(x)x3lnxdx= Z 4

x2lnxdx

ä

Đặt

   

  

u=lnx ⇒du=1

xdx

dv=

x2dx ⇒v= −

x

Suy

Z

4x2lnxdx= −4 xlnx+

Z 4

x2dx= −

xlnx−

4

x+C

10 ChoF(x)=

x2 nguyên hàm

f(x)

0(x)xlnx.

ĐS: Z

f0(x)xlnxdx= −4

xlnx−

4

x+C

-Lời giải.

VìF(x)=

x2 nguyên hàm hàm số

f(x)

x nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có

à

x2 ả0

= f(x)

x ⇒ −

2

x3 =

f(x)

x ⇒ f(x)= −

2

x2⇒ f

0(x)=

(105)

Khi đóI=

Z

f0(x)xlnxdx=

Z 4

x2lnxdx

Đặt

  

 

u=lnx

dv=

x2dx ⇒

   

  

du=dx

x v= −4

x

⇒I= −4 xlnx+

Z 4

x2dx= −

xlnx−

4

x+C ä

11 ChoF(x)=

x3 nguyên hàm

f(x)

x2 Tìm nguyên hàm f

0(x) lnx.

ĐS: Z

f0(x) lnxdx= −

x2·lnx− 2x2+C

-Lời giải.

VìF(x)=

x3 nguyên hàm hàm số

f(x)

x2 nên theo định nghĩa nguyên hm ta cú

1

x3 ả0

= f(x)

x2 ⇒ −

x4 =

f(x)

x2 ⇒ f(x)= −

x2⇒ f

0(x)=

x3

Khi đóI=

Z

f0(x) lnxdx=6 Z 1

x3lnxdx

Đặt

  

 

u=lnx

dv= x3dx

⇒    

  

du=dx

x v= −

2x2

⇒I= −6·

2x2·lnx+3 Z 1

x3dx= −

x2·lnx−

2x2+C ä

12 ChoF(x)= x

16 nguyên hàm

f(x)

0(x) lnx.

ĐS: Z

f0(x) lnxdx=x

4

4 ·lnx−

x4

16+C

-Lời giải.

VìF(x)= x

16là nguyên hàm hàm số

f(x)

x nên theo định nghĩa ngun hàm ta có

µx4 16

¶0

= f(x)

x ⇒

x3

4 =

f(x)

x ⇒f(x)= x4

4 ⇒f

0(x)=x3

Khi đóI= Z

f0(x) lnxdx= Z

x3lnxdx

Đặt

 



u=lnx

dv=x3dx⇒

   

  

du=dx x v= x

4

⇒I=x

4 ·lnx− Z x3

4 dx=

x4

4 ·lnx−

x4

16+C ä

13 ChoF(x)= −xex nguyên hàm hàm số f(x)e2x Tìm nguyên hàm f0(x)e2x

ĐS: Z

f0(x)e2xdx=xex−ex+C

-Lời giải.

VìF(x)= −xexlà nguyên hàm hàm số f(x)e2x nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có

¡ −xex¢0

=f(x)e2x⇒ −ex−xex=f(x)e2x⇒f(x)=−1−x ex ⇒f

0(x)= x ex

Khi đóI= Z

f0(x)e2xdx= Z

xexdx

Đặt

 



u=x

dv=exdx⇒

 



du=dx v=ex ⇒

I=xex− Z

(106)

14 ChoF(x)=2(x−1)e nguyên hàm hàm số f (x)e thỏa f(0)=0 Tìm nguyên hàm hàm số f(x)ex

ĐS: Z

f(x)exdx¡

x2−2x+2¢

ex+C0

-Lời giải.

VìF(x)=2(x−1)exlà nguyên hàm hàm số f0(x)exnên theo định nghĩa ngun hàm ta có

¡

2(x−1)ex¢0

=f0(x)ex⇒2ex+2(x−1)ex=f0(x)ex⇒2xex=f0(x)ex⇒f0(x)=2x⇒ f(x)=x2+C

Mà f(0)=0⇒C=0, f(x)=x2 Khi đóI=

Z

f(x)exdx=

Z

x2exdx

Đặt

 



u=x2

dv=exdx⇒

 



du=2xdx

v=ex ⇒

I=x2ex−2 Z

xexdx

Đặt

 



u0=x

dv0=exdx⇒

 



du0=dx v0=exdx ⇒

Z

xexdx=xex− Z

exdx=xex−ex+C

Do úI=x2ex2 (xexex+C)=Ăx22x+2Âex+C0(viC0=2C) ọ

15 Cho F(x)=

1−x

2 ¶

cosx+xsinx nguyên hàm hàm số f(x) sinx Tìm nguyên hàm

hàm số f0(x) cosx ĐS:

Z

f0(x) cosxdx=xsinx+cosx+C

-Lời giải.

Vì F(x) = µ

1−x

2 ¶

cosx+xsinx nguyên hàm hàm số f(x) sinx nên theo định nghĩa ngun hàm ta có

µµ 1−x

2

2 ¶

cosx+xsinx

¶0

=f(x) sinx⇒ xcosx

à 1x

2

2 ả

sinx+sinx+xcosx= f(x) sinx⇒ x

2

2 sinx=f(x) sinx⇒ f(x)=

x2

2 ⇒ f

0(x)=x.

Khi đóI=

Z

f0(x) cosxdx=

Z

xcosxdx

Đặt

 



u=x

dv=cosxdx⇒

 



du=dx v=sinx⇒

I=xsinx−

Z

sinxdx=xsinx+cosx+C ä

16 Cho F(x)= àx2

2 ả

sinx+xcosx l mt nguyên hàm hàm số f(x) cosx Tìm nguyên hàm

hàm số f0(x) sinx ĐS:

Z

f0(x) sinxdx= −xcosx+sinx+C

-Lời giải.

VìF(x)= µx2

2 −1 ¶

sinx+xcosxlà nguyên hàm hàm sốf(x) cosxnên theo định nghĩa nguyên hàm ta có

ààx2

ả

sinx+xcosx

ả0

=f(x) cosxxsinx+

àx2

ả

cosx+cosxxsinx=f(x) cosx⇒ x2

2 cosx=f(x) cosx⇒f(x)=

x2

2 ⇒f

0(x)=x.

Khi đóI= Z

f0(x) sinxdx= Z

xsinxdx

Đặt

 



u=x

dv=sinxdx⇒

 



du=dx v= −cosx ⇒

I= −xcosx+

Z

(107)

17 Cho F(x)=xtanx+ln|cosx|là nguyên hàm hàm số f(x)

cos2x Tìm nguyên hàm hàm số

f0(x) tanx ĐS:

Z

f0(x) tanxdx= −ln|cosx| +C

-Lời giải.

VìF(x)=xtanx+ln|cosx|là nguyên hàm hàm số f(x)

cos2x nên theo định nghĩa nguyên hàm

ta có(xtanx+ln|cosx|)0= f(x)

cos2x ⇒tanx+

x

cos2x−tanx=

f(x) cos2x ⇒

x

cos2x=

f(x)

cos2x ⇒ f(x)=x⇒

f0(x)=1 Khi đóI=

Z

f0(x) tanxdx= Z

tanxdx= −ln|cosx| +C ä

18 ChoF(x)= −xcotx+ln|sinx|là nguyên hàm hàm số f(x)

sin2x Tìm nguyên hàm hàm số

f0(x) cotx ĐS:

Z

f0(x) cotxdx=ln|sinx| +C

-Lời giải.

VìF(x)= −xcotx+ln|sinx|là nguyên hàm hàm số f(x)

sin2x nên theo định nghĩa nguyên hàm

ta có(−xcotx+ln|sinx|)0= f(x)

sin2x⇒ −cotx+ x

sin2x+cotx= f(x) sin2x⇒

x

sin2x= f(x)

sin2x⇒f(x)=x⇒ f0(x)=1

Khi đóI=

Z

f0(x) cotxdx=

Z

cotxdx=ln|sinx| +C ä

19 Cho F(x)= µx2

2 −x+1 ¶

ex nguyên hàm hàm số f(x)ex Tìm nguyên hàm hàm số

f0(x)ex. ĐS:

Z

f0(x)exdx=(x−1)ex+C

-Lời gii.

VỡF(x)= àx2

2 x+1 ả

ex nguyên hàm hàm só f(x)ex nên theo định nghĩa ngun hàm ta có

·µx2

2 x+1 ả

ex á0

=f(x)ex(x1)ex+ àx2

2 −x+1 ¶

ex=f(x)ex⇒x2ex=f(x)ex⇒f(x)=x2 Suy f0(x)=2x Khi I=

Z

f0(x)exdx=

Z

2xexdx

Đặt

 



u=2x

dv=exdx⇒

 



du=2 dx v=ex ⇒

I=xex− Z

exdx=xex−ex=(x−1)ex ä

4 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

b

Z

a

[f(x)]u0(x) dx=F[u(x)] ¯ ¯ ¯

b a=

F[u(b)]−F[u(a)]

Bước 1:Biến đổi để chọn phép đặtt=u(x)⇒dt=u0(x)dx Bước 2:Đổi cận

½x

=b⇒t=u(b)

x=a⇒t=u(a)

Bước 3:Đưa dạng I=

u(b) Z

u(a)

(108)

B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 1 NHẬN BIẾT

Câu 1. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=ex+xlà

A ex+x2+C B ex+1 2x

2+C. C.

x+1e

x+1

2x

2+C. D. ex+1+C.

-Lời giải.

Ta có

Z

f(x) dx=

Z

(ex+x) dx=

Z

exdx+

Z

xdx=ex+1 2x

2

+C,vớiC số

Câu 2. Nguyên hàm hàm số f(x)=x3+xlà

A x4+x2+C B 3x2+1+C C x3+x+C D

4x

+1 2x

2 +C

-Lời giải.

Ta có

Z

(x3+x) dx=1 4x

4 +1

2x

+C

Chọn đáp án D ä

Câu 3. Nguyên hàm hàm số f(x)=x4+x2là

A 4x3+2x+C B

5x

+1 3x

3

+C C x4+x2+C D x5+x3+C

-Lời giải.

Ta có

Z

f(x) dx= Z

(x4+x2) dx=1 5x

5 +1

3x

+C

Câu 4. Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau?

A

Z

2exdx=2¡

ex+C¢

B

Z

x3dx=x

4+C C

Z 1

xdx=lnx+C D

Z

sinxdx= −cosx+C

-Lời giải.

Ta có

Z 1

xdx=ln|x| +Cnên mệnh đề phương án C sai

Chọn đáp án C ä

Câu 5. Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x)=52x?

A

Z

52xdx=2.52xln 5+C B

Z

52xdx=2.5 2x

ln 5+C C

Z

52xdx= 25

x

2 ln 5+C D

Z

52xdx=25

x+1

x+1 +C

-Lời giải.

Ta có

Z

52xdx=1

2 52x ln 5+C=

25x ln 5+C

Câu 6. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=3x2+3xlà

A x3+3xln 3+C B x3+

x

ln 3+C C x

3+3x+C. D. x3+ln 3x +C

-Lời giải.

Ta có

Z ¡

3x2+3x¢

dx=x3+

x

ln 3+C

Câu 7. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=22x

A 4x·ln 4+C B

4x·ln 4+C C x

+C D x

(109)

Z

22xdx= Z

4xdx=

x

ln 4+C

Câu 8. VớiClà số, họ nguyên hàm hàm số f(x)=2 cos 2xlà

A −sin 2x+C B −2 sin 2x+C C sin 2x+C D sin 2x+C

-Lời giải.

Ta có

Z

f(x) dx=

Z

2 cos 2xdx=sin 2x+C

Câu 9. Tìm ngun hàm hàm số f(x)=e−x µ

2+ e

x

cos2x ¶

A F(x)= −2

ex+tanx+C B F(x)=2e

x−tanx+C.

C F(x)= −2

ex−tanx+C D F(x)=2e−

x+tanx+C.

-Lời giải.

Tập xác địnhD=R\nπ

2+kπ,k∈Z o

Ta có

Z e−x

µ 2+ e

x

cos2x ả

dx=

Z

2e−x+ cos2x

¶

dx= −2

ex+tanx+C

Câu 10. Cho biếtF(x)là nguyên hàm hàm số f(x)trênR TìmI=

Z

[2f(x)−1] dx

A I=2xF(x)−x+C B I=2xF(x)−1+C C I=2F(x)−1+C D I=2F(x)−x+C

-Lời giải.

Ta có

I=

Z

[2f(x)−1] dx=2 Z

f(x) dx−

Z

dx=2F(x)−x+C

Câu 11. Tìm tất nguyên hàm hàm số f(x)=sin 5xlà

A

5cos 5x+C B cos 5x+C C −cos 5x+C D −

5cos 5x+C

-Lời giải.

Ta có

Z

f(x)dx=

Z

sin 5xdx= −1

5cos 5x+C

Câu 12. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=

x+1

A log|1+x| +C B ln(1+x)+C C −

(1+x)2+C D ln|1+x| +C

-Lời giải.

Ta có

Z 1

x+1dx= Z 1

x+1d(x+1)=ln|x+1| +C

Câu 13. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=ex+x2là

A

xe

x+x3

3 +C B e

x+2x+C. C. ex+x3

3 +C D e

x+3x3+C.

-Lời giải.

Z ¡

ex+x2¢

dx=ex+x

3 +C, vớiClà số

(110)

Câu 14. Tìm nguyên hàm hàm số f(x)=cos 3x

A

Z

cos 3xdx=3 sin 3x+C B

Z

cos 3xdx=sin 3x +C C

Z

cos 3xdx= −sin 3x

3 +C D

Z

cos 3xdx=sin 3x+C

-Lời giải.

Z

cos 3xdx=1

3 Z

cos 3xd(3x)=sin 3x +C

Câu 15. Tìm nguyên hàm hàm số f(x)= 5x−2 A

Z dx 5x−2=

1

5ln|5x−2| +C B

Z dx 5x−2= −

1

2ln(5x−2)+C C

Z dx

5x−2=5 ln|5x−2| +C D Z

dx

5x−2=ln|5x−2| +C

-Lời giải.

Ta có

Z dx 5x−2=

Z 1

5(5x−2)d(5x−2)=

5ln|5x−2| +C

Câu 16. Tìm nguyên hàm hàm số f(x)=7x

A

Z

7xdx=7xln 7+C B

Z

7xdx=

x

ln 7+C C

Z

7xdx=7x+1+C D

Z

7xdx=

x+1

x+1+C Câu 17. Tìm nguyên hàm hàm số f(x)=cos 2x

A

Z

f(x)dx=1

2sin 2x+C B Z

f(x)dx= −1

2sin 2x+C C

Z

f(x)dx=2 sin 2x+C D

Z

f(x)dx= −2 sin 2x+C

-Lời giải.

Ta có

Z

f(x)dx=1 Z

cos 2xd(2x)=1

2sin 2x+C

Câu 18. Tìm nguyên hàm hàm số f(x)=x2+ x2 A

Z

f(x)dx= x

3

3 −

x+C B

Z

f(x)dx=x

3

3 −

x+C

C

Z

f(x)dx= x

3

3 +

x+C D

Z

f(x)dx=x

3

3 +

x+C

-Lời giải.

Ta có

Z µ

x2+ x2

¶

dx=x

3

3 −

x+C

Câu 19. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=3x2+1là

A x3+C B x

3

3 +x+C C 6x+C D x

3+x+C.

-Lời giải.

Ta có

Z

(3x2+1) dx=3.x

3 +x+C=x

+x+C

A x4+x2+C B 3x2+1+C C x3+x+C D

4x 4+1

2x 2+C.

(111)

Ta có

Z

(x3+x) dx=1

4x

+1 2x

2 +C

Câu 21. Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=4x·22x+3

A F(x)=2 4x+3

ln B F(x)=2

4x+1·ln 2. C. F(x)=24x+1

ln D F(x)=2

4x+3·ln 2.

-Lời giải.

Ta có

Z

f(x)dx= Z

4x·22x+3dx= Z

24x+3dx=2 4x+3 ln +C=

24x+1 ln +C

Câu 22. Mệnh đề đâysai?

A R

[f(x)+g(x)]dx=R

f(x)dx+R

g(x)dx, với hàm số f(x), g(x)liên tục trênR

B R f0(x)dx=f(x)+Cvới hàm f(x)có đạo hàm trênR

C R

k f(x)dx=kR

f(x)dxvới số kvà với hàm số f(x)liên tục trênR

D R

[f(x)−g(x)]dx=R

f(x)dx−R

g(x)dx, với hàm số f(x), g(x)liên tục trênR

-Lời giải.

Mệnh đềR

k f(x)dx=kR

f(x)dxsai vìk6=0

Câu 23. Tìm nguyên hàm hàm số f(x)=π 2cos 2x A

Z

f(x)dx=π

4sin 2x+C B Z

f(x)dx= −π

2sin 2x+C C

Z

f(x)dx=πsin 2x+C D

Z

f(x)dx=π

2sin 2x+C

-Lời giải.

Z

f(x)dx= Z π

2cos 2xdx= π

4sin 2x+C

Câu 24. Cho f(x), g(x)là hàm số liên tục trênR Khẳng định sau đâyđúng?

A

Z

f(x)·g(x) dx=f(x) dx·

Z

g(x) dx B

Z

f0(x)·g0(x) dx=f(x)·g(x)+C

C

Z

k·f(x) dx=k

Z

f(x) dx D

Z

f(x)·f0(x) dx= f

2(x) +C

-Lời giải.

Z

f(x)·f0(x) dx=

Z

f(x) d [f(x)]= f 2(x)

2 +C

A

Z

f(x) dx=4

x+1

x+1+C B

Z

f(x) dx=4x+1+C

C

Z

f(x) dx=4xln 4+C D

Z

f(x) dx=

x

ln 4+C

-Lời giải.

Ta có

Z

f(x) dx=

x

ln 4+C

Câu 26. Họ nguyên hàm hàm số y=e−3x+1là

A

3e −3x+1

+C B −1 3e

−3x+1

+C C 3e−3x+1+C D −3e−3x+1+C

-Lời giải.

Ta có

Z

e−3x+1dx= −1 3e

(112)

Chọn đáp án B ä Câu 27. Mệnh đề sau đâysai?

A

Z

k f(x) dx=k

Z

f(x) dxvới số kvà với hàm số f(x)liên tục trênR

B

Z

f0(x) dx=f(x)+Cvới hàm số f(x)có đạo hàm liên tục trênR

C

Z

(f(x)−g(x)) dx= Z

f(x) dx− Z

g(x) dx, với hàm số f(x); g(x)liên tục trênR

D

Z

(f(x)+g(x)) dx= Z

f(x) dx+ Z

g(x) dx, với hàm số f(x); g(x)liên tục trênR

-Lời giải.

Vớik=0ta có

Z

k f(x) dx=

Z

0 dx=Ccònk

Z

f(x) dx=0 Do mệnh đề “

Z

k f(x) dx=k

Z

f(x) dx với số k với hàm số f(x)liên tục R” mệnh đề sai

Câu 28. Trong khẳng định sau, khẳng định đúng?

A

Z

[f(x)·g(x)] dx=

Z

f(x) dx·

Z

g(x) dx B

Z

0 dx=0

C

Z

f(x) dx=f0(x)+C D

Z

f0(x) dx=f(x)+C

-Lời giải.

Hiển nhiên theo định nghĩa nguyên hàm f(x)là nguyên hàm f0(x)nên họ tất nguyên hàm f0(x)là f(x)+Cdo

Z

f0(x) dx=f(x)+C

Câu 29. Tìm nguyên hàm hàm số f(x)= 5x−2 A

Z

f(x) dx= −1

2ln(5x−2)+C B Z

f(x) dx=1

5ln|5x−2| +C C

Z

f(x) dx=ln|5x−2| +C D

Z

f(x) dx=5 ln|5x−2| +C

-Lời giải.

Z

f(x) dx=

Z 1

5x−2dx=

5ln|5x−2| +C

Câu 30. Nguyên hàm hàm số f(x)=cos 3xlà

A

Z

f(x) dx=sin 3x+C B

Z

f(x) dx= −sin 3x

3 +C C

Z

f(x) dx=3 sin 3x+C D

Z

f(x) dx=sin 3x

3 +C

-Lời giải.

Z

f(x) dx=

Z

cos 3xdx=sin 3x

3 +C

Câu 31. Khẳng định sau khẳng địnhsai?

A

Z

k f(x) dx=k

Z

f(x) dxvới k∈R

B

Z

[f(x)+g(x)] dx=

Z

f(x) dx+

Z

g(x) dxvới f(x);g(x)liên tục trênR

C

Z

xαdx= α+1x

α+1

(113)

D

µZ

f(x) dx

¶0

=f(x)

-Lời giải.

Ta có

Z

k f(x) dx=k

Z

f(x) dxvớik∈Rsai tính chất khik∈R\ {0}

Câu 32. Tính

Z

(x−sin 2x) dx

A x

2

2 +sinx+C B

x2

2 +cos 2x+C C x

2+cos 2x

2 +C D

x2

2 + cos 2x

2 +C

-Lời giải.

Ta có

Z

(x−sin 2x) dx=

Z

xdx−

Z

sin 2xdx=x

2

2 + cos 2x

2 +C

Câu 33. Khẳng định sau đâysai?

A

Z

0 dx=C B

Z

x4dx= x

5

5 +C C Z 1

xdx=lnx+C D

Z

exdx=ex+C

-Lời giải.

Tacó:

Z

xdx=ln|x| +C

Vậy C sai

Câu 34. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=x−sin 2xlà

A x

2

2 +cos 2x+C B

x2

2 +

2cos 2x+C C x 2+1

2cos 2x+C D

x2

2 −

2cos 2x+C

-Lời giải.

Ta có:

Z

f(x) dx=

Z

(x−sin 2x) dx= x

2

2 +

2cos 2x+C

Câu 35. Họ nguyên hàm hàm số y=3 cosx−2xlà

A −3 sinx−

x

ln 2+C B sinx−2

x+C. C. 3 sinx− 2x

ln 2+C D sinx−2

xln 2+C.

-Lời giải.

Ta có

Z ¡

3 cosx−2x¢

dx=3 sinx−

x

ln 2+C

A 3x2+2x+C B

4x

+1 3x

3

+C C x4+x3+C D 4x4+3x3+C

-Lời giải.

Áp dụng công thức nguyên hàm

Z

f(x) dx=

Z

(x3+x2) dx=1

4x

+1 3x

3 +C

Câu 37. Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x)=3x+7x

A

Z

f(x) dx=

x

ln 3+ 7x

ln 7+C B

Z

f(x) dx=3xln 3+7xln 7+C

C

Z

f(x) dx=3

x+1

x+1+ 7x

x+1+C D

Z

f(x) dx=3x+1+7x+1+C

-Lời giải.

Ta có

Z

f(x) dx=

Z

(3x+7x) dx=

x

ln 3+ 7x ln 7+C

(114)

x

A F(x)= −

x2+C B F(x)=

x2+C C F(x)=ln|x| +C D F(x)= p

x+C

-Lời giải.

Vì

Z 1

xdx=ln|x| +C nên họ nguyên hàm hàm số f(x)=

1

x làF(x)=ln|x| +C

Câu 39. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=cos 2x+3xlà

A −1

2sin 2x+ 2x

2+C. B.

2sin 2x+3x 2+C. C −2 sin 2x+3+C D

2sin 2x+ 2x

2+C.

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

f(x) dx=

Z

(cos 2x+3x) dx=1

2sin 2x+ 2x

2 +C

Câu 40. Họ nguyên hàm hàm số f(x)= 2x−1

A ln|2x−1| +C B ln|2x−1| +C C

2ln|2x−1| +C D

2ln(2x+1)+C

-Lời giải.

Ta có:

Z

f(x) dx=

Z 1

2x−1dx=

2ln|2x−1| +C

Câu 41. Tìm nguyên hàm hàm số f(x)=x2+ x2 A

Z

f(x) dx=x

3 +

x+C B

Z

f(x) dx=x

3 −

x+C

C

Z

f(x) dx=x

3

3 +

x+C D

Z

f(x) dx=x

3

3 −

x+C

-Lời giải.

Ta cú

Z

x2+

x2 ả

dx= x

3 −

x+C

Câu 42. Hàm số f(x)=cos(4x+7)có nguyên hàm

A −sin(4x+7)+x B

4sin(4x+7)−3 C sin(4x+7)−1 D −

4sin(4x+7)+3

-Lời giải.

Tính nguyên hàm hàm số f(x)=cos(4x+7)

Ta có:

Z

cos(4x+7) dx=

Z

cos(4x+7)d(4x+7)

4 =

1 Z

cos(4x+7)d(4x+7)=1

4sin(4x+7)+C

Câu 43. Nguyên hàm hàm số f(x)=sinx+xlà

A cosx+1

2x

2+C. B. cosx+x2+C. C. −cosx+1+C. D. −cosx+1 2x

2+C.

-Lời giải.

Ta có

Z

(sinx+x) dx= Z

sinxdx+ Z

xdx= −cosx+1 2x

2 +C

Câu 44. Nguyên hàm hàm số f(x)=x3+sin 2xlà

A x

4

4 −

2cos 2x+C B

x4

4 −cos 2x+C C

x4

4 +

2cos 2x+C D

x4

4 +cos 2x+C

(115)

Ta có

Z ¡

x3+sin 2x¢ dx=1

4x

−1

2cos 2x+C

x+1 A −

(x+1)2+C B −ln|x+1| +C C −

2ln(x+1)

2+C. D. ln|2x+2| +C.

-Lời giải.

Ta có(ln|2x+2| +C)0=

x+1

Câu 46. Mệnh đề sau làsai?

A

Z

[f1(x)+f2(x)] dx=

Z

f1(x) dx+

Z

f2(x) dx

B NếuF(x)vàG(x)đều nguyên hàm hàm số f(x)thìF(x)=G(x)

C

Z

k f(x) dx=k

Z

f(x) dx(klà số vàk6=0)

D Nếu

Z

f(x) dx=F(x)+Cthì

Z

f(u) du=F(u)+C

-Lời giải.

NếuF(x)vàG(x)đều nguyên hàm hàm số f(x)thìF(x)=G(x)+C, vớiClà số

Câu 47. Tìm nguyên hàm hàm số f(x)=sin 2x

A

Z

sin 2xdx= −cos 2x+C B

Z

sin 2xdx=2 cos 2x+C

C

Z

sin 2xdx= −cos 2x

2 +C D

Z

sin 2xdx=cos 2x

2 +C

-Lời giải.

Ta có

Z

sin 2xdx= −cos 2x

2 +C

Câu 48. Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x)=e2019x A

Z

f(x) dx= 2019·e

2019x

+C B

Z

f(x) dx=2019·e2019x+C

C

Z

f(x) dx=e2019x+C D

Z

f(x) dx=e2019xln 2019+C

-Lời giải.

Ta có

Z

f(x) dx=

2019·e 2019x

+C

Câu 49. Nguyên hàm hàm số f(x)=sin 3xlà

A cos 3x+C B −1

3cos 3x+C C −cos 3x+C D

3cos 3x+C

-Lời giải.

Ta có

Z

f(x) dx=

Z

sin 3xdx= −1

3cos 3x+C

Câu 50. Tính

Z

sinxdx

A sin(π−x)+C B cosx+C C cos(π−x)+C D cos ³π

2−x ´

+C

-Lời giải.

Ta có

Z

(116)

Chọn đáp án C ä Câu 51. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=cosxlà

A F(x)=tanx+C B F(x)=cotx+C C F(x)= −sinx+C D F(x)=sinx+C

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

cosxdx=sinx+C

Câu 52. Tìm nguyên hàmF(x)= Z

cosxdx

A F(x)=cosx+C B F(x)= −cosx+C C F(x)=sinx+C D F(x)= −sinx+C

Câu 53. Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x)=2x+1

A

Z

f(x) dx=2x2+x+C B

Z

f(x) dx=x

2 +x+C C

Z

f(x) dx=x2+x+C D

Z

f(x) dx=2x+C

-Lời giải.

Ta có

Z

f(x) dx=

Z

(2x+1) dx=2x

2

2 +x+C=x

+x+C

Câu 54. Hàm số sau đâykhônglà nguyên hàm hàm số y=x3?

A y= x

4 +3 B y=

x4

4 +1 C y=

x4

4 +2 D y=3x 2.

-Lời giải.

Nguyên hàm hàm sốy=x3là x

4

4 +C, vớiClà số Vậy hàm số y=3x

2 không nguyên hàm

của hàm số y=x3

Câu 55. Phát biểu sau đúng?

A

Z

cosxdx= −cosx+C B

Z

cosxdx= −sinx+C

C

Z

cosxdx=cosx+C D

Z

cosxdx=sinx+C

-Lời giải.

Ta có

Z

cosxdx=sinx+C

Câu 56. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=e−x+2xlà

A

Z

f(x) dx=e−x+x2+C B

Z

f(x) dx= −xe−x+x2+C

C

Z

f(x) dx= −e−x+x2+C D

Z

f(x) dx=xe−x+x2+C

-Lời giải.

Họ nguyên hàm hàm số f(x)là

Z

f(x) dx= −e−x+x2+C

Câu 57. Trong khẳng định sau, khẳng định sai?

A

Z

exdx= x

e+1

e+1+C B Z

x2dx=1

3x

+C C

Z

exdx= e

x+1

x+1+C D Z

x7dx=1

8x

+C

-Lời giải.

Z

exdx=ex+C

(117)

Câu 58. Họ tất nguyên hàm hàm số f(x)=sinxlà

A F(x)= −cosx B F(x)= −cosx+C C F(x)=cosx+C D F(x)=cosx

-Lời giải.

Nguyên hàm hàm số f(x)=sinxlàF(x)= −cosx+C

Câu 59.

Z dx

2−3x

A

3ln|2−3x| +C B

(2−3x)2+C C −

(2−3x)2+C D −

3ln|3x−2| +C

-Lời giải.

Ta thấy

Z dx 2−3x= −

1

3ln|2−3x| +C= −

3ln|3x−2| +C

Câu 60. Cho

5 Z

1 dx

2x−1=lnC Khi giá trị củaC

A B C D 81

-Lời giải.

Ta có

5 Z

1 dx

2x1= à1

2ln|2x1| ả

¯ ¯

1=

2ln 9=ln Do đóC=3

Câu 61. Khi tính

Z

sinax·cosbxdx, biến đổi đúng?

A

Z

sinax·cosbxdx=

Z

sinaxdx·

Z

cosbxdx

B

Z

sinax·cosbxdx=1

2 Z

[sin (a+b)x+sin (a−b)x] dx

C

Z

sinax·cosbxdx=1

Z ·

sina+b

2 x+sin

a−b

2 x ¸

dx

D

Z

sinax·cosbxdx=ab

Z

sinx·cosxdx

-Lời giải.

Ta cósinax·cosbx=1

2[sin (a+b)x+sin (a−b)x]

Do

Z

sinax·cosbxdx=1 Z

[sin (a+b)x+sin (a−b)x] dx

Câu 62. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=sinx+1là

A −cosx+x+C B sin

2x

2 +x+C C cosx+x+C D sin 2x+x+C

-Lời giải.

Ta có

Z

(sinx+1) dx= −cosx+x+C

Câu 63. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=1

x+2xlà

A ln|x| +x2+C B ln|x| +2x2+C C ln|x| +x2+C D ln|x2| +2x+C

-Lời giải.

Z

f(x) dx=

Z µ

x+2x

¶ dx=

Z dx

x +

Z

2xdx=ln|x| +x2+C

(118)

Câu 64. Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x)=

1−2x

A −6 ln|1−2x| +C B ln|1−2x| +C C −3

2ln|1−2x| +C D

2ln|1−2x| +C

-Lời giải.

Z

f(x) dx= Z

3

1−2xdx= −

3

2ln|1−2x| +C

Câu 65. Hàm số sau đâykhông phảilà nguyên hàm hàm số f(x)= 2x+1? A F(x)=ln|2x+1| +1 B F(x)=1

2ln|2x+1| +2 C F(x)=1

2ln|4x+2| +3 D F(x)= 4ln(4x

2+4x+1)+3.

-Lời giải.

Ta có

Z 1

2x+1dx=

2ln|2x+1| +C

Mặt khác

2ln|4x+2| +3=

2ln|2x+1| + ln

2 +3và 2ln(4x

2+4x+1)+3=1

2ln|2x+1| +3

Câu 66. Nguyên hàm hàm số f(x)=3xlà

A

Z

f(x) dx=3x+C B

Z

f(x) dx=3xln 3+C

C

Z

f(x) dx=3

x+1

x+1+C D

Z

f(x) dx=

x

ln 3+C

-Lời giải.

Theo cơng thức ngun hàm

Z

f(x) dx=

x

ln 3+C

Câu 67. Cho hàm số f(x)=2017x Khẳng định sau khẳng định đúng?

A

Z

f(x) dx= 2017

x

ln 2018+C B Z

f(x) dx= 2017

x

ln 2017+C C

Z

f(x) dx=2017xln 2017+C D

Z

f(x) dx=2017

x

2017 +C

-Lời giải.

Z

f(x) dx= 2017

x

ln 2017+C

Câu 68. Tính

Z

cos 2xdx

A

Z

cos 2xdx= −sin 2x+C B

Z

cos 2xdx=1

2sin 2x+C C

Z

cos 2xdx=sin 2x+C D

Z

cos 2xdx= −1

2sin 2x+C

-Lời giải.

Ta có

Z

cos 2xdx= Z

cos 2xd(2x)

2 = Z

cos 2xd(2x)=1

2sin 2x+C

Câu 69. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=cosx+sinxlà

A sinx−cosx+C B sinx+cosx+C C −sinx+cosx+C D −sinx−cosx+C

(119)

Z

(cosx+sinx) dx=sinx−cosx+C

Câu 70. Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x)=(x−1)3

A 3(x−1)+C B

4(x−1)

4+C. C. 4(x−1)4+C. D. 4(x−1)

3+C.

-Lời giải.

Ta có

Z

f(x) dx=

Z

(x−1)3dx=1

4(x−1)

+C

Câu 71. Hàm số nguyên hàm hàm số f(x)=e1−4x

A y=1 4e

1−4x. B. y= −4e1−4x. C. y=e1−4x. D. y= −1

4e 1−4x.

-Lời giải.

Ta có

Z

e1−4xdx= −1 4e

1−4x

+C

Câu 72. Cho bốn mệnh đề sau I

Z

cos2xdx=cos 3x +C

II

Z

3xdx=3x·ln 3+C

III

Z

xαdx= x α+1

α+1+Cvớiα∈R

IV NếuF(x),G(x)là nguyên hàm f(x)thìF(x)=G(x) Trong mệnh đề có mệnh đềsai?

A B C D

-Lời giải.

Ta xét mệnh đề cho Mệnh đề(I)sai

Z

cos2xdx= Z 1

+cos 2x

2 dx=

x+sin 2x

ả +C

Mệnh đề(I I)sai

Z

3xdx=

x

ln 3+C

Mệnh đề (III) sai thiếu điều kiệnα6= −1

Mệnh đề (IV) sai nguyên hàm hàm số f(x)là có họ nguyên hàm, chúng sai khác số

Vậy có4mệnh đề SAI

Câu 73. Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x)=x(x+1)

A x(x+1)+C B 2x+1+C C x3+x2+C D x

3

3 +

x2

2 +C

-Lời giải.

Ta có

Z

x(x+1) dx=

Z

(x2+x) dx= x

3

3 +

x2

2 +C

(120)

Câu 74. Trong khẳng định sau, khẳng định nàosai?

A

Z

0 dx=C B

Z 1

xdx=ln|x| +C C

Z

xadx= x

a+1

a+1+C D Z

dx=x+C

-Lời giải.

Đáp án

Z

xadx= x

a+1

a+1+C không với trường hợpa= −1

Câu 75. Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x)=sinx−cosx

A

Z

f(x) dx= −sinx+cosx+C B

Z

f(x) dx=sinx+cosx+C

C

Z

f(x) dx= −sinx−cosx+C D

Z

f(x) dx=sinx−cosx+C

-Lời giải.

Ta có

Z

(sinx−cosx) dx= −cosx−sinx+C= −sinx−cosx+C

Câu 76. Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x)=3x+

x2 A

Z

f(x) dx=3x+1

x+C B

Z

f(x) dx=

x

ln 3+

x+C

C

Z

f(x) dx=3x−1

x+C D

Z

f(x) dx=

x

ln 3−

x+C

-Lời giải.

Ta có

µ 3x ln 3−

1

x+C

ả0 =3

xln 3

ln

−

x2 ¶

=3x+

x2

Câu 77. Tìm nguyên hàm hàm số f(x)=3

x

e3 A

x

e3ln3 e

+C B x

−2 ln 3·e2+C C

3xln

e3 +C D 3x e3ln 3+C

-Lời giải.

Ta có

Z 3x e3dx=

3x e3ln 3+C

Câu 78. Cho hai hàm số f(x), g(x)là hai hàm số liên tục cóF(x), G(x)lần lượt nguyên hàm f(x),

g(x) Xét mệnh đề sau:

(I).F(x)+G(x)là nguyên hàm f(x)+g(x) (II).kF(x)là nguyên hàm hàm sốk f(x),(k∈R) (III).F(x)·G(x)là nguyên hàm f(x)·g(x)

Mệnh đề mệnh đềđúng?

A (I) (III) B (I) (II) C (II) (III) D (III)

-Lời giải.

Chỉ có mệnh đề (I) (II) hai mệnh đề

Câu 79. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=4x3+sinx−2là

A x4+cosx−2x+C B x

4

4 +cosx+C C 12x+cosx+C D x

4−cosx−2x+C.

-Lời giải.

Ta có

Z ¡

(121)

Chọn đáp án D ä Câu 80. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=sin 2xlà

A F(x)= −1

2cos 2x+C B F(x)=cos 2x+C C F(x)=1

2cos 2x+C D F(x)= −cos 2x+C

-Lời giải.

Ta có

Z

sin 2xdx= −cos 2x +C

A x

ln 5+C B

x·ln 5+C. C.

x+1

x+1+C D

x+1+C.

-Lời giải.

Áp dụng công thức

Z

axdx= a

x

lna+C, ta

Z

5xdx=

x

ln 5+C

Câu 82. Tìm họ nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=e2x

A F(x)=ex+C B F(x)=e

x

2 +C C F(x)=e

2x+C. D. F(x)=e2x

2 +C

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

e2xdx=e

2x

2 +C

Câu 83. Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=2

x−

1

x2+xtrên khoảng(0;+∞) A F(x)=2 ln|x| +1

x+ x2

2 +C B F(x)=lnx−lnx 2+x2

2 +C C F(x)=lnx−1

x+ x2

2 +C D F(x)=ln|x| +

x+ x2

2 +C

-Lời giải.

Ta cóF(x)=2 ln|x| +1 x+

x2

2 +C

Câu 84. Tìm nguyên hàmI=

Z ¡

e−x+2x¢ dx

A I= −e−x+x2+C B I=e−x+x2+C C I= −e−x−x2+C D I=e−x−x2+C

-Lời giải.

I=

Z ¡

e−x+2x¢

dx= −e−x+x2+C

Câu 85. Nguyên hàm hàm số f(x)=cosxlà

A −sinx+C B sinx+C C cosx+C D −cosx+C

-Lời giải.

Nguyên hàm hàm số f(x)=cosxlàF(x)=sinx+C

Câu 86. Hàm số sau nguyên hàm hàm số y=cosx?

(122)

-Lời giải.

Vì(sinx)0=cosxnênsinxlà nguyên hàm hàm sốcosx

Câu 87. Mệnh đề đâysai?

A

Z

f0(x) dx=f(x)+Cvới hàm f(x)có đạo hàm trênR

B

Z

[f(x)+g(x)] dx=

Z

f(x) dx+

Z

g(x) dx, với hàm số f(x), g(x)có đạo hàm trênR

C

Z

k f(x) dx=k

Z

f(x) dxvới số kvà với hàm số f(x)có đạo hàm trênR

D

Z

[f(x)−g(x)] dx=

Z

f(x) dx−

Z

g(x) dx, với hàm số f(x), g(x)có đạo hàm trênR

-Lời giải.

Z

k f(x) dx=k

Z

f(x) dx với số k với hàm số f(x)có đạo hàm trênR mệnh đề sai sốkphải khác0

Câu 88. Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x)=sin(3ax+1)(vớialà tham số khác0)

A cos(3ax+1)+C B

3acos(3ax+1)+C

C −

3acos(3ax+1)+C D −cos(3ax+1)+C

-Lời giải.

Z

sin(3ax+1) dx=

3a

Z

sin(3ax+1) d(3ax+1)= −

3acos(3ax+1)+C

Câu 89. Nguyên hàm hàm số f(x)=

x+2 khoảng(−∞;−2)là A ln|x+2| +C B

2ln|x+2| +C C ln(x+2)+C D

2ln(x+2)+C

-Lời giải.

Nguyên hàm hàm số f(x)=

x+2 khoảng(−∞;−2)làln|x+2| +C

Câu 90. Công thức nguyên hàm sau công thức SAI?

A

Z

axdx= a

x

lna+C (a>0;a6=1) B

Z

sinxdx=cosx+C

C

Z

cosxdx=sinx+C D

Z

xαdx= x

α+1

α+1+C (α6= −1)

-Lời giải.

Công thức

Z

sinxdx= −cosx+C

Câu 91. Tìm nguyên hàm hàm số y=sin(x−1)

A

Z

sin(x−1) dx= −cos(x−1)+C B

Z

sin(x−1) dx=cos(x−1)+C

C

Z

sin(x−1) dx=(x−1) cos(x−1)+C D

Z

sin(x−1) dx=(1−x) cos(x−1)+C

-Lời giải.

Z

sin(x−1) dx=

Z

sin(x−1) d(x−1)= −cos(x−1)+C

(123)

A

Z

x3dx=3x4+C B

Z

x3dx=1

4x

+C C

Z

x3dx=4x4+C D

Z

x3dx=1

3x

+C

-Lời giải.

Ta có

Z

x3dx=1

4x

+C

Câu 93. Tìm nguyên hàm hàm số y=cos(3x−2)

A

Z

cos(3x−2)dx= −1

3sin(3x−2)+C B Z

cos(3x−2)dx= −1

2sin(3x−2)+C C

Z

cos(3x−2)dx=1

2sin(3x−2)+C D Z

cos(3x−2)dx=1

3sin(3x−2)+C

-Lời giải.

Ta có

Z

cos(3x−2)dx=1

3 Z

cos(3x−2)d(3x−2)=1

3sin(3x−2)+C

Câu 94. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=sinxlà

A sinx+C B cosx+C C −sinx+C D −cosx+C

-Lời giải.

Ta có

Z

sinxdx= −cosx+C

Câu 95. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=ex biểu thức sau đây?

A ln|x| +C B −ex+C C ex+C D

x+C

-Lời giải.

Ta có

Z

exdx=ex+C

Câu 96. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=2x+1là họ hàm số sau đây?

A x2+x+C B x2+1+C C 2x2+1+C D 4x2+x+C

-Lời giải.

Ta có

Z

(2x+1) dx=x2+x+C

Câu 97. Công thức nguyên hàm sau đâykhông đúng?

A

Z 1

cos2xdx=tanx+C B Z

axdx= a

x

lna+C (0<a6=1)

C

Z

xαdx= x α+1

α+1+C (α6= −1) D Z 1

xdx=lnx+C

-Lời giải.

Công thức

Z 1

xdx=ln|x| +C

Câu 98. Mệnh đề sau đúng?

A

Z

x2dx=lnx

+C B

Z

cosxdx=sinx+C

C

Z 1

sin2xdx=cotx+C D

Z

e2xdx=2ex+C

-Lời giải.

Z

cosxdx=sinx+C

(124)

Câu 99. Tìm nguyên hàm hàm số f(x)=e +2 sinx

A

Z ¡

ex+2 sinx¢

dx=ex−cos2x+C B

Z ¡

ex+2 sinx¢

dx=ex+sin2x+C

C

Z ¡

ex+2 sinx¢

dx=ex−2 cosx+C D

Z ¡

ex+2 sinx¢

dx=ex+2 cosx+C

-Lời giải.

Z ¡

ex+2 sinx¢

dx=ex−2 cosx+C

Câu 100. Tìm nguyên hàm hàm số f(x)=x2+x−2

A

Z

f(x)dx=x

3

3 +

x2

2 −2+C B Z

f(x)dx= x

3

3 +

x2

2 +C C

Z

f(x)dx=2x+1+C D

Z

f(x)dx= x

3 +

x2

2 −2x+C

-Lời giải.

Z

f(x)dx=x

3

3 +

x2

2 −2x+C

Câu 101. Tìm nguyên hàm hàm số f(x)=2x3−9

A

Z

f(x) dx=1 2x

4

−9x+C B

Z

f(x) dx=x4−9x+C

C

Z

f(x) dx=1

2x

+C D

Z

f(x) dx=4x3+9x+C

-Lời giải.

Z

(2x3−9) dx=1

2x

−9x+C

A

Z

cotxdx=ln|sinx| +C B

Z

sinxdx=cosx+C

C

Z 1

x2dx=

x D

Z

cosxdx= −sinx+C

-Lời giải.

Z

cotxdx=

Z d sinx

sinx =ln|sinx| +C

Câu 103. Cho tích phânI=

e Z

1

3 lnx+1

x dx Nếu đặtt=lnxthì

A I=

1 Z

0

3t+1

et dt B I=

e Z

1

3t+1

t dt C I=

e Z

1

(3t+1) dt D I=

1 Z

0

(3t+1) dt

-Lời giải.

Đặtt=lnx, ta có dt= dx x

Khix=1thìt=0 Khix=ethìt=1 VậyI=

1 Z

0

(3t+1) dt

Câu 104. Biết

Z

f(u) du=F(u)+C Mệnh đề đúng?

A

Z

f(2x−1) dx=2F(2x−1)+C B

Z

f(2x−1) dx=2F(x)−1+C

C

Z

f(2x−1) dx=1

2F(2x−1)+C D Z

(125)

-Lời giải.

Đặtu=2x−1⇒du=2 dx Khi đó, ta có

Z

f(2x−1) dx=1 Z

f(u) du=1

2F(2x−1)+C

A

Z

f(x) dx=5xln 5+C B

Z

f(x) dx=5x+C

C

Z

f(x) dx=

x

lnx+C D

Z

f(x) dx=

x

ln 5+C

-Lời giải.

Ta có

Z

f(x) dx=

Z

5xdx=

x

ln 5+C

Câu 106. Hàm số nguyên hàm hàm số f(x)= 1−x?

A F(x)= −1

4ln|4−4x| +3 B F(x)= −ln|1−x| +4 C F(x)=ln|1−x| +2 D F(x)=1

2ln(x

2−2x+1)+5.

-Lời giải.

Ta có

Z 1

1−xdx= −

Z d(1 −x)

1−x = −ln|1−x| +C

Do đóF(x)= −ln|1−x| +4là nguyên hàm hàm số f(x)đã cho

Câu 107. Hàm sốF(x)=e3x nguyên hàm hàm số

A f(x)=3e3x B f(x)=e3x C f(x)=e 3x

3 D f(x)=3 ln 3x

-Lời giải.

F(x)là nguyên hàm hàm số f(x)khi khiF0(x)=f(x) Vậy f(x)=¡e3x¢0=3e3x

Câu 108. Tìm nguyên hàm hàm số f(x)=cos 2x

A

Z

f(x)dx=1

2sin 2x+C B Z

f(x)dx= −1

2sin 2x+C C

Z

f(x)dx=2 sin 2x+C D

Z

f(x)dx= −2 sin 2x+C

-Lời giải.

Ta có

Z

cos 2xdx=1

2 Z

cos 2xd(2x)=1

2sin 2x+C

Câu 109. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=48 sin 2xlà

A 24 cos 2x+C B 96 cos 2x+C C −96 cos 2x+C D −24 cos 2x+C

-Lời giải.

Ta có(−24 cos 2x+C)0=48 sin 2x

(126)

A du=

x B du= xdx C du=12xdx D du= xdv

-Lời giải.

Ta có du=1 xdx

Câu 111. Khẳng định sau khẳng địnhsai?

A

Z 1

x2dx= −

x+C B

Z

cosxdx=sinx+C

C

Z 1 2pxdx=

p

x+C D

Z

axdx=ax·lna+C (a>0,a6=1)

-Lời giải.

Chú ý

Z

axdx= a

x

lna+C(a>0,a6=1)

Câu 112. Biết rằngF(x)là nguyên hàm hàm số f(x)=sin(1−2x)và tha F

à ả

=1 Mệnh đề sau đúng?

A F(x)=cos(1−2x) B F(x)=cos(1−2x)+1

C F(x)= −1

2cos(1−2x)+

2 D F(x)=

2cos(1−2x)+

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

sin(1−2x) dx=1

2cos(1−2x)+C

DoF

à ả

=1C=1

2 VậyF(x)=

2cos(1−2x)+

Câu 113. Hàm số f(x)=px+3là nguyên hàm hàm số bên dưới?

A g(x)=2 3(x+3)

3

2+C B g(x)=

2px+3 C g(x)=p−1

x+3 D g(x)=

3 2(x+3)

3 2+C

-Lời giải.

g(x)=f0(x)=¡px+3¢0

= (x+3) 2px+3=

1 2px+3

Câu 114. TìmF(x)= Z

cosxdx

A sinx+C B cosx+C C −cosx+C D −sinx+C

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

cosxdx=sinx+C

Câu 115. Khẳng định sau đâyđúng?

A

Z

2xdx=2xln2+C B

Z

lnxdx=1 x+C

C

Z

exdx= −ex+C D

Z

x3dx=x

4

4 +C

-Lời giải.

Công thức nguyên hàm

Z

xndx= x

n+1

n+1+C

(127)

Câu 116. ChoF(x)và f0(x)lần lượt nguyên hàm đạo hàm hàm số f(x) Khẳng định sau làsai?

A b

R

a

f(x) dx=F(a)−F(b) B a

Z

b

f(x) dx=

c

Z

a

f(x) dx+

c

Z

b

f(x) dx

C b

Z

a

dx=b−a D

b

Z

a

f0(x) dx=f(b)−f(a)

-Lời giải.

Ta có b

Z

a

f(x) dx=F(b)−F(a)

A

Z

exdx= e

x+1

x+1+C B

Z

xedx= x

e+1 e+1+C C

Z

cos 2xdx=1

2sin 2x+C D Z 1

xdx=ln|x| +C

-Lời giải.

Ta có

Z

exdx=ex+C

Z

xedx= x

e+1 e+1+C Z

cos 2xdx=1

2sin 2x+C Z 1

xdx=ln|x| +C

Câu 118. Tính tích phânI=

1 Z

0 3xdx

A I=

ln B I=

ln C I=

2 D I=2

-Lời giải.

Ta cóI=

x

ln ¯ ¯ ¯ 0=

2 ln

Câu 119. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=3x+1là

A 3xlnx+x+C B x

ln 3+x+C C 3x

ln 3+C D

x+x+C.

-Lời giải.

Ta có

Z ¡

3x+1¢dx=

x

ln 3+x+C

Câu 120. Trong mệnh đề sau, mệnh đề nàosai?

A

Z

cosxdx=sinx+C B

Z

sinxdx= −cosx+C

C

Z

exdx=ex+C D

Z 1

sin2xdx= −tanx+C

(128)

Mệnh đề sai đáp ánD Mệnh đề phải

sin2xdx= −cotx+C

Câu 121. Tìm họ nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=cos(2x+3)

A F(x)= −sin(2x+3)+C B F(x)=1

2sin(2x+3)+C C F(x)= −1

2sin(2x+3)+C D F(x)=sin(2x+3)+C

-Lời giải.

F(x)= Z

cos(2x+3) dx=1

2sin(2x+3)+C

Câu 122. Tính

Z

4 sin³2x+π

3 ´

dx, kết sau làđúng?

A −2 cos ³

2x+π ´

+C B −1 2cos

³ 2x+π

3 ´

+C C −4 cos ³

2x+π ´

+C D cos ³

2x+π ´

+C

-Lời giải.

Ta có:

Z

4 sin³2x+π

3 ´

dx= −2 cos³2x+π

3 ´

+C

Câu 123. Nguyên hàmI=

Z 1

2x+1dxbằng A −1

2ln|2x+1| +C B −ln|2x+1| +C C

2ln|2x+1| +C D ln|2x+1| +C

-Lời giải.

Sử dụng công thức

Z 1

ax+bdx=

1

aln|ax+b| +C, ta

Z 1

2x+1dx=

2ln|2x+1| +C

Câu 124. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=2x2+x+1là

A 2x

3

3 +x

2+x+C. B. 4x+1. C. 2x3 +

x2

2 +x D 2x3

3 +

x2

2 +x+C

-Lời giải.

Ta có

Z

(2x2+x+1) dx=2x

3

3 +

x2

2 +x+C

Câu 125. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=sinx−1là

A cosx−x+C B −cosx+C C −cosx−x+C D cosx−x+C

-Lời giải.

Ta có

Z

f(x)dx= Z

(sinx−1) dx= −cosx−x+C

Câu 126. Tính nguyên hàm

Z

cos 3xdx

A −3 sin 3x+c B

3sin 3x+c C sin 3x+c D −

3sin 3x+c

-Lời giải.

Ta có

Z

cos 3xdx=1

3sin 3x+c

(129)

Câu 127. Công thức nguyên hàm sau làsai?

A

Z dx

x =lnx+C B

Z

xαdx= x α+1 α+1+C C

Z

axdx= a

x

lna+C(<α6= −1) D

Z 1

cos2xdx=tanx+C

-Lời giải.

Dựa vào công thức nguyên hàm (Đúng

Z dx

x =ln|x| +C)

Câu 128. Cho hai hàm số f(x)và g(x)liên tục trênK vàa,b∈K Khẳng định sau khẳng định

sai?

A b

Z

a

[f(x)+g(x)] dx=

b

Z

a

f(x) dx+

b

Z

a

g(x) dx B b

Z

a

k f(x) dx=k

b

Z

a

f(x) dx

C b

Z

a

[f(x)g(x)] dx=

b

Z

a

f(x) dx·

b

Z

a

g(x) dx D b

Z

a

[f(x)−g(x)] dx=

b

Z

a

f(x) dx−

b

Z

a

g(x) dx

-Lời giải.

Dựa vào tính chất tích phân

Câu 129. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=e2x+3là A

Z

f(x) dx=1

3e

2x+3+C. B. Z f(x) dx=e2x+3+C.

C

Z

f(x) dx=1

2e

2x+3+C. D. Z f(x) dx=2e2x+3+C.

-Lời giải.

Áp dụng công thức nguyên hàm mở rộng, ta

Z

f(x) dx=

Z

e2x+3dx=1

2e

2x+3+C.

Câu 130. Tất nguyên hàm hàm số f(x)= 2x+3 A

2ln(2x+3)+C B

2ln|2x+3| +C C ln|2x+3| +C D

ln 2ln|2x+3| +C

-Lời giải.

Ta có:

Z

f(x) dx=

Z 1

2x+3dx=

2ln|2x+3| +C

Câu 131. Họ nguyên hàm hàm số y=sin 2xlà

A y= −1

2cos 2x+C B y= −

2cos 2x C y=

2cos 2x+C D y= −cos 2x+C

-Lời giải.

Ta có

Z

sin 2xdx= −1

2cos 2x+C

Câu 132. Tích phân

π Z

0

ecosx·sinxdxbằng

A 1−e B e+1 C e−1 D e

-Lời giải.

Ta có

π Z

0

ecosx·sinxdx= −

π Z

0

ecosxd (cosx)= −ecosx¯¯ ¯ π

(130)

Chọn đáp án C ä Câu 133. Tìm nguyên hàm hàm số f(x)=7x

A

Z

7xdx=

x

ln 7+C B

Z

7xdx=7xln 7+C

C

Z

7xdx=7

x+1

x+1+C D

Z

7xdx=7x+1+C

-Lời giải.

Theo công thức nguyên hàm

Z

7xdx=

x

ln 7+C

Câu 134. Trong mệnh đề sau, mệnh đề nàosai?

A

Z

sinxdx=cosx+C B

Z

2xdx=x2+C

C

Z

exdx=ex+C D

Z 1

xdx=ln|x| +C

-Lời giải.

Z

sinxdx= −cosx+C

Câu 135. Kết luận sau đúng?

A

Z

sinxdx= −sinx+C B

Z

sinxdx=sinx+C

C

Z

sinxdx= −cosx+C D

Z

sinxdx=cosx+C

-Lời giải.

Z

sinxdx= −cosx+C

Câu 136. Mệnh đề đâysai? A

Z

(f(x)+g(x)) dx= Z

f(x) dx+ Z

g(x) dxvới hàm số f(x),g(x)liên tục trênR

B

Z

(f(x)−g(x)) dx=

Z

f(x) dx−

Z

C

Z

(f(x)·g(x)) dx=

Z

f(x) dx·

Z

D

Z

f0(x) dx=f(x)+Cvới hàm số f(x)có đạo hàm trênR

-Lời giải.

Mệnh đềsailà

Z

(f(x)·g(x)) dx=

Z

f(x) dx·

Z

Câu 137. Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=22x µ

3x− p

x

4x

¶

A F(x)= 12

x

ln 12− 2xpx

3 +C B F(x)=12

x+xpx+C.

C F(x)= 2x

ln µ

3x ln 3−

xpx

4x

¶

+C D F(x)= 2x

ln µ

3x ln 3−

xpxln 4x

¶ +C

-Lời giải.

Ta có: f(x)=12x−pxnênF(x)= Z

f(x) dx= 12

x

ln 12− 2xpx

3 +C

Câu 138. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=4x5−1

x+2018là

A

6x

6+ln|x| +2018x+C. B. 3x

(131)

C 20x4+

x2+C D

2 3x

6−ln|x| +2018x+C.

-Lời giải.

Ta có

Z

f(x) dx= Z µ

4x5−1

x+2018

¶

dx=2 3x

6

−ln|x| +2018x+C

Câu 139. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=sin 5x+2là

A cos 5x+C B −1

5cos 5x+2x+C C

5cos 5x+2x+C D cos 5x+2x+C

-Lời giải.

Ta có:

Z

f(x)dx=

Z

(sin 5x+2)dx= −1

5cos 5x+2x+C

Câu 140. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=cosxlà

A cosx+C B sinx+C C −cosx+C D −sinx+C

-Lời giải.

Z

f(x) dx= Z

cosxdx=sinx+C

Câu 141. Khẳng định sau đâysai(Clà số)?

A

Z 1

cos2xdx=tanx+C B

Z 1

sin2xdx= −cotx+C

C

Z

sinxdx=cosx+C D

Z

cosxdx=sinx+C

-Lời giải.

Ta có

Z

sinxdx= −cosx+C

Câu 142. Cho hàm số f(x)thỏa mãn f0(x)=3+2 sinxvà f(0)=3 Mệnh đề đâyđúng?

A f(x)=3x−2 cosx+5 B f(x)=3x+2 cosx+3

C f(x)=3x−2 cosx+3 D f(x)=3x+2 cosx+5

-Lời giải.

Ta có f(x)= Z

f0(x) dx= Z

(3+2 sinx) dx=3x−2 cosx+C

f(0)=3⇔ −2+C=3⇔C=5 Vậy f(x)=3x−2 cosx+5

A

Z

3xdx=3x+C B

Z

3xdx=

x

ln 3+C C

Z

3xdx=3xln 3+C D

Z

3xdx=

x+1

x+1+C

-Lời giải.

Ta có

Z

3xdx=

x

ln 3+C

Câu 144. Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A

Z

sinxdx=cosx+C B

Z 1

xdx= −

1

x2+C C

Z

exdx=ex+C D

Z

lnxdx=1

(132)

-Lời giải.

Z

exdx=ex+C

Câu 145. Tính nguyên hàmA=

Z 1

xlnxdxbằng cách đặtt=lnx Mệnh đề dâyđúng?

A A=

Z

dt B A=

Z 1

t2dt C A= Z

tdt D A=

Z 1

tdt

-Lời giải.

Đặtt=lnx⇒ dt=1 xdx A=

Z 1

tdt

Câu 146. Tìm nguyên hàm hàm số f(x)=2x+1

A

Z

(2x+1) dx= x

2 +x+C B Z

(2x+1) dx=x2+x+C

C

Z

(2x+1) dx=2x2+1+C D

Z

(2x+1) dx=x2+C

-Lời giải.

Z

(2x+1) dx=x2+x+C

Câu 147. Họ nguyên hàm hàm số y=102xlà

A 10 x

2 ln 10+C B 10

2x2 ln 10+C. C. 102x

2 ln 10+C D 102x ln 10+C

-Lời giải.

Ta có

Z

102xdx= 10

2x

2 ln 10+C

Câu 148. Họ nguyên hàm

Z

sinxdxbằng

A cosx+C B −sinx+C C −cosx+C D sinx+C

-Lời giải.

Có

Z

sinxdx= −cosx+C

Câu 149. Tất nguyên hàm hàm số f(x)=cos 2xlà

A sin 2x+C B

2sin 2x+C C −

2sin 2x+C D sin 2x+C

-Lời giải.

Ta có:

Z

cos 2xdx=1

2sin 2x+C

Câu 150. Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x)=e2018x A

Z

f(x) dx=e2018x+C B

Z

f(x) dx=

2018·e 2018x

+C

C

Z

f(x) dx=2018·e2018x+C D

Z

f(x) dx=e2018x·ln 2018+C

-Lời giải.

Ta có

Z

f(x) dx=

Z

e2018xdx=

2018e

2018xd(2018x)

= 2018·e

2018x

+C

(133)

Câu 151. Họ nguyên hàm hàm số y=cos 3xlà

A sin 3x

3 +C B − sin 3x

3 +C C sin 3x+C D −sin 3x+C

-Lời giải.

Z

cos(ax+b) dx=sin(ax+b)

a +C ta có

Z

cos 3xdx=sin 3x

3 +C

Câu 152. Họ nguyên hàm hàm sốexe+4là

A exe+1+4x+C B e2xe−1+C C ex

e+1

e+1 +4x+C D

xe+1

e+1+4x+C

-Lời giải.

Ta có:

Z ¡

exe+4¢ dx=e

Z

xedx+

Z

4 dx=ex e+1

e+1+4x+C

Câu 153. Tìm nguyên hàm hàm số f(x)=3 cosx+

x2 trên(0;+∞) A cosx+lnx+C B sinx−1

x+C C −3 sinx+

1

x+C D cosx+

1

x+C

-Lời giải.

Ta có:

Z

(3 cosx+

x2) dx=3

Z

cosxdx+

Z 1

x2dx=3 sinx−

1

x+C

Câu 154. Trong hàm số sau, hàm số nguyên hàm hàm số f(x)=x3?

A y= x

4

4 −1 B y=

x4

4 +1 C y=

x4

4 D y=3x 2.

-Lời giải.

Ta có

Z

x3dx=x

4 +C

Suy hàm số y=3x2không phải nguyên hàm y=x3

Câu 155. ChoF(x)là nguyên hàm hàm sốy=x2 Giá trị biểu thứcF0(4)là

A B C D 16

-Lời giải.

Theo định nghĩa nguyên hàm, ta cóF0(x)=x2 Suy raF0(4)=16

Câu 156. Nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=3− sin2x

A F(x)=3x−tanx+C B F(x)=3x+tanx+C

C F(x)=3x+cotx+C D F(x)=3x−cotx+C

-Lời giải.

F(x)= Z µ

3− sin2x

¶

dx=3x+cotx+C

Câu 157. Tìm nguyên hàm hàm số f(x)=ex−e−x

A

Z

f(x) dx=ex+e−x+C B

Z

f(x) dx=ex−e−x+C

C

Z

f(x) dx= −ex−e−x+C D

Z

f(x) dx= −ex+e−x+C

(134)

f(x) dx=ex− −1e

−x

+C=ex+e−x+C

Câu 158. Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x)=cos 2x

A F(x)=2 sin 2x+C B F(x)= −1

2sin 2x+C C F(x)=1

2sin 2x+C D F(x)= −2 sin 2x+C

-Lời giải.

Ta có:F(x)= Z

cos 2xdx=1

2sin 2x+C

A

Z

f0(x)dx=f(x)+C B

Z

f0(ax+b)dx=1

a·f(x)+C

C

Z

f0(x)dx=f00(x)+C D

Z

f0(x)dx=a·f(ax+b)+C

-Lời giải.

Ta có

Z

f0(x)dx=f(x)+C

Câu 160. Hàm số sau nguyên hàm hàm số y=12x5

A y=12x6+5 B y=2x6+3 C y=12x4 D y=60x4

-Lời giải.

Ta có

Z

12x5dx=12x

6 +C=2x

+C

Câu 161. Tính ngun hàmI= Z

¡

2x+3x¢ dx

A I=

x

ln 2+ 3x

ln 3+C B I= ln

2x +

ln

3x +C C I=

ln 2 +

ln

3 +C D I= − ln

2 − ln

3 +C

-Lời giải.

Ta cóI= Z

¡

2x+3x¢dx=

x

ln 2+ 3x ln 3+C

Câu 162. Trong khẳng định đây, khẳng định nàosai?

A

Z

[f(x)·g(x)] dx=

Z

f(x) dx·

Z

g(x) dx B

Z

[f(x)±g(x)] dx=

Z

f(x) dx±

Z

g(x) dx

C

Z

f0(x) dx=f(x)+C D

Z

[k·f(x)] dx=k·

Z

f(x) dx

-Lời giải.

Theo tính chất nguyên hàm, ta suy

Z

[f(x)·g(x)] dx=

Z

f(x) dx·

Z

g(x) dxlà khẳng định sai

Câu 163. TìmH=

Z p

2x−1 dx

A H=2

5(2x−1)

4 +C B H=(2x−1)

4+C C H=1

5(2x−1)

4+C D H=8

5(2x−1) 4+C

-Lời giải.

Ta có:H=

Z p

2x−1 dx=

Z

(2x−1)14dx=1 2·

(2x−1)14+1 4+1

+C=2

5(2x−1) 4+C

(135)

Câu 164. Cho hai hàm số f(x), g(x)liên tục trênR Trong mệnh đề sau, mệnh đề nàosai?

A

Z

[f(x)+g(x)] dx=

Z

f(x) dx+

Z

g(x) dx B

Z

[f(x)·g(x)] dx=

Z

f(x) dx·

Z

g(x) dx

C

Z

[f(x)−g(x)] dx=

Z

f(x) dx−

Z

g(x) dx D

Z

k f(x) dx=k

Z

f(x) dx

-Lời giải.

Ta có

Z

(2·x) dx=x2+C, cịn

Z dx·

Z

xdx=2x·x

2

2 +Cnên Z

(2·x) dx6=

Z dx·

Z

xdx

Câu 165. Tìm nguyên hàm hàm số f(x)=e12x. A

Z

f(x) dx=2e12x+C B

Z

f(x) dx=1

2e 2x+C

C

Z

f(x) dx=e12x+C D

Z

f(x) dx=2

3e 2x+C

-Lời giải.

Z

e12xdx=2e12x+C

Câu 166. Tìm nguyên hàm hàm số f(x)=sin 3x A

Z

sin 3xdx= −cos 3x

3 +C B

Z

sin 3xdx=cos 3x

3 +C C

Z

sin 3xdx= −sin 3x

3 +C D

Z

sin 3xdx= −cos 3x+C

-Lời giải.

Z

sinkxdx= −coskx

k +C

Câu 167. Tìm nguyên hàm hàm số f(x)= 3x+1 A ln|3x+1| +C B

3ln|3x+1| +C C

3ln(3x+1)+C D ln(3x+1)+C

-Lời giải.

Ta có

Z 1

3x+1dx=

3ln|3x+1| +C

Câu 168. Tìm họ tất nguyên hàm hàm số f(x)=cos 3x

A −3 sin 3x+C B −1

3sin 3x+C C −sin 3x+C D

3sin 3x+C

-Lời giải.

Ta có

Z

f(x) dx= Z

cos 3xdx=1 Z

cos 3xd(3x)=1

3sin 3x+C

Câu 169. Tìm tất nguyên hàm hàm số f(x)=3x2+x

2 A

Z

f(x) dx=x

3

3 +

x2

4 +C B

Z

f(x) dx=x3+x

2

2 +C C

Z

f(x) dx=x3+x

2

4 +C D

Z

f(x) dx=x3+x

2

4

-Lời giải.

Ta có

Z

f(x) dx=

Z ³

3x2+x

2 ´

dx=3 Z

x2dx+1

2 Z

xdx=x3+x

2

4 +C

Câu 170. Nguyên hàm

Z

(136)

A −

2cos 2x+C B cos 2x+C C 2cos 2x+C D −cos 2x+C

-Lời giải.

Chú ý

Z

sin(ax+b) dx= −1

acos(ax+b)+C

Câu 171. Nguyên hàm hàm sốy=e−3x+1là

A

3e −3x+1

+C B −3e−3x+1+C C −1 3e

−3x+1

+C D 3e−3x+1+C

-Lời giải.

Ta có:

Z

e−3x+1dx= −1

3e

−3x+1+C.

Câu 172. Cho hàm số f(x)=e2x Mệnh đề sau đúng?

A

Z

f(x) dx=e2x+C B

Z

f(x) dx=1

2e 2x

+C

C

Z

f(x) dx= −1

2e 2x

+C D

Z

f(x) dx=

2xe

2x

+C

-Lời giải.

Z

f(x) dx=

Z

e2xdx=1

2 Z

e2xd(2x)=1 2e

2x

+C

Câu 173. Tìm nguyên hàm hàm số f(x)=x2

A

Z

x2dx=x

2

2 +C B Z

x2dx=2x+C C

Z

x2dx=x

3

3 +C D Z

x2dx= x

3

-Lời giải.

Ta có

Z

x2dx=x

3

3 +C

Câu 174. Khẳng định khẳng định sau làsai?

A

Z

k f(x)dx=k

Z

f(x)dxvớik∈R

B

Z

[f(x)+g(x)]dx= Z

f(x)dx+ Z

g(x)dxvới f(x),g(x)liên tục trênR

C

Z

xαdx=

α+1x

α+1

+C vớiα6= −1

D

àZ

f(x)dx

ả0

=f(x)

-Lời giải.

Khẳng định

Z

k f(x)dx=k

Z

f(x)dxchỉ vớik6=0

Câu 175. Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x)=2x

2+x−1

x2

A

Z 2x2

+x−1

x2 dx=2+

x−

1

x2+C B

Z 2x2

+x−1

x2 dx=2x+

x+ln|x| +C

C

Z 2x2+x−1

x2 dx=x

+ln|x| +1

x+C D

Z 2x2+x−1

x2 dx=x

−1

x+ln|x| +C

-Lời giải.

Z 2x2

+x−1

x2 dx= Z µ

2+1

x−

1

x2 ¶

dx=2x+ln|x| +1 x+C

(137)

Câu 176. Nguyên hàm hàm số f(x)=ex+sinxlà

A F(x)=ex+cosx+C B F(x)=ex−sinx+C

C y=ex+sinx+C D y=ex−cosx+C

-Lời giải.

Ta có

Z ¡

ex+sinx¢

dx=ex−cosx+C

Câu 177. Nguyên hàm hàm sốy=x2−3x+1 x

A x

3

3 − 3x2

2 −ln|x| +C B

x3

3 − 3x2

2 +

x2+C C x

3

3 − 3x2

2 +lnx+C D

x3

3 − 3x2

2 +ln|x| +C

-Lời giải.

Ta có

Z µ

x2−3x+1 x

¶ dx= x

3

3 − 3x2

2 +ln|x| +C

Câu 178. Công thức nguyên hàm sau đâykhôngđúng?

A

Z

axdx= a

x

lna+C(0<a6=1) B

Z dx

cosx =tanx+C

C

Z dx

x =ln|x| +C D

Z

xαdx= x α+1

α+1+C(α6= −1)

-Lời giải.

Ta có

Z dx

cos2x=tanx+C

Câu 179. Hàm số sau nguyên hàm hàm số y=cosx

A y= −sinx B y=x−sinx C y=x+sinx D y=sinx

-Lời giải.

Ta có

Z

cosxdx=sinx+C

Câu 180. Nguyên hàm hàm số f(x)=x3là

A x

4

4 B

x3

3 +C C 3x

2+C. D. x

4 +C

-Lời giải.

Z

f(x) dx=

Z

x3dx=x

4

4 +C

1.1 ĐÁP ÁN

1 B D B C C B D D A 10 D

11 D 12 D 13 C 14 B 15 A 16 B 17 A 18 A 19 D 20 D

21 C 22 C 23 A 24 D 25 D 26 B 27 A 28 D 29 B 30 D

31 A 32 D 33 C 34 B 35 C 36 B 37 A 38 C 39 D 40 C

41 B 42 B 43 D 44 A 45 D 46 B 47 C 48 A 49 B 50 C

51 D 52 C 53 C 54 D 55 D 56 C 57 C 58 B 59 D 60 A

61 B 62 A 63 C 64 C 65 A 66 D 67 B 68 B 69 A 70 B

71 D 72 C 73 D 74 C 75 C 76 D 77 D 78 B 79 D 80 A

81 A 82 D 83 A 84 A 85 B 86 C 87 C 88 C 89 A 90 B

(138)

101 A 102 A 103 D 104 C 105 D 106 B 107 A 108 A 109 D 110 B

111 D 112 D 113 B 114 A 115 D 116 A 117 A 118 A 119 B 120 D

121 B 122 A 123 C 124 D 125 C 126 B 127 A 128 C 129 C 130 B

131 A 132 C 133 A 134 A 135 C 136 C 137 A 138 D 139 B 140 B

141 C 142 A 143 B 144 C 145 D 146 B 147 C 148 C 149 B 150 B

151 A 152 C 153 B 154 D 155 D 156 C 157 A 158 C 159 A 160 B

161 A 162 A 163 A 164 B 165 A 166 A 167 B 168 D 169 C 170 A

171 C 172 B 173 C 174 A 175 B 176 D 177 D 178 B 179 D 180 D

2 THÔNG HIỂU

Câu 1. Cho hàm số f(x)thỏa mãn f0(x)= −cosxvà f(0)=2019 Mệnh đề đúng?

A f(x)= −sinx+2019 B f(x)=2019+cosx

C f(x)=sinx+2019 D f(x)=2019−cosx

-Lời giải.

Do f0(x)= −cosxnên f(x)= Z

f0(x) dx=

Z

(−cosx) dx= −sinx+C Do f(0)=2019nên−sin 0+C=2019⇔C=2019

Vậy f(x)= −sinx+2019

Câu 2. Khi tính nguyên hàm

Z x −3 p

x+1dx, cách đặt u= p

x+1ta nguyên hàm nào?

A

Z 2¡

u2−4¢

du B

Z ¡

u2−4¢

du C

Z ¡

u2−3¢

du D

Z 2u¡

u2−4¢ du

-Lời giải.

Vớiu=px+1ta cóu2=x+1⇒2udu=dxvà x=u2−1 Từ

Z x −3 p

x+1dx= Z u2

−1−3

u ·2udu=

Z

2¡u2−4¢du

Câu 3. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=4x(1+lnx)là

A 2x2lnx+3x2 B 2x2lnx+x2 C 2x2lnx+3x2+C D 2x2lnx+x2+C

-Lời giải.

Đặt

 



u=1+lnx

dv=4xdx ⇒

  

 

du=1

xdx v=2x2

Khi

Z

f(x) dx=2x2(1+lnx)− Z

2xdx=2x2(1+lnx)−x2+C=2x2lnx+x2+C

A x4+x2+C B 4x3+1+C C x5+x2+C D

5x 5+1

2x 2+C.

-Lời giải.

Ta có

Z ¡

x4+x¢

dx=1

5x

+1 2x

2 +C

A x4+x3+C B

4x 4+1

3x

3+C. C. 3x2+2x+C. D. x3+x2+C.

-Lời giải.

Ta có

Z

f(x) dx=

Z

(x3+x2) dx=1

4x

+1 3x

3 +C

(139)

Câu 6. Nguyên hàmI=

Z p

2x+1 dxlà

A I=1

3

p

(2x+1)3+C B I=2

3

p

(2x+1)3+C

C I=

2p2x+1+C D I=

4p2x+1+C

-Lời giải.

Ta cóI=1

2 Z p

2x+1 d (2x+1)=1

»

(2x+1)3+C, vớiC số tùy ý

Câu 7. Nguyên hàmF(x)trên(−∞; 0)của hàm số f(x)= −1

x2e

x thỏa mãn điều kiệnF(−1)=1 e

A F(x)=ex1 B F(x)=2 e−e

1

x C F(x)=2e

1

x−1

e D F(x)= −2e

x+3 e

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

−

x2e

xdx=

Z

e1xd

µ

x

¶

=e1x+C. F(−1)=1

e ⇔e

−1+C=1

e ⇔C=0

VậyF(x)=e1x

Câu 8. Nguyên hàm hàm số f(x)=

sin2xcos2x khoảng ³

0;π ´

là

A

Z

f(x) dx= −cotx+tanx+C B

Z

f(x) dx=cotx−tanx+C

C

Z

f(x) dx=ln sin2x+ln cos2x+C D

Z

f(x) dx= −cotx−tanx+C

-Lời giải.

Ta có f(x)=

sin2xcos2x =

sin2x+cos2x

sin2xcos2x = cos2x+

1 sin2x

Do đó,

Z

f(x) dx=

Z cos2x+

1 sin2x

ả

dx=tanx−cotx+C

Câu 9. Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x)=5+2x

x2 A

Z

f(x)dx=2x

3

3 −

x+C B

Z

f(x)dx=2x3−5 x+C

C

Z

f(x)dx=2x

3

3 +

x+C D

Z

f(x)dx=2x

3

3 +5 lnx

+C

-Lời giải.

Rút gọn f(x)ta f(x)=

x2+2x 2.

Khi

Z

f(x)dx= Z

2x2dx+ Z

5

x2dx= 2x3

3 −

x+C

Câu 10. ChoF(x)là nguyên hàm hàm sốf(x)=(x+1) lnx TínhF00(x). A F00(x)=1+1

x B F

00(x)=1

x C F

00(x)=1+1

x+lnx D F

00(x)=x+lnx.

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

(x+1) lnxdx⇒F0(x)=(x+1) lnx⇒F00(x)=1+1

x+lnx

Câu 11. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=ex+xlà

A ex+x2+C B ex+1 2x

2+C. C.

x+1e

x+1

2x

(140)

-Lời giải.

Z

f(x) dx= Z

¡ ex+x¢

dx=ex+1 2x

2 +C

Câu 12. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=4x(1+lnx)là

A 2x2lnx+3x2 B 2x2lnx+x2 C 2x2lnx+3x2+C D 2x2lnx+x2+C

-Lời giải.

Z

4x(1+lnx) dx=

Z

(1+lnx) d(2x2) =2x2(1+lnx)−

Z 2x21

xdx

=2x2(1+lnx)−x2+C

=2x2lnx+x2+C

Câu 13. Hàm sốF(x)=x2ln (sinx−cosx)là nguyên hàm hàm số đây?

A f(x)= x

sinx−cosx B f(x)=2xln (sinx−cosx)+

x2

sinx−cosx

C f(x)=2xln (sinx−cosx)+x

2(cosx+sinx)

sinx−cosx D f(x)=

x2(sinx+cosx) sinx−cosx

-Lời giải.

VìF(x)là nguyên hàm f(x)nên

f(x)=F0(x)=2x·ln (sinx−cosx)+x2·(sinx−cosx)

0

sinx−cosx =2x·ln (sinx−cosx)+x

2

·sinx+cosx sinx−cosx

Câu 14. Cho hàm số y=f(x)có đạo hàm liên tục trênRthỏa mãn f0(x)−x f(x)=0,f(x)>0,∀x∈R

f(0)=1 Giá trị củaf(1)bằng

A p1

e B

1

e C

p

e D e

-Lời giải.

Từ giả thiết ta có f

0(x)

f(x) =x⇒ Z f0

(x)

f(x)dx= Z

xdx⇒ln [f(x)]=1 2x

2+C(do f(x)>0,∀x∈R).

Do đóln [f(0)]=1 2·0

2+C⇒C=0⇒lnf(x)=1 2x

2⇒ f(x)=e12x2

⇒f(1)=pe

Câu 15. Cho hàm số f(x)=sin22x·sinx Hàm số nguyên hàm hàm f(x)

A y=4

3cos 3−4

5sin 5x

+C B y= −4

3cos 3x+4

5cos

5x+C. C y=4

3sin 3x

−4 5cos

5x

+C D y= −4

3sin 3x

+4 5sin

5x +C

-Lời giải.

Ta có

Z

f(x) dx= Z

sin22x·sinxdx=4 Z

sin3x·cos2xdx

= −4 Z

sin2x·cos2x·d (cosx)= −4 Z

¡

1−cos2x¢

·cos2x·d (cosx) = −4

Z ¡

cos2x−cos4x¢

·d (cosx)= −4 3cos

3x +4

5cos 5x

+C

(141)

Câu 16. Tìm họ nguyên hàmF(x)=

Z 1

(2x+1)3dx A F(x)= −

4(2x+1)2+C B F(x)= −

6(2x+1)2+C C F(x)= −

4(2x+1)3+C D F(x)= −

6(2x+1)3+C

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

(2x+1)−3dx=1

2·

(2x+1)−2

−2 +C= −

4(2x+1)2+C

Câu 17. ChoF(x)là nguyên hàm hàm sốf(x)=ex+2xthỏa mãnF(0)=3

2 F(x)bằng A F(x)=ex+x2+5

2 B F(x)=e

x+x2−1

2 C F(x)=e

x+x2+3

2 D F(x)=e

x+x2+1

-Lời giải.

Ta có

Z ¡

ex+2x¢

dx=ex+x2+C DoF(0)=3

2 nêne

0+02+C=3

2⇔C=

VậyF(x)=ex+x2+1

2

Câu 18. ChoF(x)là nguyên hàm f(x)=p

x+2 thỏa mãnF(2)=4 Giá trịF(−1)bằng A p3 B C 2p3 D

-Lời giải.

F(x)= Z

f(x)dx= Z

1 p

x+2dx=2 p

x+2+C

Theo đề bàiF(2)=4nên2p2+2+C=4⇔C=0⇒F(−1)=2p−1+2=2 VậyF(−1)=2

Câu 19. Cho biết

Z 2x −13

(x+1)(x−2)dx=aln|x+1| +bln|x−2| +C Mệnh đề sau đúng? A a+2b=8 B a+b=8 C 2a−b=8 D a−b=8

-Lời giải.

Giả sử2x−13=A(x+1)+B(x−2)⇔2x−13=(A+B)x+A−2B

Đồng thức hai vế ta có hệ

 



A+B= −2

A−2B= −13⇔  



A= −3

B=5 Z 2x

−13

(x+1)(x−2)dx = Z

−3(x+1)+5(x−2) (x+1)(x−2) dx =

Z −3

x−2dx+ Z 5

x+1dx = −3 ln|x−2| +5 ln|x+1| +C

Suy raa=5, b= −3, vậya−b=8

Câu 20. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=p 1−2x

A 2p1−2x+C B −2p1−2x+C C p1−2x+C D −p1−2x+C

(142)

Ta có

Z 1

p

1−2xdx= −

1 Z

(1−2x)−12d(1−2x)= −1 2·

(1−2x)2

+C= −p1−2x+C

Câu 21. Họ nguyên hàm hàm số f(x)= p3 3x+1 A p33x+1+C B

3 p

3x+1+C C

2

p

(3x+1)2+C. D. 3

p

(3x+1)2+C.

-Lời giải.

Ta có

Z p

3x+1dx= Z

(3x+1)−

3d(3x+1)=1 3·

(3x+1) 3

+C=1

p

(3x+1)2+C.

Câu 22. Cho hàm số f(x)thỏa f0(x)=3−5 sinxvà f(0)=10 Mệnh đề đúng? A f(x)=3x+5 cosx+5 B f(x)=3x+5 cosx+2

C f(x)=3x−5 cosx+2 D f(x)=3x−5 cosx+15

-Lời giải.

f(x)= Z

(3−5 sinx) dx=3x+5 cosx+C

f(0)=10⇒5+C=10⇒C=5 Vậy hàm số cần tìm: f(x)=3x+5 cosx+5

Câu 23. Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=sinx+cosxthỏa mãnF³π

2 ´

=2

A F(x)=cosx−sinx+3 B F(x)= −cosx+sinx+3

C F(x)= −cosx+sinx−1 D F(x)= −cosx+sinx+1

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

f(x) dx= −cosx+sinx+C MàF³π

2 ´

=2nênC=1

Câu 24. Tìm nguyên hàm hàm số f(x)=p2x−1

A

Z

f(x) dx=2

3(2x−1) p

2x−1+C B

Z

f(x) dx=1

3(2x−1) p

2x−1+C

C

Z

f(x) dx= −1

3(2x−1) p

2x−1+C D

Z

f(x) dx=1

2(2x−1) p

2x−1+C

-Lời giải.

Ta có

Z

f(x) dx=

Z p

2x−1 dx=1

2 Z

(2x−1)12 d(2x−1) =1

2·

3(2x−1)

2+C=1

3(2x−1) p

2x−1+C

Câu 25. Cho hàm số f(x)xác định trênR\ ½

1 ¾

thỏa mãn f0(x)=

2x−1, f(0)=1và f(1)=2 Giá trị

biểu thức f(−1)+f(3)bằng

A 4+ln 15 B 2+ln 15 C 3+ln 15 D ln 15

-Lời giải.

Cách 1: dùng tốn tìm ngun hàm có điều kiện khoảngK Chú ý: g(x)=

2x−1 xác định trênD=R\ ½

1 ¾

(143)

khoảng củaD,không đượcxét tập xác địnhD

Trên khoảng củaD, ta có f(x)=

Z

f0(x) dx= Z

2

2x−1dx=ln|2x−1| +C

Xột trờn khong

à ;1

2 ả

, ta có f(0)=1, suy raC=1 Do đó, f(x)=ln|2x−1| +1, vi mix

à ;1

2 ả

Suy f(−1)=1+ln

Xét khoảng(1

2;+∞), ta có f(1)=2, suy raC=2

Do đó, f(x)=ln|2x−1| +2, vi mi

à1 2;+

ả

Suy f(3)=2+ln Vậy f(−1)+f(3)=3+ln 3+ln 5=3+ln 15

Cách 2: dùng định nghĩa tích phân xác định đoạn mà hàm số liên tục

Chú ý:Nếu hàm số f(x)liên tục trênK (một khoảng, đoạn nửa khoảng) chứa avà b thìF(b)=

F(a)+

b

Z

a

f(x) dx, đóF(x)là nguyên hàm f(x)trên đoạn[a;b]

Do f0(x)=

2x−1 liên tục đoạn[−1; 0]và[1; 3]nên 

       

       

f(−1)=f(0)+ −1 Z

0

f0(x) dx

f(3)=f(1)+ Z

1

f0(x) dx

⇔         

       

f(−1)=1+ −1 Z

0

2x−1dx=1+ln

f(3)=2+ Z

1

2x−1dx=2+ln

Vậy f(−1)+f(3)=3+ln 3+ln 5=3+ln 15

A x4+x2+C B 4x3+1+C C x5+x2+C D

5x 5+1

2x 2+C.

-Lời giải.

Ta có

Z ¡

x4+x¢

dx=1 5x

5 +1

2x

+C

A x4+x3+C B

4x 4+1

3x

3+C. C. 3x2+2x+C. D. x3+x2+C.

-Lời giải.

Ta có

Z

f(x) dx=

Z

(x3+x2) dx=1

4x

+1 3x

3 +C

Câu 28. Giả sử

Z

e2x¡

2x3+5x2−2x+4¢ dx=¡

ax3+bx2+cx+d¢

e2x+C Khi đóa+b+c+dbằng

A −2 B C D

-Lời giải.

Ta có

Z

e2x¡

2x3+5x2−2x+4¢ dx=¡

ax3+bx2+cx+d¢

e2x+Cnên:

¡¡

ax3+bx2+cx+d¢

e2x+C¢0

=¡3ax2+2bx+c¢

e2x+2e2x¡

ax3+bx2+cx+d¢ =¡

2ax3+(3a+2b)x2+(2b+2c)x+c+2d¢

e2x

=(2x3+5x2−2x+4)e2x

(144)

Do

      

      

2a=2 3a+2b=5 2b+2c= −2

c+2d=4 ⇔

      

      

a=1

b=1

c= −2

d=3

Vậya+b+c+d=3

A

Z

cos 4xdx=sin 4x

4 +C B

Z 1

cos22xdx=

tan 2x

2 +C C

Z 1

exdx=

ln|x|

e +C D

Z

cos 2xdx=2 sin 2x+C

-Lời giải.

Ta có

Z

cos 2xdx=sin 2x

2 +C

Z 1

p

5x+2dx A I=1

5

p

(5x+2)3+C. B. I=2

p

5x+2+C

C I=1

p

5x+2+C D I=2

p

(5x+2)3+C.

-Lời giải.

I=

Z 1

p

5x+2dx= Z

(5x−2)−12dx=2·(5x−2) +C=

2

p

5x−2+C

Câu 31. Biết F(x) nguyên hàm hàm số f(x)=sinx+cosx, thỏa mãn F³π

2 ´

=2 Tính giá trị

S=F(0)+2F(π)

A S=4 B S=5 C S= −1 D S=0

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

(sinx+cosx) dx= −cosx+sinx+C

Theo giả thiết ta cóF³π

2 ´

=0⇒ −cosπ 2+sin

π

2+C=2⇒C=1

VậyF(x)= −cosx+sinx+1,S=F(0)+2F(π)=4

Câu 32. Nguyên hàm hàm số f(x)=x p

x+px x2 A F(x)=2 (xp−1)

x +C B F(x)=

2¡px+1¢

x2 +C C F(x)=1+2

p

x

x +C D F(x)=

2−3px

p

x +C

-Lời giải.

Z xpx +px x2 dx=

Z

x12+x32 ả

dx=2x122x12+C

=2pxp2

x+C=2

p

x−p2

x+C=

2x−2 p

x +C

ä

Câu 33.

Z 3 cosx

2+sinxdxbằng

A sinx

(2+sinx)2+C B −3 ln|2+sinx| +C C ln (2+sinx)+C D

3 sinx

(2+sinx)2+C

(145)

Đặtt=2+sinx⇒dt=cosxdx I=

Z 3 dt

t =3 ln|t|=3 ln (2+sinx)+C

Câu 34. Công thức làsai?

A

Z 1

x2−a2dx= 2ln

¯ ¯ ¯

x−a x+a

¯ ¯

¯+C B

Z

sinxdx=cosx+C

C

Z

eax+bdx=1 ae

ax+b

+C D

Z

axdx= a

x

lna+C, (0<a6=1)

-Lời giải.

Z

sinxdx= −cosx+C ä

Câu 35. Tìm

Z lnx

x dxcó kết

A x

2

2 (lnx−1)+C B 2ln

2x+C. C. ln|lnx

| +C D lnx

2 +C

-Lời giải.

Ta có

Z lnx

x dx=

Z

lnxd(lnx)=ln 2x +C

Câu 36. Cho hàm số y=f(x)xác định trênR\ {1}thỏa mãn f0(x)=

x−1, f(0)=2018, f(2)=2019 Giá

trị f(3)−f(−1)bằng

A B ln C ln 4037 D

-Lời giải.

Cách 1: Có f(x)=

Z

f0(x) dx=

Z 1

x−1dx=ln|x−1| +C, suy f(x)=  



ln(x−1)+C1khi x>1 ln(1−x)+C2khi x<1

Do f(0)=2018, f(2)=2019nênC2=2018,C1=2019 Khi f(3)−f(−1)=ln 2+C1−(ln 2+C2)=C1−C2=1

Cách 2: Sử dụng MTCT Ta có

f(3)−f(−1) = f(3)−f(2)+f(0)−f(−1)+f(2)−f(0) =

3 Z

2

f0(x) dx+

0 Z

−1

f0(x) dx+f(2)−f(0)+1

= Z

2

x−1dx+ Z

−1

x−1dx+f(2)−f(0)=1

Câu 37. Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x)=x·p3 x2+1bằng A

8

p

(x2+1)4+C. B.

p

(x2+1)+C. C.

p

(x2+1)+C. D.

p

(x2+1)4+C.

-Lời giải.

Ta có

Z

x·p3 x2+1 dx=1 Z

(x2+1)

3d(x2+1)=3 8(x

2 +1)

4

3+C=3

p

(x2+1)4+C.

(146)

A T= −3035 B T=1007 C T= −5053 D T=1011

-Lời giải.

VìF(x)=(ax2+bx−c)e2xlà nguyên hàm hàm sốf(x)=(2018x2−3x+1)e2xtrên khoảng(−∞;+∞)

nên ta có:(F(x))0=f(x), với mọix∈(−∞;+∞)

⇔¡2ax2+x(2b+2a)−2c+b¢

e2x=¡2018x2−3x+1¢

e2x, với mọix∈(−∞;+∞)

⇔     

   

2a=2018 2b+2a= −3

−2c+b=1 ⇔

      

     

a=1009

b= −2021

c= −2023

VyT=a+2b+4c=1009+2Ã

2021

ả +4Ã

à

−2023

¶

= −3035

Câu 39. Nguyên hàm hàm số f(x)= 1−2x

A

Z

f(x) dx= −1

2ln|1−2x| +C B Z

f(x) dx=ln|1−2x| +C

C

Z

f(x) dx= −2 ln|1−2x| +C D

Z

f(x) dx=2 ln|1−2x| +C

-Lời giải.

Z

f(x) dx=

Z dx 1−2x = −

1

Z d(1 −2x) 1−2x = −

1

2ln|1−2x| +C

A

Z

xedx= x e+1

e+1+C B Z

x2dx=1 3x

3

+C C

Z

exdx= e

x+1

x+1+C D Z

x7dx=1 8x

8 +C

-Lời giải.

Ta có

Z

exdx=ex+C⇒

Câu 41. Họ nguyên hàm hàm số f(x)= 2x+3 A

2ln(2x+3)+C B

2ln|2x+3| +C C ln|2x+3| +C D

ln 2ln|2x+3| +C

-Lời giải.

Áp dụng công thức nguyên hàm mở rộng:

Z

f(x) dx= Z 1

2x+3dx=

2ln|2x+3| +C

Câu 42. F(x)là nguyên hàm hàm số y=x·ex2 Hàm số sau làF(x)?

A F(x)=1 2e

x2+2. B. F(x)=1

2 ³

ex2+5 ´

C F(x)= −1 2e

x2+C. D. F(x)= −1

2 ³

2−ex2 ´

-Lời giải.

Ta thấy đáp án C

µ −1

2e

x2+C

¶0

= −xex26=xex2 nên hàm số đáp án C không nguyên hàm hàm y=x·ex2

Câu 43. Nguyên hàm hàm số y=e−3x+1là

A

3e −3x+1

+C B −3e−3x+1+C C −1 3e

−3x+1

+C D 3e−3x+1+C

-Lời giải.

Ta có:

Z

e−3x+1dx= −1 Z

e−3x+1d(−3x+1)= −1 3e

(147)

Chọn đáp án C ä Câu 44. Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=e2x, biếtF(0)=1

A F(x)=e2x B F(x)=e 2x

2 +

2 C F(x)=2e

2x−1. D. F(x)=ex.

-Lời giải.

Ta có:

F(x)= Z

f(x) dx=

Z

e2xdx=1

2e 2x

+C

Theo giả thiết:F(0)=1⇒C=1

2 VậyF(x)= e2x

2 +

Câu 45. Cho hàm số f(x)thỏa mãn đồng thời điều kiện f0(x)=x+sinxvà f(0)=1 Tìm f(x). A f(x)= x

2

2 −cosx+2 B f(x)=

x2

2 −cosx−2 C f(x)= x

2

2 +cosx D f(x)=

x2

2 +cosx+

-Lời giải.

Ta có f0(x)=x+sinx⇒ f(x)=x

2 −cosx+C; f(0)=1⇔ −1+C=1⇔C=2

Vậy f(x)=x

2 −cosx+2

Câu 46. Cho

1 Z

−2

f(x) dx=3 Tính tích phân I=

1 Z

−2

[2f(x)−1] dx

A −9 B −3 C D

-Lời giải.

I=

1 Z

−2

[2f(x)−1] dx=2 Z

−2

f(x) dx−

1 Z

−2

dx=6−x¯¯ ¯

−2=3

Câu 47. Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x)=5+2x

x2 A

Z

f(x) dx=2x

3

3 −

x+C B

Z

f(x) dx=2x3−5 x+C

C

Z

f(x) dx=2x

3

3 +

x+C D

Z

f(x) dx=2x

3

3 +5 lnx

+C

-Lời giải.

Ta có

Z

f(x) dx=

Z µ

2x2+ x2

¶

dx=2x

3

3 −

x+C

Câu 48. ChoF(x)là nguyên hàm hàm sốf(x)=(x+1) lnx TínhF00(x)

A F00(x)=1+1

x B F

00(x)=1

x C F

00(x)=1+1

x+lnx D F

00(x)=x+lnx.

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

f(x) dx= Z

(x+1) lnxdx⇒F0(x)=(x+1) lnx⇒F00(x)=1+1

x+lnx

Câu 49. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=x3+x2là:

A x

4

4 +

x3

3 +c B x

4+x3. C. 3x2+2x. D. 3x

4+1 4x

(148)

-Lời giải.

Áp dụng công thức nguyên hàm ta có:

Z

f(x) dx=

Z

(x3+x2) dx=x

4

4 +

x3

3 +c

Câu 50. Cho F(x)là nguyên hàm f(x)=

x−1 khoảng (1;+∞)thỏa mãn F(e+1)=4 Tìm

F(x)

A F(x)=2 ln(x−1)+2 B F(x)=ln(x−1)+3

C F(x)=4 ln(x−1) D F(x)=ln(x−1)−3

-Lời giải.

GọiF(x)= Z

f(x) dx= Z

dx

x−1=ln(x−1)+Cvớix∈(1;+∞)

Lại cóF(e+1)=4⇒4=1+C⇒C=3 Do đóF(x)=ln(x−1)+3

Câu 51. Họ nguyên hàm hàm số y=3x(x+cosx)là

A x3+3 (xsinx+cosx)+C B x3−3 (xsinx+cosx)+C

C x3+3 (xsinx−cosx)+C D x3−3 (xsinx−cosx)+C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z

3x(x+cosx) dx=

Z ¡

3x2+3xcosx¢

dx=x3+3 Z

xcosxdx

TínhJ=

Z

xcosxdx.Đặt

 



x=u

cosxdx=dv⇒

 



dx=du

sinx=v

⇒J=xsinx−

Z

sinxdx=xsinx+cosx+C VậyI=x3+3 (xsinx+cosx)+C

Câu 52. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=sinx+1là

A sin

2x

2 +x+C B −cosx+x+C C cosx+x+C D −cosx+C

-Lời giải.

Ta có

Z

f(x) dx=

Z

(sinx+1) dx= −cosx+x+C

Câu 53. Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=e3x, biếtF(0)=1

A F(x)=1 3e

3x+2

3 B F(x)=e

3x+1. C. F(x)=1

3e 3x+1

3 D F(x)=3e 3x−2.

-Lời giải.

Ta có

Z

f(x) dx=

Z

e3xdx=1

3e 3x

+c=F(x) Mặt khác,F(0)=1

3·1+c=1⇔c=

NênF(x)=1 3e

3x+2

3

Câu 54. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=10xlà

A 10 x

ln 10+C B

10x+1

x+1 +C C

10x

11 +C D 10

x·ln 10+C.

-Lời giải.

Ta có

Z

10xdx= 10

x

(149)

Chọn đáp án A ä Câu 55. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=1+lnx

x2 A −lnx

x +

2

x+C B −

lnx

x −

2

x+C C

lnx

x +

2

x+C D

lnx

x −

2

x+C

-Lời giải.

Ta có f(x)=1+lnx

x2 =

x2+ lnx

x2

Đặt

  

 

u=lnx

dv= x2dx

⇒    

  

du=1 xdx v= −1

x

Khi đó:

Z lnx

x2 dx= −

lnx

x +

Z 1

x2dx= −

lnx

x −

1

x+C

0.

Mặt khác,

Z 1

x2dx= −

x+C"

Do đó,

Z

f(x) dx=

Z lnx

x2 dx+ Z 1

x2dx= − lnx

x −

1

x−

1

x+C= −

2

x−

lnx x +C

Câu 56. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=(2x+1) lnxlà

A (x2+x) lnx−x

2

2 +x+C B (x

2+x) lnx−x2

2 −x+C C (x2+1) lnx−x

2

2 −x+C D lnx+

x+C

-Lời giải.

XétF(x)= Z

(2x+1) lnxdx

Đặt

 



u=lnx

dv=(2x+1) dx⇒

  

 

du=1 xdx v=x2+x ⇒F(x)=(x2+x) lnx−

Z

(x+1) dx=(x2+x) lnx−x

2

2 −x+C

Câu 57. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=lnx

x

A

2ln 2x

+lnx+C B

2ln 2x

+C C ln2x+C D ln (lnx)+C

-Lời giải.

Ta có

Z

f(x) dx= Z lnx

x dx=

Z

lnxd (lnx)=1 2ln

2x +C

Câu 58. Cho hàm số f(x)có đạo hàm liên tục khoảng(0;+∞) Khi

Z f0¡px¢ p

x dxbằng

A

2f ¡p

x¢

+C B f¡px¢

+C C −2f¡px¢

+C D 2f¡px¢ +C

-Lời giải.

Ta có:I=

Z f0¡px¢ p

x dx Đặt

p

x=t, ta có

2pxdx=dt

Do đó:I=

Z

f0(t)2 dt=2f(t)+C=2f¡px¢ +C

Câu 59. Cho hàm số f(x)thỏa mãn f0(x)=3−5 sinxvà f(0)=10 Mệnh đề đúng?

A f(x)=3x+5 cosx+2 B f(x)=3x−5 cosx+15

(150)

Z

f0(x) dx=

Z

(3−5 sinx) dx=3x+5 cosx+C Mà f(0)=10⇔3·0+5 cos 0+C=10⇔C=5 Vậy f(x)=3x+5 cosx+5

Câu 60. BiếtF(x)là nguyên hàm hàm sốf(x)=e−x+sinxthỏa mãnF(0)=0 TìmF(x)

A F(x)= −e−x−cosx+2 B F(x)= −e−x−cosx

C F(x)= −e−x+cosx−2 D F(x)= −ex−cosx+2

-Lời giải.

Có: f(x)=e−x+sinx⇒

Z

f(x) dx= −e−x−cosx+C MàF(0)=0⇒ −1−1+C=0⇒C=2

Khi đóF(x)= −e−x−cosx+2

Câu 61. Tìm họ nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=ln(2x)

x2 A F(x)= −1

x(ln 2x−1)+C B F(x)= −

1

x(ln 2x+1)+C

C F(x)= −1

x(1−ln 2x)+C D F(x)=

1

x(ln 2x+1)+C

-Lời giải.

Đặt

  

 

u=ln(2x) dv=

x2dx

, ta có

   

  

du=1 xdx v= −1

x

Suy

F(x) = Z

f(x) dx=

Z ln(2x)

x2 dx = −ln(2x)

x +

Z 1

x2dx = −ln(2x)

x −

1

x+C

= −1

x(ln(2x)+1)+C

Câu 62. Tất nguyên hàm hàm số f(x)= 2x+3 A

2ln(2x+3)+C B

2ln|2x+3| +C C ln|2x+3| +C D ln|2x+3| +C

-Lời giải.

Ta có

Z 1

2x+3dx=

2ln|2x+3| +C

Câu 63. Tìm nguyên hàm hàm số f(x)=xtan2x

A xtanx+ln|cosx| −x

2

2 +C B xtanx−ln|cosx| −

x2

2 +C C xtanx+ln|cosx| +x

2

2 +C D −xtanx+ln|cosx| −

x2

2 +C

-Lời giải.

Đặt

 



u=x⇒ du=dx

(151)

Khi

Z

xtan2xdx=x(−x+tanx)− Z

(−x+tanx) dx= −x2+xtanx+x

2 +ln|cosx| +C

Hay

Z

xtan2xdx=xtanx+ln|cosx| −x

2

2 +C

Biết

Z

tanxdx=

Z sinx

cosxdx= −

Z d (cosx )

cosx = −ln|cosx| +C

Câu 64. ChoI= Z

x¡1−x2¢10dx Đặtu=1−x2, viếtI theouvàduta

A I= −1 Z

u10du B I= −2 Z

u10du C I= Z

2u10du D I=1 Z

u10du

-Lời giải.

Đặtu=1−x2⇒du= −2xdx⇒xdx= −1

2du VậyI= − Z

u10du

Câu 65. Cho hàm số f(x)thỏa mãn f0(x)=3−5 sinxvà f(0)=1 Mệnh đề đâyđúng?

A f(x)=3x−5 cosx+5 B f(x)=3x+5 cosx+5

C f(x)=3x+5 cosx−4 D f(x)=3x−5 cosx+15

-Lời giải.

Ta có f(x)= Z

f0(x) dx=

Z

(3−5 sinx) dx=3x+5 cosx+C Ta có f(0)=1⇔3·0+5 cos 0+C=1⇔C= −4

Vậy f(x)=3x+5 cosx−4

Câu 66. Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=cosxpsinx+1

A F(x)=1

3(sinx+1) p

sinx+1+C B F(x)=1−2 sinx−3 sin 2x 2psinx+1 C F(x)=2

3(sinx+1) p

sinx+1+C D F(x)=1 3sinx

p

sinx+1+C

-Lời giải.

Ta có

Z

cosxpsinx+1 dx=

Z p

sinx+1 d(sinx+1)=2

3(sinx+1) p

sinx+1+C

Câu 67. BiếtF(x)là nguyên hàm hàm sốf(x)=1

x vàF(1)=2 TínhF(2)

A F(2)=2−ln B F(2)=2 ln C F(2)=3 D F(2)=ln 2+2

-Lời giải.

Theo giả thiết,F(x)=ln|x| +C DoF(1)=2nênC=2 VậyF(2)=ln 2+2

Câu 68. Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x)=2x−sinx

A

Z

f(x) dx=x−cosx+C B

Z

f(x) dx=x2−cosx+C

C

Z

f(x) dx=x+cosx+C D

Z

f(x) dx=x2+cosx+C

-Lời giải.

Ta có

Z

f(x) dx=

Z

(2x−sinx) dx=x2+cosx+C

(152)

Câu 69. Hàm số nguyên hàm hàm số f(x)=(3x+2)e ?

A F(x)=1

2(3x+1)e

2x+3. B. F(x) =1

3(2x+3)e 2x+3. C F(x)=1

4(6x+1)e

2x+3. D. F(x)=(3x−1)e2x+3.

-Lời giải.

Ta có

Z

f(x) dx=

Z

(3x+2)e2x+3dx

Đặt

 



u=3x+2 dv=e2x+3dx ⇒

  

 

du=3 dx v=1

2e 2x+3

Khi

Z

(3x+2)e2x+3dx =

2(3x+2)e

2x+3−3 Z

e2x+3dx

=

2(3x+2)e

2x+3−3 4e

2x+3+C

= µ

3

2x+1− ¶

e2x+3+C

=

4(6x+1)e 2x+3

+C

Câu 70. Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x)=sin 2x

A

Z

sin 2xdx=2 cos 2x+C B

Z

sin 2xdx=cos 2x

2 +C C

Z

sin 2xdx= −cos 2x+C D

Z

sin 2xdx= −cos 2x +C

-Lời giải.

Tính

Z

sin 2xdx

Đặtt=2x⇒dt=2 dx Khi đó,

Z

sin 2xdx=

Z sint dt= −

cost

2 +C= − cos 2x

2 +C

Câu 71. Tìm nguyên hàm hàm số f(x)=e3x+1

A

Z

f(x)dx=1

3e

3x+1+C. B. Z f(x)dx=e3x+1+C.

C

Z

f(x)dx=1

3e

3x+1. D. Z f(x)dx= −1 3e

3x+1+C.

-Lời giải.

Z

f(x)dx=

Z

e3x+1dx=1

3e

3x+1+C.

Câu 72. Trong khẳng định đây, có khẳng định đúng?

1 Mọi hàm số liên tục trên[a;b]đều có đạo hàm trên[a;b]

2 Mọi hàm số liên tục trên[a;b]đều có nguyên hàm trên[a;b]

3 Mọi hàm số có đạo hàm trên[a;b]đều có nguyên hàm trên[a;b]

(153)

A B C D

-Lời giải.

a)vàb)sai, lấy VD hàm y= |x|

c)đúng hàm số có đạo hàm trên[a;b]thì liên tục trên[a;b] Do hàm số có nguyên hàm trên[a;b]

d)đúng hàm số liên tục [a;b]thì có giá trị lớn giá trị nhỏ điểm cực trị hai đầu mút

Câu 73. Hàm số nguyên hàm hàm số f(x)=px−1trên(0;+∞)? A F(x)=2

3 p

x2−x+1. B. F(x)=2

3 p

x3−x+2. C F(x)=

2px D F(x)=

1 2px−x

-Lời giải.

Ta có:F(x)= Z ¡p

x−1¢dx=2

p

x3−x+C.

ChoC=2ta đượcF(x)=2

p

x3−x+2.

Câu 74. Mệnh đề bốn mệnh đề sausai?

A

Z 1

xdx=lnx+C B

Z

exdx=ex+C

C

Z

cosxdx=sinx+C D

Z

0 dx=C

-Lời giải.

Mệnh đề

Z 1

xdx=lnx+Csai

Z 1

xdx=ln|x| +C

Câu 75. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=cosxlà

A tanx+C B cotx+C C −sinx+C D sinx+C

-Lời giải.

Ta có

Z

cosxdx=sinx+C

Câu 76. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=e−2018xlà

A −1

2018e

2018x+C. B. −1

2018e

−2018x+C. C. 2018e−2018x+C. D. e−2018x+C.

-Lời giải.

Z

e−2018xdx= −

2018 Z

e−2018xd (−2018x)= −1 2018e

−2018x

+C

Câu 77. Tìm họ nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=x3+x+1

A F(x)= x

4 +

x3

2 +C B F(x)=

x4

4 +

x2

2 +x+C C F(x)=x4+x

3

2 +x+C D F(x)=3x 3+C.

-Lời giải.

F(x)=x

4 +

x2

2 +x+C

(154)

Câu 78. Nguyên hàm hàm số f(x)=(x+1)e

A 2xex+C B xex+C C (x−1)ex+C D (x+2)ex+C

-Lời giải.

Đặt

 



u=x+1 dv=exdx⇔

 



du=dx v=ex

Khi

Z

f(x) dx=(x+1)ex− Z

exdx=(x+1)ex−ex=xex+C

Câu 79. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=4x3+2018là

A x4+2018x+C B x

4

3 +2018x+C C 12x

2+C. D. x4+C.

-Lời giải.

Z

(4x3+2018) dx=x4+2018x+C

Câu 80. Tích phân

e Z

1

dx

x(lnx+2) A ln B ln3

2 C D ln

-Lời giải.

Đặtt=lnx+2⇒ dt= dx x

Đổi cậnx=1thìt=2và x=ethìt=3

⇒ e Z

1

dx x(lnx+2)=

3 Z

2 dt

t =ln|t|

¯ ¯ ¯

2=ln

Câu 81. Cho hàm số f(x)xác định R\ {1; 4}có f0(x)= 2x−5

x2−5x+4 thỏa mãn f(0)=1 Giá trị f(2)

bằng

A 1−ln B C 1+3 ln D −1+3 ln

-Lời giải.

Ta có: f(x)=

Z 2x −5

x2−5x+4dx= Z µ

1

x−1+

x−4 ¶

dx=ln|x−1| +ln|x−4| +CvớiC∈R Do f(0)=1nênC=1−2 ln 2hay f(x)=ln|x−1| +ln|x−4| +1−2 ln

Khi đó: f(2)=1−ln

Câu 82. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=e2x

A ex+C B e x

2 +C C e

2x+C. D. e2x

2 +C

-Lời giải.

Ta có

Z

e2xdx=1 2e

2x

+C

Câu 83. Họ nguyên hàm hàm số y=x2+ex−cos 3xlà

A

3 ¡

x3+3ex−sin 3x¢

+C B

3 ¡

x3+ex−sin 3x¢ +C

C

3 ¡

x3+3ex+sin 3x¢

+C D

3 ¡

x3+ex+sin 3x¢ +C

(155)

Z

(x2+ex−cos 3x) dx=1

3x

+ex−1

3sin 3x+C= ¡

x3+3ex−sin 3x¢ +C

Câu 84. Hàm số y=lnx+1

x nguyên hàm hàm số đây?

A y=lnx+1 B y=1

2ln 2x

−

x2 C y= 2ln

2x −1

x D y=

1

x−

1

x2

-Lời gii.

y0=

lnx+1 x

ả0

=(lnx)0+

1

x

ả0 =1

x−

1

x2

Câu 85. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=3px+x2018là

A px+x

2019

673 +C B

p

x3+x 2019

2019+C C p1

x+ x2019

673 +C D

1

2px+6054x

2017+C.

-Lời giải.

Ta có

Z

f(x) dx = Z

¡

3px+x2018¢dx

= Z

x12dx+ Z

x2018dx

= 3·x 3

+x 2019

2019+C

= 2px3+x 2019

2019+C

Câu 86. Cho hàm sốF(x)là nguyên hàm hàm số f(x) Mệnh đề sau đúng?

A

Z

f(2x) dx=2F(2x)+C B

Z

f(2x) dx=1

2F(2x)+C C

Z

f(2x) dx=1

2F(x)+C D Z

f(2x) dx=F(x)+C

-Lời giải.

Z

f(2x) dx=1 Z

f(2x) d(2x)=1

2F(2x)+C

Câu 87. Tìm nguyên hàm hàm số f(x)=32x+1

A (2x+1)32x+C B

2x+1

ln +C C

2x+1ln 3+C. D. 32x+1 ln +C

-Lời giải.

Z

abx+cdx=a

bx+c

blna+Cta

Z

f(x) dx=3

2x+1 ln +C=

32x+1 ln +C

Câu 88. Giả sử F(x)là nguyên hàm hàm số f(x)=

3x+1 khoảng µ

−∞;−1 ¶

Mệnh đề sau đúng?

A F(x)=ln(−3x−1)+C B F(x)=1

3ln(3x+1)+C C F(x)=1

(156)

-Lời giải. Vìx∈

µ

−∞;−1 ¶

nên ta có

Z

f(x) dx=

Z 1

3x+1dx=

3ln|3x+1| +C=

3ln (−3x−1)+C

Câu 89. Cho hàm số F(x)là nguyên hàm hàm số f(x)xác định K Mệnh đề

sai?

A

µ

x

Z

f(x) dx

¶0

=f0(x) B

àZ

f(x) dx

ả0

=f(x)

C

àZ

f(x) dx

ả0

=F0(x) D

Z

f(x) dx=F(x)+C

-Lời giải.

Ta có:F0(x)=f(x).

Suy

µZ

f(x) dx

¶0

=f(x)=F0(x)và

Z

f(x) dx=F(x)+C

Câu 90. BiếtF(x)là nguyên hàm hàm số f(x)=

2px+1+m−1thỏa mãnF(0)=0vàF(3)=7 Khi

đó, giá trị tham sốmbằng

A −2 B C −3 D

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z µ

1

2px+1+m−1 ¶

dx=px+1+(m−1)x+C Theo giả thiết, ta có

 



F(0)=0

F(3)=7⇒  



C+1=0

C+3m=8 ⇔  



C= −1

m=3

Câu 91. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=4x+sin2xlà

A x

ln 4−

4sin 2x+C B

xlnx+sin

3x +C C 4xlnx−sin

3x

3 +C D

4x ln 4+

x

2−

4sin 2x+C

-Lời giải.

Ta có

Z

f(x) dx=

Z

(4x+sin2x) dx=

Z µ

4x+1cos 2x

ả dx

= Z

4x+1 2−

cos 2x

2 ¶

dx=

x

ln 4+

x

2−

4sin 2x+C

Câu 92. Nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=sin22x·cos32xthỏaF³π

4 ´

=0là

A F(x)=1 6sin

32x −

10sin 52x

+

15 B F(x)= 6sin

32x +

10sin 52x

− 15 C F(x)=1

6sin 32x

− 10sin

52x −

15 D F(x)= 6sin

32x +

10sin 52x

− 15

-Lời giải.

Đặtt=sin 2x⇒ dt=2 cos 2xdx⇒

2dt=cos 2xdx

Ta cóF(x)= Z

sin22x·cos32xdx=1

2· Z

t2·¡ 1−t2¢

dt=1

2· Z

¡

t2−t4¢ dt

=1 6t

3− 10t

5+C=1 6sin

32x− 10sin

(157)

Mà từ giả thiết ta đượcF³π

4 ´

=0⇔ 6sin

3π 2−

1 10sin

5π

2+C=0⇔C= − 15

VậyF(x)=1 6sin

32x− 10sin

52x− 15

Câu 93. Cho

Z

2x(3x−2)6dx=A(3x−2)8+B(3x−2)7+C với A,B∈Qvà C∈R Giá trị biểu thức

12A+7Bbằng

A 23

252 B

241

252 C

52

9 D

7

-Lời giải.

Đặtt=3x−2⇒x=t+2

3 ⇒

3dt=dx

Ta có

Z

2x(3x−2)6dx=2

Z t +2

3 ·t

dt=2 Z

¡

t7+2t6¢dt=2 9·

t8

8 + 9·

t7

7 +C =

36·(3x−2) 8+

63·(3x−2) 7+C.

Suy A=

36, B= 63

Giá trị biểu thức12A+7B=12· 36+7·

4 63=

7

Câu 94. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=ex+cosxlà

A e x

+1

x+1 +sinx+C B e

x−sinx+C. C. ex+sinx+C. D. e

x+1

x+1−sinx+C

-Lời giải.

Ta có

Z ¡

ex+cosx¢

dx=ex+sinx+C

Câu 95. Cho hàm số f(x)xác định trênK Khẳng định sau đâysai?

A Hàm sốF(x)được gọi nguyên hàm f(x)trênK nếuF0(x)=f(x)với mọix∈K . B Nếu f(x)liên tục trênK có nguyên hàm trênK

C Nếu hàm sốF(x)là nguyên hàm f(x)trênK với sốC,hàm sốG(x)=F(x)+C

cũng nguyên hàm f(x)trênK

D Nếu hàm sốF(x)là nguyên hàm f(x)trênK hàm sốF(−x)cũng nguyên hàm

f(x)trênK

-Lời giải.

Khẳng định “Nếu hàm sốF(x)là nguyên hàm f(x)trênK hàm số F(−x)cũng nguyên hàm f(x)trênK ” khẳng địnhsai

Câu 96. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=e2x−

x2 A

2e 2x−1

x+C B

1 2e

2x+1

x+C C e

2x+1

x+C D e

2x−1

x+C

-Lời giải.

Ta có

Z

f(x) dx=

Z µ

e2x−

x2 ¶

dx=1

2e 2x

+1

x+C

Câu 97. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=sin 2x+cosxlà

A −cos 2x+sinx+C B cos2x−sinx+C C sin2x+sinx+C D cos 2x−sinx+C

(158)

Do f(x) dx= (sin 2x+cosx) dx= −

2cos 2x+sinx+C=sin 2x

+sinx+C−

2

Câu 98. Tìm họ nguyênF(x)của hàm số y=f(x)=sin 2x+2x

A F(x)=cos 2x +x

2+C. B. F(x)= −cos 2x +x

2+C. C F(x)=cos 2x+2+C D F(x)= −cos 2x+x2+C

-Lời giải.

Z

(sin 2x+2x) dx=

Z

sin 2xdx+

Z

2xdx= −cos 2x

2 +x

+C

Câu 99. Tìm nguyên hàm hàm số f(x)=cos³3x+π

6 ´

A

Z

f(x) dx= −1

3sin ³

3x+π

6 ´

+C B

Z

f(x) dx=6 sin³3x+π

6 ´

+C

C

Z

f(x) dx=1

3sin ³

3x+π

6 ´

+C D

Z

f(x) dx=3 sin³3x+π

6 ´

+C

-Lời giải.

Z

f(x) dx=

Z

cos³3x+π

6 ´

dx=1

3sin ³

3x+π

6 ´

+C

Z 1+lnx

x dx(x>0)bằng

A x+ln2x+C B ln2x+lnx+C C

2ln

2x+lnx+C. D. x+1 2ln

2x+C.

-Lời giải.

Đặtu=1+lnx⇒ du=1

xdx Do

Z 1 +lnx

x dx=

Z

udu=u

2

2 +C=

(1+lnx)2 +C=

1 2ln

2x

+lnx+C

Câu 101. Họ nguyên hàm hàm số y=x2−3x+1 x

A F(x)= x

3 − 2x

2

+lnx+C B F(x)=x

3 − 2x

2

+ln|x| +C

C F(x)= x

3 + 2x

2+lnx+C. D. F(x)=2x−3−1

x+C

-Lời giải.

Ta cúF(x)= Z

x23x+1 x

ả

dx= x

3

3 − 2x

2

+ln|x| +C

Câu 102. Tìm nguyên hàm hàm số f(x)=3x+2 A

Z

f(x) dx=3x2+2x+C B

Z

f(x) dx=3

2x

−2x+C

C

Z

f(x) dx=3x2−2x+C D

Z

f(x) dx=3 2x

2

+2x+C

-Lời giải.

Z

f(x) dx=3 2x

2

+2x+C

(159)

A

Z

f(x) dx=2

3x p

2x+3+C B

Z

f(x) dx=1

3(2x+3) p

2x+3+C

C

Z

f(x) dx=2

3(2x+3) p

2x+3+C D

Z

f(x) dx=p2x+3+C

-Lời giải.

Xét I=

Z p

2x+3 dx

Đặtt=p2x+3, suy rat2=2x+3 Khi đótdt=dx Ta có

I=

Z p

2x+3 dx=

Z

t2dt=1

3t

+C=1

3(2x+3) p

2x+3+C

Câu 104. ChoF(x)=cos 2x−sinx+Clà nguyên hàm hàm số f(x) Tính f(π)

A f(π)= −3 B f(π)=1 C f(π)= −1 D f(π)=0

-Lời giải.

f(x)=F0(x)= −2 sin 2x−cosx, suy f(π)=1

Câu 105. Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x)=cos(2x+3) A

Z

f(x) dx= −sin(2x+3)+C B

Z

f(x) dx= −1

2sin(2x+3)+C C

Z

f(x) dx=sin(2x+3)+C D

Z

f(x) dx=1

2sin(2x+3)+C

-Lời giải.

Z

f(x) dx=1

2sin(2x+3)+C

Z

f(2x) dx=sin2x+lnx+C, tìm nguyên hàm

Z

f(x) dx

A

Z

f(x) dx=sin2x

2+lnx+C B Z

f(x) dx=2 sin2x

2+2 lnx+C C

Z

f(x) dx=2 sin2x+2 lnx−ln 2+C D

Z

f(x) dx=2 sin22x+2 lnx−ln 2+C

-Lời giải.

GọiF(x)là1nguyên hàm f(x) Khi

Z

f(2x) dx=F(2x)

2 +C=sin 2x

+lnx+C

⇒F(2x)=2 sin2x+2 lnx+C=2 sin2³2·x ´

+2 ln³2·x ´

+C

⇒F(x)=2 sin2x 2+2 ln

x

2+C=2 sin 2x

2+2 lnx+C

Câu 107. Tìm hàm số F(x) nguyên hàm hàm số f(x)= −sinx(4 cosx+1)thỏa mãn F³π

2 ´

= −1

A F(x)=cos 2x+cosx−1 B F(x)= −2 cos 2x+cosx−3

C F(x)=cos 2x+cosx D F(x)= −cos 2x−cosx−2

-Lời giải.

Ta có

Z

[−sinx(4 cosx+1)] dx= −

Z

(2 sin 2x+sinx) dx=cos 2x+cosx+C Ta cóF³π

2 ´

=cosπ+cosπ

2+C= −1⇔C=0

VậyF(x)=cos 2x+cosx

(160)

Câu 108. Mệnh đề bốn mệnh đề sausai?

A

Z 1

xdx=lnx+C B

Z

0 dx=C

C

Z

exdx=ex+C D

Z

cosxdx=sinx+C

-Lời giải.

Mệnh đề

Z 1

xdx=lnx+Csai

Câu 109. Nguyên hàm hàm sốy=

2−3x

A

3ln|2−3x| +C B −3 ln|2−3x| +C C −

3ln|2−3x| +C D ln|2−3x| +C

-Lời giải.

Z 1

2−3xdx= −

1

Z 1

2−3xd(2−3x)= −

1

3ln|2−3x| +C

Câu 110. Giả sửF(x)là nguyên hàm hàm số f(x)=ex, biếtF(0)=4 TìmF(x)

A F(x)=ex+2 B F(x)=ex+3 C F(x)=ex+4 D F(x)=ex+1

-Lời giải.

DoF(x)là nguyên hàm f(x)=exnênF(x)=ex+C Lại cóF(0)=4nênC=3hayF(x)=ex+3

e4 Z

e

f(lnx)1

xdx=4 Tính tích phân I=

4 Z

1

f(x) dx

A I=8 B I=16 C I=2 D I=4

-Lời giải.

Xét tích phân

e4 Z

e

f(lnx)1

xdx=4 Đặtlnx=tkhi ta có

1

xdx=dt Tại x=ethìt=1; tạix=e

4thì t=4.

Khi tích phân cho trở thành

4 Z

1

f(t) dt=4

Câu 112. Mệnh đề sau đâysai?

A

Z

[f(x)−g(x)] dx=

Z

f(x) dx−

Z

g(x) dx, với hàm số f(x), g(x)liên tục trênR

B

Z

f0(x) dx=f(x)+Cvới hàm số f(x)có đạo hàm trênR

C

Z

k f(x) dx=k

Z

f(x) dxvới số kvà hàm số f(x)liên tục trênR

D

Z

[f(x)+g(x)] dx=

Z

f(x) dx+

Z

g(x) dx, với hàm số f(x), g(x)liên tục trênR

-Lời giải.

Ta có

Z

k f(x) dx=k

Z

f(x) dxvới sốk6=0và hàm số f(x)liên tục trênR

A

Z 1

1−2xdx=

1

2ln|1−2x| +C B

Z 1

1−2xdx=ln|1−2x| +C

C

Z 1

1−2xdx= −

1

2ln|4x−2| +C D

Z 1

1−2xdx=2 ln

1

(161)

Z

1−2xdx= −

1

2ln|1−2x| +C1

Chú ý rằngC,C1là số nên

−1

2ln|4x−2| +C= −

2ln|1−2x| −

2ln 2+C= −

2ln|1−2x| +C1

Câu 114. Cho hàm số f(x)=sin 3x Khẳng định sau đâyđúng? A

Z

f(x) dx=1

3cos 3x+C B Z

f(x) dx= −1

3cos 3x+C C

Z

f(x) dx=3 cos 3x+C D

Z

f(x) dx= −3 cos 3x+C

-Lời giải.

Ta có

Z

f(x) dx=

Z

sin 3xdx= −1

3cos 3x+C

Câu 115. Cho số thựca>0, a6=1 Khẳng định đâyđúng? A

Z

axdx=axlna+C B

Z

axdx= a

x+1

x+1+C C

Z

axdx= a

x

loga+C D

Z

axdx= a

x

lna+C

-Lời giải.

Ta có

Z

axdx= a

x

lna+C

Câu 116. Chox>0 Tìm hàm số f(x)biết

Z

f(x) dx=1

x+lnx+C

A f(x)=lnx+1

x B f(x)=lnx−

1

x2 C f(x)=

x2+

x D f(x)= −

1

x2+

x

-Lời giải.

Vì

Z

f(x) dx=1

x+lnx+Cnên

f(x)= µ

1

x+lnx+C

¶0 = −1

x2+

x

Câu 117. Tìm nguyên hàm hàm số y=xex

A

Z

xexdx=xex+C B

Z

xexdx=xex−ex+C

C

Z

xexdx=ex+C D

Z

xexdx=xex+ex+C

-Lời giải.

Đặt

 



u=x

dv=exdx⇒

 



du=dx v=ex

Khi

Z

xexdx=xex− Z

exdx=xex−ex+C

Câu 118. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=4xlnxlà

A x2(2 lnx+1)+C B 4x2(2 lnx−1)+C C x2(2 lnx−1)+C D x2(8 lnx−16)+C

(162)

Đặt





u=lnx

dv=4xdx ⇒

 

 

du= xdx v=2x2

Áp dụng công thức nguyên hàm phần Ta

Z

4xlnxdx=2x2lnx− Z

2xdx=x2(2 lnx−1)+C

Câu 119. Xác định f(x)biết

Z

f(x) dx=1 x+e

x

+C A f(x)=ln|x| +ex B f(x)=

x2+e

x. C. f(x)

= −

x2+e

x. D. f(x)

=lnx+ex

-Lời giải.

Ta có

µ

x+e

x

+C

¶0 = −1

x2+e

x.

Câu 120. Họ nguyên hàm hàm số f(x)= 98 (2x+1)50 A −

(2x+1)49+C B −

(2x+1)49+C C

1

51(2x+1)51+C D

2

(2x+1)51+C

-Lời giải.

Ta có

Z 98

(2x+1)50dx= 98

2 ·

(2x+1)−49

−49 +C= −

(2x+1)49+C

Câu 121. Cho f(x)=3px·ln 3p

x Hàm số nguyên hàm hàm số f(x)?

A F(x)=3px+C B F(x)=2·3px+C

C F(x)=2· ³

3px−1´+C D F(x)=2· ³

3px+1´+C

-Lời giải.

Ta xét

Z

f(x) dx=

Z

3px·ln 3p

x dx=2

Z

d³3px´=2·3px+C, vớiClà số tùy ý

Câu 122. Hàm sốF(x)nào sau nguyên hàm hàm số f(x)= x+3

x2+4x+3? A F(x)=2 ln|x+3| −ln|x+1| +C B F(x)=ln (2|x+1|)

C F(x)=ln ¯ ¯ ¯ ¯

x+1

x+3 ¯ ¯ ¯ ¯+

2 D F(x)=ln [(x+1) (x+3)]

-Lời giải.

Ta có

Z x +3

x2+4x+3dx=

Z x

+3

(x+3) (x+1)dx= Z dx

x+1=ln|x+1| +C

ChọnC=ln 2suy raln|x+1| +C= |x+1| +ln 2=ln 2|x+1|

Câu 123. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=cos 3xlà

A −1

3·sin 3x+C B

3·sin 3x+C C sin 3x+C D −3 sin 3x+C

-Lời giải.

Ta có:

Z

cos 3xdx=1

3·sin 3x+c

(163)

Câu 124. BiếtF(x)là nguyên hàm hàm sốy=f(x)=

1+2x vàF(0)=2 TìmF(2)

A ln 5+2 B (1+ln 2) C ln 5+4 D 2(1+ln 5)

-Lời giải.

Ta có:F(x)= Z 4

1+2xdx=2 ln|1+2x| +C

Mặt khácF(0)=2⇔C=2

Do đóF(2)=2 ln 5+2=2(1+ln 5)

Câu 125. F(x)là nguyên hàm hàm số f(x)=3x+4

x2 , (x6=0), biết rằngF(1)=1 F(x)là biểu thức

sau

A F(x)=2x+4

x−5 B F(x)=3 ln|x| −

4

x+5

C F(x)=F(3x−4

x+3 D F(x)=3 ln|x| −

4

x+3

-Lời giải.

Ta có:F(x)= Z 3x

+4

x2 dx= Z µ

3

x+

4

x2 ¶

dx=3 ln|x| −4 x+C

MàF(1)=1⇔3 ln 1−4

1+C=1⇔C=5

VậyF(x)=3 ln|x| −4

x+5

A

Z

10xdx= 10

x

ln 10+C B

Z

10xdx=10xln 10+C

C

Z

10xdx=10x+1+C D

Z

10xdx=10

x+1

x+1 +C

-Lời giải.

Z

axdx= a

x

lna+C vớia>0

Câu 127. Tính

Z

x(x2+7)15dx

A

Z

x(x2+7)15dx=1

2 ¡

x2+7¢16

+C B

Z

x(x2+7)15dx=

32 ¡

x2+7¢16 +C

C

Z

x(x2+7)15dx= −

32 ¡

x2+7¢16

+C D

Z

x(x2+7)15dx=

16 ¡

x2+7¢16 +C

-Lời giải.

Ta có

Z

x(x2+7)15dx=1 Z

2x(x2+7)15dx=1 Z

(x2+7)15d(x2+7)= 32

¡

x2+7¢16 +C

Câu 128. TínhF(x)= Z

xcos 2xdx A F(x)=1

2xsin 2x+

2cos 2x+C B F(x)=

2xsin 2x+

4cos 2x+C C F(x)= x

2sin 2x

(164)

-Lời giải.

F(x) = Z

xcos 2xdx

= Z

xd sin 2x

=

2xsin 2x− Z

sin 2xdx

=

2xsin 2x+

4cos 2x+C

Câu 129. Cho f(x)=4m π +sin

2x Gọi F(x)là nguyên hàm hàm số f(x) Tìm mđể F(0)

=1

F³π

4 ´

=π A m= −3

4 B m=

4 C m= −

3 D m=

-Lời giải.

F(x)=4m π x+

Z

1−cos 2x

2 dx= 4m

π x+ 2x−

1

4sin 2x+C 





F(0)=1

F³π

4 ´ =

π ⇔

  

 

C=1

m+π

8− 4+C=

π

⇒m= −3

4

Câu 130. Họ nguyên hàm hàm số y=cos 4xlà

A −1

4sin 4x+C B

4sin 4x+C C sin 4x+C D

4sinx+C

-Lời giải.

Họ nguyên hàm hàm số y=cos 4xlàF(x)=1

4sin 4x+C

Câu 131. Hàm số f(x)thỏa mãn f0(x)=xex

A (x−1)ex+C B x2+ e

x+1

x+1+C C x

2ex+C. D. (x+1)ex+C.

-Lời giải.

Ta có f(x)= Z

f0(x) dx=

Z

xexdx

Đặt

 



u=x

dv=exdx⇒

 



du=dx v=ex

Do f(x)=uv−

Z

vdu=xex−

Z

exdx=(x−1)ex+C

Câu 132. Nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=sinx−cosxthỏa mãnF³π

4 ´

=0là

A −cosx−sinx+ p

2

2 B −cosx−sinx− p

2 C cosx−sinx D −cosx−sinx+p2

-Lời giải.

F(x)= Z

f(x)dx= Z

(sinx−cosx)dx= −cosx−sinx+C Ta cóF³π

4 ´

=0⇔ − p

2 −

p

2 +C=0⇔C= p

2 VậyF(x)= −cosx−sinx+p2

(165)

Câu 133. Tìm nguyên hàm hàm số f(x)=xex

A

Z

f(x) dx=(x+1)ex+C B

Z

f(x) dx=(x−1)ex+C

C

Z

f(x) dx=xex+C D

Z

f(x) dx=x2ex+C

-Lời giải.

Đặt

 



u=x

dv=exdx⇒

 



du=dx v=ex

Khi đó, ta có

Z

xexdx=xex− Z

exdx=xex−ex+C=(x−1)ex+C

Câu 134. Tìm hàm sốF(x)biếtF0(x)=sin 2xvàF³π

2 ´

=1

A F(x)=1

2cos 2x+

2 B F(x)=2x−π+1 C F(x)= −1

2cos 2x+

2 D F(x)= −cos 2x

-Lời giải.

Ta có

F(x)= Z

F0(x) dx=

Z

sin 2xdx= −1

2cos 2x+C

DoF³π

2 ´

=1nên−1

2cos(π)+C=1⇒C=

VậyF(x)= −1

2cos 2x+

Câu 135. Biết F(x) nguyên hàm hàm số f(x)=sinx đồ thị hàm số y=F(x) qua điểm

M(0; 1) TínhF³π

2 ´

A F³π

2 ´

=2 B F³π

2 ´

=0 C F³π

2 ´

=1 D F³π

2 ´

= −1

-Lời giải.

F(x)= Z

f(x) dx=

Z

sinxdx= −cosx+C

F(0)=1⇔ −cos 0+C=1⇔C=2 Do đóF(x)= −cosx+2 VậyF

³π ´

=2

Câu 136. ChoF(x)là nguyên hàm hàm số f(x)=lnx

x TínhI=F(e)−F(1)

A I=1 B I=1

e C I=e D I=

-Lời giải.

F(x)= Z

f(x) dx=

Z lnx

x dx

Đặtt=lnx⇒dt=1 xdx

Khi đóF(x)= Z

tdt=1

2t

+C=1

2ln 2x

+C

I=F(e)−F(1)=1 2ln

2e =1

2

Câu 137. Cho bốn mệnh đề sau (I)

Z

(166)

(II) +

x2+x+2018dx=ln(x

+x+2018)+C (III)

Z

3x(2x+3−x) dx=

x

ln 6+C

(IV)

Z

3xdx=3xln 3+C Có mệnh đềsai?

A −2−p3 B −2+p3 C D −2

-Lời giải.

Ta có (I)

Z

cos2xdx=1

2 Z

(1+cos 2x) dx=1

2(x+

2sin 2x)+C6= cos3x

3 +C⇒(I) sai

(II)

Z 2x +1

x2+x+2018dx=ln(x

+x+2018)+C ⇒(II) (III)

Z

3x(2x+3−x) dx= Z

(6x+1) dx=

x

ln 6+x+C6= 6x

ln 6+C⇒(III) sai

(IV)

Z

3xdx=

x

ln 3+C6=3

xln 3

+C⇒(IV) sai Vậy có3mệnh đề sai

Z

xlnxdx?

A I= x

2

2 µ

lnx−1

2 ¶

+C B I= x

2

2 lnx−

x2

2 +C C I=x2lnx−x

2

4 +C D I=x

2lnx −x

2

2 +C

-Lời giải.

Ta cóI=

Z

xlnxdx=

Z lnxd

àx2

ả =x

2

2 lnx− Z x2

2xdx

=x

2 lnx−

x2

4 +C=

x2

2 µ

lnx−1

2 ¶

+C

Câu 139. BiếtF(x)là nguyên hàm hàm sốf(x)=sinx

2 vàF(π)=1 TínhF µ2π

3 ả

A F

à 2

3 ả

=2 B F

à 2

3 ả

=0 C F

à 2

3 ả

=3 D F

à 2

3 ¶

= −1

-Lời giải.

DoF(x)là nguyên hàm f(x)nên

F(x)= Z

sinx

2dx= −2 cos

x

2+C

DoF(π)=1=CnênF(x)= −2 cosx

2+1 VậyF µ

2π

¶ =0

Câu 140. Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=6x+sin 3x, biếtF(0)=2 A F(x)=3x2−cos 3x

3 +

3 B F(x)=3x

(167)

C V=F(x)=3x2+cos 3x

3 +1 D F(x)=3x

2−cos 3x +1

-Lời giải.

Z

f(x) dx= Z

(6x+sin 3x) dx=3x2−cos 3x +C

TừF(0)=2

3 suy ra− 3+C=

2

3 hayC=1

VậyF(x)=3x2−cos 3x

3 +1

Câu 141. Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=x·e2x

A F(x)=2e2x(x−2)+C B F(x)=1 2e

2x(x−2)+C.

C F(x)=2e2x µ

x−1

2 ¶

+C D F(x)=1 2e

2x

à

x1

2 ả

+C

-Lời giải.

Đặt

 



u=x

dv=e2xdx

suy

  

 

du=dx v=1

2e 2x

Khi

I=

Z

x·e2xdx=1

2x·e 2x

−1 Z

e2xdx=1

2e 2x

µ

x−1

2 ¶

+C

Câu 142. Tìm hàm số f(x)thỏa mãn f0(x)=

3−2x f(2)=0

A f(x)= −3 ln|3−2x| B f(x)=2 ln|3−2x| C f(x)= −2 ln|3−2x| D f(x)=3 ln|3−2x|

-Lời giải.

Ta có f(x)= Z 6

3−2xdx= −3 ln|3−2x| +C

Mà f(2)=0nênC=0, f(x)= −3 ln|3−2x|

Câu 143. ChoF(x)là nguyên hàm hàm sốf(x)=8(1−2x)3 TínhI=F(1)−F(0)

A I=2 B I= −2 C I=0 D I= −16

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

8(1−2x)3dx= −(1−2x)4+C, suy raF(1)−F(0)=0

Câu 144. ChoF(x)là nguyên hàm hàm sốf(x)=3xln 9thỏa mãnF(0)=2 TínhF(1)

A F(1)=12·ln23 B F(1)=3 C F(1)=6 D F(1)=4

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

3xln dx=ln 9·

x

ln 3+C=2·3

x

+C vàF(0)=2nênC=0 Do đóF(1)=6

Câu 145. Biết hàm số F(x)=ax3+(a+b)x2+(2a−b+c)x+1 nguyên hàm hàm số f(x)= 3x2+6x+2 Tổnga+b+clà

A B C D

(168)

Ta cóF(x)=f(x),∀x∈R⇔3ax +2(a+b)x+(2a−b+c)=3x +6x+2,∀x∈R

Suy

    

   

3a=3 2(a+b)=6 2a−b+c=2

⇔     

   

a=1

b=2

c=2

⇒a+b+c=5

Câu 146. Đặtt=p1+tanxthì

Z p1+tanx

cos2x dxtrở thành nguyên hàm nào? A

Z

2tdt B

Z

t2dt C

Z

dt D

Z

2t2dt

-Lời giải.

Ta có

Z p1

+tanx

cos2x dx= Z p

1+tanxd(tanx+1)= Z

tdt2=

Z

2t2dt

Z µ 2x+x

5 ¶

dx=aln|x| +bx6+Cvới(a,b∈Q,C∈R) Tínha2+b?

A

6 B

7

13 C D

5 12

-Lời giải.

Ta cú

Z 2x+x

5ả

dx=1

2ln|x| + 6x

6 +C

Vậya=1

2,b= 6⇒a

2+b=1 4+

1 6=

5 12

A

Z

f(x) dx=3 cos 3x+C B

Z

f(x) dx=1

3cos 3x+C C

Z

f(x) dx= −1

3cos 3x+C D Z

f(x) dx= −3 cos 3x+C

-Lời giải.

Có

Z

f(x) dx=

Z

sin 3xdx= −1

3cos 3x+C

Câu 149. Mệnh đề mệnh đề sau mệnh đềsai?

A

Z

xlnxdx=x2lnx−x

2

2 +C B

Z

lnxdx=xlnx−x+C

C

Z

xlnxdx= x

2

2 lnx−

x2

4 +C D

Z

2xlnxdx=x2lnx−x

2

2 +C

-Lời giải.

Đặtu=lnx⇒du=1

xdxvà dv=xdx⇒v= x2

2 Z

xlnxdx=x

2

2 lnx− Z x

2dx=

x2

2 lnx−

x2

4 +C

Vậy

Z

xlnxdx=x2lnx−x

2

2 +C mệnh đềsai

Câu 150. BiếtF(x)là nguyên hàm hàm sốf(x)=

2x−1 vàF(2)=3+

2ln TínhF(3) A F(3)=1

2ln 5+5 B F(3)=

2ln 5+3 C F(3)= −2 ln 5+5 D F(3)=2 ln 5+3

-Lời giải.

CóF(x)= Z

f(x) dx= Z 1

2x−1dx=

(169)

Ta cóF(2)=3+1 2ln 3⇔

1

2ln 3+C=3+

2ln 3⇔C=3

Vậy ta cóF(3)=1

2ln 5+3

Câu 151. Họ nguyên hàm hàm số y=2x(1+3x3)là

A F(x)=x2(x+x3)+C B F(x)=2x(x+x3)+C

C F(x)=x2(1+3x2)+C D F(x)=x2

µ 1+6x

3

5 ¶

+C

-Lời giải.

R

2x(1+3x3) dx=R ¡

2x+6x4¢

dx=x2+6

5x

5+C=x2

1+6x

5 ả

+C

Câu 152. Nếu F(x)+C nguyên hàm hàm số f(x)= x−3

x2+2x−3 F(0) =0 số C

bằng

A

2ln B −

3ln C

3ln D − 2ln

-Lời giải.

Z x −3

x2+2x−3dx= Z µ

3 2(x+3)−

1 2(x−1)

¶

dx=3

2ln|x+3| −

2ln|x−1| +C

Theo giả thiếtF(0)=0nên ta có

2ln 3+C=0⇔C= − 2ln

Câu 153. Họ nguyên hàm hàm số y=(1+sinx)2là

A F(x)=2

3x−2 cosx−

4sin 2x+C B F(x)=

2x−2 cosx+

4sin 2x+C C F(x)=3

2x+2 cosx−

4sin 2x+C D F(x)=

2x−2 cosx−

4sin 2x+C

-Lời giải.

Z

(1+sinx)2dx =

Z Ă

1+2 sinx+(sinx)2Â dx

= Z

3

2+2 sinx− 2cos 2x

¶ dx

=

2x−2 cosx−

4sin 2x+C

Câu 154. Khẳng định sau làsai?

A

Z

sinxdx= −cosx+C B

Z

sinxdx=sin³x−π

2 ´

+C

C

Z

sinxdx= −sin ³

x+π ´

+C D

Z

sinxdx=sinx+C

-Lời giải.

Ta có

Z

sinxdx= −cosx+C Mặt khác, ta cócosx=sin³π

2−x ´

= −sin³x−π

2 ´

=sin³³x−π

2 ´

+π ´

=sin³x+π

2 ´

Câu 155. ChoF(x)là nguyên hàm hàm số f(x)=xex2 Hàm số sau đâykhôngphải nguyên hàm hàm số f(x)?

A F(x)= −1 2e

x2+C. B. F(x)= −1

2(2−e

x2). C. F(x)=1

2(e

x2+2). D. F(x)=1

2(e

x2+5).

(170)

Ta có xex dx=

2 e

x dx2 =

2e

x

+C

Câu 156. Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=6x+sin 3x, biếtF(0)=2 A F(x)=3x2−cos 3x

3 +

3 B F(x)=3x

2−cos 3x −1 C F(x)=3x2+cos 3x

3 +1 D F(x)=3x

2−cos 3x +1

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

(6x+sin 3x)dx=3x2−cos 3x +C

MàF(0)=2

3 nênC=1⇒F(x)=3x

2−cos 3x +1

Z

sin4xcosxdx

A sin

5x

5 +C B

cos5x

5 +C C − sin5x

5 +C D − cos5x

5 +C

-Lời giải.

Đặtt=sinx⇒dt=cosxdx Khi đóI=

Z

t4dt= t

5

5 +C= sin5x

5 +C

Câu 158. Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x)= x−1

x2 , biết đồ thị hàm số y = F(x) qua điểm (1;−2)

A F(x)=ln|x| +1

x+3 B F(x)=ln|x| −

1

x+1 C F(x)=ln|x| −

1

x−1 D F(x)=ln|x| +

1

x−3

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z x

−1

x2 dx= Z µ

1

x−

1

x2 ¶

dx=ln|x| +1 x+C

Theo giả thiếtF(1)= −2⇔ln 1+1

1+C= −2⇔C= −3

Suy raF(x)=ln|x| +1 x−3

Câu 159. Choa∈R, hàm số sau đâykhôngphải nguyên hàm hàm số f(x)=cosx?

A F(x)=sinx B F(x)=2 cosx+a cos

x−a

2 C F(x)=2 sin³x

2+a ´

cos³x 2−a

´

D F(x)=2 sinx+a cos

x−a

2

-Lời giải.

Z

cosxdx=sinx+C Ta có2 cosx+a

2 cos

x−a

2 =cosx+cosa Đây họ nguyên hàm hàm số f(x)=cosx

Câu 160. Tìm nguyên hàm hàm số f(x)=x2−2x

A

Z

f(x) dx=x

3

3 + 2x

ln 2+C B

Z

f(x) dx=2x−

x

ln 2+C C

Z

f(x) dx=x

3

3 − 2x

ln 2+C D

Z

f(x) dx=2x−2xln 2+C

-Lời giải.

Z

f(x) dx= Z

(x2−2x) dx= x

(171)

Chọn đáp án C ä Câu 161. Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=(ex−1)2

A F(x)=2ex(ex−1) B F(x)=1 2e

2x−2ex+x+C.

C F(x)=e2x−2ex+x+C D F(x)=2e2x−2ex+C

-Lời giải.

Ta có f(x)=(ex−1)2=e2x−2ex+1⇒F(x)=1 2e

2x−2ex+x+C.

Câu 162. Tìm

Z 1

x2dx A

Z 1

x2dx=

x+C B

Z 1

x2dx= −

x+C C

Z 1

x2dx=

2x+C D

Z 1

x2dx=lnx

+C

-Lời giải.

Ta có

Z 1

x2dx= −

x+C

Câu 163. Hàm sốF(x)=x2+sinxlà nguyên hàm hàm số

A f(x)=1 3x

3+cosx. B. f(x)=2x+cosx. C. f(x)=1 3x

3−cosx. D. f(x)=2x−cosx.

-Lời giải.

F(x)là nguyên hàm f(x)⇔F0(x)=f(x) Ta cóF0(x)=2x+cosx

Vậy hàm sốF(x)=x2+sinxlà nguyên hàm hàm sốf(x)=2x+cosx

Câu 164. Cho hàm sốf(x)liên tục trên[0; 10]thỏa mãn

10 Z

0

f(x) dx=7,

6 Z

2

f(x) dx=3 TínhP= Z

0

f(x) dx+ 10

Z

6

f(x) dx

A P=4 B P=5 C P=7 D P= −4

-Lời giải.

Ta có

10 Z

0

f(x) dx= Z

0

f(x) dx+ Z

2

f(x) dx+ 10 Z

6

f(x) dx

Suy

2 Z

0

f(x) dx+

10 Z

6

f(x) dx=

10 Z

0

f(x) dx−

6 Z

2

f(x) dx=4

Câu 165. Trong khẳng định sau, khẳng định đúng?

A

Z

ln|x|dx=1

x+C B

Z

(x+1)−3dx=1

2(x+1) −2+C.

C

Z

(x+1)3dx=1

4(x+1)

+C D

Z dx

2x+1=ln|2x+1| +C

-Lời giải.

Ta có

Z

(x+1)3dx=

Z

(x+1)3d(x+1)=1 4(x+1)

4 +C

A

Z

f(x) dx=3 cos 3x+C B

Z

(172)

C f(x) dx= −

3cos 3x+C D f(x) dx=3cos 3x+C

-Lời giải.

Ta có

Z

f(x) dx=

Z

sin 3xdx=1

3 Z

sin 3xd(3x)= −1

3cos 3x+C

2 TìmF(x) A F(x)=ex+x2+1

2 B F(x)=e

x+x2+5

2 C F(x)=e

x+x2+3

2 D F(x)=2e

x+x2−1

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

f(x) dx=

Z

(ex+2x) dx=ex+x2+C DoF(0)=3

2⇒1+C=

2⇒C=

Từ ta cóF(x)=ex+x2+1

2

Câu 168. Tìm nguyên hàm hàm số f(x)=ex(1+e−x).

A

Z

f(x) dx=ex+1+C B

Z

f(x) dx=ex+x+C

C

Z

f(x) dx= −ex+x+C D

Z

f(x) dx=ex+C

-Lời giải.

Ta có

Z

f(x) dx=

Z

ex(1+e−x) dx=

Z

(ex+1) dx=ex+x+C

Câu 169. Cho biết F(x)= 3x

3+2x−1

x nguyên hàm f(x)=

(x2+a)2

x2 Tìm nguyên hàm

g(x)=xcosax

A xsinx−cosx+C B

2xsin 2x−

4cos 2x+C C xsinx+cosx+C D

2xsin 2x+

4cos 2x+C

-Lời giải.

Ta có:

F(x)= Z

f(x) dx⇒F0(x)=f(x)⇒(x 2+1)2

x2 =

(x2+a)2

x2 ⇒a=1

Do đó: g(x)= Z

xcosxdx

Đặt

 



u=x

dv=cosxdx⇒

 



du=dx v=sinx

⇒g(x)=xsinx−

Z

sinxdx=xsinx+cosx+C

Câu 170. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=cos 2xlà

A

Z

cos 2xdx=2 sin 2x+C B

Z

cos 2xdx= −1

2sin 2x+C C

Z

cos 2xdx=sin 2x+C D

Z

cos 2xdx=1

2sin 2x+C

-Lời giải.

Ta có

Z

cos 2xdx=1

2sin 2x+C

(173)

Câu 171. Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x)=4x3+2x+

2px

A

Z

f(x)dx=x

4

4 +x

+px+C B

Z

f(x)dx= x

4

4 +2x+ p

x+C

C

Z

f(x)dx=x4+x2+px+C D

Z

f(x)dx=12x2+2−

4xpx+C

-Lời giải.

Z µ

4x3+2x+

2px

¶

dx=x4+x2+px+C

Câu 172. Cho F(x)là nguyên hàm hàm số f(x)=1+2x+3x2 thỏa mãn F(1)=2 Tính F(0)+

F(−1)

A −3 B −4 C D

-Lời giải.

F(x)= Z

(1+2x+3x2) dx=x+x2+x3+C

DoF(1)=2nênC= −1 Suy raF(x)=x+x2+x3−1, từ ta cóF(0)+F(−1)= −3

Câu 173. Tìm

Z µ

p

x2+4

x

¶ dx

A

5 p

x5+4 ln|x| +C. B.

5 p

x5−4 ln|x| +C. C −3

5 p

x5+4 ln|x| +C. D.

3 p

x5+4 ln|x| +C.

-Lời giải.

Z µ

p

x2+4

x

¶ dx=

Z

x

2 3dx+4

Z 1

xdx=

3 5x

5

3+4 ln|x| +C=3

p

x5+4 ln|x| +C

x2 A −1

x+C B x

3+C. C. −

3x2 D

1

x+C

-Lời giải.

Ta có

Z 1

x2dx= Z

x−2dx= −1 x+C

Câu 175. Nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=5x4−3x2trên tập số thực thỏa mãnF(1)=3là

A x5−x3+2x+1 B x5−x3+3 C x5−x3+5 D x5−x3

-Lời giải.

Ta cóF(x)=x5−x3+C, doF(1)=C=3nênF(x)=x5−x3+3

2.1 ĐÁP ÁN

1 A A D D B A A A A 10 C

11 B 12 D 13 C 14 C 15 B 16 A 17 D 18 D 19 D 20 D

21 C 22 A 23 D 24 B 25 C 26 D 27 B 28 B 29 D 30 B

31 A 33 C 35 B 36 A 37 D 38 A 39 A 40 C 41 B 42 C

43 C 44 B 45 A 46 C 47 A 48 C 49 A 50 B 51 A 52 B

53 A 54 A 55 B 56 B 57 B 58 D 59 C 60 D 61 B 62 B

63 A 64 A 65 C 66 C 67 D 68 D 69 C 70 D 71 A 72 A

(174)

83 A 84 D 85 B 86 B 87 D 88 C 89 A 90 B 91 D 92 C

93 D 94 C 95 D 96 B 97 C 98 B 99 C 100 C 101 B 102 D

103 B 104 B 105 D 106 B 107 C 108 A 109 C 110 B 111 D 112 C

113 C 114 B 115 D 116 D 117 B 118 C 119 C 120 A 121 B 122 B

123 B 124 D 125 B 126 A 127 B 128 B 129 A 130 B 131 A 132 D

133 B 134 C 135 A 136 D 137 B 138 A 139 B 140 D 141 D 142 A

143 C 144 C 145 A 146 D 147 D 148 C 149 A 150 B 151 D 152 D

153 D 154 D 155 A 156 D 157 A 158 D 159 B 160 C 161 B 162 B

163 B 164 A 165 C 166 C 167 A 168 B 169 C 170 D 171 C 172 A

173 A 174 A 175 B

3 VẬN DỤNG THẤP

Câu 1. Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x)= sinx sinx−cosx

A F(x)=x+ln|sinx+cosx| +C B G(x)=x+

|sinx−cosx|+C

C H(x)=ln|sinx−cosx| +C D T(x)=x+ln|sinx−cosx| +C

-Lời giải.

Ta có

Z

f(x) dx=

Z 2 sinx

sinx−cosxdx=

Z sinx

+sinx+cosx−cosx

sinx−cosx dx=

Z µ

1+sinx+cosx sinx−cosx

¶ dx

=x+ Z

d(sinx−cosx)

sinx−cosx =x+ln|sinx−cosx| +C

Câu 2. GọiF(x)là nguyên hàm hàm số f(x)=2x, thỏa mãnF(0)=

ln Tính giá trị biểu thức

T=F(0)+F(1)+F(2)+ · · · +F(2017)+F(2018)+F(2019)

A T=1009·2

2019+1

ln B T=2

2019·2020. C. T=22019−1

ln D T=

22020−1 ln

-Lời giải.

CóF(x)= Z

2xdx=

x

ln 2+C

Lại cóF(0)= ln 2⇒

1

ln 2+C=

ln ⇒C=0

VậyF(x)=

x

ln

T = F(0)+F(1)+F(2)+ · · · +F(2017)+F(2018)+F(2019) =

ln 2+ ln 2+

22

ln 2+ · · · + 22017

ln + 22018

ln + 22019

ln =

ln 2· ¡

1+2+22+ · · · +22017+22018+22019¢ =

ln 2·

22020−1 2−1 =

22020−1 ln

Câu 3. ChoF(x)là nguyên hàm hàm số f(x)=ep3x vàF(0)=2 Hãy tínhF(−1)

A 6−15

e B 4− 10

e C

15

e −4 D 10

e

(175)

VìF(x)là nguyên hàm hàm số f(x), suy raF(x)= Z

ep3xdx (1) Đặtt=p3 x

⇒t3=x⇒3t2dt=dx Suy ra(1)trở thànhF(t)= Z

3et·t2dt Đặt

 



u=3t2

dv=etdt⇒

 



du=6tdt v=et

F(t)=3t2·et− Z

6tetdt

Đặt

 



u1=6t

dv1=etdt⇒

 



du1=6 dt v1=et

F(t)=3t2·et−(6t·et− Z

6etdt)=3t2et−6tet+6et+C Thayt=p3 xta đượcF(x)

=ep3x(3p3 x2−6p3 x

+6)+C Theo raF(0)=2⇒6+C=2⇒C= −4

VậyF(x)=ep3x(3p3 x2−6p3 x

+6)−4 Suy

F(−1)=1

e(3+6+6)−4= 15

e −4

Câu 4. Biết rằngxex nguyên hàm củaf(1−x)trên khoảng(−∞;+∞) GọiF(x)là nguyên hàm f0(x)ex thỏa mãnF(3)=1, giá trị củaF(1)bằng

A 2e−1 B 2e+1 C e+1 D 4e+1

-Lời giải.

Ta có f(1−x)=(xex)0=ex+xex,∀x∈(−∞;+∞)

Đặtt=1−x, ta cú f(t)=e1t+(1t)e1t=(2t)e1t,t(;+) Hay f(x)=(2x)e1x,x(;+)

Do ú f0(x)=Ê(2x)e1xÔ0

=(x3)e1xf0(x)ex=(x3)e1xex=(x3)e Bởi vậyF(x)=

Z

(x−3)e dx=e 2(x−3)

2 +C Lại cóF(3)=1⇔C=1 VậyF(x)=e

2(x−3)

2+1⇒F(1)=2e+1.

Câu 5. Biết ex nguyên hàm f(2x) khoảng (−∞;+∞) Gọi F(x)là nguyên hàm của[f0(x)]2thỏa mãnF(0)=1, giá trị củaF(1)bằng

A B 4e−3 C e+1

4 D

e+3

-Lời giải.

Ta có f(2x)=(ex)0=ex,∀x∈(−∞;+∞) Đặtt=2x, ta có f(t)=e2t,∀t∈(−∞;+∞)

Hay f(x)=ex2,∀x∈(−∞;+∞)

Do f0(x)= h

ex2 i0

=1 2e

x

2 ⇒[f0(x)]2= µ

1 2e

x

2 ¶2

=1 4e

x.

Bởi vậyF(x)=1 Z

exdx=1

4e

x

+C Lại cóF(0)=1⇔1

4+C=1⇔C=

VậyF(x)=1 4e

x+3

4⇒F(1)= 4e+

3 4=

e+3

(176)

Câu 6. ChoF(x)=x nguyên hàm hàm sốf(x)e Tìm nguyên hàm hàm sốf (x)e

A

Z

f0(x)e2xdx= −x2+2x+C B

Z

f0(x)e2xdx= −x2+x+C

C

Z

f0(x)e2xdx=x2−2x+C D

Z

f0(x)e2xdx= −2x2+2x+C

-Lời giải.

F(x)=x2là nguyên hàm f(x)e2x⇒2x=f(x)e2x Đặt

 



u=e2x

dv=f0(x)dx ⇒

 



du=2e2xdx v=f(x) ⇒

Z

f0(x)e2xdx=f(x)e2x−2 Z

f(x)e2xdx=2x−2x2+C

Câu 7. ChoF(x)=(x−1)exlà nguyên hàm hàm số f(x)e2x.Tìm nguyên hàm hàm sốf0(x)e2x

A

Z

f0(x)e2xdx=(4−2x)ex+C B

Z

f0(x)e2xdx=2−x e

x

+C

C

Z

f0(x)e2xdx=(2−x)ex+C D

Z

f0(x)e2xdx=(x−2)ex+C

-Lời giải.

- Ta có f(x)e2x=F0(x)=xex

- Suy

Z

f0(x)e2xdx=e2x.f(x)−2 Z

f(x)e2xdx=xex−2(x−1)ex=(2−x)ex+C

Câu 8. Tìm nguyên hàm hàm số f(x)= 1+8x

A

Z

f(x) dx=

(1+8x)2+C B Z

f(x) dx=8

xln 8

1+8x +C

C

Z

f(x) dx=x+ln(1+8

x)

ln +C D

Z

f(x) dx=x−ln(1+8

x)

ln +C

-Lời giải.

F(x)= Z 1

1+8xdx=

Z 1+8x−8x 1+8x dx=

Z µ 1−

x

1+8x

¶ dx=

Z dx−

Z 8x 1+8xdx

F(x)=x−

ln

Z d(1 +8x) 1+8x =x−

1

ln 8ln (1+8

x)+C.

Câu 9. Tính nguyên hàm

Z x2

−x+3

x+1 dx

A 2x+5 ln|x+1| +C B x

2

2 −2x−5 ln|x−1| +C C x

2

2 −2x+5 ln|x+1| +C D x+5 ln|x+1| +C

-Lời giải.

Z x2

−x+3

x+1 dx= Z

(x−2+

x+1) dx=

x2

2 −2x+5 ln|x+1| +C

Câu 10. GọiF(x)là họ nguyên hàm hàm số f(x)=8 sin 3xcosx Biết F(x) có dạng F(x)=

acos 4x+bcos 2x+C Khi đó,a−bbằng

A B −1 C D

-Lời giải.

F(x)= Z

8 sin 3xcosxdx=4 Z

(177)

Chọn đáp án C ä Câu 11. Giả sử hàm số f(x)liên tục, dương trênR; thỏa mãn f(0)=1và

f0(x)= x

x2+1f(x) Khi hiệuT=f ¡

2p2¢

−2f(1)thuộc khoảng nào?

A (2; 3) B (7; 9) C (0; 1) D (9; 12)

-Lời giải.

Ta có:

f0(x)= x

x2+1f(x)⇔

f0(x)

f(x) =

x x2+1 ⇒

Z f0(x)

f(x) dx=

Z 2x

x2+1dx ⇒ln|f(x)| =1

2ln|x

2+1| +C⇒lnf(x)=lnpx2+1+C( vì f(x)ln dương trênR).

Mà f(0)=1⇒C=0⇒ f(x)=px2+1⇒T=f¡ 2p2¢

−2f(1)=3−2p2∈(0; 1)

Câu 12. Cho

3 Z

2

5x+12

x2+5x+6dx=aln 2+bln 5+cln 6vớia,b,clà số hữu tỷ Giá trị3a+2b+cbằng A B −14 C −2 D −11

-Lời giải.

Ta có: 5x+12

x2+5x+6=

5x+12 (x+2)(x+3)=

A x+2+

B x+3=

(A+B)x+3A+2B x2+5x+6

Khi đó:

 



A+B=5 3A+2B=12⇔

 



A=2

B=3

Nên

3 Z

2

5x+12

x2+5x+6dx = Z

2

x+2dx+ Z

2

x+3dx = ln|x+2|

¯ ¯ ¯

2+3 ln|

x+3| ¯ ¯ ¯

2 = ln 6−ln 5−2 ln

= −4 ln 2−ln 5+3 ln

Vậya= −4, b= −1,c=3⇒3a+2b+c= −11

Câu 13. Cho f(x)= x

cos2x ³

−π 2;

π ´

và F(x)là nguyên hàm x·f0(x)thỏa mãnF(0)=0 Tính

F³π

3 ´

?

A π

2

36− πp3

3 +ln B 4π2

9 − πp3

3 −ln C 4π2

9 − πp3

3 +ln D π2 36−

πp3 −ln

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

x·f0(x) dx=

Z

xd(f(x))=x·f(x)− Z

f(x) dx= x

2

cos2x− Z x

cos2xdx

Mà

Z x

cos2xdx= Z

xd (tanx)=x·tanx− Z

tanxdx=x·tanx+ln (cosx)+C, (vìcosx>0) Do đóF(x)= x

2

cos2x−xtanx−ln (cosx)+C MàF(0)=0nênC=0

VậyF³π

3 ´

=4π

9 − p

3π +ln

Câu 14. Tìm tất họ nguyên hàm hàm số f(x)=

(178)

A f(x) dx= − 3x4+

1 36ln ¯ ¯ ¯ x x4+3

¯ ¯ ¯+

C B f(x) dx= − 12x4−

1 36ln ¯ ¯ ¯ x x4+3

¯ ¯ ¯+ C C Z

f(x) dx= − 3x4−

1 36ln ¯ ¯ ¯ ¯ x4 x4+3

¯ ¯ ¯ ¯+

C D

Z

f(x) dx= − 12x4+

1 36ln ¯ ¯ ¯ ¯ x4 x4+3

¯ ¯ ¯ ¯+

C

-Lời giải.

Ta có

Z

f(x) dx =

Z dx

x9+3x5 =

Z dx

x5(x4+3) =

3 Z

(x4+3)−x4 x5(x4+3) dx =

3 µZ dx

x5 −

Z dx

x(x4+3) ả

=1

àZ dx

x5 −

Z (x4

+3)−x4 x(x4+3) dx

¶

= Z

dx x5 −

1

·Z dx

x −

Z x3 dx x4+3

¸ =1

3 Z

dx x5 −

1

·Z dx

x −

1 Z

d(x4+3)

x4+3 ¸

= − 12x4−

1 36ln ¯ ¯ ¯ ¯ x4 x4+3

¯ ¯ ¯ ¯+

C

Câu 15. ChoF(x)là nguyên hàm hàm số f(x)=

xlnx thỏa mãnF

µ1 e ¶

=2và F(e)=ln Giá trị biểu thứcF

à e2

ả

+F(e2)bng

A ln 2+2 B ln 2+2 C ln 2+1 D ln 2+1

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z 1

xlnxdx=

Z 1

lnxd (lnx)=ln|lnx| +C=

 



ln (lnx)+C1 khix>1 ln (−lnx)+C2 khix<1

Theo đầu bàiF

µ e ¶

=2⇒ln µ −ln µ e ¶¶

+C2=2⇔C2=2 VàF(e)=ln 2⇒ln (lnx)+C1=ln 2⇔C1=ln

Từ ta cóF(x)=  



ln (lnx)+ln khix>1 ln (−lnx)+2 khix<1

Từ suy raF

µ e2

ả

+F(e2)=ln

ln e2

ả

+2+lnĂ ln e2Â

+ln 2=3 ln 2+2

VyF

à e2

ả

+F(e2)=3 ln 2+2

Câu 16. Cho biếtF(x)=1 3x

3+2x−1

(x2+a)2

x2 Tìm nguyên hàm hàm

số g(x)=xcosax

A xsinx−cosx+C B

2xsin 2x−

4cos 2x+C C xsinx+cosx+C D

2xsin 2x+

4cos 2x+C

(179)

Ta cóF(x)=1 3x

3+2x−1

(x2+a)2

x2 ⇔ F0(x)=f(x), ∀x6=0 ⇔ x2+2+

x2 =

x4+2ax2+a2

x2 , ∀x6=0 ⇔ x2+2+

x2 =x

+2a+a

2

x2, ∀x6=0 ⇔ a=1

Suy g(x)=xcosx

Suy

Z

g(x) dx=

Z

xcosxdx

Đặt

 



u=x

dv=cosxdx ⇒

 



du=dx v=sinx⇒

Z

g(x) dx=xsinx−

Z

sinxdx=xsinx+cosx+C

Câu 17. BiếtF(x)=log2 ¯ ¯ ¯ ¯

2x+a

2x−2

¯ ¯ ¯ ¯+

b (a,b∈Z)là nguyên hàm hàm số f(x)=

2x+6·2−x−5 thỏa mãn

F(2)=2018 TínhP=a+b

A P=2017 B P=2019 C P=2016 D P=2022

-Lời giải.

Ta có

F(x)=

Z 1

2x+6·2−x−5dx=

Z 2x

22x−5·2x+6dx

= ln

Z 1

22x−5·2x+6d(2 x

) =

ln Z µ

1 2x−3−

1 2x−2

¶ d(2x) =

ln 2·ln ¯ ¯ ¯ ¯

2x−3 2x−2

¯ ¯ ¯ ¯+

C

=log2e·ln ¯ ¯ ¯ ¯

2x−3 2x−2

¯ ¯ ¯ ¯+

C

=log2 ¯ ¯ ¯ ¯

2x−3 2x−2

¯ ¯ ¯ ¯+

C

VìF(2)=2018nênlog21

2+C=2018⇔C=2019

Do đóF(x)=log2 ¯ ¯ ¯ ¯

2x−3 2x−2

¯ ¯ ¯ ¯+

2019 Vậya= −3,b=2019và P=a+b= −3+2019=2016

Câu 18. Cho F(x)=¡ax2+bx+c¢p

2x−1 nguyên hàm hàm số 4x

2 p

2x−1 µ

1 2;+∞

¶

Tính

S=a+b+c

A S=2 B S=9

5 C S=

28

15 D S=1

-Lời giải.

Theo giả thiết ta có

4x2

p

2x−1=F

0(x)=5ax2+(3pb−2a)x−b+c 2x−1

Đồng hệ số ta

    

   

5a=4 3b−2a=0

−b+c=0

, suy raa=4

5,b=c=

(180)

Chọn đáp án C ä Câu 19. Biết

Z x2+1

x3−6x2+11x−6dx=ln|(x−1)

m

(x−2)n(x−3)p| +C Tính4(m+n+p)

A B C D

-Lời giải.

Z x2 +1

x3−6x2+11x−6dx=

Z x2

+1

(x−1)(x−2)(x−3)dx= Z µ

1

x−1−

x−2+

x−3 ¶

dx

=ln|x−1−5 ln|x−2| +5 ln|x−3| +C=ln|(x−1)(x−2)−5(x−3)5| +C Suy ram=1,n= −5,p=5 Vậy4(m+n+p)=4

x−1 thoả mãn F(5)=2và F(0)=1 Mệnh đề

nào đúng?

A F(−1)=2−ln B F(2)=2−2 ln C F(3)=1+ln D F(−3)=2

-Lời giải.

Ta cóF(x)=  



ln|x−1| +C1 vớix>1 ln|x−1| +C2 vớix<1

VớiF(5)=2và F(0)=1ta có F(x)=  



ln|x−1| +2−2 ln vớix>1 ln|x−1| +1 vớix<1

Từ ta cóF(2)=2−2 ln 2là

Câu 21. Cho hàm số f(x)xác định trênR\ {0; 2} thỏa mãn f0(x)=

x2−2x Biết f(2)+f(4)=0

v f

à ả

+f

à ả

=2018 TớnhT=f(1)+f(1)+f(5)

A T=1

2ln 5+1009 B T= 2ln

9

5+1009 C T= 2ln

9

5+2018 D T= 2ln

9

-Lời giải.

Ta có f(x)= Z

f0(x) dx= Z

1

x2−2xdx= 2ln

¯ ¯ ¯ ¯

x−2

x

¯ ¯ ¯ ¯+

C

Suy f(x)=        

       2ln

¯ ¯ ¯ ¯

x−2

x

¯ ¯ ¯ ¯+

C1 khix<0

2ln ¯ ¯ ¯ ¯

x−2

x

¯ ¯ ¯ ¯+

C2 khi0<x<2

2ln ¯ ¯ ¯ ¯

x−2

x

¯ ¯ ¯ ¯+

C3 khix>2

Do f

à ả

+f

à ả

=2018

ln 3+ln1 ¶

+2C2=2018⇔C2=1009 Lại có f(−2)+f(4)=0⇔1

2

ln 2+ln1 ả

+C1+C3=0C1+C3=0 Do úT=f(1)+f(1)+f(5)=1

2

ln 3+ln 1+ln3 ả

+C1+C2+C3=1

2ln

5+1009

Câu 22. Cho hàm số f(x)liên tục Rvà thỏa mãn

Z f¡px+1¢ p

x+1 dx= 2¡p

x+1+3¢

x+5 +C Nguyên hàm

của hàm số f(2x)trên tậpR+là

A x+3

2¡

x2+4¢+C B

x+3

x2+4+C C

2x+3 4¡

x2+1¢+C D

2x+3 8¡

x2+1¢+C

-Lời giải.

Đặtt=px+1⇒ pdx

(181)

Khi

Z f¡px+1¢ p

x+1 dx= Z

2f(t) dt Mà

Z f¡px+1¢ p

x+1 dx=

2¡px+1+3¢

x+5 +Cnên Z

2f(t) dt=2(t+3) t2+4 +C

Khi

Z

f(t) dt= t+3 t2+4+C ⇔

Z

f(2t) dt=1

2· 2t+3 4t2+4+C ⇔

Z

f(2x) dx= 2x+3 4¡

x2+1¢+C

Câu 23. Giả sửF(x)là nguyên hàm f(x)=ln(x+3)

x2 choF(−2)+F(1)=0 Giá trị củaF(−1)+

F(2)bằng

A

3ln B 3ln 2+

3

6ln C 10

3 ln 2−

6ln D

-Lời giải.

F(x)=

Z ln(x +3)

x2 dx,(x> −3)

Đặt

  

 

u=ln(x+3) dv=

x2dx ⇒

   

  

du= x+3dx

v= −1

x

F(x) = −1

xln(x+3)+

Z 1

x(x+3)dx = −1

xln(x+3)+

1

Z µ

x−

1

x+3 ¶

dx

= −1

xln(x+3)+

1 3ln

¯ ¯ ¯

x x+3

¯ ¯ ¯+C

Suy

F(x)=    

  

−1

xln(x+3)+

1 3ln

x

x+3+C1khix>0 −1

xln(x+3)+

1 3ln

−x

x+3+C2khi −3<x<0

Khi

F(−2)=1

3ln 2+C2

F(1)= −ln 4+1 3ln

1 4+C1

F(−2)+F(1)=0⇒C1+C2=7 3ln

F(−1)=ln 2+1 3ln

1 2+C2

F(2)= −1 2ln 5+

1 3ln

2 5+C1 ⇒F(−1)+F(2)=ln 2+1

3ln 2−

1 2ln 5+

1 3ln

2

5+C1+C2= 10

3 ln 2− 6ln

Câu 24. Biết

Z

(sin 2x−cos 2x)2dx=x+a

bcos 4x+C, với a, b số nguyên dương, a

b phân số tối

giản vàC∈R Giá trị củaa+bbằng

(182)

Z

(sin 2x−cos 2x)2dx= Z

(1−2 sin 2xcos 2x) dx= Z

(1−sin 4x) dx=x+1

4cos 4x+C

Mà

Z

(sin 2x−cos 2x)2dx=x+a

bcos 4x+Cnên

 



a=1

b=4⇒

a+b=5

Câu 25. TínhI=

2018 Z

0

ln (1+2x) (1+2−x) log

4e dx

A I=ln2¡1+22018¢−ln22 B I=ln2¡1+22018¢−ln

C I=ln¡1+22018¢−ln D I=ln2¡1+2−2018¢−ln22

-Lời giải.

Đặtt=ln(1+2x), ta có dt=2

xln 2

1+2x =

ln

1+2−xdx Đổi cận: x=0⇒t=ln 2;x=2018⇒t=ln

¡

1+22018¢

Khi đóI=

ln(1+22018) Z

ln

t

ln log4edt=

à log42Ã

t2

2 ả

¯ ¯

ln(1+22018) ln =ln

2¡

1+22018¢

−ln22

Câu 26. GọiF(x)là nguyên hàm hàm số y=4 cos4x−3 cos2x F(x)là nguyên hàm hàm số đây?

A F(x)=cos 4x +

cos 2x

4 +C B F(x)=sin

3xcosx +C

C F(x)= −sinxcos3x+C D F(x)=sin 4x +

sin 2x

4 +C

-Lời giải.

Ta có4 cos4x−3 cos2x=cos 4x

2 +2 cos 2x+ 2−

3(cos 2x+1)

2 =

cos 4x

2 + cos 2x

2

F(x)= Z µ

cos 4x

2 + cos 2x

2 ¶

dx=sin 4x

8 + sin 2x

4 +C

Câu 27. ChoF(x)là nguyên hàm hàm số f(x)=ep3x vàF(0)=2 Hãy tínhF(−1)

A 6−15

e B 4− 10

e C

15

e −4 D 10

e

-Lời giải.

Xét I= Z

f(x) dx= Z

ep3xdx Đặtt=p3 xsuy ra t3

=xnên3t2dt=dxkhi I=

Z

3t2etdt Theo cơng thức tích phân phần

I=3t2et−3 Z

2tetdt=3t2et3

2tet Z

2etdt

ả

=3t2et−3¡

2tet−2et¢ +C

Suy raI=

Z

f(x) dx=3p3 x2·ep3x

−3³2p3 x

·ep3x−2ep3x´+C

hayF(x)=3p3 x2·ep3x−3³2p3 x

·ep3x−2ep3x´+C

DoF(0)=2suy ra6+C=2⇔C= −4 Khi úF(1)=3 e3

à

e e ả

−4=15 e −4

Câu 28. Cho hàm số f(x) xác định R\ {−1; 1} thỏa mãn f0(x)=

x2−1 Biết f(3)+f(3)=4 v

f

à ả

+f

à

3 ả

(183)

A T=5−1

2ln B T=6−

2ln C T=5+

2ln D T=6+ 2ln

-Lời giải.

Ta có

Z 1

x2−1dx=

Z µ

x−1−

x+1 ¶

dx=1

2ln ¯ ¯ ¯ ¯

x−1

x+1 ¯ ¯ ¯ ¯+

C

Do hàm số f(x)liên tục khoảng(−∞;−1), (−1; 1), (1;+∞)nên

f(x)=         

        2ln

¯ ¯ ¯ ¯

x−1

x+1 ¯ ¯ ¯ ¯+

C1 x∈(1;+∞),

2ln ¯ ¯ ¯ ¯

x−1

x+1 ¯ ¯ ¯ ¯+

C2 x∈(−∞;−1),

2ln ¯ ¯ ¯ ¯

x−1

x+1 ¯ ¯ ¯ ¯+

C3 x∈(−1; 1)

Theo đề ta có

f(−3)=1

2ln 2+C2,

f(3)=1 2ln

1 2+C1

Mà

f(3)+f(−3)=4⇔C1+C2=4 (1)

Tương tự

f

à ả

+f

à −1

3 ¶

=2⇔2C3=2⇔C3=1

Ta có

      

     

f(−5)=1 2ln

3 2+C2

f(0)=1

f(2)=1 2ln

1 3+C1

⇒f(−5)+f(0)+f(2)=1 2ln

1

2+1+C1+C2

Từ (1) suy f(−5)+f(0)+f(2)= −1

2ln 2+1+C1+C2= −

2ln 2+5

Câu 29. ChoF(x)là nguyên hàm hàm số f(x)= x

2+x+1

x+1 F(0)=2018 TínhF(−2)

A F(−2)khơng xác định B F(−2)=2

C F(−2)=2018 D F(−2)=2020

-Lời giải.

Z

f(x) dx=

Z µ

x+ x+1

¶

dx= x

2

2 +ln|x+1| +C

Ta cóF(0)=2018nênC=2018 Suy raF(−2)=2020

Câu 30. Biết F(x)=(ax2+bx+c)ex nguyên hàm hàm số f(x)=(x2+5x+5)ex Giá trị

2a+3b+clà

A 10 B C D 13

(184)

Ta cóF(x)=(ax +bx+c)e +(2ax+b)e =(ax +(2a+b)x+b+c)e Từ giả thiết ta có hệ

    

   

a=1 2a+b=5

b+c=5 ⇔

    

   

a=1

b=3

c=2

Vậy2a+3b+c=13

Câu 31. Gọi F(x)là nguyên hàm hàm số f(x)=4x−1 thỏa mãn F(0)= −1 Đồ thị hai hàm số

y=f(x)và y=F(x)có điểm chung?

A Khơng có B C D Vơ số

-Lời giải.

Ta có

F(x)= Z

f(x) dx=

Z

(4x−1) dx=2x2−x+C

VìF(0)= −1nên

2·02−0+C= −1⇔C= −1

VậyF(x)=2x2−x−1 Số điểm chung hai đồ thịy=f(x)và y=F(x)bằng số nghiệm phương trình

2x2−x−1=4x−1 ⇔ 2x2−5x=0

⇔ 

 

x=0

x=5

2

Vậy đồ thị hai hàm số y=f(x)và y=F(x)có2điểm chung

Câu 32. ĐặtA=

Z

cos2xdx,B=

Z

sin2xdx Xác định A−B A A−B= −1

2·sin 2x+C B A−B= −cos 2x+C C A−B= −2 cos 2x+C D A−B=1

2·sin 2x+C

-Lời giải.

Ta cóA−B=

Z ¡

cos2x−sin2x¢ dx=

Z

cos 2xdx=1

2sin 2x+C

Câu 33. ChoF(x)=x2là nguyên hàm hàm số f(x)e2x Tìm nguyên hàm hàm số f0(x)e2x

A

Z

f0(x)e2xdx=2x2−2x+C B

Z

f0(x)e2xdx= −x2+2x+C

C

Z

f0(x)e2xdx= −2x2+2x+C D

Z

f0(x)e2xdx= −x2+x+C

-Lời giải.

VìF(x)=x2là nguyên hàm hàm số f(x)e2x nên ta có f(x)e2x=F0(x)=2x Đặt

 



u=e2x

dv=f0(x)dx ⇒

 



du=2e2xdx

v=f(x) Khi đó, ta có Z

f0(x)e2xdx=e2x·f(x)−2 Z

f(x)e2xdx=2x−2x2+C

(185)

Câu 34. Xét hàm số f(x)xác định trênR\{−2; 2}và thỏa mãn f0(x)=

x2−4, f(−3)+f(3)=f(−1)+f(1)= Giá trị biểu thức f(−4)+f(0)+f(4)bằng

A B C D

-Lời giải.

Ta có f(x)= Z

f0(x)dx=

Z 4

x2−4dx=4

Z 1

(x−2)(x+2)dx=4 Z 1

4

1

x2

x+2 ả

dx

=ln ¯ ¯ ¯ ¯

x−2

x+2 ¯ ¯ ¯ ¯+

c

Khi ta có f(−3)+f(3)=ln 5+c+ln1

5+c=2⇒2c=2⇒c=1

Suy f(x)=ln ¯ ¯ ¯ ¯

x−2

x+2 ¯ ¯ ¯ ¯+

1

Do f(−4)+f(0)+f(4)=ln 3+1+ln 1+1+ln1

3+1=3 Vậy f(−4)+f(0)+f(4)=3

Câu 35. BiếtF(x)là nguyên hàm hàm số f(x)=

cos2x+m thoả mãn F(0)=0 F ³π

4 ´

=2 Giá trị

củambằng

A

π B −

π C − π

4 D

π

-Lời giải.

Ta có

F(x)= Z 1

cos2x+mdx=tanx+mx+C

Theo giả thiết ta có

 



F(0)=0

F³π

4 ´

=2⇔  



tan 0+C=0 tanπ

4+ π

4m+C=2 ⇔

 



C=0 1+π

4m=2 ⇔

  

 

C=0

m=4

π

Vậym=4

π

Câu 36. Biết F(x)=(ax2+bx+c)px (a,b,c ∈R) nguyên hàm hàm số f(x)= 2x

2−3x+2 p

x

khoảng(0;+∞) Tính tổngS=5a+4b+3c

A S=14 B S=12 C S=7 D S=8

-Lời giải.

DoF(x)là nguyên hàm f(x)nênF0(x)=f(x),∀x∈(0;+∞) Ta có

F0(x)=(2ax+b)px+ax

2+bx+c 2px

=5ax

2+3bx+c 2px

VìF0(x)=f(x),∀x∈(0;+∞), nên 5ax

2+3bx+c 2px =

2x2−3x+2 p

x ,∀x∈(0;+∞) Hay

5ax2+3bx+c=4x2−6x+4,∀x∈(0;+∞)

Đồng hệ số,

     

    

a=4

5

b= −2

c=4

VậyS=5·4

(186)

Chọn đáp án D ä Câu 37. Một nguyên hàm hàm số f(x)=sin2x·cos3xcó dạng làF(x)= −a

bsin

5x + c

dsin

3x, với a

b c

d phân số tối giản a,b,c,dlà số nguyên dương Tính T=a+b+c+d

A Đáp án khác B T=11 C T=10 D T=9

-Lời giải.

Ta có

F(x) = Z

sin2x·cos3xdx

= Z

sin2x·cos2x·cosxdx

= Z

sin2x·¡

1−sin2x¢

d (sinx) =

Z ¡

sin2x−sin4x¢

d (sinx) = −1

5sin 5x

+1 3sin

3x +C

Vậya=1, b=5, c=1,d=3⇒T=a+b+c+d=10

Câu 38. Xét hàm số f(x)=x2+ax+ln|bx+1| +c với a, b, c∈R Biết f0(x)= 4x

2+4x+3

2x+1 f(0)=1

Tính giá trịS=c(2a−b)2

A

3 B C D

-Lời giải.

f(x)= Z

f0(x) dx=

Z 4x2

+4x+3 2x+1 dx=

Z µ

2x+1+ 2x+1

¶

dx=x2+x+ln|2x+1| +C Suy raa=1,b=2

Lại có: f(0)=1⇒C=1hay c=1 VậyS=c(2a−b)2=0

Câu 39. TìmF(x)là nguyên hàm hàm số f(x)=3x2+ex−1, biếtF(0)=2

A F(x)=6x+ex−x−1 B F(x)=x3+

ex −x+1

C F(x)=x3+ex−x+1 D F(x)=x3+ex−x−1

-Lời giải.

Ta có

Z

(3x2+ex−1) dx=x3+ex−x+C

Mặt khácF(0)=2⇒C=1⇒F(x)=x3+ex−x+1

x2+x−2 A

Z

f(x) dx=ln ¯ ¯ ¯ ¯

x+2

x−1 ¯ ¯ ¯ ¯+

C B

Z

f(x) dx=1

3ln ¯ ¯ ¯ ¯

x+2

x−1 ¯ ¯ ¯ ¯+

C

Z

f(x) dx=ln ¯ ¯ ¯ ¯

x−1

x+2 ¯ ¯ ¯ ¯+

C D

Z

f(x) dx=1

3ln ¯ ¯ ¯ ¯

x−1

x+2 ¯ ¯ ¯ ¯+

C

-Lời giải.

Z 1

x2+x−2dx=

Z µ

x−1−

x+2 ¶

dx=1 3ln

¯ ¯ ¯ ¯

x−1

x+2 ¯ ¯ ¯ ¯+

C

(187)

Câu 41. Cho hàm số f(x)6=0 thỏa mãn điều kiện f0(x)=(2x+3)f2(x) f(0)= −1

2 Biết tổng

f(1)+f(2)+f(3)+ · · · +f(2017)+f(2018)= a

b với (a∈Z,b∈N

∗)và a

b phân số tối giản Mệnh đề

sau đúng?

A a

b< −1 B a

b >1 C a+b=1010 D b−a=3029

-Lời giải.

Ta có

f0(x)=(2x+3)f2(x)⇒ f0(x)

f2(x)=2x+3⇒

Z f0(x)

f2(x)dx= Z

(2x+3) dx⇔ − f(x)=x

2

+3x+C Vì f(0)= −1

2 ⇒C=2

Vậy f(x)= −

(x+1)(x+2)=

x+2−

x+1

Do f(1)+f(2)+f(3)+ · · · +f(2017)+f(2018)= 2020−

1 2= −

1009 2020

Vậya= −1009;b=2020 Do đób−a=3029

Câu 42. Biết F(x)là nguyên hàm f(x)= 1−sin 3x sin2x F

³π ´

= p

2

2 Có số thực x∈ (0; 2018π)đểF(x)=1

A 2018 B 1009 C 2017 D 2016

-Lời giải.

Ta có f(x)=

sin2x−sinx, suy raF(x)= −cotx+cosx+C

DoF³π

4 ´

= p

2

2 nênC=1, đóF(x)= −cotx+cosx+1

VậyF(x)=1⇔cotx−cosx=0⇔ 



cosx=0 sinx=1⇔

x=π

2+kπ, k∈Z

Dox∈(0; 2018π)⇒0<π

2+kπ<2018π⇒0<

2+k, từ suy có2018số thực thỏa mãn yêu cầu

toán

Câu 43. Biết

Z

xcos 2xdx=axsin 2x+bcos 2x+Cvới a, blà số hữu tỉ Tính tíchab

A ab=1

8 B ab=

4 C ab= −

8 D ab= −

-Lời giải.

Đặt

 



u=x

dv=cos 2xdx ⇒

  

 

du=dx v=sin 2x

2

Khi

Z

xcos 2xdx =

2xsin 2x− Z

sin 2xdx

=

2xsin 2x+

4cos 2x+C

Suy raa=1

2,b=

4 ⇒ab=

Câu 44. Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x)=2x+1

A

Z

f(x) dx=(2x+1)2+C B

Z

f(x) dx=1

2(2x+1)

(188)

C f(x) dx=

4(2x+1)

+C D f(x) dx=2(2x+1)2+C

-Lời giải.

Z

f(x) dx= Z

(2x+1) dx=1 2·

(2x+1)2 +C=

1

4(2x+1)

+C

Câu 45. F(x)là nguyên hàm hàm số y=2 sinxcos 3xvà F(0)=0,

A F(x)=cos 4x−cos 2x B F(x)=cos 2x −

cos 4x

8 − C F(x)=cos 2x

2 − cos 4x

4 −

4 D F(x)= cos 4x

4 − cos 2x

2 +

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

2 sinxcos 3xdx= Z

(−sin 2x+sin 4x) dx=cos 2x −

cos 4x

4 +C

VìF(0)=0, suy raC= −1

4

VậyF(x)=cos 2x −

cos 4x

4 −

Câu 46. Một nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=3x−2xlà

A F(x)=

x

ln 3−x

−1 B F(x)=

x

ln 3−2 C F(x)= 3x ln 3−

x2

2 D F(x)=3

xln 3

−x2

-Lời giải.

Ta có

Z

(3x−2x) dx=

x

ln 3−x

+C

Câu 47. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=3x2+sinxlà

A x3+cosx+C B x3+sinx+C C x3−cosx+C D x3−sinx+C

-Lời giải.

Z

(3x2+sinx) dx=x3−cosx+C

Câu 48. Cho f(x),g(x) hàm số xác định liên tục trênR Trong mệnh đề sau, mệnh đề

sai?

A

Z

[2f(x)+3g(x)] dx=2 Z

f(x) dx+3 Z

g(x) dx

B

Z

[f(x)−g(x)] dx= Z

f(x) dx− Z

g(x) dx

C

Z

2f(x) dx=2 Z

f(x) dx

D

Z

f(x)g(x) dx=

Z

f(x) dx·

Z

g(x) dx

-Lời giải.

Z

f(x)g(x) dx=

Z

f(x) dx·

Z

g(x) dxlà mệnh đề sai

Câu 49. Tìm nguyên hàm hàm số f(x)=e4x

A

Z

e4xdx=1

4e 4x

+C B

Z

e4xdx=4ex+C C

Z

e4xdx=e4x+C D

Z

e4xdx=4e4x+C

-Lời giải.

Ta có

Z

e4xdx=1

4e 4x

+C

(189)

Câu 50. Biết

Z

(x−2) sin 3xdx= −(x−a) cos 3x

b +

1

csin 3x+2017, đóa,b,clà số nguyên dương

Khi đóS=ab+cbằng

A S=15 B S=10 C S=14 D S=3

-Lời giải.

Đặt

 



u=x−2 dv=sin 3xdx

Khi

  

 

du=dx v= −1

3cos 3x

Do

Z

(x−2) sin 3xdx = −1

3(x−2) cos 3x+ Z

cos 3xdx

= −(x−2) cos 3x

3 +

1

9sin 3x+C = −(x−2) cos 3x

3 +

1

9sin 3x+2017 (vớiC=2017)

Như vậya=2, b=3,c=9 Do S=2·3+9=15

Câu 51. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=5x4−6x2+1là

A 20x3−12x+C B x5−2x3+x+C C 20x5−12x3+x+C D x

4

4 +2x

−2x+C

-Lời giải.

Ta có

Z ¡

5x4−6x2+1¢dx=x5−2x3+x+C

Câu 52. Cho số thựcx>0 Chọn đẳng thứcđúngtrong khẳng định sau

A

Z lnx

x dx=2 lnx+C B

Z lnx

x dx=2 ln

2x +C

C

Z lnx

x dx=ln

2x

+C D

Z lnx

x dx=

1 2ln

2x +C

-Lời giải.

Ta có

Z lnx

x dx=

Z

lnxd (lnx)=1 2ln

2x +C

Câu 53. Một nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=sinx+2 cosxbiếtF³π

2 ´

=0là

A F(x)=2 sinx−cosx+2 B F(x)=2 sinx−cosx−2

C F(x)= −2 sinx−cosx+2 D F(x)=sinx−2 cosx−2

-Lời giải.

Ta có

Z

(sinx+2 cosx) dx= −cosx+2 sinx+C DoF³π

2 ´

=0nênC= −2 VậyF(x)=2 sinx−cosx−2

Câu 54. Nguyên hàm hàm số f(x)=cos(2x+1)là

A sin(2x+1)+C B sin(2x+1)+C C

2sin(2x+1)+C D −

2sin(2x+1)+C

-Lời giải.

Ta có

Z

cos(2x+1)dx=1 Z

cos(2x+1)d(2x+1)=1

2sin(2x+1)+C

(190)

A

Z

cosxdx=sinx−C B

Z 1

sin2xdx= −cotx+3C

C

Z

sinxdx=cosx+C D

Z 1

cos2xdx=tanx−5+C

-Lời giải.

Z

sinxdx=cosx+C sai vì(cosx+C)0= −sinx Các nguyên hàm:

Z

cosxdx=sinx−C vì(sinx−C)0=cosx

Z

sin2xdx=cotx−3Cđúng vì(−cotx+3C)

0= sin2x

Z 1

cos2xdx=tanx−5+Cđúng vì(tanx−5+C) 0=

cos2x

Câu 56. Xét nguyên hàm I= Z

xpx+2 dx Nếu đặtt=px+2thì ta

A I=

Z ¡

t4−2t2¢

dt B I=

Z ¡

4t4−2t2¢

dt C I=

Z ¡

2t4−4t2¢

dt D I=

Z ¡

2t4−t2¢ dt

-Lời giải.

Đặtt=px+2⇔t2=x+2 Vi phân hai vế ta được2tdt=dx Khi đóI=

Z ¡

t2−2¢

·t·2tdt= Z

¡

2t4−4t2¢ dt

Câu 57. Họ nguyên hàm hàm số y=xsinxlà

A −xcosx+C B −xcosx+sinx+C C −xsinx+cosx+C D x2sinx 2+C

-Lời giải.

Đặt u =x,v0 =sinx ta có u0=1,v= −cosx Khi áp dụng cơng thức nguyên hàm phần ta có

I=

Z

uv0dx=uv−

Z

u0vdx+C= −xcosx+sinx+C

Câu 58. Nguyên hàm hàm số f(x)=1+cos 4x A x

2+

8sin 2x+C B

x

2+

2sin 4x+C C

x

2+

8sin 4x+C D

x

2+

4sin 4x+C

-Lời giải.

Ta có

Z µ1 2+

cos 4x

2 ¶

dx=1 2x+

sin 4x

8 +C

Câu 59. Mệnh đề đúng?

A

Z

e2xdx=2pex+C. B. Z

sin 2xdx= −2 cos 2x+C

C

Z dx

x =lnx+C D

Z

2xdx=2x·ln 2+C

-Lời giải.

Bằng cách so sánh hàm dấu nguyên hàm với đạo hàm hàm vế phải tương ứng phương án, ta thấy có trường hợp cho kết đúng, là¡

2pex+C¢0 =ex2

14x trờn khong

à ;1

4 ả

thỏa mãnF(0)=10

(191)

A F(−1)=10−4 ln B F(−1)=10+4 ln C F(−1)=10+ln D F(−1)=10−ln

-Lời giải.

DoF(x)là nguyên hàm f(x)=

1−4x nênF(x)có dạngF(x)= −ln|1−4x| +C.Lại cóF(0)=10

nênC=10.VậyF(−1)= −ln 5+10

Câu 61. Tìm nguyên hàm hàm số f(x)=e3x¡

1−3e−5x¢ A

Z

f(x) dx=1 3e

3x

+3 2e

−2x

+C B

Z

f(x) dx=1 3e

3x

−3 2e

−2x

+C

C

Z

f(x) dx=e3x−3e−2x+C D

Z

f(x) dx=3e3x+6e−2x+C

-Lời giải.

Ta có f(x)=e3x¡

1−3e−5x¢

=e3x−3e−2x.Do đó,

Z

f(x) dx=1

3e 3x

+3 2e

−2x

+C

Câu 62. Xét khoảng(0;+∞),hàm số nguyên hàm hàm số f(x)=

x2−1

x2 ?

A F1(x)= x

2−x+1

x B F2(x)= x2+1

x C F3(x)=

x2+2x+1

x D F4(x)= x2−1

x

-Lời giải.

Do(F4(x))0= µ

x−1 x

¶0

=1+

x2,trong f(x)=1−

x2 nênF4(x)không phải nguyên hàm f(x)

Câu 63. Hàm sốF(x)=ex2 nguyên hàm hàm số sau đây?

A f(x)=x2ex2+3 B f(x)=2x2ex2+C C f(x)=2xex2 D f(x)=xex2

-Lời giải.

Ta cóF0(x)= ³

ex2´0=(x2)0·ex2=2xex2

VậyF(x)là nguyên hàm hàm số f(x)=2xex2

Câu 64. Nguyên hàm hàm số y=e−3x+1là

A

3e

−3x+1+C. B. −1 3e

−3x+1+C. C. 3e−3x+1+C. D. −3e−3x+1+C.

-Lời giải.

Z

eax+bdx=1 ae

ax+b

+C, ta

Z

e−3x+1dx= −1

3e −3x+1

+C

Câu 65. Họ nguyên hàm f(x)=2x 4+3

x2 A 2x

3

3 −3 ln|x| +C B 2x3

3 +3 lnx+C C 2x3

3 −

x+C D

2x3

3 +

x+C

-Lời giải.

Z 2x4 +3

x2 dx=

Z µ

2x2+ x2

¶

dx=2x

3

3 −

x+C

Câu 66. Để hàm sốF(x)=mx3+(3m+2)x2−4x+3là nguyên hàm hàm số f(x)=3x2+10x−4

(192)

A m= −1 B m=2 C m=0 D m=1

-Lời giải.

Ta cóF0(x)=3mx2+2(3m+2)x−4 NếuF(x)là nguyên hàm hàm số f(x)thì

3mx2+2(3m+2)x−4=3x2+10x−4,∀x∈R

Đồng hai vế, thu đượcm=1

Câu 67. Họ nguyên hàm

Z

xp3 x2+1 dxbằng A

8 p

x2+1+C B

8 p

x2+1+C C

8

p

(x2+1)4+C D

8

p

(x2+1)4+C

-Lời giải.

Ta có

Z

xp3 x2+1 dx=1 Z

(x2+1)13d(x2+1)=3

p

(x2+1)4+C.

Câu 68. TínhI= Z

8 sin 3xcosxdx=acos 4x+bcos 2x+C Khi đóa−bbằng

A B −1 C D

-Lời giải.

Ta cóI=4 Z

(sin 4x+sin 2x) dx= −cos 4x−2 cos 2x+C⇒  



a= −1

b= −2⇒

a−b=1

Câu 69. Họ nguyên hàm hàm số f(x)= 3x+1 A ln|3x+1| +C B

3x+1+C C

(3x+1)2+C D ln|3x+1| +C

-Lời giải.

Ta có

Z 3

3x+1dx=ln|3x+1| +C

Câu 70. Tìm họ nguyên hàm hàm số y=

(x+1)2 A

Z 1

(x+1)2dx=

(x+1)3+C B

Z 1

(x+1)2dx= −1

x+1+C C

Z 1

(x+1)2dx=

x+1+C D

Z 1

(x+1)2dx= −2

(x+1)3+C

-Lời giải.

Z 1

(x+1)2dx=

Z 1

(x+1)2d(x+1)= −1

x+1+C

Câu 71. Cho hàm số f(x)liên tục [a;b] Giả sử hàm số u=u(x)có đạo hàm liên tục [a;b]

u(x)∈[α;β],∀x∈[a;b], f(u)liên tục đoạn[α;β] Mệnh đề sau đúng?

A b

Z

a

f(u(x))·u0(x) dx=

b

Z

a

f(u) du B

u(b) Z

u(a)

f(u(x))·u0(x) dx=

b

Z

a

f(u) du

C b

Z

a

f(u(x))·u0(x) dx=

u(b) Z

u(a)

f(u) du D

b

Z

a

f(u(x))·u0(x) dx=

b

Z

a

f(x) du

(193)

Ta có b

Z

a

f(u(x))·u0(x) dx=

u(b) Z

u(a)

f(u) du

Câu 72. Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=22x

A F(x)=22x·ln B F(x)= 2x

ln 2+C C F(x)= 4x

ln 4+C D F(x)=4

x

·ln 4+C

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

f(x) dx= Z

22xdx= Z

4xdx=

x

ln 4+C

Câu 73. Nguyên hàm hàm số f(x)= 1−2x

A

Z

f(x)dx=ln|1−2x| +C B

Z

f(x)dx= −2 ln|1−2x| +C

C

Z

f(x)dx=2 ln|1−2x| +C D

Z

f(x)dx= −1

2ln|1−2x| +C

-Lời giải.

Z dx 1−2x= −

1

Z d(1 −2x) 1−2x = −

1

2ln|1−2x| +C

Câu 74. Họ tất nguyên hàm hàm số f(x)=sin(2x+1)là

A

Z

f(x) dx= −1

2cos(2x+1)+C B Z

f(x) dx=1

2cos(2x+1)+C C

Z

f(x) dx= −1

2cos(2x+1) D Z

f(x) dx=cos(2x+1)

-Lời giải.

Ta có

Z

f(x) dx=

Z

sin(2x+1) dx= −1

2cos(2x+1)+C

Câu 75. Chọn công thức công thức

A

Z lnx

x dx=2 lnx+C B

Z lnx

x dx=2 ln

2x +C

C

Z lnx

x dx=ln

2x

+C D

Z lnx

x dx=

1 2ln

2x +C

-Lời giải.

Ta có

Z lnx

x dx=

Z

lnxd(lnx)=ln 2x +C

Câu 76. F(x)=(ax3+bx2+cx+d)e−x+2018elà nguyên hàm hàm số f(x)=(−2x3+3x2+7x−

2)e−x Khi

A a+b+c+d=4 B a+b+c+d=6 C a+b+c+d=5 D a+b+c+d=7

-Lời giải.

Ta cóF0(x)=e−x(−ax3+(3a−b)x2+(2b−c)x+c−d)vàF0(x)=f(x)suy raa=2;b=3;c= −1;d=1, đóa+b+c+d=5

Câu 77. Nguyên hàm hàm số f(x)=x2018là hàm số hàm số đây?

A F(x)=2017·x2018+C, (C∈R) B F(x)= 2019x

2019+C, (C∈R). C F(x)=x2019+C, (C∈R) D F(x)=2018·x2017+C, (C∈R)

(194)

Ta có x2018dx=

2019x 2019

+C, (C∈R)

2 TìmF(x) A F(x)=ex+x2+5

2 B F(x)=2e

x+x2−1

2 C F(x)=e

x+x2+3

2 D F(x)=e

x+x2+1

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

f(x) dx=ex+x2+C Theo raF(0)=3

2⇒C+1=

2⇒C=

VậyF(x)=ex+x2+1

2

Câu 79. Hàm sốF(x)=1 4ln

4x

+Clà nguyên hàm hàm số hàm số đây?

A f(x)=ln 3x

x B f(x)=

1

xln3x C f(x)= x

ln3x D f(x)= xln3x

3

-Lời giải.

Ta cóF0(x)=1

xln

3x.

Câu 80. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=ex+cosx+2018là

A F(x)=ex+sinx+2018x+C B F(x)=ex−sinx+2018x+C

C F(x)=ex+sinx+2018x D F(x)=ex+sinx+2018+C

-Lời giải.

Ta có

F(x)= Z

f(x) dx=

Z ¡

ex+cosx+2018¢

dx=ex+sinx+2018x+C

Câu 81. Tìm hàm sốF(x)biếtF(x)là nguyên hàm hàm số f(x)=pxvà F(1)=1

A F(x)=2 3x

p

x B F(x)=2 3x

p

x+1

3 C F(x)= 2px+

1

2 D F(x)= 3x

p

x−5

3

-Lời giải.

Xét

Z p

xdx

Đặtt=px⇒t2=xvà dx=2 dt Khi

Z p

xdxtrở thành

Z

t·2tdt=2

3t

+C Như

Z p

xdx=2

3x p

x+C⇒F(x)=2 3x

p

x+C VìF(1)=1nênC=1

3

VậyF(x)=2 3x

p

x+1

3

Câu 82. Tìm nguyên hàm hàm số f(x)=3px+x

A

Z ¡

3px+x¢

dx=xpx+x

2

2 +C B

Z ¡

3px+x¢

dx=3

2x p

x+x

2

2 +C C

Z ¡

3px+x¢

dx=2xpx+x

2

2 +C D Z

¡

3px+x¢

dx=2

3x p

x+x

2

2 +C

(195)

Z ¡

3px+xÂdx= Z

3x12+x

ả

dx=2x32+x

2 +C=2x p

x+x

2 +C

Câu 83. Cho bốn mệnh đề sau I)

Z

cos2xdx=cos

3x +C

II)

Z 2x +1

x2+x+2018dx=ln(x

+x+2018)+C III)

Z 3x¡

2x+3−x¢

dx=

x

ln 6+x+C

IV)

Z

3xdx=3x·ln 3+C

Trong mệnh đề có mệnh đềsai?

A B C D

-Lời giải.

Ta xét mệnh đề cho Mệnh đề(I)sai

Z

cos2xdx=

Z 1

+cos 2x

2 dx= µ

x+sin 2x

2 ¶

+C

Mệnh đề(I I)đúng

Z 2x +1

x2+x+2018dx=

Z d(x2

+x+2018)

x2+x+2018 =ln(x

+x+2018)+C

Mệnh đề(I I I)đúng

Z 3x¡

2x+3−x¢ dx=

Z ¡

6x+1¢

dx=

x

ln 6+x+C

Mệnh đề(IV)sai

Z

3xdx=

x

ln 3+C

Vậy có2mệnh đề

Câu 84. Tìm họ nguyên hàmF(x)của hàm số: f(x)=x2−3x

A F(x)=x3−3 2x

2+C. B. F(x)=x3−3x2+C.

C F(x)= x

3 − 2x

2+C. D. F(x)=2x−3+C.

-Lời giải.

Họ nguyên hàm hàm f(x)=x2−3xlàF(x)=x

3 − 3x2

2 +C

Câu 85. Khẳng định sau sai?

A Nếu

Z

f(x) dx=F(x)+Cthì

Z

f(u) du=F(u)+C

B NếuF(x)vàG(x)đều nguyên hàm hàm số f(x)thìF(x)=G(x)

C

Z

[f1(x)+f2(x)] dx=

Z

f1(x) dx+

Z

f2(x) dx

D

Z

k f(x) dx=k

Z

f(x) dx(klà số vàk6=0)

Câu 86. Cho hàm số f(x)=x3−x2+2x−1 GọiF(x)là nguyên hàm f(x) Biết rằngF(1)=4 Tìm

(196)

A F(x)= x −

x

3 +x

2−x. B. F(x)=x −

x

3 +x

2−x+1.

C F(x)= x

4 −

x3

3 +x

−x+2 D F(x)=x

4 −

x3

3 +x

−x+49

12

-Lời giải.

Ta cóF(x)= x

4 −

x3

3 +x

2−x+C.

F(1)=4⇒C=49

12

VậyF(x)= x

4 −

x3

3 +x

−x+49

12

Câu 87. Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x)=ax+ b

x2(x6=0) biết F(−1)=1; F(1) =4;

f(1)=0

A F(x)=3x

4 + 2x+

7

4 B F(x)=

3x2

4 − 2x−

7 C F(x)=3x

2

2 + 4x−

7

4 D F(x)=

3x2

2 − 2x−

1

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

f(x) dx= Z

ax+ b

x2 ả

dx=ax

2 −

b x+c

Từ         

F(−1)=1

F(1)=4

f(1)=0 ⇔            a

2+b+c=1

a

2−b+c=4

a+b=0 ⇔               

a=3

b= −3

c=7

4

VậyF(x)=3x

4 + 2x+

7

Câu 88. Một nguyên hàm caf(x)=(2x1)e1x lF(x)=

à

ax2+bx+c+d x

ả

e1x Tính tổnga+b+c+d

A B C D

-Lời giải.

Ta có

F0(x)= µ

2ax+b− d x2

¶

e1x+

à

ax2+bx+c+d x

ả

e1xÃ

à x2 ả =

2ax+(ba)b

x c+d

x2 −

d x3

¶

e1x

=f(x)

Đồng hệ số ta

                    

2a=2

b−a= −1

b=0

c+d=0

d=0

⇔               

a=1

b=0

c=0

d=0

⇒a+b+c+d=1

Câu 89. Nếu

Z

f(x) dx=1

x+ln|5x| +Cvớix∈(0;+∞)thì hàm số f(x)là

A f(x)=px+

5x B f(x)= −

1

x2+

5x C f(x)= −

1

x2+

x D f(x)=

1

(197)

-Lời giải. Ta có f(x)=

àZ

f(x) dx

ả0 =

à

x+ln|5x| +C

¶0 = −1

x2+

x

Câu 90. Tìmmđể hàm sốF(x)=mx3+(3m+2)x2−4x+3là nguyên hàm hàm số f(x)=3x2+

10x−4

A m=3 B m=1 C m=2 D m=0

-Lời giải.

F(x)=mx3+(3m+2)x2−4x+3= Z

f(x) dx= Z

¡

3x2+10x−4¢dx=x3+5x2−4x+C Khi

 



m=1

C=3

Câu 91. Tính

Z 1

2x2+5x+2dx A

3ln ¯ ¯ ¯ ¯

x+2 2x+1

¯ ¯ ¯ ¯+

C B ln ¯ ¯ ¯ ¯

x+2 2x+1

¯ ¯ ¯ ¯+

C C

3ln ¯ ¯ ¯ ¯

2x+1

x+2 ¯ ¯ ¯ ¯+

C D ln¯¯2x2+5x+2 ¯ ¯+C

-Lời giải.

Ta có

Z 1

2x2+5x+2dx=

Z 1

(2x+1)(x+2)dx=

Z 1

2x+1dx−

Z 1

x+2dx =2

3·

2ln|2x+1| −

3ln|x+2| +C =1

3ln ¯ ¯ ¯ ¯

2x+1

x+2 ¯ ¯ ¯ ¯+

C

Câu 92. Nguyên hàm hàm số f(x)=sin(2x+1)là

A cos(2x+1)+C B −cos(2x+1)+C C

2cos(2x+1)+C D −

2cos(2x+1)+C

-Lời giải.

Đặtu=2x+1⇒ du=2 dx Khi đó, ta có

Z

sin(2x+1) dx=1

2 Z

sinudu= −1

2cosu+C= −

2cos(2x+1)+C

A

Z

cos 2xdx= −2 sin 2x+C B

Z

cos 2xdx=2 sin 2x+C

C

Z

cos 2xdx= −1

2sin 2x+C D Z

cos 2xdx=1

2sin 2x+C

-Lời giải.

Z

cos 2xdx=1 Z

cos 2xd(2x)=1

2sin 2x+C

Câu 94. Phát biểu sau đâyđúng?

A

Z

exsinxdx=excosx− Z

excosxdx B

Z

exsinxdx= −excosx+ Z

excosxdx

C

Z

exsinxdx=excosx+

Z

excosxdx D

Z

exsinxdx= −excosx−

Z

excosxdx

(198)

+ Đặt





u=e

dv=sinxdx ⇒





du=e dx v= −cosx

+ Suy

Z

exsinxdx= −excosx+

Z

excosxdx

Câu 95. Khi tính nguyên hàm

Z x −3 p

x+1dx, cách đặt u = p

x+1 ta nguyên hàm

đây?

A

Z

2(u2−4)udu B

Z

(u2−4) du C

Z

2(u2−4) du D

Z

(u2−3) du

-Lời giải.

Đặtu=px+1⇒u2=x+1⇒2udu=dx Thay vào ta

Z u2

−1−3

u ·2udu=2(u

2

−4) du

Câu 96. Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x)=tan 2x

A

Z

tan 2xdx=2¡

1+tan22x¢

+C B

Z

tan 2xdx= −ln|cos 2x| +C

C

Z

tan 2xdx=1

2 ¡

1+tan22x¢

+C D

Z

tan 2xdx= −1

2ln|cos 2x| +C

-Lời giải.

Ta có

Z

tan 2xdx=

Z sin 2x cos 2xdx=

1 Z

−d(cos 2x) cos 2x = −

1

2ln|cos 2x| +C

Câu 97. Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x)=52x

A

Z

52xdx=2·5 2x

ln 5+C B

Z

52xdx= 25

x

2 ln 5+C C

Z

52xdx=2·52x+C D

Z

52xdx=2·25

x+1

x+1 +C

-Lời giải.

Ta có

Z

52xdx=1

2 Z

52xd(2x)= 2x

2 ln 5+C= 25x ln 5+C

Câu 98. Tìm nguyên hàm hàm sốF(x)= Z

(4x+1) lnxdx

A F(x)=¡2x2+x¢

lnx+x2+x+C B F(x)=¡3x2+2x¢

lnx+C

C F(x)=¡2x2+x¢

lnx−x2−x+C D F(x)=x2lnx+C

-Lời giải.

F(x)= Z

(4x+1) lnxdx= Z

(2x2+x)0lnxdx=(2x2+x) lnx− Z

(2x2+x)1

xdx

=(2x2+x) lnx− Z

(2x+1) dx=(2x2+x) lnx−x2−x+C

Câu 99. Một nguyên hàm hàm số f(x)=2 cos 2xlà

A F(x)= −4 sin 2x B F(x)=4 sin 2x C F(x)= −sin 2x D F(x)=sin 2x

-Lời giải.

Z

2 cos 2xdx=

Z

cos 2xd(2x)=sin 2x+C

(199)

Z

ex(ex−1)3dx= a b(e

x

−1)m+C (với a,b∈Z, a

b phân số tối giản) Tìm H= a2+b−m

A H= −4 B H= −1 C H=4 D H=1

-Lời giải.

Z

ex(ex−1)3dx= Z

(ex−1)3d¡ex−1¢=1 ¡

ex−1¢4+C Suy raa=1,b=4, m=4nênH=a2+b−m=1

Câu 101. Cho F(x) nguyên hàm hàm số f(x)=3x2+8 sinx thỏa mãn F(0)=2010 Tìm

F(x)

A F(x)=6x−8 cosx+2018 B F(x)=6x+8 cosx

C F(x)=x3−8 cosx+2018 D F(x)=x3−8 cosx+2019

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

¡

3x2+8 sinx¢

dx=x3−8 cosx+C Mặt khácF(0)=2010⇔ −8+C=2010⇔C=2018 VậyF(x)=x3−8 cosx+2018

Câu 102. Một nguyên hàm hàm số f(x)=xp1+x2là A F(x)=1

3 ³p

1+x2´3. B. F(x)=1

³p

1+x2´2. C F(x)= x

2

2 ³p

1+x2´2. D. F(x)=1

³p

1+x2´2.

-Lời giải.

Ta có

Z

xp1+x2dx=1 Z

p

1+x2d(1+x2)=1

³p

1+x2´3+C.

Câu 103. Tính nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)=e2x, biếtF(0)=1

A F(x)=e2x B F(x)=e2x−1 C F(x)=ex D F(x)=e 2x

2 +

-Lời giải.

F(x)= Z

e2xdx=1

2·e 2x

+C VìF(0)=1nênC=1

2 VậyF(x)= e2x

2 +

Câu 104. Nguyên hàm hàm số f(x)=xsinxlà

A F(x)= −xcosx−sinx+C B F(x)=xcosx−sinx+C

C F(x)= −xcosx+sinx+C D F(x)=xcosx+sinx+C

-Lời giải.

F(x)= Z

xsinxdx, đặt

 



u=x

dv=sinxdx ⇒

 



du=dx v= −cosx

Khi đóF(x)= −xcosx+

Z

cosxdx= −xcosx+sinx+C

Câu 105. Hàm sốF(x)=cos 3xlà nguyên hàm hàm số

A f(x)=sin 3x

3 B f(x)= −3 sin 3x C f(x)=3 sin 3x D f(x)=sin 3x

-Lời giải.

(200)

Chọn đáp án B ä Câu 106. Cho nguyên hàm I=

Z

xp1+2x2dx, thực đổi biến u=p1+2x2 thì ta nguyên

hàm theo biến mớiulà

A I=1

2 Z

u2du B I=

Z

u2du C I=2 Z

udu D I=

Z

udu

-Lời giải.

Ta có:u=p1+2x2suy ra u2=1+2x2.

Do

2du=xdx Suy I= Z

u2du

Câu 107. Tìm m để hàm số F(x)=mx3+(3m+2)x2−4x+3 nguyên hàm hàm số f(x)= 3x2+10x−4

A m=3 B m=0 C m=1 D m=2

-Lời giải.

Nguyên hàm f(x)là x3+5x2−4x+C

Do đó,F(x)là nguyên hàm f(x)khi m=1

Câu 108. TínhF(x)= Z

xsin 2xdx Chọn kết đúng?

A F(x)=1

4(2xcos 2x+sin 2x)+C B F(x)= −

4(2xcos 2x+sin 2x)+C C F(x)= −1

4(2xcos 2x−sin 2x)+C D F(x)=

4(2xcos 2x−sin 2x)+C

-Lời giải.

Đặt

 



u=x

dv=sin 2xdx ⇒

  

 

du=dx v= −1

2cos 2x

Suy

Z

xsin 2xdx= −1

2xcos 2x+ Z

cos 2xdx= −1

2xcos 2x+

4sin 2x+C

Vậy:F(x)= −1

4(2xcos 2x−sin 2x)+C

Câu 109. BiếtF(x)là nguyên hàm hàm sốf(x)=

x−1 F(2)=1 TínhF(3) A F(3)=ln 2−1 B F(3)=ln 2+1 C F(3)=1

2 D F(3)=

-Lời giải.

Ta cóF(x)= Z

1

x−1dx=ln|x−1| +C

Theo đềF(2)=1⇔ln 1+C=1⇔C=1 VậyF(3)=ln 2+1

Câu 110. Cho hàm số f(x)= 4m π +sin

2x Tìm m để nguyên hàm F(x) của f(x) thỏa mãn F(0)

=1

F³π

4 ´

=π A m= −4

3 B m= −

4 C m=

3 D m=

3

-Lời giải.

Ta có

π Z

0 µ

4m

π +sin 2x

¶

dx=F³π

4 ´

Nguyên hàm tích phân và ứng dụng - Nguyễn Chin Em

Thông tin tài liệu

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan