Đang tải... (xem toàn văn)
Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I (2; 9) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ[r]
(1)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
Chương 3
Nguyên hàm Tích phân & Ứng dụng I TĨM TẮT LÝ THUYẾT
Cho hàm số y=f(x)liên tục trênK (khoảng, đoạn nửa khoảng) chứa đoạn[a;b] 1 Công thức định nghĩa nguyên hàm, tích phân
F(x)là nguyên hàm f(x)trênK ⇔F0(x)=f(x),∀x∈K
Z
f(x) dx=F(x)+C⇔F0(x)=f(x),∀x∈K (vớiClà số thực bất kỳ)
Z b
a
f(x) dx=F(x) ¯ ¯ ¯
b
a=
F(b)−F(a) Từ ta có F(b)=F(a)+
Z b
a
f(x) dx
2 Tích chất nguyên hàm
Mỗi hàm số f(x)liên tục K có vơ số ngun hàm K Các nguyên hàm sai khác số C, nghĩa F(x)và G(x)đều nguyên hàm f(x)
trên K thìF(x)−G(x)=C,∀x∈K
Z
[f(x)±g(x)] dx=
Z
f(x) dx±
Z
g(x) dx;
Z
k f(x) dx=k
Z
f(x) dx, ∀k∈R,k6=0
Z
f0(x) dx=f(x)+C;
µZ
f(x) dx
¶0
=f(x); (giả sử f(x),g(x)là hàm số liên tục trênK)
3 Tích chất tích phân
Cho hàm số f(x),g(x)liên tục trênK (khoảng, đoạn, nửa khoảng) chứaa,b,c Khi
Z b
a
f0(x)dx=f(x)¯¯ ¯
b
a=
f(b)−f(a)
Z b
a
f(x) dx=
Z b
a
f(t) dt=
Z b
a
f(u) du
Z b
a [
f(x)±g(x)] dx=
Z b
a
f(x) dx±
Z b
a
g(x) dx
Z b
a
k f(x) dx=k
Z b
a
f(x) dx, ∀k∈R
Z b
a
f(x) dx=
Z c
a
f(x) dx+
Z b
c
f(x) dx, ∀a,b,c∈K
Z a
a
f(x) dx=0
Z a
b
f(x) dx= −
Z b
a
f(x) dx
f(x)>0,∀x∈[a;b]⇒
Z b
a
f(x) dx>0
f(x)60,∀x∈[a;b]⇒
Z b
a
f(x) dx60
µZ x
a
f(t) dt
¶0
(2)DƯƠN G PHƯỚC SAN G -THPT CHU V ĂN AN
4 Bảng nguyên hàm hàm số thông dụng Lưu ý:
Z
f(x) dx=F(x)+Cthì
Z
f(ax+b) dx=1
a·F(ax+b)+C (a6=0)
Nguyên hàm Nguyên hàm mở rộng (đổixthành ax+b,a6=0) •
Z
dx=x+C •
Z
adx=ax+C
•
Z
xαdx= x α+1
α+1+C, α6= −1 • Z
(ax+b)αdx=1 a·
(ax+b)α+1
α+1 +C, α6= −1
•
Z 1
x2dx= −
1
x+C •
Z 1
(ax+b)2dx= −
1
a·
1
ax+b+C •
Z 1
p
xdx=2 p
x+C •
Z 1
p
ax+bd x=
a· p
ax+b+C
•
Z p
xdx=2
3x
p
x+C •
Z p
ax+bdx=
3a·(ax+b) p
ax+b+C
•
Z
exdx=ex+C •
Z
eax+bdx=1 a·e
ax+b +C •
Z
axdx= a x
lna+C •
Z
amx+ndx= m·
amx+n
lna +C •
Z 1
xdx=ln|x| +C •
Z 1
ax+bdx=
1
a·ln
¯ ¯ax+b
¯ ¯+C
•
Z
sinxdx= −cosx+C •
Z
sin(ax+b)dx= −1
acos(ax+b)+C •
Z
cosxdx=sinx+C •
Z
cos(ax+b)dx=1
asin(ax+b)+C •
Z 1
cos2xdx=tanx+C •
Z 1
cos2(ax+b)dx=
1
a·tan(ax+b)+C •
Z 1
sin2xdx= −cotx+C •
Z 1
sin2(ax+b)dx= −
a·cot(ax+b)+C
Một số công thức bổ sung để làm trắc nghiệm •
Z 1
x2−a2dx=
1 2aln
¯ ¯ ¯
x−a x+a
¯ ¯
¯+C •
Z 1
(ax+b) (cx+d)dx=
ad−cbln
¯ ¯ ¯ ¯
ax+b cx+d
¯ ¯ ¯ ¯+ C • Z
tan2xdx=tanx−x+C •
Z
cot2xdx= −cotx−x+C
•
Z
tanxdx= −ln|cosx| +C •
Z
cotxdx=ln|sinx| +C
•
Z 1
sinxdx=ln
¯ ¯ ¯tan x ¯ ¯
¯+C •
Z 1
cosxdx=ln
¯ ¯ ¯tan ³x 2+ π ´¯ ¯ ¯+C
•
Z 1
xndx= −
1
n−1·
xn−1+C •
Z
n p
xdx= n n+1·x
n p
x+C
•
Z
p
a2−x2dx=arcsin x
|a|+C •
Z
x2+a2dx=
1
aarctan x a+C •
Z dx
p
x2+a=ln
¯ ¯ ¯x+
p
x2+a¯¯
¯+C • Z
p
x2+adx= x
2 p
x2+a+a
2ln ¯ ¯ ¯x+
p
(3)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
5 Cơng thức ngun hàm phần, tích phân phần Vớiu=u(x), v=v(x)là hàm số có đạo hàm liên tục trênK ta có
Z
udv=uv−
Z
vdu Z b
a
udv=¡
uv¢¯ ¯
b a−
Z b
a vdu
Dưới bảng dạng nguyên hàm (tích phân) phần thường gặp:
Z
P(x).eax+bdx
Z
P(x) sinaxdx
Z
P(x) cosaxdx
Z
eaxcosxdx
Z
P(x) lnxdx
u P(x) P(x) P(x) cosx lnx
dv eax+bdx sinaxdx cosaxdx eaxdx P(x) dx
(P(x)là ký hiệu cho đa thức ẩn xcó dạnganxn+an−1xn−1+ · · · +a1x+a0)
6 Phương pháp đổi biến số tốn ngun hàm, tích phân
Nếu
Z
f(x)dx=F(x)+C thỡ
Z
fÊ
t(x)Ô
.t0(x)dx=FÊ
t(x)Ô
+C
Dng tớch phõn Đặc điểm nhận dạng Cách đặt
Z a.t(x)
+b.t0(x)
t(x) dx Đặt biểu thức dướimẫu t=t(x) Z
f³et(x)´.t0(x) dx Đặt biểu thức phần số mũ t=t(x) Z
f¡
t(x)¢
.t0(x) dx Đặt biểu thức nằm bên dấungoặc t=t(x) Z
f³pn t(x)´.t0(x) dx Đặtcănthức có tích phân t=pn t(x) Z
f(lnx) dx
x Đặt biểu thức chứalnx t=lnx
Z
f(sinx) cos2n−1xdx Gặpcos(mũ lẻ)x.dxđi kèm biểu thức theosinx t=sinx
Z
f(cosx) sin2n−1xdx Gặpsin(mũ lẻ)x.dxđi kèm biểu thức theocosx t=cosx
Z
f(tanx) dx
cos2x Gặp
dx
cos2x đi kèm biểu thức theotanx t=tanx
Z
f(cotx) dx
sin2x Gặp
dx
sin2x đi kèm biểu thức theocotx t=cotx
Z
f(eax+b).eax+bdx Gặpeax+bdxđi kèm biểu thức theoeax+b t=eax+b Z
f¡
xα+1¢
.xαdx Gặp xαdxđi kèm biểu thức theo xα+1 t=xα+1
Z
f¡xα¢.dx
x Gặp
dx
x đi kèm biểu thức theox
(4)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
7 Phép lượng giác hố phương pháp tính tích phân (đổi biến số loại 1)
Dấu hiệu Vi phân kèm theo Cách đặt (giả sửa> 0) p
a2−x2 x2ndx x=asint, với−π
2 6t6 π
p
2ax−x2 x2ndx x−a=asint, với−π
2 6t6 π
a2+x2 x2ndx x=atant, với−π
2<t< π
p
x2−a2 x2ndx x= a
sint, với−
π 6t6
π 2,t6=0 ra
+x a−x
ra
−x
a+x x=acos 2t, với06t6
π
p
(x−a)(b−x) x−a=(b−a) sin2t, với06t6π
2
8 Một số dạng tích phân đặc biệt (hàm chẵn, hàm lẻ, hàm tuần hoàn, )
Nếu f(x)là hàm sốlẻ, liên tục khoảng K chứa[−a;a]thì
Z a
−a
f(x) dx=0
Nếu f(x)là hàm sốchẵn, liên tục khoảngK chứa[−a;a]thì
Z a
−a
f(x) dx=2 Z a
0
f(x) dx
Z a
−a f(x) 1+bxdx=
1
Z a
−a
f(x) dx
Nếu f(x)là hàm số liên tục đoạn[a;b]thì
Z π
2
0
f(sinx) dx=
Z π
2
0
f(cosx) dx
Z π
0
f(sinx) dx=2 Z π
2
0
f(sinx) dx
Z π
0
x f(sinx) dx=π
2 Z π
0
f(sinx) dx
Z b
a
f(x) dx=
Z b
a
f(a+b−x) dx
Nếu hàm số f(x)liên tục trênRvà tuần hồn với chu kỳT
Z a+T
a
f(x) dx=
Z T
0
f(x) dx
Hai cơng thức tính tích phân đặc biệt:
Z b
a
¡
u(x)+u0(x)¢
exdx=¡
u(x)ex¢¯¯ ¯
b
a
Z b
a
¡
m.u(x)+u0(x)¢
emxdx=¡
u(x)emx¢¯¯ ¯
b
a
9 Ứng dụng tích phân giải toán tốc độ thay đổi đại lượng
Kiến thức chung: f0(x)đặc trưng cho tốc độ thay đổi đại lượng f(x)theo biến sốx Khi f(b)=f(a)+
Z b
a
f0(x) dx
Bài toán chuyển động: s(t2)=s(t1)+
Z t2
t1
v(t) dt
µ
lưu ý: s(t)=
Z
v(t) dt, v(t)=
Z
a(t) dt
¶
s(t),v(t),a(t)lần lượt quãng đường, vận tốc, gia tốc chuyển động thời điểm t
Bài toán sinh học: N(t2)=N(t1)+
Z t2
t1
N0(t) dt,
(5)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
10 Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng
Hình phẳng (H)giới hạn
(
y=f(x),y=g(x)
x=a,x=b có diện tích S=
Z b
a
¯
¯f(x)−g(x) ¯ ¯dx
x y
O a b
c d
y= f(x)
S=
Z c
a
f(x)dx−
Z d
c
f(x)dx+
Z b
d
f(x)dx
x y
O a c b
f(x
)
g(x)
S=
Z c
a
¡
f(x)−g(x)¢ dx+
Z b
c
¡
g(x)−f(x)¢ dx
? Một số lưu ý cách xử lý dấu | · |trong dấu tích phân tính diện tích hình phẳng:
Phương trình trục hồnh y=0, phương trình trục tung làx=0
Nếu có đồ thị hàm số (như hai hình minh hoạ đây), ta xác định hình phẳng cần tính diện tích lập cơng thức tính diện tích dựa hình vẽ
Nếu s(x)>0,∀x∈[a;b]thì
Z b
a
¯ ¯s(x)
¯ ¯dx=
Z b
a
s(x) dx
Nếu s(x)60,∀x∈[a;b]thì
Z b
a
¯ ¯s(x)
¯ ¯dx= −
Z b
a
s(x) dx
Chỉ phương trình s(x)=0 khơng có nghiệm giữaa b ta sử dụng công thức
Z b
a
¯ ¯s(x)
¯ ¯dx=
¯ ¯ ¯ ¯
Z b
a
s(x) dx
¯ ¯ ¯ ¯
Nếu phương trình s(x)=0 có nghiệm a b (giả sử có nghiệm x0∈(a;b)) ta cần dùng nghiệm x0 chia đoạn[a;b]thành đoạn nhỏ biến đổi tích phân theo kiểu sau
Z b
a
¯ ¯s(x)
¯ ¯dx=
¯ ¯ ¯ ¯
Z x0
a
s(x) dx
¯ ¯ ¯ ¯+
¯ ¯ ¯ ¯
Z b
x0
s(x) dx
¯ ¯ ¯ ¯
11 Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể
? Cơng thức tính thể tích vật thể dựa vào diện tích mặt cắt
P Q
x y
O a x b
S(x)
V= b
Z
a
S(x) dx
Trong S(x)là diện tích thiết diện tạo vật thể mặt phẳng vng góc vớiOx, cắtOxtại x
? Các cơng thức tính thể tích vật thể trịn xoay (khi quay hình(H)quanhOx)
x y
O a b
f(x)
V=π
Z b
a
f2(x)dx
x y
O a b
f(x)
g(x)
V=π
Z b
a
¯
¯f2(x)−g2(x) ¯ ¯dx
(6)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
II CÁC VÍ DỤ GIẢI TỐN ĐIỂN HÌNH
|Ví dụ 1. Gọi F(x)là nguyên hàm hàm số f(x)=p2x+1 khoảng ¡
−12;+∞¢ thoả mãnF(0)=1 TínhF(4)
M Lời giải
Xét
Z
f(x) dx=
Z p
2x+1 dx=1
3(2x+1)
p
2x+1+C⇒F(x)=1
3(2x+1)
p
2x+1+C DoF(0)=1nên
3+C=1⇔C=
Vậy F(x)=1
3(2x+1)
p
2x+1+2
3, suy F(4)= 29
3
Cách
Ta cóF(4)=F(0)+
Z
0
f(x) dx=1+
Z
0 p
2x+1 dx=1+
µ
3(2x+1)
p
2x+1 ¶
¯ ¯ ¯
4
0=
29
|Ví dụ 2. Hàm số hàm số đâykhông phải nguyên hàm hàm số f(x)=x(x+2)
(x+1)2? A.F(x)= x
2
x+1 B.G(x)=
x2+x+1
x+1 C. H(x)=
x2+x−1
x+1 D. K(x)=
x2−x−1
x+1
M Lời giải
Hướng 1(giải tìm họ nguyên hàm f(x))
Ta có
Z
f(x) dx=
Z x(x
+2) (x+1)2dx=
Z µ
1−
(x+1)2
¶
dx=x+
x+1+C=
x2+(C+1)x+(C+1)
x+1
Như vậyH(x)không phải nguyên hàm f(x)do khơng có dạng tìm
Hướng 2(dùng định nghĩa nguyên hàm)
Theo hướng ta cần tìm hàm số có đạo hàmkhơng đồng nhấtvới f(x)
Nếu dùng cơng thức tính nhanh
àax2
+bx+c mx+n
ả0
=amx
2+2anx+bn−cm
(mx+n)2 ta tìm H0(x)= x
2+2x+2
(x+1)2 6≡f(x)nênH(x)không phải nguyên hàm f(x)
Hướng 3(dùng mối liên hệ nguyên hàm hàm số)
Theo phát biểu đề bài, hàm số F(x),G(x),H(x),K(x)chắc chắn có hàm số nguyên hàm f(x)và hàm số nguyên hàm f(x)
Như ta tìm hiệu hai hàm số có mà kết thu gọn số hai hàm số xét nguyên hàm f(x)
G(x)−F(x)= x
2+x+1 x+1 −
x2
x+1=1,∀x đóF(x),G(x)đều nguyên hàm f(x)
H(x)−F(x)=x
2+x−1 x+1 −
x2 x+1=
x−1
(7)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
|Ví dụ 3. Biết
Z x5
1+x2dx=mx
+nx2+pln(x2+1)+C, C số thực; m,n,plà hệ số hữu tỷ Hãy tínhT=m+n+p
M Lời giải
Cách 1: dùng phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm hàm số f(x)= x
1+x2
Xét I=
Z x5
1+x2dx=
Z x4
1+x2·xdx +o Đặt t=x
2 thì dt=2xdx⇒1
2dt=xdx
Từ đóI=1
2 Z t2
1+tdt=
1
Z µ
t−1+
1+t
¶ dt=1
2 µt2
2 −t+ln ¯ ¯1+t
¯ ¯ ¶
+C =1
4t
2 −1
2t+ 2ln
¯ ¯1+t
¯ ¯+C=
1 4x
4 −1
2x
2 +1
2ln(1+x
2
)+C
Như vậy, m=1
4,n= − 2,p=
1
2⇒T=m+n+p=
Cách 2: dùng định nghĩa nguyên hàm
Z x5
1+x2dx=mx
+nx2+pln(x2+1)+C⇒ x
1+x2 =
¡
mx4+nx2+pln(x2+1)¢0
,∀x∈R ⇒ x
5
1+x2 =4mx
+2nx+ 2px
1+x2,∀x∈R⇒x
=4mx5+(4m+2n)x3+(2n+2p)x,∀x∈R ⇒
4m=1 4m+2n=0 2n+2p=0
⇒
m=1 n= −1
2 p=12
⇒T=m+n+p=1
4
|Ví dụ 4. Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x)=(2x−1)e3x M Lời giải
Xét
Z
f(x) dx=
Z
(2x−1)e3xdx Đặt
(
u=2x−1 dv=e3x ta có
du=2 dx v=1
3e
3x
nên
Z
f(x) dx=(2x−1)e 3x
3 −
Z 2 3e
3xdx
=(2x−1)e 3x
3 −
2e3x +C
|Ví dụ 5. ChoF(x)= −
3x3 nguyên hàm hàm số f(x)
x khoảng(0;+∞) Tìm nguyên hàm hàm số f0(x) lnx
M Lời giải Do F(x)= −
3x3 nguyên hàm hàm số f(x)
x trênR
+ nên¡
F(x)¢0
= f(x)
x ,∀x>0 hay
µ
−
3x3
¶0
= f(x) x ⇔
1
x4 = f(x)
x Suy f(x)=
1
x3
Xét
Z
f0(x) lnxdx Đặt
(
u=lnx
dv=f0(x) dx ta có
du=1 xdx v=f(x)
do
Z
f0(x) lnxdx=f(x) lnx−
Z f(x)
x dx=
lnx x3 −
Z 1
x4dx=
lnx x3 +
(8)DƯƠN G PHƯỚC SAN G -THPT CHU V ĂN AN
|Ví dụ 6. Tính tích phân I=
Z
0
2x2−5x
2x+1 dx
M Lời giải
2x2−5x
2x2+x −6x −6x−3
3
2x+1
x−3
Thực phép chia đa thức2x2−5xcho2x+1ta thương làx−3và phần dư
I=
Z
0
µ
x3+
2x+1 ả
dx=
àx2
2 −3x+ 2ln
¯ ¯2x+1¯
¯ ¶ ¯ ¯ ¯ 0=
2ln 5−4
|Ví dụ 7. Tính tích phân I=
Z
1
11−x
(2x−1)(3x+2)dx
M Lời giải
Ngoài nháp ta viết 11−x
(2x−1)(3x+2)=
A
2x−1+
B
3x+2 tìm A=3,B= −5
I=
Z
1
11−x
(2x−1)(3x+2)dx= Z
1
µ 2x1
5 3x+2
ả dx=
à 2ln
¯ ¯2x−1
¯ ¯−
5 3ln
¯ ¯3x+2
¯ ¯ ¶¯ ¯ ¯ = µ3 2ln 5−
5 3ln 11
ả
à3 2ln
5 3ln
¶
=19
6 ln 5− 3ln 11
|Ví dụ 8. Tính tích phân I=
Z
1
x2+5x−5
x3+1 dx M Lời giải
Ngoài nháp ta viết x
2+5x+5 x3+1 =
x2+5x+5 (x+1)(x2−x+1)=
A x+1+
Bx+C x2−x+1 tìm A= −3,B=4,C= −2
Như I=
Z
1
µ 4x
−2
x2−x+1−
3
x+1 ¶
dx=
Z
1
4x−2
x2−x+1dx−(3 ln|x+1|)
¯ ¯ ¯
3
1=
A−3 ln
Với A=
Z
1
2(2x−1)
x2−x+1dx Đặtt=x
2−x+1thì dt=(2x−1) dx.
Đổi cận
(
x=1⇒t=1
x=3⇒t=7 Suy A= Z
1
2
tdt=(2 ln|t|)
¯ ¯ ¯
7
1=2 ln
Như I=2 ln 7−3 ln
|Ví dụ 9. Tính tích phân I=
Z
1
2x2+3x+3 (x+1)(2x+1)2dx
M Lời giải
Viết nháp: 2x
2+3x+3
(x+1)(2x+1)2 = A x+1+
B
2x+1+
C
(2x+1)2 ta tìm A=2,B= −3,C=4
Ghi: I=
Z
1
µ
x+1− 2x+1+
4 (2x+1)2
¶ dx=
µ
2 ln¯¯x+1 ¯ ¯−
3 2ln
¯ ¯2x+1
¯ ¯−
2 2x+1
ả =
2 ln 3−3
2ln 5− ¶
−
µ
2 ln 2−3
2ln 3− ¶
=7
2ln 3−
(9)DƯƠN G PHƯỚC SAN G -THPT CHU V ĂN AN
|Ví dụ 10. Tính tích phân sau A=
Z π
3
2 sinx
1+3 cosxdx
a) B=
Z
0
x3px2+1 dx
b) C=
Z
1
1
x(x3+2)2dx c)
M Lời giải Câu a. A=
Z π
3
0
2 sinx
1+3 cosxdx Đặtt=1+3 cosx⇒dt= −3 sinxdx⇒ −
1
3dt=sinxdx
Đổi cận thay vào tích phân Ata A= −1
3 Z
2
2
tdt= −
2 3ln ¯ ¯t ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 3ln
Câu b. B=
Z
0
x3px2+1 dx=
Z
0
x2px2+1.xdx
Đặtt=px2+1⇒t2=x2+1⇒2tdt=2xdx haytdt=xdx. Đổi cận thày vào tích phânBta
B=
Z p5
1
(t2−1).t.tdt=
Z p5
1
(t4−t2) dt=
µ 5t −1 3t ¶ ¯ ¯ ¯ p =
10p5
3 +
2 15
Câu c. C=
Z
1
1
x(x3+2)2dx=
1
Z
1
3x2
x3(x3+2)2dx
Đặtt=x3+2⇒dt=3x2dx Đổi cận thay vào tích phân Cta
C=1
3 Z 10
3
1
(t−2)t2dt=
1 12 Z 10 µ
t−2−
t−
2
t2
¶
dt=
12
ln|t2| ln|t| +2 t ả ¯ ¯ 10 = 12 µ
ln 8−ln 10+1
5 ¶
−
12 µ
ln 1−ln 3+2
3 ¶ = 12ln 12 − 180
|Ví dụ 11. Tính tích phân sau đây: A=
Z
0
(2x+1)exdx
a) B=
Z
0
xln(x2+3) dx
b) C=
Z π
0
excosxdx c)
M Lời giải Câu a. A=
Z
0
(2x+1)exdx Đặt
(
u=2x+1 dv=exdx ta có
(
du=2 dx
v=ex ta
A=(2x+1)ex ¯ ¯ ¯ 0− Z
2exdx=3e−1−2ex ¯ ¯ ¯
1
0=e+1
Câu b. B=
Z
0
xln(x2+3) dx Đặt
(
u=ln(x2+3) dv=xdx ta có
du= 2x x2+3dx v=x
2
2
ta
B=x
2ln(x2+3)
2 ¯ ¯ ¯ 0− Z x3
x2+3dx ⇒ B=2 ln 7−
Z
0 x2
x2+3·xdx Đặtt=x2+3⇒dt=2xdx⇒1
2dt=xdx Đổi cận thay vàoB
B=2 ln 7−1
2 Z
3 t−3
t dt=2 ln 7−
1
Z
3
à 13
t
ả dt=7
2ln 7−
2ln 3−2
Nhận xét:cách giải dài lại phải dùng phương pháp đổi biến số Thực đặtdv=xdx thìv= x
2
2 +C Nếu chọnC=
(10)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
Giải lại: B=
Z
0
xln(x2+3) dx Đặt
(
u=ln(x2+3) dv=xdx ta có
du= 2x x2+3dx v=x
2+3
2
và
B=(x
2+3) ln(x2+3)
2
¯ ¯ ¯
2
0−
Z
0
xdx=7
2ln 7− 2ln 3−
x2
2 ¯ ¯ ¯
2
0=
7 2ln 7−
3
2ln 3−2
Câu c. C=
Z π
0
excosxdx Đặt
(
u=cosx
dv=exdx ta có
(
du= −sinxdx
v=ex
C=excosx
¯ ¯ ¯
π 0+
Z π
0
exsinxdx= −eπ−1+C1 (1)
Trong C1=
Z π
0
exsinxdx Lại đặt
(
u1=sinx
dv1=exdx ta có
(
du1=cosx
v1=exdx C1=exsinx
¯ ¯ ¯
π 0−
Z π
0
excosxdx=0−C (2)
Kết hợp (1) (2) ta đượcC= −eπ−1−C⇒2C= −eπ−1⇒C=e π+1
2
|Ví dụ 12. Cho f(x)là hàm số chẵn, liên tục trênRthoả mãn
Z
−2
f(x) dx=2
Z
−3
f(2x) dx=10 TínhI=
Z
1
f(x) dx
M Lời giải
Xét A=
Z
−3
f(2x) dx=10 Đặtt= −2x thìdt= −2 dx⇒ −1
2dt=dx
Đổi cận thay vào A ta A= −1
2 Z −2
6
f(−t) dt=1
2 Z
−2
f(−t) dt
Do f(x)là hàm số chẵn nên f(−t)=f(t)và A=1
2 Z
−2
f(t) dt
Suy
Z
−2
f(x) dx=
Z
−2
f(t) dt=2A=20
Vậy
Z
1
f(x) dx=
Z −2
1
f(x) dx+
Z
−2
f(x) dx= −2+20=18
|Ví dụ 13. Cho f(x)là hàm số có đạo hàm f0(x)liên tục đoạn [−1; 2] thoả mãn f(2)+f(−1)=1và
Z
−1
(2x−1)f0(x) dx=2 Tính
Z
−1
f(x) dx
M Lời giải
Cách 1:Áp dụng phương pháp tích phân phần cho I làm xuất giả thiết Xét I=
Z
−1
f(x) dx Đặt
(
u=f(x) dv=dx ta có
du=f0(x) dx v=x−1
2=
2(2x−1)
và
I=1
2(2x−1)f(x) ¯ ¯ ¯
2
−1−
1
Z
−1
(2x−1)f0(x) dx=1
2 ¡
3f(2)+3f(−1)¢
−1
2·2=
2·3−1=
Cách 2:Áp dụng tích phân phần cho tích phân giả thiết Xét A=
Z
−1
(2x−1)f0(x) dx=2 Đặt
(
u=2x−1
dv=f0(x) dx ta có
(
du=2 dx
v=f(x)
A=(2x−1)f(x) ¯ ¯ ¯
2
−1−2
Z
−1
f(x) dx=3f(2)+3f(−1)−2I⇒A=3−2I⇒I=3−A
2 =
(11)DƯƠN G PHƯỚC SAN G -THPT CHU V ĂN AN
|Ví dụ 14. Tính tích phân I=
Z π
2
0
sinx
sinx+cosxdx
M Lời giải
Cách 1: Phương pháp liên hợp tích phân Xét hai tích phân I=
Z π
2
0
sinx
sinx+cosxdx J=
Z π
2
0
cosx
sinx+cosxdx Khi
I+J=
Z π
2
0
1 dx=x¯¯ ¯ π = π
I−J=
Z π
2
0
sinx−cosx
sinx+cosxdx=
Z π
2
0
−d(sinx+cosx) sinx+cosx = −ln
¯
¯sinx+cosx ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ π =0 Như vậy2I=(I+J)+(I−J)=π
2 ⇒I= π
Cách 2: Dùng công thức biến đổi
Z b
a
f(x) dx=
Z b
a
f(a+b−x) dx (*)
Ta có I=
Z π
2
0
sinx
sinx+cosxdx=
Z π
2
0
sin¡π
2−x
¢ sin¡π
2−x
¢
+cos¡π
2−x
¢dx= Z π
2
0
cosx
sinx+cosxdx Như vậy2I=
Z π
2
0
sinx
sinx+cosxdx+
Z π
2
0
cosx
sinx+cosxdx=
Z π
2
0
1 dx=π
2 ⇒I= π
? Chú ý:Xuất phát từ
Z b
a
f(x) dx, dùng phương pháp đổi biến số với phép đặtt=a+b−x ta chứng minh (*) cơng thức
|Ví dụ 15. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau đây: y=x3−3x, trục hoành,x= −1và x=p3
M Lời giải Diện tích cần tìm tính theo cơng thức: S=
Z p3
−1
¯
¯x3−3x ¯ ¯dx
Cho x3−3x=0⇔
"
x=0
x= ±p3 ¡
trong kết giải cóx=0nằm −1vàp3¢
Xử lý dấu| · |bằng cách xét dấu biểu thức dấu giá trị tuyệt đối x
x3−3x
−∞ −1 p3 +∞
+ −
S=
Z
p
−1 |
x3−3x|dx=
Z
−1
(x3−3x)dx−
Z
p
0
(x33x)dx=5
4 ả =7
Xử lý dấu| · |bằng cách lấy giá trị tuyệt đối kết tính tích phân S=
Z p3
−1
¯
¯x3−3x ¯ ¯dx=
¯ ¯ ¯ ¯ Z −1
(x3−3x)dx
¯ ¯ ¯ ¯+ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
Z p3
0
(x3−3x)dx
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯+ ¯ ¯ ¯ ¯− ¯ ¯ ¯ ¯=
? Chú ý: ghiS=
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Z p −1
(x3−3x)dx
¯ ¯ ¯ ¯ ¯
(12)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
|Ví dụ 16. Gọi(H)là hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y=px+1,y=x−1
và trục hồnh Tính diện tích hình phẳng(H)
M Lời giải
Trước tiên ta vẽ đồ thị hàm số y=px+1,y=x−1
trên hệ trục toạ độ xác định hình phẳng (H)
Sau ta xây dựng cơng thức tính diện tích của(H):
Cách 1: chia nhỏ hình(H)bởi đường thẳng x=1
S=S1+S2=
Z
−1 p
x+1 dx+
Z
1
³p
x+1−(x−1) ´
dx
=2
3(x+1)
p x+1
¯ ¯ ¯
1
−1+
µ 3(x+1)
p
x+1−x
2 +x ¶¯
¯ ¯
3
1=
4
p
2+
µ 10
3 −
p
2 ¶
=10
3
Cách 2: dùng phương pháp phần bù S=Slớn−Sdư=
Z
−1 p
x+1 dx−
Z
1
(x−1)dx=2
3(x+1)
p x+1¯¯
¯
3
1
àx2 x
ả ¯
3
1=
10
x y
−1 O
2
−1
y= px+1
y= x−
1
? Chú ý: với hình phẳng có từ đường biên dạng y= f(x),y=g(x),y=h(x) trở lên ví dụ phương pháp giải phương pháp vẽ đồ thị, phác thảo hình phẳng xây dựng cơng thức tính diện tích giải Riêng với hình phẳng ví dụ ta cịn giải phương pháp khác (khơng cần vẽ đồ thị hàm số) Dưới cách giải (xem xlà hàm số theo biến y)
Đổi vai trò xvà y:
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
y=px+1⇔x=y2−1
y=x−1⇔x=y+1
trục hoành: y=0
Phương trình tung độ giao điểm củax=y2−1 (y>0)vàx=y+1
y2−1=y+1 (y>0)⇔ y=2
Diện tích cần tìm:S=
Z
0
¯
¯(y2−1)−(y+1) ¯ ¯dy=
10
|Ví dụ 17. Cho hai mặt cầu(S1),(S2)có bán kínhR thỏa mãn tính chất: tâm của(S1)thuộc(S2)và ngược lại Tính thể tích phần chungV hai khối cầu tạo
(S1)và(S2)
M Lời giải Gắn hệ trục Ox ynhư hình vẽ gọi(H)là hình phẳng đánh dấu (tơ nền) hình Khi thể tích cần tính gấp đơi thể tích vật thể trịn xoay tạo quay (H) quanh Ox Khối cầuS(O,R)chứa đường tròn lớn
(C) :x2+y2=R2 Dựa vào hình vẽ, thể tích cần tính
V=2·π R
Z
R
(R2−x2) dx=2π µ
R2x−x
3 ¶¯
¯ ¯
R R
=5πR
12
x y
O R
2 R x2 +
(13)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
|Ví dụ 18.
Cho hình trụ có bán kính đáy bằng2, đường cao bằng3 Một mặt phẳng qua tâm mặt đáy hình trụ, hợp với mặt đáy góc30◦ chia hình trụ thành hai khối vật thể tích khác Gọi(N)là vật thể tích nhỏ hai
vật thể Tính thể tích của(N) O
M Lời giải
? Chú ý:
Để tính thể tích vật thể này, ta cần gắn hệ trục toạ độ vào hình vẽ để sử dụng cơng thức tính thể tích vật thể dựa vào diện tích mặt cắt
Điều quan trọng chọn hệ trục toạ độ phải đảm bảo mặt phẳng vng góc với trụcOx cắt vật thể tạo thiết diện miền dễ tính
được diện tích x
y O 2
−2
2
x H
B
A
? Gắn hệ trục toạ độOx ynhư hình vẽ Một mặt phẳng(P)thay đổi vng góc vớiOxcắt Oxtạix, cắt vật thể theo thiết diện tam giác ABH vng tạiH
Ta có AH=p4−x2và B AH=30◦ nênBH= p
4−x2 p
3 ⇒S4ABH=
2AB.BH= 4−x2
2p3
Thể tích vật thể cần tìm V=
Z
−2
S4ABHdx=
Z
−2
4−x2
2p3 dx= µ
2x p
3−
x3
6p3 ¶¯
¯ ¯
2
−2=
16p3
|Ví dụ 19.
Một vật chuyển động 4giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t(h) có đồ thị vận tốc hình vẽ Trong khoảng thời gian3 kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh I(2; 9) với trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song song với trục hồnh Tính qng đuờng s mà vật chuyển động trong4giờ
x
2
y
9
O I
M Lời giải
Trên đoạn [0; 3],v(t)=at2+bt+c,
v(0)=0
v(2)=9
− b
2a=2 ⇔
a= −9
4
b=9
c=0
⇒v(t)= −9
4t+9t
Trên đoạn [3; 4]thìv(t)=v(3)=27
4 (vì v(t)là số xét đoạn [3; 4])
Như s(4)=
Z
0
v(t) dt=
Z
0
v(t) dt+
Z
3
v(t) dt=
Z
0
µ
−9
4t
2 +9t
¶ dt+
Z
3
27
4 dt=27(km)
? Chú ý:parabol(P) :y=ax2+bx+c (a6=0)có toạ độ đỉnh I
µ
− b
2a;−
∆ 4a
¶
(14)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
|Ví dụ 20. Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục đoạn[0; 1] thỏa mãn f(1)=0,
Z
0
Ê
f0(x)Ô2
dx=7và
Z
0
x2f(x) dx=1
3 Tính tích phân Z
0
f(x) dx
M Lời giải
Cách 1:xét tích phân
Z
0
x2f(x) dx Đặt
(
u=f(x)
dv=x2dx ta có
du=f0(x) dx
v= x
3
Do
3= Z
0
x2f(x) dx=
·x3 f(x)
¸ ¯ ¯ ¯ ¯
1
0 −
1
Z
0 x3
3 f
0(x) dx Suy raZ
x3f0(x) dx= −1 (1)
Mặt khác,
Z
0
Ê
f0(x)Ô2dx=7 v
Z
0
x6dx=1
7 nên Z
0
Ê
f0(x)Ô2
+14x3f0(x)+49x6dx=0hay
Z
0
¡
f0(x)+7x3¢2
dx=0 (2)
Suy f0(x)+7x3=0,∀x∈[0; 1]⇒ f0(x)= −7x3⇒f(x)= −7
4x
4 +C Mà f(1)=0nênC=7
4, suy f(x)= 4(1−x
4) Như vậy
Z
0
f(x) dx=7
5
Lưu ý:
Có thể giải thích từ
Z
0
¡
f0(x)+7x3¢2
dx=0ta suy f0(x)+7x3=0,∀x∈[0; 1]
như sau: theo giả thiết, hàm số y=¡f0(x)+7x3¢2 liên tục khơng âm đoạn [0; 1]
do đó, đồ thị hàm số đường nét liền đoạn [0; 1]và điểm nằm bên trụcOx)
Tích phân (2) có giá trị diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=¡
f0(x)+7x3¢2
, trục hoành, đường thẳng x=0, đường thẳng x=1
Mà theo(2)thì hình phẳng có diện tích 0nên f0(x)+7x3=0,∀x∈[0; 1]
Cách 2: (tiếp nối từ (1))
Dưới bất đẳng thức Bunyakovski tích phân: Nếu hai hàm số f(x), g(x)liên tục đoạn[a;b]thì ta ln có
µZ b a
f(x).g(x) dx
ả2
6
àZ b a
Ê
f(x)Ô2 dx
ả
Z b
a
Ê
g(x)Ô2 dx
Du "=" xảy g(x)=k f(x),∀x∈[a;b]
Trở lại toán: từ(1), ta có
1=
µZ
0
x3f0(x) dx
¶2
6
Z
0
x6dx·
Z
0
£
f0(x)Ô2
dx=1
7Ã7=1
Nh vy du = xảy ra, tức f0(x)=kx3 Thay trở lại vào(1), ta đượck
Z
0
x6dx= −1⇒ k
7= −1⇒k= −7
Vậy f0(x)= −7x3⇒f(x)= −7
4x
4
+Cdof⇒(1)=0f(x)= −7
4x
4 +7
4
Do
Z
0
f(x) dx=7
(15)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
MỘT SỐ CÂU HỎI ĐIỀN KHUYẾT
Câu 1. Nguyên hàm hàm số f(x)=x2 Câu 2. Tìm
Z
sin 3xdx
Câu 3. Họ nguyên hàm hàm số y=102x Câu 4. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=2x+1là Câu 5. Tính nguyên hàm
Z
cos 3xdx Câu 6. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=4x3+3x2 Câu 7. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=sinx+1là Câu 8. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=3x Câu 9. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=
x+1
Câu 10. TínhF(x)=
Z
π2dx . Câu 11. Họ tất nguyên hàm hàm số f(x)=sin(2x+1)là Câu 12. Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x)=e2019x Câu 13. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=e−x+2xlà Câu 14. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=sinx+1là Câu 15. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=7x6+1
x+
1
x2−2là Câu 16. Tìm nguyên hàm F(x)của hàm số f(x)=
cos22x Câu 17. Một nguyên hàm hàm số f(x)=p1−2x Câu 18. Tìm nguyên hàm hàm số y=102x Câu 19.
Z dx
2−3x Câu 20. Tìm nguyên hàm hàm số y=1212x Câu 21. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=4x3+3x2 Câu 22. Tìm nguyên hàm
Z p
2x+1 dx Câu 23. Tìm nguyên hàm F(x)của hàm số f(x)=x−1
x2
Câu 24. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=4x3− x2+2
x là
Câu 25. Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x)=2x−sinx Câu 26. Tìm nguyên hàm hàm số f(x)=e3x+1 Câu 27. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=e−2018x là Câu 28. Tìm họ nguyên hàm F(x)của hàm số f(x)=x3+x+1 Câu 29. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=4x3+2018là
Câu 30. Họ nguyên hàm hàm số f(x)= x4−
4x3
(16)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
LUYỆN TẬP VỀ NGUYÊN HÀM Bài 1. Tìm họ nguyên hàm sau đây:
Z
(2x−1)(x2+1) dx a)
Z
t2(t3−1)2dt b)
Z µ
x−1
ả àx2 +
1
x3
ả dx c)
Z
(2 cosx+sin 3x) dx d)
Z
cos 3x cosxdx e)
Z
sin 4x sinxdx f)
Z
(e2x−2x) dx g)
Z
(ex−2)2dx h)
Z ³p
ex−2x.3x´dx. i)
Z µ
x+
1 3x−1
ả dx j)
Z
2x1+ x+1
ả dx k)
Z 13x+
1
x2
¶ dx l)
Bài 2. Tìm họ nguyên hàm sau đây:
Z 3x+1
x−2 dx
a)
Z 2x2−x+2
x+1 dx
b)
Z 4x3−5x+1 2x−1 dx
c)
Z 9x+13
(2x−1)(3x+2)dx
d)
Z 7x−1
(x−1)(2x+1)dx
e)
Z x
2x2+5x−3dx f)
Bài 3. Tìm họ nguyên hàm sau phương pháp đổi biến số:
Z 2 sinx
1+3 cosxdx (HD: đặt t=1+3 cosx) a)
Z epx
p
x dx (HD: đặt t= p
x) b)
Z
(2x3−1)7.x2dx(HD: đặt t=2x3−1) c)
Z
3
p
x2+1.xdx(HD: đặt t=p3 x2+1). d)
Z 3 ln2x
−1
x dx (HD: đặt t=lnx) e)
Z 1
x(2x4+1)dx(HD: đặt t=x 4). f)
Bài 4. Tìm họ nguyên hàm sau phương pháp nguyên hàm phần:
Z
(2x+1)exdx a)
Z
xcos 2xdx b)
Z
(x+1) sinxdx c)
Z
xlnxdx d)
Bài 5. Biết
Z
f(x) dx=2xln(3x−1)+C Tìm họ nguyên hàm
Z
f(3x) dx
Bài 6. Tìm nguyên hàm F(x)của hàm số f(x)=3 sinx−1biết rằngF(π)=1 Bài 7. Tìm nguyên hàm F(x)của hàm số f(x)= x
3+3x2+3x−2
2 , biết rằngF(1)= 113
2
Bài 8. Biết F(x)là nguyên hàm hàm số f(x)=cos2x vàF(π)=1 TínhF³π
4 ´
Bài 9. Biết F(x)là nguyên hàm hàm số f(x)=sin(1−2x)thoả mãn F
µ ¶
=1 TìmF(x)
Bài 10. Cho hàm số f(x) thoả mãn f0(x)=(x+1)ex
Z
f(x) dx=(ax+b)ex+C với a,b,C số Tínha+b
Bài 11. Cho hàm số f(x)có f0(x)=1−4 sin 2xvà f(0)=0 Tính f³π
4 ´
Bài 12. GọiF(x)là nguyên hàm hàm số f(x)=lnx
x Tính F(e)−F(1)
Bài 13. BiếtF(x)=(ax2+bx+c)ex nguyên hàm hàm sốf(x)=x2ex Tínha+2b+3c Bài 14. Với phép đặt t=p2x+1, họ nguyên hàm
Z 4x
−1
p
2x+1+2dx đổi biến trở thành Z µ
P(t)− 10 t+2
¶
(17)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
Bài 15. Tìm nguyên hàmF(x)của hàm số f(x)= 4x 3+1
x4+x+1 biết F(0)=2 Bài 16. Nguyên hàm hm s f(x)=
à 11
x
ả3
·
x2 có dạngF(x)= m x4+
n x3+
p x2+
q
x+C, đóC số thực;m,n,p,qlà hệ số hữu tỷ TínhS=m+n+p+q
Bài 17. Cho hàm số f(x)=3p2+sinx Tìm họ nguyên hàm
Z
f0(2x+1) dx
Bài 18. Cho hàm số y=f(x)liên tục khoảng(0;+∞)sao cho f(1)=e, f(x)>0,∀x∈R+và f0(x)=f(x)·p3x+1 Tính f(0)
Bài 19. ChoF(x)=x2là nguyên hàm f(x)e2x Tìm nguyên hàm g(x)=f0(x)e2x Bài 20. ChoF(x)=
2x2 nguyên hàm hàm số f(x)
x Tìm họ nguyên hàm hàm số f0(x) lnx
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 1. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=1
x+2x
A. ln|x| +x2+C B. ln|x| +2x2+C C. ln|x| +x2+C D. ln|x2| +2x+C Câu 2. Hàm số nguyên hàm hàm số f(x)=2x?
A. F(x)=x·2x−1. B. F(x)=2x+1
ln C. F(x)=2
x+1. D. F(x)=2xln 2.
Câu 3. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=3x+ x2 A. 3x+1
x+C B.
3x ln 3+
1
x+C C. x−1
x+C D.
3x ln 3−
1
x+C Câu 4. Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x)=x(x+1)
A. x(x+1)+C B. 2x+1+C C. x3+x2+C D. x
3 +
x2
2 +C
Câu 5. Hàm số nguyên hàm hàm số f(x)=e1−4x A. y=1
4e
1−4x. B. y= −4e1−4x. C. y=e1−4x. D. y= −1
4e
1−4x.
Câu 6. Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x)=(x−1)3 A. 3(x−1)+C B.
4(x−1)
4+C. C. 4(x−1)4+C. D.
4(x−1)
3+C. Câu 7. Hàm số sau đâykhông phải nguyên hàm hàm số f(x)=
2x+1?
A. F(x)=ln|2x+1| +1 B. F(x)=1
2ln|2x+1| +2
C. F(x)=1
2ln|4x+2| +3 D. F(x)= 4ln(4x
2+4x+1)+3.
Câu 8. Khẳng định khẳng định sau làsai? A.
Z
lnxdx=1
x+C, (x>0) B.
Z
cosxdx=sinx+C C.
Z 1
xdx=lnx+C, (x>0) D.
Z
exdx=ex+C Câu 9. Khẳng định sau đúng?
A.
Z
2xdx=2x·ln 2+C B.
Z
2xdx= x
ln 2+C
C.
Z
2xdx= x+1
x+1+C D.
Z
2xdx= − x
(18)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
Câu 10. Trong khẳng định sau, khẳng định làsai? A.
Z
exdx= x e+1
e+1+C B. Z
x2dx=x
3 +C C. Z
exdx= e x+1
x+1+C D. Z
x7dx= x
8 +C
Câu 11. Hàm số y=sin 2xlà nguyên hàm hàm số nào? A. y= −cos 2x
2 B. y= −2 cos 2x C. y=2 cos 2x D. y= cos 2x
2
Câu 12. Hàm sốF(x)=lnx+1
x nguyên hàm hàm số đây? A. y=lnx+1 B. y=1
2ln
2x−
x2 C. y=
1 2ln
2x−1
x D. y=
1
x−
1
x2
Câu 13. Cho biếtF(x)là nguyên hàm hàm số f(x) Khi
Z ¡
3f(x)+x¢
dxbằng
A. 3F(x)+x
2 +C B. 3xF(x)+
x2
2 +C C. 3F(x)+
x2
2 +C D.
3F(3x)+
x2
2 +C
Câu 14. Hàm số sau đâykhông phải nguyên hàm hàm số y=x3? A. y=x
4
4 +3 B. y=
x4
4 +1 C. y=
x4
4 +2 D. y=3x
2.
Câu 15. Hàm sốF(x)=ex2 nguyên hàm hàm số đây? A. f(x)=x2ex2−1 B. f(x)=e
x2
2x C. f(x)=2xe
x2. D. f(x)=e2x.
Câu 16. Hàm số sau đâykhông phải nguyên hàm hàm số f(x)=(x−2)5? A. F(x)=(x−2)
6
6 +2x B. F(x)=
(x−2)6 +2
C. F(x)=(x−2)
6 +2017 D. F(x)=
(x−2)6
6 −2018
Câu 17. Hàm số nguyên hàm hàm số f(x)=px−1trên(0;+∞)?
A. F(x)=2
3
3
p
x2−x+1. B. F(x)=2
3
p
x3−x+2. C. F(x)=
2px D. F(x)=
1 2px−x
Câu 18. Giả sửF(x)là nguyên hàm hàm số f(x)=ex, biết F(0)=4 TìmF(x) A. F(x)=ex+2 B. F(x)=ex+3 C. F(x)=ex+4 D. F(x)=ex+1 Câu 19. ChoF(x)=cos 2x−sinx+C nguyên hàm hàm số f(x) Tính f(π)
A. f(π)= −3 B. f(π)=1 C. f(π)= −1 D. f(π)=0 Câu 20. Tìm hàm số f(x), biết f0(x)=4px−x f(4)=0
A. f(x)=8x p
x
3 −
x2
2 − 40
3 B. f(x)=
8xpx
3 +
x2
2 − 88
3
C. f(x)=p2 x−
x2
2 +1 D. f(x)=
2
p x−1 Câu 21. Tìm nguyên hàm hàm số f(x)=3
x
e3 A.
x
e3ln3 e
+C B.
x
−2 ln 3·e2+C C.
3xln
e3 +C D.
3x
e3ln 3+C Câu 22. Tìm họ nguyên hàm hàm số f(x)=cos(2x+3)
A.
Z
f(x) dx= −sin(2x+3)+C B.
Z
f(x) dx= −1
2sin(2x+3)+C
C.
Z
f(x) dx=sin(2x+3)+C D.
Z
f(x) dx=1
(19)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
Câu 23. BiếtF(x)là nguyên hàm hàm số f(x)=sin3x·cosxvàF(0)=π TìmF³π
2 ´
A. F³π
2 ´
= −π B. F³π
2 ´
= −1
4+π C. F ³π
2 ´
=1
4+π D. F
³π ´
=π Câu 24. Biết
Z
f(2x) dx=sin2x+lnx+C, tìm nguyên hàm
Z
f(x) dx A.
Z
f(x) dx=sin2x
2+lnx+C B.
Z
f(x) dx=2 sin2x
2+2 lnx+C
C.
Z
f(x) dx=2 sin2x+2 lnx−ln 2+C D.
Z
f(x) dx=2 sin22x+2 lnx−ln 2+C
Câu 25. Mệnh đề bốn mệnh đề sausai? A.
Z 1
xdx=lnx+C B.
Z
0 dx=C C.
Z
exdx=ex+C D.
Z
cosxdx=sinx+C
Câu 26. ChoF(x)là nguyên hàm f(x)=1+2x+3x2thỏa F(1)=2 TínhF(0)+F(−1)
A. −3 B. −4 C. D.
Câu 27. Tìm họ nguyên F(x)của hàm số y=f(x)=sin 2x+2x A. F(x)=cos 2x
2 +x
2+C. B. F(x)= −cos 2x
2 +x
2+C. C. F(x)=cos 2x+2+C D. F(x)= −cos 2x+x2+C
Câu 28. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=e2x− x2 A.
2e
2x−1
x+C B.
1 2e
2x+1
x+C C. e 2x+1
x+C D. e 2x−1
x+C Câu 29. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=4x+sin2xlà
A. x
ln 4−
4sin 2x+C B.
xlnx+sin 3x
3 +C
C. 4xlnx−sin 3x
3 +C D.
4x ln 4+
x
2−
4sin 2x+C
Câu 30. ChoF(x)là nguyên hàm hàm số f(x)trênK Chọn mệnh đềsai A.
µ
x
Z
f(x) dx
ả0
=f0(x). B.
àZ
f(x) dx
ả0
=f(x)
C.
àZ
f(x) dx
¶0
=F0(x) D.
Z
f(x) dx=F(x)+C
Câu 31. Tìm nguyên hàm hàm số f(x)=32x+1 A. (2x+1)32x+C B.
2x+1
ln +C C.
2x+1ln 3+C. D. 32x+1
ln +C
Câu 32. ChoF(x)là nguyên hàm hàm số f(x) Mệnh đề sau đúng? A.
Z
f(2x) dx=2F(2x)+C B.
Z
f(2x) dx=1
2F(2x)+C
C.
Z
f(2x) dx=1
2F(x)+C D.
Z
f(2x) dx=F(x)+C
Câu 33. Tìm họ nguyên hàm F(x)của hàm số f(x)=(x+1)
x3 , (x6=0) A. F(x)=x−3 ln|x| −3
x+
1
2x2+C B. F(x)=x−3 ln|x| +
3
x+
1 2x2+C C. F(x)=x+3 ln|x| −3
x−
1
2x2+C D. F(x)=x−3 ln|x| +
3
x−
(20)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
Câu 34. Cho hàm số f(x) xác định R\ {kπ,k∈Z} thỏa mãn f0(x)=cotx, f³π
4 ´
=2 v f
à
5
3 ả
=1 Giá trị biểu thức f³π
6 ´
f
à
7
4 ả
bằng
A. 1+ln
p
3
2 B. 3+ln
1 2−ln
p
3
2 C. 1−ln
p
3
2 D. ln
1 2−ln
p
2
Câu 35. Cho hàm số f(x)xác định trênR\ {−2; 1}thỏa mãn f0(x)=
x2+x−2, f(−3)−f(3)=0 f(0)=1
3 Giá trị biểu thức f(−4)+f(−1)−f(4)bằng
A.
3ln 2+
3 B. ln 80+1 C.
1 3ln
4
5+ln 2+1 D. 3ln
8 5+1
Câu 36. Cho hàm số f(x) xác định đoạn [−1; 2] thỏa mãn f2(x)·f0(x)=3x2+2x−2 f(0)=1 Số nghiệm phương trình f(x)=1trên đoạn[−1; 2]là
A. B. C. D.
Câu 37. Biết F(x)là nguyên hàm f(x)=1−sin 3x
sin2x F
³π ´
= p
2
2 Có số
thực x∈(0; 2018π)đểF(x)=1
A. 2018 B. 1009 C. 2017 D. 2016 Câu 38. Biết
Z
(sin 2x−cos 2x)2dx =x+a
bcos 4x+C, với a, b số nguyên dương, a b phân số tối giản C∈R Giá trị a+bbằng
A. B. C. D.
Câu 39. Cho hàm số y=f(x)có đạo hàm liên tục [1; 2]thỏa mãn f(x)=x f0(x)−2x3−3x2 f(1)=4 Tính f(2)
A. B. 20 C. 10 D. 15
Câu 40. Biết
Z 2x+2 (2x+1)2dx=
1
mx+n+pln|2x+1| +C vớim,n,p∈Q Tổng m+n+pbằng A. −11
2 B.
11
2 C.
13
2 D. −
13
Câu 41. Cho hai hàm số F(x)=(x2+ax+b)e−x f(x)=(−x2+3x+6)e−x Tìm avà b để F(x)
là nguyên hàm hàm số f(x)
A. a=1, b= −7 B. a=1, b=7 C. a= −1,b=7 D. a= −1,b= −7 Câu 42. Họ nguyên hàm hàm số f(x)=p x
x2+1
A. F(x)=2px2+1+C. B. F(x)=px2+1+C. C. F(x)=lnpx2+1+C. D. F(x)=1
2
p
x2+1+C. Câu 43. Cho nguyên hàm
Z dx
p
x+2018+px+2017=m(x+2018)
p
x+2018+n(x+2017)px+2017+C Khi đó4m−nbằng
A.
3 B.
8
3 C.
2
3 D.
10
Câu 44. Cho hàm số f(x) liên tục R thỏa mãn
Z f¡px+1¢
p
x+1 dx = 2¡p
x+1+3¢
x+5 +C
Nguyên hàm hàm số f(2x)trên tậpR+là A. x+3
2¡
x2+4¢+C B.
x+3
x2+4+C C.
2x+3 4¡
x2+1¢+C D.
2x+3 8¡
(21)DƯƠN G PHƯỚC SAN G -THPT CHU V ĂN AN
LUYỆN TẬP VỀ TÍCH PHÂN Bài 1. Tính tích phân sau đây:
Z
0
(2x−x2+1) dx a)
Z
−1
t2(t3−1) dt b)
Z π
0
(2 cosx+sin 3x) dx c)
Z π
2
−πcos
x cosxdx d)
Z
π sin
x sinxdx e)
Z
0
(e2x−3x) dx f)
Z
0
(ex−2)2dx g) Z x+ 2x1
ả dx h)
Z
1
µ 1−3x+
1
x2
¶ dx i)
Bài 2. Tính tích phân sau đây:
Z
−2
3x−1
x−2 dx
a)
Z
0
7x+12 2x2+5x+3dx b)
Z
1
x3−x−4
x2+4x dx c)
Bài 3. Tính tích phân sau phương pháp đổi biến số:
Z
−1
2x2
2+x3dx a)
Z π
4
etanx cos2xdx b)
Z −1
−3
(x+2)2019xdx c)
Z
1 p
x2+3 x dx d)
Z e
2
3 lnx−1
xlnx dx e)
Z
1
x3−1
x4+xdx f)
Bài 4. Tính tích phân sau phương pháp tích phân phần:
Z
0
(2x−1) exdx a)
Z π
3
0
xsin 2xdx b)
Z π
π (
x−1) cosxdx c)
Z
−1
xln(9−x2) dx d)
Bài 5. Biết F(x)là nguyên hàm hàm số f(x)=sin2x vàF(0)=π TínhF³π
4 ´
Bài 6. Cho hàm số f(x)có đạo hàm liên tục trên[1; 2]và f(1)=3, f(2)= −1 Tính
Z
−1
f0(x) dx
Bài 7. Biết
Z b
a
f(x) dx=10và
Z b
a
g(x) dx=5 Tính tích phân I=
Z b
a
[3f(x)−5g(x)] dx
Bài 8. Cho
Z
0
f(x) dx=9
Z
0
f(x) dx=3 Tính tích phân
Z
1
f(x) dxvà
Z
0
f(3x) dx
Bài 9. Cho hàm số f(x)liên tục đoạn[1; 6]và
Z
1
f(x) dx=3,
Z
1
f(x) dx=5 Tính
Z
1
·
2f(x)−1 x ¸ dx a) Z
f(3x) dx b)
Z
1
f(2x) dx c)
Bài 10. Biết
Z
1
dx p
x+1−px =a p
3+bp2+c vớia, b, c số hữu tỷ TínhP=a+b+c
Bài 11. Biết tích phân
Z
0
x p
3x+1+p2x+1dx=
a+bp3
9 vớia,b∈Z Tính tổng T=a+b
Bài 12. Biết
Z e
1
(x+1) lnx+2
1+xlnx dx=ae+bln
à e+1
e ả
trong ú a,b∈Z Tính tỉ số a b Bài 13. Cho hàm số f(x)có đạo hàm liên tục đoạn[0; 1]thỏa mãn
Z
0
(2x−2)f0(x) dx=6
và f(0)=6 Tính tích phân
Z
0
f(x) dx
Bài 14. Cho
Z
3
1
x2−3x+2dx=aln 2+bln 3với a,b∈Z Tính a+3b
Bài 15. Dịng điện xoay chiều hìnhsinchạy qua mạch điện dao độngLClí tưởng có phương trình i=I0sin³ωt+π
2 ´
Tính từ lúc t=0, điện lượng chạy qua tiết diện thẳng dây dẫn mạch thời gian π
(22)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 45. Tích phân
Z
0
e−xdx A. e−1 B.
e−1 C.
1
e D.
e−1 e
Câu 46. Tích phân
Z
0
dxcó giá trị
A. −1 B. C. D.
Câu 47. Giá trị tích phân
Z
0 x+4
x+3dxbằng
A. ln5
3 B. 1+ln
4
3 C. ln
3
5 D. 1−ln
3
Câu 48. Tích phân
Z ln
0
e2xdx
A. B.
2 C. D.
1 2(e
2 −1)
Câu 49. Tính tích phân
Z
0
8xdx A. I=8 B. I=
3 ln C. I=
7
3 ln D. I=7
Câu 50. Tích phân
Z 2018
0
2xdx
A. 22018−1 B.
2018−1
ln C.
22018
ln D.
2018.
Câu 51. Tính I=
Z 2018
0
exdx
A. I=e2018−1 B. I=e2019−1 C. I=e2019 D. I=e2018 Câu 52. Tính tích phân
Z
−1
(2x+1)2018dx A.
2019 ¡
52019+1¢
B.
2019 ¡
52019−1¢
C.
4038 ³
552019−1´ D.
4038 ¡
52019+1¢
Câu 53. Tính tích phân
Z π
2
0
xcosxdx A. I=π
2 B. I=
π 3−
1
2 C. I=
π
3 D. I=
π 2−1
Câu 54. Tính tích phân I=
Z 2017π
6π sinxdx
A. I=2 B. I= −1 C. I= −2 D. I=1 Câu 55. Tính tích phân I=
Z
0
x2017dx
A. I=2 2016
2016 B. I=2017.2
2016. C. I=2 2018
2018 D. I=2017.2
2018.
Câu 56. Tính tích phân I=
Z
1
1
x21dx A. I=
20
1 5201
ả
B. I=
20 µ
1−
520
¶
C. I=
22
1 5221
ả
D. I=
22 µ
1−
522
¶
Câu 57. Cho tích phân I=
Z 35
0
1
exdx Hãy chọn khẳng định
(23)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
Câu 58. Tính tích phân I=
Z
0
x3ex4dx
A. 125e 3125
4 B.
625e3125−1
4 C.
125e625
4 D.
e625−1
4
Câu 59. Biết
Z
1
dx
3x+1=aln 7+bln (a,b∈Q) Khi tổng a+b
A.
3 B. C. −
1
3 D. −1
Câu 60. Cho
Z b
a
f(x) dx= −2và
Z b
a
g(x) dx=3 TínhI=
Z b
a
[2f(x)−3g(x)] dx A. I= −13 B. I=13 C. I= −5 D. I=5 Câu 61. Cho hàm số f(x)có đạo hàm liên tục trên[1; 4], f(1)=15, f(4)=8 Tính
Z
1
f0(x) dx
A.
Z
1
f0(x) dx=7 B.
Z
1
f0(x) dx=3 C.
Z
1
f0(x) dx=23 D.
Z
1
f0(x) dx= −7
Câu 62. Cho hàm số f(x)có đạo hàm trên[0; 2]và f(0)= −1,
Z
0
f0(x) dx=5 Tính f(2) A. f(2)=2 B. f(2)=6 C. f(2)=4 D. f(2)=5 Câu 63. Biết F(x)là nguyên hàm hàm số f(x)=sin 2xvà F³π
4 ´
=1.TínhF³π
6 ´
A. F³π
6 ´
=5
4 B. F
³π ´
=0 C. F³π
6 ´
=3
4 D. F
³π ´
=1
2
Câu 64. Cho hàm số f liên tục trên[0; 3]với
Z
0
f(x) dx=2 Tính I=
Z
0
[x−2f(x)] dx A. I=1
2 B. I=
5
2 C. I=5 D. I=7
Câu 65. Cho hàm số f(x)liên tục trênRvà
Z
f(x) dx=1
3x
3 −1
2x
2
+x+C TínhI=
Z
3
f(x) dx A. I= −59
6 B. I=
59
6 C. I=
137
6 D. I= −
137
Câu 66. Cho hàm số y=f(x)liên tục trênRvà
Z
f(x) dx=1
2x
2
−x+C Tính
Z
1
f(x2) dx
A.
Z
1
f(x2) dx= −4
3 B. Z
1
f(x2) dx=4
3 C.
Z
1
f(x2) dx= −2
3 D. Z
1
f(x2) dx=2
3
Câu 67. Cho hàm số f(x)=3 sin3x−1 Tính tích phân I=
Z π
2
0
f0(x) dx
A. I=6 B. I= −2 C. I=0 D. I=3 Câu 68. Cho
Z
−1
f(x) dx=2,
Z
−1
f(t) dt=9 Giá trị
Z
2
f(z) dz
A. B. C. 11 D.
Câu 69. Cho I=
Z
−2
2x−3
x−4 dx=a+bln 6với a,b∈Z Tính a−b
A. 15 B. 17 C. D. 10
Câu 70. Nếu f(1)=12, f0(x)liên tục trên[1; 4]và
Z
1
f0(x) dx=17 Giá trị f(4)bằng
A. 19 B. C. 29 D.
Câu 71. Biết
Z π
0
(x−sin 2x) dx=a bπ
2trong đóa,blà số thực và a
b (tối giản) Tínha+b
(24)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
Câu 72. Cho
Z
0
2x+3
2−x dx=a·ln 2+b (vớia,blà số nguyên) Khi giá trị alà
A. −7 B. C. D. −5
Câu 73. Cho tích phân
Z π
2
0
(4x−1+cosx) dx=π
µπ
a−
1
b
¶
+c,(a,b,c∈Q) Tínha−b+c A.
2 B. C. −2 D.
1
Câu 74. Cho
Z
1
x3−3x2+2x
x+1 dx=a+bln 2+cln vớia,b,c∈Q Chọn khẳng định
A. b<0 B. c>0 C. a<0 D. a+b+c>0
Câu 75. Biết
Z π
2 π
sin 2xsinxdx=a+bp2, vớia,b∈Q Tính giá trị biểu thứcS=a b A. S= −4 B. S=4 C. S=5 D. S= −5 Câu 76. Cho
Z
1
µ
x+
1 2x+1
¶
dx=aln 2+bln 3, vớia,b∈Q Hãy tính tổngS=1 a+
1
b A. S=5
2 B. S=3 C. S=1 D. S=
3
Câu 77. Cho
Z π
2
0
(2x−1−sinx) dx=π
a −
π
b+c, vớia,b,c∈Z TínhS=a+b+c A. S=7 B. S=5 C. S=3 D. S=1 Câu 78. Cho
Z
−1
x−3
(x+2)(x−4)dx=aln 2+bln 5, vớia,b∈Q TínhS=
a b
A. S= −12 B. S=12 C. S=11 D. S= −11
Câu 79. Cho
Z π
4 π
tan2xdx=a+bp3+c.π, vớia,b,c∈Q Tính giá trị biểu thứcS=a+b+c A. S=1
3 B. S=
5
12 C. S=
7
12 D. S=
2
Câu 80. Biết
Z
0
à ex
ex ả
dx=e2+ a
e2+b, vớia,b∈Q Tính giá trị biểu thức ab A. ab= −2 B. ab=0 C. ab=1 D. ab= −1
Câu 81. Biết
Z π
4
0
cos2xdx=aπ+b, vớia,b∈Q Tính giá trị biểu thức S=a−b A. S=3
4 B. S=
1
4 C. S=
5
4 D. S= −
1
Câu 82. Biết tích phân
Z
1
(4x−1) lnxdx=aln 2+b vớia,b∈Z Tính2a+b
A. B. C. 10 D. 13
Câu 83. Biết
Z
0
xcos 2xdx=1
4(asin 2+bcos 2+c), với a,b,c∈Z Khẳng định đúng?
A. a+b+c=1 B. a−b+c=0 C. 2a+b+c= −1 D. a+2b+c=1 Câu 84. Dùng cơng thức tích phân phần vớiu=lnx, dv=x2dxta kết nào?
A.
Z
1
x2lnxdx= x 3lnx
3 ¯ ¯ ¯ ¯
3
1 −1
3 Z
1
x2dx B.
Z
1
x2lnxdx= x 2lnx
2 ¯ ¯ ¯ ¯
3
1 −1
3 Z
1
x2dx
C.
Z
1
x2lnxdx= x 3lnx
3 ¯ ¯ ¯ ¯
3
1 +1
3 Z
1
x2dx D.
Z
1
x2lnxdx= −x 3lnx
3 ¯ ¯ ¯ ¯
3
1 −1
3 Z
1
x2dx
Câu 85. Biết
Z
1
ln(2x+1) dx=a
2ln 5+
b
2ln 3+c, vớia,b,c∈Z TínhT=a+2b+c
(25)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
Câu 86. Trong đẳng thức sau, đẳng thức nàođúng? A.
Z b
a
xexdx=xex¯¯ ¯
b
a−
Z b
a
xdx B.
Z b
a
xexdx=xex¯¯ ¯
b
a−
Z b
a
exdx
C.
Z b
a
xexdx=xex ¯ ¯ ¯
b
a+
Z b
a
xdx D.
Z b
a
xexdx=xex ¯ ¯ ¯
b
a+
Z b
a
exdx
Câu 87. Cho
Z
0
(x+2) exdx=ae+b(a,b∈Q).TínhS=a2+b2
A. S= −1 B. S=10 C. S=5 D. S=0
Câu 88. Cho
Z
1
f(x) dx=9, tính I=
Z
0
f(3x+1) dx
A. I=9 B. I=3 C. I=1 D. I=27
Câu 89. Cho
Z ln
0
exdx
ex+3=aln 2+bln vớia,b∈Z Giá trị củaa+b
A. B. −1 C. D.
Câu 90. Tích phân
Z
0
2x(x2+1)2018dx
A. 2019
−1
2019 B.
52019−1
4038 C.
52018−1
4036 D.
Câu 91. Cho tích phân
Z
0
dx
3+p2x+1=a+b·ln
3 vớia,b∈Z Mệnh đề sau đúng?
A. a−b=3 B. a−b=5 C. a+b=5 D. a+b=3
Câu 92. Biết
Z
0 p
2x+1
1+p2x+1dx=a+bln 2, (a,b∈Q) Đẳng thức sau đúng?
A. a−b=0 B. a2−4b−1=0 C. a2−4b+1=0 D. a2−4b=0
Câu 93. Cho I=
Z
1
epx
p
xdx Thực phép đổi biến, đặt t= p
x, ta
A. I=
Z
1
etdt B. I=2 Z
1
etdt C. I=2 Z
1
etdt D. I=
Z
1
etdt
Câu 94. Tích phân
Z
2 xdx
x2+1=aln 2−bln vớia,b∈Q Giá trị của2a+b A.
2 B.
1
2 C. D.
Câu 95. Khi đặt u=px2+9tích phân I=
Z
0
xpx2+9 dxtrở thành tích phân nào?
A. I=
Z
3
u2du B. I=
Z
3 p
udu C. I=
Z
0
u2du D. I=
Z
3 udu
Câu 96. Biết I=
Z
3
2x−1
x2−xdx=aln 3+bln 2, vớia,b∈Z Giá trị biểu thức A=a
2+b2là A. A=1 B. A=5 C. A=10 D. A=2
Câu 97. Nếu
Z
0
xp1+x2dx= a p
2+b
3 , vớia,b∈Q tổngS=
a2 b +ab
2bằng ?
A. S= −2 B. S=0 C. S=7
2 D. S=
50
Câu 98. Cho
Z
0
1
1+pxdx=a+bln 2vớia,b∈Q Tính giá trị biểu thức S=
6a b −
b2 a A. S=1
2 B. S= −8 C. S= −1 D. S=
(26)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
Câu 99. Nếu
Z e
1 p
2+lnx
2x dx=a p
3+bp2, với a,b∈Q Tính giá trị biểu thức S=ab A. S=1
4 B. S= −
2
3 C. S= −
3
4 D. S=
7
Câu 100. Có giá trị thực ađể có
Z a
0
(2x+5) dx=a−4
A. B. C. D. Vô số
Câu 101. Giá trị b để
Z b
1
(2x−6) dx=0?
A. b=0hoặc b=3 B. b=0 hoặcb=1 C. b=5hoặcb=0 D. b=1hoặcb=5 Câu 102. Tính tích phân I=
Z
0
x2018(1+x) dx A. I=
2018+
2019 B. I= 2020+
1
2021 C. I= 2019+
1
2020 D. I= 2017+
1 2018
Câu 103. Cho f(x), g(x)là hai hàm liên tục trên[1; 3] thỏa mãn
Z
1
[f(x)+3g(x)] dx=10và
Z
1
[2f(x)−g(x)] dx=6 Tính
Z
1
[f(x)+g(x)] dx
A. B. C. D.
Câu 104. Tất giá trị tham số mđể
Z m
0
(2x−1) dx<6là
A. m∈(0; 4) B. m∈(−2; 3) C. m∈(−3; 2) D. m∈(3; 5) Câu 105. Cho
Z
1
[3f(x)+2g(x)] dx=1
Z
1
[2f(x)−g(x)] dx= −3 Khi
Z
1
f(x) dxbằng A. 11
7 B. −
5
7 C.
6
7 D.
16
Câu 106. Cho I=
Z
0
(2x−m2) dx Có giá trị nguyên dương củamđể I+3>0
A. B. C. D.
Câu 107. Cho hàm số y=f(x)=
(
3x2 khi06x61
4−x khi16x62 Tính tích phân Z
0
f(x) dx
A.
2 B. C.
5
2 D.
3
Câu 108. Biết
Z
0
dx p
x+1+px=
2
¡p
a−b¢
vớia,blà số ngun dương Tính T=a+b A. T=7 B. T=10 C. T=6 D. T=8
Câu 109. Tính tích phân I=
Z
1
(x+2)2017
x2019 dx A.
2018−22018
2018 B.
32021−22021
4040 C.
32018−22018
4036 D.
32017 4034−
22018 2017
Câu 110. Cho hàm số y= f(x) liên tục R thỏa mãn
Z e
1
f(lnx)
x dx=e Mệnh đề sau mệnh đề đúng?
A.
Z
0
f(t) dt=1 B.
Z e
1
f(x) dx=1 C.
Z e
1
f(t) dt=e D.
Z
0
f(x) dx=e
Câu 111. Cho hàm số f(x)liên tục trênRthỏa mãn
Z
1
f(px)
p
x dx=4và
Z π
2
0
f(sinx) cosxdx=2
Tính tích phân I=
Z
0
f(x) dx
(27)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
Câu 112. Một học sinh làm tích phânI=
Z
0
dx
1+x2 theo bước sau
Bước 1: Đặt x=tantvới−π
2 <t< π
2 suy dx=(1+tan
2t) dt.
Bước 2: Đổi cận x=1⇒t=π
4;x=0⇒t=0
Bước 3: I=
Z π
4
1+tan2t
1+tan2tdt=
Z π
4
dt=t
¯ ¯ ¯
π =0−
π = −
π
Các bước làm trên, bước nàosai?
A. Bước B. Bước C. Bước D. Khơng bước Câu 113. Cho tích phân I=
Z
0
dx p
4−x2 Nếu đổi biến số x=2 sint,t∈
³
−π
2; π ´
thì
A. I=
Z π
6
0
dt B. I=
Z π
6
0
tdt C. I=
Z π
6
0
dt
t D. I=
Z π
3
0
dt
Câu 114. Biết rằngI=
Z
3
x2−x+2
x+px−2dx=
a−4pb
c , vớia,b,c∈Z
+ Tínha+b+c.
A. 39 B. 27 C. 33 D. 41
Câu 115. Cho tích phân
Z
0
f(x) dx=1 Tính tích phân I=
Z e
1 f¡
lnx3¢ 2x dx A.
2 B. C.
1
6 D.
Câu 116. Đổi biếnx=2 sintthì tích phân
Z
0
dx p
4−x2 trở thành A.
Z π
6
0
tdt B.
Z π
3
0
tdt C.
Z π
6
0
dt D.
Z π
6
0
dt t
Câu 117. Cho
Z
0
2x2+3x+1
2x+3 dx=aln 5+bln 3+c TínhT=a+b+2c
A. T=3 B. T=0 C. T=1 D. T=2
Câu 118. Biết F(x) nguyên hàm hàm số f(x)=sin3x·cosx F(0) =π Tìm F³π
2 ´
A. F³π
2 ´
= −1
4+π B. F ³π
2 ´
=1
4+π C. F
³π ´
= −π D. F³π
2 ´
=π Câu 119. Cho
Z
1
lnx x2 dx=
b
c +aln 2, với a số hữu tỷ b, c số nguyên dương cho phân số b
c tối giản Tính giá trị biểu thức T=2a+3b+c
A. T=4 B. T= −6 C. T=5 D. T=6 Câu 120. Biết
Z
0
xln(x2+16) dx=aln 5+bln 2+c
2 vớia,b,c∈Z Tính T=a+b+c
A. T=2 B. T= −16 C. T= −2 D. T=16
Câu 121. Choa>b> −1.Tích phân I=
Z b
a
ln(x+1) dxbằng biểu thức sau đây?
A. I=(x+1) ln(x+1) ¯ ¯ ¯ ¯
b
a
−a+b B. I=(x+1) ln(x+1) ¯ ¯ ¯ ¯
b
a
−b+a C. I=
x+1 ¯ ¯ ¯ ¯
b
a
D. I=xln(x+1)
¯ ¯ ¯ ¯
b
a +
Z b
(28)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
Câu 122. Mệnh đề sau đúng? A.
Z e
1
xln2xdx=x2ln2x
¯ ¯ ¯
e
1−2
Z e
1
xlnxdx B.
Z e
1
xln2xdx=1
2x
2
ln2x
¯ ¯ ¯
e
1−2
Z e
1
xlnxdx C.
Z e
1
xln2xdx=1
2x
2
ln2x
¯ ¯ ¯
e
1+2
Z e
1
xlnxdx D.
Z e
1
xln2xdx=1
2x
2
ln2x
¯ ¯ ¯
e
1−
Z e
1
xlnxdx
Câu 123. Cho hàm số f(x)thỏa mãn f(x)+x·f0(x)=3x2+2x,∀x∈R Tính f(1)
A. B. C. D.
Câu 124. Cho hàm số f(x)liên tục trênRvà f(2)=16, Z
0
f(2x) dx=2 Tính
Z
0
x·f0(x) dx
A. 16 B. 28 C. 36 D. 30
Câu 125. Biết I=
Z
1
(3x2+lnx) dx=a+bln vớia, b số nguyên TínhS=a+b A. S=4 B. S=6 C. S=2 D. S=8 Câu 126. Cho
Z
0
xln(x+1)2017dx=a bln 3,
³a
b phân số tối giản b>0
´
TínhS=a−b
A. 6049 B. 6053 C. D.
Câu 127. Cho I=
Z
0
xe2x dx=ae2+b(a, blà số hữu tỷ) Khi tổng a+blà
A. B.
4 C. D.
1
Câu 128. Cho tích phân I=
Z
0
x
1+px+1dx Viết dạng I đặt t=
p x+1
A.
Z
1
(2t2+2t) dt B.
Z
1
(2t2−2t) dt C.
Z
1
(t2−2t) dt D.
Z
1
(2t2−t) dt
Câu 129. Cho biết
Z
p
0
x f(x2) dx=4,
Z
2
f(z) dz=2,
Z 16
9
f¡p
t¢
p
t dt=2 Tính
Z
0
f(x) dx
A. 10 B. 11 C. D.
Câu 130. Một xe chuyển động với vận tốc20m/s hãm phanh, chạy chậm dần với vận tốc v(t)=20−2tm/s đến dừng hẳn Quãng đường xe từ lúc bắt đầu hãm phanh đến dừng
A. 98m B. 94m C. 100m D. 96m
Câu 131. Cho hàm số f(x)=
(
2x2+x vớix>0
xsinx vớix60 Tính Z
−π
f(x) dx
A. I=7
6+π B. I=
2
3+π C. I=3π−
3 D. I=
2 5+2π
Câu 132. Biết
Z
0
3x2+1
3x+1 dx=a+bln 2, vớia,b∈Q Tính giá trị biểu thứcS=
b a A. S=13
3 B. S=4 C. S=
16
3 D. S= −
14
Câu 133. Cho
Z
2
0
xe3xdx=aem+b(trong đóa,b,m∈Q) Tính P=mb a
A. P=3 B. P=2 C. P= −2 D. P=3
2
Câu 134. Biết I=
Z
2
ln(x2−x) dx=aln 3+bln 2−
Z
2
à
c+ x1
ả
dx, với a,b,c∈Q Tính giá trị biểu thức A=a+b+c
(29)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
Câu 135. Biết
Z
0
2
p
4x+1+1dx=a+bln 3, vớia,b∈Q Tính giá trị biểu thức3a+2b
A. 3a+2b=4 B. 3a+2b=10 C. 3a+2b=14 D. 3a+2b=9
Câu 136. Nếu
Z π
4
2xcosxdx = π p
2
a +b p
2+c, với a,b,c ∈Q tổng S=a+b+c bao nhiêu?
A. S=7 B. S=2 C. S= −1 D. S=3 Câu 137. Nếu
Z e
1
lnx
x2 dx=a+ b
en, vớia,b∈Qthì tổng S=a+b+nbằng bao nhiêu? A. S= −1 B. S=3 C. S=0 D. S=2
Câu 138. Nếu
Z
1
xlnxdx=aln 2+b
4, vớia,b∈Qthì tích P=abbằng bao nhiêu?
A. P= −6 B. P= −5 C. P=9 D. P= −10
Câu 139. Cho
Z
0
x−2
(x+2)(x+4)dx=aln 5+bln 3+cln 2, vớia,b,c∈Q TínhS=a+b+c
A. S=4 B. S=6 C. S= −5 D. S= −3
Câu 140. Cho hàm số y=f(x)có đạo hàm f0(x)liên tục trên[a;b] Chọn mệnh đề A.
Z b
a
f0(x) dx=f(b)−f(a) B.
Z b
a
f0(x) dx=f(b)+f(a)
C.
Z b
a
f0(x) dx=f(a)−f(b) D.
Z b
a
f0(x) dx= −f(b)−f(a)
Câu 141. Biết F(x) nguyên hàm hàm số y = e x
x khoảng (0;+∞) Tính
Z
1
e3x
x dx A.
Z
1
e3x
x dx=
F(6)−F(3)
3 B.
Z
1
e3x
x dx=F(6)−F(3) C.
Z
1
e3x
x dx=3[F(6)−F(3)] D.
Z
1
e3x
x dx=3[F(3)−F(1)]
Câu 142. Cho hàm sốy=f(x)có đạo hàm liên tục đoạn[1; 3]và f(1)= −3,f(3)=2 Tính tích phân I=
Z
1
f2(x).f0(x) dx
A. I=35
3 B. I= −5 C. I=10 D. I=
11
Câu 143. Cho hàm số f(x)=cos 2x+cos2x Tính tích phân I=
Z π
2
f(x).f0(x) dx
A. I= −3
2 B. I= −3 C. I= −2 D. I= −
1
Câu 144. Hàm số bên thoả mãn đẳng thức
Z π
4
0
(1−tanx)4 cos2x dx=
Z
0
f(t) dt? A. f(t)=t2 B. f(t)=t4 C. f(t)=(1−t)2 D. f(t)=(t−1)3
Câu 145. Chọn cơng thức dùng để tính tích phânI=
Z π
4
0
(x+1) sin 2xdx
A. I=
µ
(x+1) cos 2x
2 ¶
¯ ¯ ¯
π −
Z π
4
0
1
2cos 2xdx B. I= µ
−(x+1) cos 2x
2 ¶
¯ ¯ ¯
π +
Z π
4
0
1
2cos 2xdx
C. I=
µ
(x+1) cos 2x
2
¶¯ ¯ ¯
π +
Z π
4
0
1
2cos 2xdx D. I= µ
−(x+1) cos 2x
2
¶¯ ¯ ¯
π −
Z π
4
0
1
(30)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
Câu 146. Áp dụng phép đổi biến t=x2+2x+5 cho tích phânI=
Z
0
x+1
x2+2x+5dx ta A. I=
Z
5
1
tdt B. I=
Z
0
tdt C. I=1
2 Z
5
1
tdt D. I=
1
Z
0 tdt
Câu 147. Với phép đổi biến t=p1−x2 tích phân
Z
0
x3p1−x2dx được biến đổi thành tích phân ?
A.
Z
0
(t2−t4) dt B.
Z
0
(t4−t2) dt C.
Z
0
(t3−t) dt D.
Z
0
(t−t3) dt
Câu 148. Với phép đặt t=sin2x tích phân
Z π
2
0
sinxcos3x.esin2xdx biến đổi thành tích phân ?
A.
2 Z
0
(1−t) etdt B. Z
0
(1−t) etdt C.
2 Z
0
(1+t) etdt D. Z
0
(1−t) etdt
Câu 149. Với phép đổi biến t=p3 4+x2, tích phân
Z
0 x3
3
p
4+x2dx biến đổi thành tích phân ?
A.
2 Z
3
p
(t3−4) dt B.
2 Z
3
p
(t4−4t) dt C.
3 Z
3
p
(t4−4t) dt D.
3 Z
3
p
(t3−4) dt
Câu 150. Với phép đổi biến t=2+lnx, tích phân
Z e
1 p
2+lnx
2x dx biến đổi thành tích phân ?
A.
Z p3
p
p
tdt B.
Z p3
p
p t
2 dt C.
Z
2 p
tdt D.
Z
2 p
t
2 dt
Câu 151. Biết
Z
1
3+lnx
(x+1)2dx=a+bln 3+cln vớia,b,c∈Q Khi đóa
2+b2+c2 bằng A. a2+b2+c2=3
2 B. a
2+b2+c2=17
9 C. a
2+b2+c2=17
8 D. a
2+b2+c2=9
8
Câu 152. Biết
Z
1
4dx
(x+4)px+xpx+4=
p
a+pb−pc−d với a,b,c,d số nguyên dương Tính P=a+b+c+d
A. 48 B. 46 C. 54 D. 52
Câu 153. Cho hàm số f(x)xác định trênR\{−1; 1}thỏa mãn f0(x)=
x2−1 Biết f(3)+f(−3)=
4 f
µ ả
+f
à
1
3 ¶
=2.Tínhm=f(−5)+f(0)+f(2)
A. m=5+1
2ln B. m=6−
2ln C. m=5−
2ln D. m=6+ 2ln
Câu 154.
Cho hàm số y=f(x)có đạo hàm liên tục trênR Đồ thị hàm số y= f(x) hình vẽ bên Khi giá trị biểu thứcS=
Z
0
f0(x−2) dx+
Z
0
f0(x+2) dx
A. S= −2 B. S=10 C. S=2 D. S=6
2
2
O x
y
−2
(31)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
Câu 155. Để đảm bảo an toàn lưu thông đường, xe ô tô dừng đèn đỏ phải cách tối thiểu1m Một ô tô Ađang chạy với vận tốc12m/s gặp ô tôBđang dừng đèn đỏ nên ô tô A hãm phanh chuyển động chậm dần với vận tốc biểu thị cơng thứcvA(t)=12−4t (đơn vị tính m/s), thời gian t tính giây Hỏi để tơ A vàB đạt khoảng cách an tồn dừng lại tơ Aphải hãm phanh cách tơB khoảng mét?
A. 37 B. 17 C. 19 D. 18
Câu 156. Tìma+b+c biết
Z e2
e
dx
xlnxln(ex)=aln 2+bln 3+c đóa,b,c∈Q
A. a+b+c=3 B. a+b+c= −1 C. a+b+c=1 D. a+b+c=0
Câu 157. Cho hàm số f(x)liên tục trênRvà
Z π
4
0
f(tanx) dx=4và
Z
0
x2f(x)
x2+1 dx=2 Tính tích phân I=
Z
0
f(x) dx
A. B. C. D.
Câu 158. Biết
Z
0
(x2+5x+6) ex
x+2+e−x dx=a.e−b−ln
a.e+c
3 vớia,b,clà số nguyên vàelà số
của logarit tự nhiên TínhS=2a+b+c
A. S=10 B. S=0 C. S=0 D. S=9 Câu 159. Biết
Z
1
x
3x+p9x2−1dx=a+b p
2+cp35với a,b,c∈Q Tính P=a+2b+c−7 A. −1
9 B.
86
27 C. −2 D.
67 27
Câu 160. Tính tích phân
Z
−1
¡
x3−3x2+2¢2017 dx
A. B. 2,1·10−15 C. 690952,8 D. 272
35
Câu 161. Biết
Z 11
−1
f(x) dx=18.Tính I=
Z
0 x¡
2+f(3x2−1)¢ dx
A. I=5 B. I=7 C. I=8 D. I=10
Câu 162. Biết
Z π
6
−π6
xcosx p
1+x2+xdx=a+
π2 b +
p
3π
c vớia,b,c∈Z Tính M=a−b+c A. M=35 B. M=41 C. M= −37 D. M= −35 Câu 163. Biết
Z
1
x3dx p
x2+1−1=a p
5+bp2+c vớia,b,c∈Q Giá trị P=a+b+c A. −5
2 B.
7
2 C.
5
2 D.
Câu 164. Cho hàm sốf(x)liên tục trênRsao chof(x)>0,∀x∈[0; 2018]và f(x)·f(2018−x)=1, ∀x∈[0; 2018] Giá trị tích phân I=
Z 2018
0
1
1+f(x)dx
A. 2018 B. 4016 C. D. 1009
Câu 165. Cho
Z
p
1
dx
1+x+p1+x2 =a p
3+bp2+c+ln q
3p2−3vớia,b,c∈Q Tínha+b+c A. a+b+c=1
2 B. a+b+c= −1 C. a+b+c= −
2 D. a+b+c=
Câu 166. Cho hàm số f(x)liên tục trênR f(2)=16, Z
0
f(x) dx=4 Tính I=
Z
0
x f0(2x) dx
(32)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
Câu 167. Cho tích phân I=
Z 12
1 12
à
1+x1 x
ả
ex+1xdx=a b·e
c
d trong đóa,b,c,d số nguyên
dương a b,
c
d phân số tối giản Tính bc−ad
A. 24 B.
6 C. 12 D.
Câu 168. Cho hàm số f liên tục Q thỏa mãn f0x)px2+1=2xpf(x)+1 f(x)> −1, f(0)=0 Tính f¡p
3¢
A. B. C. D.
Câu 169. Cho hàm số y=f(x)có đạo hàm f0(x)liên tục đoạn[0; 1]và thỏa mãn f(1)=0;
Z
0
[f0(x)]2dx=
Z
0
(x+1) exf(x) dx=e 2−1
4 Tính Z
0
f(x) dx
A. e
2 B.
e−1
2 C.
e2
4 D. 2−e
Câu 170. Cho hàm số f(x)liên tục trên[−1; 1]và f(−x)+2018f(x)=ex,∀x∈[−1; 1] Tính tích phân
Z
−1
f(x) dx
A. e 2−1
2018e B.
e2−1
e C.
e2−1
2019e D.
Câu 171. Cho hàm số f(x)có đạo hàm liên tục đoạn[1; 2], thỏa mãnf(2)=0và tích phân:
Z
1
[f0(x)]2dx=
12+ln 3,
Z
1
f(x)
(x+1)2dx= −
5 12+ln
3
2 Tính tích phân Z
1
f(x) dx A.
4+2 ln
3 B. ln
3
2 C.
3 4−2 ln
3
2 D.
3 4+2 ln
3
Câu 172. Cho hàm số y=f(x)liên tục trênRvà
Z x2
0
f(t) dt=ex2+x4−1,∀x∈R Tính f(4) A. f(4)=e4+4 B. f(4)=4e4 C. f(4)=1 D. e4+8
Câu 173. Cho hàm số f(x)có đạo hàm liên tục trên(0;+∞), thoả mãn f0(x)+(2x+4)f2(x)=0, f(x)>0∀x>0và f(2)=
15 TínhS=f(1)+f(2)+f(3)
A. S=
15 B. S=
11
15 C. S=
11
30 D. S=
7 30
Câu 174. Cho hàm số y= f(x) liên tục R\ {0} thỏa mãn 2·f(3x)+3·f
µ
x
¶
= −15x
2 , Z
3
f(x) dx=k TínhI=
Z
2
f
µ
x
¶ dx
A. I= −45+k
9 B. I=
45−k
9 C. I=
45+k
9 D. I=
45−2k
9
Câu 175. Cho hàm số y=f(x)liên tục trên[0;+∞)và
Z x2
0
f(t) dt=xex Tính giá trị f(4)
A. f(4)=3e2 B. f(4)=3e
4 C. f(4)=
5e4
8 D. f(4)=
e2
Câu 176. Cho hàm số f(x)xác định có đạo hàm khoảng(0;+∞)đồng thời thỏa mãn điều kiện f(1)=1+e; f(x)=e1x+x f0(x)∀x∈(0;+∞) Giá trị f(2)
A. 1+2pe B. 1+pe C. 2+2pe D. 2+pe
Câu 177. Tích phân I=
Z π
4
−π4
sin2x
3x+1dx=
π
a−
1
(33)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
Câu 178. Giả sử
Z
1 p
1+x2 x4 dx=
1
a
Ã
bp2−c p
10
a3
!
(vớia,b,c∈N b
a phân số tối giản) Khi giá trịa+bcbằng
A. 43 B. 23 C. y=33 D. 13
Câu 179.
Cho hàm số f liên tục đoạn[−6; 5], có đồ thị gồm hai đoạn thẳng nửa đường trịn hình vẽ Tính tích phân
I=
Z
−6
[f(x)+2] dx
A. I=2π+35 B. I=2π+34 C. I=2π+33 D. I=2π+32
O x
y
1
−6 −2
Câu 180. Cho hàm số f(x)có đạo hàm liên tục trênRvà thỏa mãnx f0(x)−x2ex=f(x)và f(1)=e Tính tích phân I=
Z
1
f(x) dx
A. I=e2−2e B. I=e C. I=e2 D. I=3e2−2e Câu 181. Cho hàm số y= f(x) liên tục R
Z
−1
f(x)+f(−x)
2018x+1 dx=2018 Tính tích phân
Z
−1
f(x) dx=2018
A. 2017 B. 2018 C. 1009 D. Câu 182. Cho hàm số f(x)có đạo hàm cấp hai liên tục đoạn[1; 4], f(1)=1
3, f
0(1)=2
5
thỏa mãn2f0(x)+x f00(x)=px,∀x∈[1; 4] Tính I=
Z
1
f(x) dx A. I=139
75 B. I=
213
25 C. I=
263
75 D. I=
119 25
Câu 183. Cho hàm số y=f(x)liên tục, có đạo hàm đoạn[0; 1]và thỏa mãn đẳng thức sau f(x)+2x f¡
x2¢
+3x2f¡
x3¢
=p1−x2,∀x∈[0; 1] Tính
Z
0
f(x) dx A. π
4 B.
π
24 C.
π
36 D.
π 12
Câu 184. Biết
Z
1
s 4x+
p x+ex
p
xe2x dx=a+e b
−ecvớia, b, c số nguyên Tínha+b+c A. a+b+c= −4 B. a+b+c= −5 C. a+b+c= −3 D. a+b+c=3 Câu 185. Biết
Z
0
(x2+5x+6) ex
x+2+e−x dx=a.e−b−ln
a.e+c
3 vớia,b,clà số nguyên vàelà số
của logarit tự nhiên TínhS=2a+b+c
A. S=10 B. S=0 C. S=0 D. S=9 Câu 186. Biết
Z
1
p
2x−1
2x+3p2x−1+1dx=a+bln 2+cln 3+dln 5với a, b, c, d số nguyên
TínhS=a+b+c+d
A. S= −1 B. S=2 C. S=5 D. S=3
Câu 187. BiếtI=
Z
2
s 1+
x2+
1
(x−1)2dx=a+bln 2+cln 3, đóa,b,clà số ngun Tính biểu thức¡
a+b2+3c2¢
(34)
DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
LUYỆN TẬP VỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Bài 16. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau đây:
y=2x3−3x2,Ox, x=0và x=2
a) b) y=x4−2x2−3, y=x2+1,O y x=2 y=x3−12xvà y=x2
c) d) y=x3+11x−6và y=6x2 y=x3 y=4x
e) f) y=(e+1)x y=(1+ex)x
y=4x−2
2x+1 hai trục toạ độ
g) y=
p
1+lnx
x , trục hồnh x=e h)
Bài 17. Tính thể tích vật thể trịn xoay quay hình (H)quanhOx, biết (H)giới hạn y=x3−3x, trục hoành,x=0và x=2
a) b) y=cosx, trục hoành, x=0 x=π y=
2−x, trục hoành, x=0và x=1
c) d) y=expx, trục hoành x=1 y=2x−x2 y=x
e) f) y=2−x2và y=1
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Câu 188. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=x3, trục hoành hai đường thẳng x=1, x=3
A. 19 B. 2186
7 π C. 20 D. 18
Câu 189. Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=3x2+1, trục hoành hai đường thẳng x=0,x=2là
A. S=10 B. S=8 C. S=12 D. S=9 Câu 190. Diện tích hình phẳng giới hạn đường y=x2−4x x+y= −2là
A.
5 B.
5
2 C.
1
2 D.
1
Câu 191. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x2−2x y= −x2+x
A. B.
8 C. 12 D.
10
Câu 192. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y=xsin 2x, y=2x, x=π
2
A. π
4 + π
4 B. π
2−π. C. π2
4 −4 D.
π2
4 − π
Câu 193. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y=xpx2+1;x=1và trụcOx. A.
p
2−1
3 B.
3p2−1
5 C.
5−p2
6 D.
5−2p2−1
3
Câu 194. Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị y=x2−2x−2và y=x−4
2−x A.
3 B.
5
3−2 ln C. 0,28 D. 3−ln
Câu 195. Hình phẳng giới hạn parabol (P) :x2−x−6và trục Oxcó diện tích A. 95
6 B. −
95
6 C.
125
6 D. −
125
Câu 196. Tính diện tíchS hình phẳng giới hạn đồ thị(C) : y=x3−3xvà trụcOx A. S=9
4 B. S=
9
8 C. S=
9
2 D. S=
(35)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
Câu 197. Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=x2−2x, y=0,x= −1, x=2quanh trụcOxbằng
A. 16π
5 B.
18π
5 C.
17π
5 D.
5π 18
Câu 198. Cho hình phẳng(H)giới hạn đường cong y=ex,Oxvà đường x=0, x=1 Khối tròn xoay tạo thành quay(H)quanh trục hồnh tíchV bao nhiêu?
A. V=e 2−1
2 B. V=
π¡ e2+1¢
2 C. V=
πe2
2 D. V=
π¡ e2−1¢
2
Câu 199. Tính thể tíchV khối trịn xoay sinh xoay hình phẳng giới hạn đường y=p2x, y=0và hai đường thẳng x=1,x=2quanh trụcOx
A. V=3π B. V=3 C. V=π D. V=1
Câu 200. Tính thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y=cosx, y=0, x=0, x=πquay xung quanhOx
A. B. π
2
2 C. 2π D.
Câu 201. Gọi(H) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=p−ex+4x, trục hoành và hai đường thẳng x=1; x=2 Thể tích khối trịn xoay thu quay hình(H)xung quanh trục hồnh
A. π Z
1
(ex−4x) dx B.
Z
1
(ex−4x) dx C.
Z
1
(4x−ex) dx D. π Z
1
(4x−ex) dx
Câu 202. Cho hình phẳng(H)được giới hạn đường x=0,x=1,y=0 y=p2x+1 Khối trịn xoay tạo thành quay(H)quanh trụcOxcó thể tích
A. π
Z
0 p
2x+1 dx B. π
Z
0
(2x+1) dx C. π
Z
0
(2x+1)2dx D.
Z
0 p
2x+1 dx
Câu 203. Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y=xex, y=0, x=0,x=1xung quanh trụcOxlà
A. V=
Z
0
x2e2xdx B. V=π
Z
0
xexdx C. V=π
Z
0
x2exdx D. V=π
Z
0
x2e2xdx
Câu 204. Cho hình phẳng (H)giới hạn đồ thị hàm số y=1
x đường thẳng y=0, x=1, x=4 Tính thể tíchV khối trịn xoay sinh cho hình phẳng (H)quay xung quanh trụcOx
A. 2πln B. 3π
4 C.
3
4 D. ln
Câu 205. Cho hình phẳng (H)được giới hạn đường x=0,x=π,y=0 y= −sinx Khối trịn xoay tạo thành quay(H)xung quanh trụcOxcó thể tích
A. π
Z π
0 |
sinx|dx B. π
Z π
0
sin2xdx C.
Z π
0
sin2xdx D. π
¯ ¯ ¯ ¯
Z π
0
(−sinx) dx
¯ ¯ ¯ ¯
Câu 206. Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=ex đường thẳng y=0; x=0và x=1 tính cơng thức sau đây?
A. V=
Z
0
e2xdx B. V=π
Z
0
ex2dx C. V=
Z
0
ex2dx D. V=π
Z
0
e2xdx
Câu 207. Vật thể B giới hạn mặt phẳng có phương trình x=0 x=2 Cắt vật thể B với mặt phẳng vuông góc với trụcOxtại điểm có hồnh độ x, (0≤x≤2)ta thiết diện có diện tích x2(2−x) Thể tích vật thểBlà
A. V=2
3π B. V=
2
3 C. V=
4
3 D. V=
(36)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
Câu 208.
Cho hàm số y=f(x)liên tục có đồ thị hình vẽ bên Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị cho trục Ox Quay hình phẳng D quanh trụcOxta khối trịn xoay tíchV xác định theo cơng thức đây?
A. V=π2
Z
1
[f(x)]2 dx B. V=1
3 Z
1
[f(x)]2 dx
C. V=
Z
1 [
f(x)]2 dx D. V=π
Z
1 [
f(x)]2 dx
x y
O
−1
y=f(x)
Câu 209. Cho đồ thị hàm số y=f(x) Diện tích hình phẳng (phần tơ đậm hình)
A. S=
Z
−3
f(x) dx B. S=
Z −3
0
f(x) dx+
Z
0
f(x) dx
C. S=
Z
−3
f(x) dx+
Z
1
f(x) dx D. S=
Z
−3
f(x) dx−
Z
0
f(x) dx
O
x y
−3
Câu 210.
Kí hiệu S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= f(x), trục hồnh, đường thẳng x=a, x=b (như hình bên)
Hỏi khẳng định khẳng định đúng? O x y
a
c b
y=f(x)
A. S=
¯ ¯ ¯ ¯
Z c
a
f(x) dx+
Z b
c
f(x) dx
¯ ¯ ¯ ¯
B. S=
Z c
a
f(x) dx+
Z b
c
f(x) dx
C. S= −
Z c
a
f(x) dx+
Z b
c
f(x) dx D. S=
Z b
a
f(x) dx
Câu 211.
Cho hàm số y= f(x) liên tục đoạn [a;b] Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị (C): y=f(x), trục hoành, hai đường thẳngx=a,x=b(hình bên) Giả sửSDlà diện tích hình phẳng D.Hãy chọn cơng thức tínhSD
A. SD= −
Z
a
f(x) dx−
Z b
0
f(x) dx
B. SD=
Z
a
f(x) dx−
Z b
0
f(x) dx
C. SD= −
Z
a
f(x) dx+
Z b
0
f(x) dx
D. SD= −
Z
a
f(x) dx+
Z b
0
f(x) dx
x y
O
y=f(x)
a
b
Câu 212.
Tổng diện tích S=S1+S2+S3 hình vẽ tính tích phân sau đây?
A. S=
Z b
a
f(x) dx
B. S=
Z c
a
f(x) dx−
Z d
c
f(x) dx+
Z b
d
f(x) dx
C. S=
Z c
a
f(x) dx+
Z d
c
f(x) dx−
Z b
d
f(x) dx
D. S=
Z c
a
f(x) dx+
Z d
c
f(x) dx+
Z b
d
f(x) dx
x y
O
c d
a b
S1 S3
S2
(37)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
Cho hình phẳng hình bên (phần tơ đậm) quay quanh trục hồnh Thể tích khối trịn xoay tạo thành tính theo công thức công thức sau đây?
x y
O a b
y=f(x)
y=g(x)
A. V=π
Z b
a
£
g2(x)f2(x)Ô
dx B. V=
Z b
a
[f(x)−g(x)]2dx
C. V=π
Z b
a
[f(x)−g(x)] dx D. V=π
Z b
a
Ê
f2(x)g2(x)Ô dx Cõu 214.
Trong không gian Ox yz, cho vật thể giới hạn hai mặt phẳng (P), (Q) vng góc với trụcOx x=a, x=b (a<b) Một mặt phẳng (R) tùy ý vng góc với Ox điểm có hồnh độx,(a≤x≤b)cắt vật thể theo thiết diện có diện tích S(x), với y=S(x) hàm số liên tục [a;b] Thể tích V vật thể tính theo công thức
x a
P
x
R
b
Q
O
S(x)
A. V=
Z b
a
S2(x) dx B. V=π
Z b
a
S2(x) dx C. V=π
Z b
a
S(x) dx D. V=
Z b
a
S(x) dx Câu 215.
Cho hàm sốy=f(x)liên tục trênRvà có đồ thị(C)là đường cong hình bên Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C), trục hoành hai đường thẳngx=0, x=2 (phần tô đen)
A.
Z
0
f(x) dx B. −
Z
0
f(x) dx+
Z
1
f(x) dx
C.
Z
0
f(x) dx−
Z
1
f(x) dx D.
¯ ¯ ¯ ¯
Z
0
f(x) dx
¯ ¯ ¯ ¯
O x
y
1
−2
Câu 216.
Cho hàm số y=f(x)liên tục R có đồ thị (C)cắt trục Ox ba điểm có hồnh độ a, b, c với c∈(a;b) hình bên Đặt m=
Z c
a
f(x) dx, n=
Z b
c
f(x) dx Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị(C)và trục hồnh (phần tơ đậm) bao nhiêu?
A. m+n B. −m−n C. m−n D. n−m
x y
O a
c b
Câu 217.
Diện tích hình phẳng (phần gạch chéo) giới hạn đồ thị3 hàm số f(x), g(x), h(x)như hình bên, kết sau
A. S=
Z c
a |
f(x)−g(x)|dx+
Z c
b |
g(x)−h(x)|dx
B. S=
Z b
a
[f(x)−g(x)] dx+
Z c
b
[g(x)−h(x)] dx
C. S=
Z b
a
[f(x)−g(x)] dx−
Z c
b
[g(x)−h(x)] dx D. S=
Z c
a
[f(x)+h(x)−g(x)] dx
O x
y
a b c
h(x)
g(x)
(38)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
Câu 218. Xét hình phẳng(H)giới hạn đường hình vẽ (phần gạch sọc) Diện tích hình phẳng(H)được tính theo cơng thức
A. S=
Z
0
f(x) dx+
Z
1
g(x) dx
B. S=
Z
0
[f(x)−g(x)] dx
C. S=
Z
0
f(x) dx−
Z
1
g(x) dx
D. S=
Z
0 |
f(x)−g(x)|dx
x
1
y
1
O
(C1) :y=f(x)
(C2) :y=g(x)
Câu 219.
Cho hình phẳng D giới hạn đồ thị hai hàm số y= f(x), y= g(x) (phần tơ đậm hình vẽ) Gọi S diện tích hình phẳng D Mệnh đề đúng?
A. S=
Z
−3
[f(x)−g(x)] dx
B. S=
Z
−3[
g(x)−f(x)] dx
C. S=
Z
−3
[f(x)+g(x)] dx
D. S=
Z
−3
[f(x)−g(x)]2dx
x y
O y=f(x)
y=g(x)
−3
3
Câu 220.
Diện tích hình phẳng giới hạn y = f(x) trục hồnh (phần gạch sọc) hình vẽ có cơng thức
A.
¯ ¯ ¯ ¯
Z
−3
f(x) dx+
Z
1
f(x) dx
¯ ¯ ¯ ¯
B.
¯ ¯ ¯ ¯
Z
−3
f(x) dx−
Z
1
f(x) dx
¯ ¯ ¯ ¯
C. −
Z
−3
f(x) dx+
Z
1
f(x) dx D.
Z
−3
f(x) dx+
Z
1
f(x) dx
x y
O
−3
Câu 221.
Cho (H) hình phẳng giới hạn y=px, y=x−2 trục hồnh (hình vẽ) Quay (H) xung quanh trục Ox
Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành A. 10π
3 B.
16π
3 C.
7π
3 D.
8π
3 x
y
O
y=px
y=x−2
2
2
Câu 222. Xét vật thể(T)nằm hai mặt phẳng x= −1và x=1 Biết thiết diện vật thể cắt mặt phẳng vng góc với trục Oxtại điểm có hồnh độ x (−1≤x≤1)là hình vng có cạnh 2p1−x2 Thể tích vật thể(T)bằng
A. 16π
3 B.
16
3 C. π D.
8
Câu 223. Tính thể tích vật thể giới hạn hai mặt phẳng x=0,x=3 biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc vớiOxtại điểm có hồnh độx(06x63)là hình chữ nhật có kích thước x và2p9−x2
A. 36(đvtt) B. 9(đvtt) C. 18(đvtt) D. 54(đvtt)
(39)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
độ x(0≤x≤3) hình trịn có đường kính bằngp36−3x2. A. V=81π
4 B. V=
81
4 C. V=81π D. V=81
Câu 225. Một vật di chuyển với gia tốc a(t)= −20(1+2t)−2 (m/s2) Khi t=0 vận tốc vật là30m/s Tính qng đường vật sau2 giây
A. 47m B. 48m C. 49m D. 46m
Câu 226. Một vật chuyển động chậm dần với gia tốca= −10 m/s2, vận tốc ban đầu v0=120 m/s Tính quãng đường di chuyển vật từ thời điểm t0=0đến lúc dừng hẳn
A. 1440m B. 1000m C. 680m D. 720m Câu 227.
Cho hình phẳng (H) hình vẽ (phần tơ đậm) Diện tích hình phẳng(H)là
A.
2ln 3−
2 B.
C.
2ln 3−4 D.
9
2ln 3−2 O x
y
1
y=x lnx x=3
Câu 228. Hình phẳng giới hạn đường x= −3,x=1,y=0,y=x2−x có diện tích tính theo cơng thức
A. S=
Z
−3
¡
x2−x¢
dx B. S=
Z
−3
¡
x2−x¢ dx−
1
Z
0
¡
x2−x¢ dx
C. S=
Z
−3
¡
x2−x¢ dx+
1
Z
0
¡
x2−x¢
dx D. S=
Z
0
¯ ¯x2−x
¯ ¯dx
Câu 229. ĐặtS diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= x 2−2x
x−1 , đường
thẳng y=x−1và đường thẳng x=m, x=2m(m>1) Giá trị củamsao choS=ln A. m=5 B. m=4 C. m=2 D. m=3
Câu 230.
Cho hàm y=f(x)có đạo hàm liên tục trên[1; 3] Gọi(H)
là hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= f0(x) đường thẳng y=x(phần gạch chéo hình vẽ bên) Diện tích hình(H)bằng
A. 2f(2)−f(1)−f(3)+1 B. f(3)−f(1)−4 C. 2f(3)−f(2)−f(1)+1 D. f(1)−f(3)+4
x y
O
y=f0(x) y
=x
Câu 231.
Cho (H) hình phẳng giới hạn y=px, y= x−2 trục hoành (hình vẽ) Diện tích (H)
bằng A. 10
3 B.
16
3 C.
7
3 D.
8
3 x
y
O
f(x)=px
g(x)=x−2
2
2
Câu 232. GọiSlà diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số(H) :y=x−1
x+1 trục
tọa độ Khi giá trị củaS
(40)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
Câu 233.
ChoH hình phẳng tơ đậm hình vẽ giới hạn
bởi đường có phương trình y=10
3 x−x
2, y =
(
−x x≤1
x−2 x>1
Diện tích củaH A. 11
2 B.
13
2 C.
11
6 D.
14
O x
y
−1
1
3
Câu 234.
Cho (H) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=e, y=ex y=(1−e)x+1 (tham khảo hình vẽ bên) Diện tích
(H)là
A. S=e+1
2 B. S=e+
2 C. S=e+
2 D. S= e−1
2
x −2 −1
y
−1
O
y=e
y=ex
y=(1−e)x+1
Câu 235.
Cho(H)là hình phẳng giới hạn parabol y=2x2−1và nửa đường trịn có phương trình y=p2−x2với−p2≤x≤p2(phần gạch chéo hình vẽ) Diện tích hình(H)bằng
A. 3π−2
6 B.
3π+10
3 C.
3π+2
6 D.
3π+10
6
O x
y
−p2 p2
p
2
Câu 236.
Gọi tam giác cong (O AB) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=2x2, y=3−x, y=0(hình vẽ bên) Tính diện tích S
(O AB) A. S=8
3 B. S=
4
3 C. S=
5
3 D. S=
10
x y
O
3
B A
Câu 237. Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=xex, trục hồnh, hai đường thẳng x= −2;x=3có cơng thức tính
A. S=
Z
−2
xexdx B. S=
Z
−2
¯ ¯xex
¯
¯dx C. S= ¯ ¯ ¯ ¯
Z
−2 xexdx
¯ ¯ ¯ ¯
D. S=π
Z
−2
xexdx Câu 238. Một ô tô chạy với vận tốc10m/s người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với vận tốc v(t)= −5t+10m/s Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, tơ cịn di chuyển mét?
A. 20 m B. m C. 0,2m D. 10 m
Câu 239. Một ô-tô chạy người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ơ-tơ chuyển động chậm dần với vận tốc v(t)= −10t+20 (m/s), t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, ơ-tơ cịn di chuyển mét?
A. 20m B. 25m C. 60m D. 15m
(41)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
máy bay đạt vận tốc200 (m/s) rời đường băng Quãng đường máy bay di chuyển đường băng
A. 500(m) B. 2000(m) C. 4000
3 (m) D.
2500 (m)
Câu 241. Một người lái xe ô tô chạy với vận tốc 20 m/s người lái xe phát có hàng rào ngăn đường phía trước cách 45 m (tính từ vị trí đầu xe đến hàng rào) vậy, người lái xe đạp phanh Từ thời điểm xe chuyển động chậm dần với vận tốc v(t)= −5t+20(m/s), t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, xe tơ cịn cách hàng rào ngăn cách mét (tính từ vị trí đầu xe đến hàng rào)?
A. 5m B. m C. 4m D. 3m
Câu 242. Một học sinh điều khiển xe đạp điện chuyển động thẳng với vận tốca m/s Khi phát có chướng ngại vật phía trước học sinh thực phanh xe Sau phanh, xe chuyển động chậm dần với vận tốcv(t)=a−2tm/s Tìm giá trị lớn ađể quãng đường xe đạp điện sau phanh không vượt quá9 m
A. a=7 B. a=4 C. a=5 D. a=6
Câu 243. Một ô tô với vận tốc lớn 72 km/h, phía trước đoạn đường cho phép chạy với tốc độ tối đa 72 km/h, người lái xe đạp phanh để ô tô chuyển động chậm dần với vận tốcv(t)=30−2t (m/s), t khoảng thời gian tính giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc bắt đầu đạp phanh đến lúc đạt tốc độ72 km/h, ô tô di chuyển quãng đường mét?
A. 100m B. 150m C. 175m D. 125m
Câu 244. Một ô tô chạy với vận tốc 10m/s người lái xe đạp phanh, từ thời điểm tơ chuyển động chậm dần với vận tốcv(t)= −5t+10(m/ s) đótlà khoảng thời gian tính giây kể từ lúc đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn tơ cịn di chuyển mét?
A. 0.2m B. m C. 10m D. 20m
Câu 245. Một vật chuyển động với vận tốcv(t) (m/s)có gia tốc v0(t)=
t+1 (m/s
2) Vận tốc ban đầu vật là6 m/s Tính vận tốc vật sau10giây (làm trịn kết đến hàng đơn vị)
A. 11 m/s B. 12 m/s C. 13 m/s D. 14 m/s
Câu 246. Một vật chuyển động với vận tốcv=20m/s thay đổi vận tốc với gia tốc tính theo thời gian t a(t)= −4+2t m/s2 Tính quãng đường vật để từ thời điểm thay đổi gia tốc đến lúc vật đạt vận tốc bé
A. 104
3 m B. 104m C. 208m D.
104 m
Câu 247. Một vật chuyển động với vận tốc 10 m/s tăng tốc với gia tốc a(t)=6t+
12t2 (m/s2).Quãng đường vật khoảng thời gian10giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc
A. 4300
3 m B. 4300 m C.
98
3 m D. 11100 m
Câu 248. Một xe buýt bắt đầu từ nhà chờ xe buýt A với vận tốc v(t)=10+3t2 (m/s) (khi bắt đầu chuyển động từ A thìt=0) đến nhà chờ xe buýt B cách đó175m Hỏi thời gian xe từ A đến B giây?
(42)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
Câu 249. Một ô tô chuyển động với vận tốc15 m/sthì phía trước xuất chướng ngại vật nên người lái xe đạp phanh gấp Kể từ thời điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với gia tốc −a¡
m/s2¢
, (a>0) Biết ô tô chuyển động 20m dừng hẳn Hỏi a thuộc khoảng đây?
A. (3; 4) B. (4; 5) C. (5; 6) D. (6; 7)
Câu 250. Độ lớn vận tốc vật thay đổi theo thời gianv=f(t)(m/s) f(t)
nhận giá trị dương Quãng đường (tính theo đơn vị mét) từ thời điểm t=a(s) đến thời điểm t=b (s),(0<a<b), tính theo cơng thức
A. f(b)−f(a) B.
Z a
b
f(t) dt C.
Z b
a
f(t) dt D. f(a)−f(b)
Câu 251. Diện tích hình phẳng giới hạn đường y= p
1+lnx
x ,y=0,x=1,x =e S=ap2+b Khi tính giá trị a2+b2?
A.
3 B.
4
3 C.
20
9 D.
Câu 252. Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=x y=ex, trục tung đường thẳng x=1được tính theo cơng thức đây?
A. S=
Z
0
¯ ¯ex−1
¯
¯dx B. S=
1
Z
0
¡ ex−x¢
dx C. S=
Z
0
¡
x−ex¢
dx D. S=
Z
−1
¯ ¯ex−x
¯ ¯dx
Câu 253.
Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=f(x)
và trục hồnh (phần tơ đậm hình vẽ)
A.
Z
−2
f(x) dx−
Z
0
f(x) dx B.
Z
−2
f(x) dx+
Z
0
f(x) dx
C.
Z
0
f(x) dx−
Z
−2
f(x) dx D.
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
1
Z
−2
f(x) dx
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
x y
1 −2 O
Câu 254. Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y=x2 y=2−x2 Đẳng thức sau đúng?
A. S=2
1
Z
0
¯ ¯1−x2
¯
¯dx B. S=2
1
Z
−1
¡ 1−x2¢
dx C. S=2
1
Z
0
¡
x2−1¢
dx D. S=2
1
Z
−1
¡
x2−1¢ dx
Câu 255.
Cho hàm số y=f(x)liên tục đoạn [a;b]có đồ thị hình bên c∈[a;b] Gọi S diện tích hình phẳng
(H)giới hạn đồ thị hàm số y=f(x)và đường thẳng y=0,x=a, x=b Mệnh đề sau sai?
A. S= c
Z
a
f(x) dx+ b
Z
c
f(x) dx B. S= c
Z
a
f(x) dx− b
Z
c
f(x) dx
C. S= b
Z
a
|f(x)|dx D. S= c
Z
a
f(x) dx+ c
Z
b
f(x) dx
O x
y
1 a c
b
(43)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
Câu 256.
Cho (H) hình phẳng giới hạn đường cong có phương trình y=px, nửa đường trịn có phương trình y=p2−x2 (với 0≤x≤p2) trục hồnh (phần tơ đậm hình vẽ)
Diện tích của(H)bằng A. 3π+2
12 B.
4π+2
12 C.
3π+1
12 D.
4π+1
O x
y
−p2 p2
p
2
1
Câu 257.
Cho đồ thị hàm số y= f(x) có đồ thị đoạn [−1; 4]
như hình vẽ Tính tích phânI=
Z
−1
f(x) dx
A. I=5
2 B. I= 11
2 C. I=5 D. I=3 x
y
O
−1
3
−1
Câu 258. Diện tích nhỏ giới hạn bởi(P) : y=x2+1và đường thẳng d: y=mx+2là A.
4 B. C.
4
3 D.
2
Câu 259.
Cho(H)là hình phẳng giới hạn parabol y= p
3 x
2và nửa elip có
phương trình y=1
2
p
4−x2 (với −2≤x≤2) trục hồnh (phần tơ
đậm hình vẽ) Gọi S diện tích của, biết S= aπ+b p
3
c (với a,b,c,∈R) Tính P=a+b+c
x y
O
−2
1
A. P=9 B. P=12 C. P=15 D. P=17 Câu 260.
Diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng y=1, y=x đồ thị hàm số y= x
2
4 miền x≥0, y≤1
a b (phân số tối giản) Khi đób−abằng
A. B. C. D.
O
x y
1
1
3 g(x)=x
h(x)= x
4
Câu 261.
Cho hàm số f(x) có đạo hàm f0(x) liên tục R đồ thị f0(x) đoạn [−2; 6] hình bên Khẳng định đúng?
A. f(−2)<f(−1)<f(2)<f(6) B. f(2)<f(−2)<f(−1)<f(6) C. f(−2)<f(2)<f(−1)<f(6) D. f(6)<f(2)<f(−2)<f(−1)
x y
O
3
−2 −1
2
(44)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
Cho hình (H) hình phẳng giới hạn parabol y= p
3 x
2
và đường elip có phương trình x
4 +y
2=1 (phần gạch chéo hình vẽ) Diện tích của(H)bằng
A. 2π+ p
3
6 B.
2π
3 C.
π+p3
4 D.
3π
O x
−1
Câu 263.
Cho hình phẳng (H) giới hạn đường y=x2, y=0, x=0, x=4 Đường thẳng y=k (0<k<16)) chia hình (H) thành hai phần có diện tích S1, S2 (hình vẽ) Tìm k để S1=S2
A. k=8 B. k=4 C. k=5 D. k=3
y
x
O x=4
y=k S1
S2 y=x2
Câu 264. Cho hàm số y=x4−4x2+mcó đồ thị(Cm) Giả sử(Cm)cắt trục hồnh tại4 điểm phân biệt cho hình phẳng giới hạn (Cm)với trục hồnh có diện tích phần phía trục hồnh diện tích phần phía trục hồnh Khi m thuộc khoảng đây?
A. m∈(−1; 1) B. m∈(2; 3) C. m∈(3; 5) D. m∈(5;+∞)
Câu 265. Cho hàm số y=x2có đồ thị là(P), trên(P)có hai điểm A,Bvới hoành độ a,b Biết AB=3p2 diện tích hình phẳng tạo (P) với đường thẳng AB p
6 Giá trị a2+b2
A. B. 10 C. D.
Câu 266.
Cho (H)là hình phẳng giới hạn hai parabol y= x
3 ,y=
p
3x2, cung trịn có phương trình y=p4−x2 với (−2≤x ≤2) (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích của(H)bằng
A. π
3 B.
π
C. 2π
3 + 9+
p
3
6 D.
2π −
8 9−
p
3
x y
1
−1
−2 O
Câu 267.
Đồ thị hàm số y = f(x) liên tục đoạn [−3; 5] hình vẽ (phần cong đồ thị phần parabol
y=ax2+bx+c) Tính I=
Z
−2
f(x) dx
A. I=53
3 B. I=
97
C. I=43
2 D. I=
95
y
1
x
−3 −2 −1 O
E G
D
C A
H
B
(45)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
Cho(H)là hình phẳng giới hạn paraboly=1
4x
2+1 với(0≤x≤2p2), nửa đường trịn y=p8−x2 và trục hồnh, trục tung (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích của(H)bằng
A. 3π+14
6 B.
2π+2
3 C.
3π+4
6 D.
3π+2
O 2p2 x
Câu 269.
Một viên gạch hoa hình vng cạnh 40 cm Người ta dùng bốn đường parabol có chung đỉnh tâm viên gạch để tạo bốn cánh hoa (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích cánh hoa
A. 200cm2 B. 800
3 cm
2. C. 400
3 cm
2. D. 200
3 cm
2.
40cm
Câu 270.
Cho nửa đường trịn đường kính AB=4p5 Trên người ta vẽ parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình trịn, trục đối xứng đường kính vng góc vớiAB Parabol cắt nửa đường trịn hai điểm cách 4cm khoảng cách từ hai điểm đến AB cm Sau
đó người ta cắt bỏ phần A B
4cm
4cm
hình phẳng giới hạn đường trịn parabol (phần gạch sọc hình vẽ) Đem phần lại quay xung quanh trụcAB Thể tích khối trịn xoay thu
A. V= π
15 ¡
800p5−464¢
cm3 B. V=π
3 ¡
800p5−928¢
cm3
C. V=π
5 ¡
800p5−928¢
cm3 D. V= π
15 ¡
800p5−928¢
cm3
Câu 271.
Cho hình phẳng(H)giới hạn trục hồnh, đồ thị parabol đường thẳng tiếp xúc với parabol điểm A(2; 4), (như hình vẽ đây) Tính thể tích khối trịn xoay tạo hình phẳng (H)khi quay quanh trụcOx
A. 32π
5 B.
16π
15 C.
22π
5 D.
2π
O x
y
1
4
Câu 272. Một ô-tô bắt đầu chuyển động nhanh dần với vận tốcv1(t)=7t(m/s) Đi
5(s), người lái xe phát chướng ngại vật phanh gấp, ô-tô tiếp tục chuyển động chậm dần với gia tốca= −70(m/s2) Tính qng đường S (m) ơ-tơ từ lúc bắt đầu chuyển bánh dừng hẳn
(46)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
Câu 273. Một ô tô chạy với vận tốc54km/h tăng tốc chuyển động nhanh dần với gia tốc a(t)=3t−8 (m/s2) t khoảng thời gian tính giây Quãng đường mà ô tô sau10s kể từ lúc tăng tốc
A. 150m B. 250m C. 246m D. 540m Câu 274.
Có cốc thủy tinh hình trụ, bán kính lịng đáy cốc là6cm, chiều cao lòng cốc là10cm đựng lượng nước Tính thể tích lượng nước cốc, biết nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc đáy mực nước trùng với đường kính đáy
A. 240cm3 B. 240πcm3 C. 120cm3 D. 120πcm3 Câu 275.
Cho vật thể có mặt đáy hình trịn có bán kính bằng1(hình vẽ) Khi cắt vật thể mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (−1≤x≤1)thì thiết diện tam giác Tính thể tích V vật thể
A. V=p3 B. V=3p3 C. V=4 p
3
3 D. V=π
x y z
Câu 276. Để đảm bảo an tồn lưu thơng đường, xe ô tô dừng đèn đỏ phải cách tối thiểu m Một ô tô A chạy với vận tốc 16 m/s gặp ô tô B dừng đèn đỏ nên ô tô A hãm phanh chuyển động chậm dần với vận tốc biểu thị công thức vA(t)=16−4t (m/s), thời gian tính giây Hỏi để hai tơ A B đạt khoảng cách an tồn dừng lại ô tô A phải hãm phanh cách ô tơ B khoảng bao nhiêu?
A. 33m B. 12m C. 31m D. 32m
Câu 277.
Gọi (H) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= −x2+4x trục hoành Hai đường thẳng y=m, y=n chia hình (H) thành phần có diện tích (ta tham khảo hình vẽ) Tính giá trị biểu thứcT=(4−m)3+(4−n)3
A. T=320
9 B. T=
75
C. T=512
15 D. T=405
x y
O
y=m y=n
Câu 278.
Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng(H)(phần tơ màu đen hình bên) quanh trụcOx
A. 61π
15 B.
88π
5 C.
8π
5 D.
424π 15
x y
−2
5 O
(47)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
TRÍCH DẪN CÂU TRẮC NGHIỆM TRONG ĐỀ THI CỦA BỘ Câu 279 (Đề 101 - 2017). Tìm nguyên hàm hàm số f(x)=cos 3x
A.
Z
cos 3xdx=3 sin 3x+C B.
Z
cos 3xdx=sin 3x
3 +C
C.
Z
cos 3xdx= −sin 3x
3 +C D.
Z
cos 3xdx=sin 3x+C
Câu 280 (Đề 102 - 2017). Tìm nguyên hàm hàm số f(x)=
5x−2
A.
Z dx 5x−2=
1
5ln|5x−2| +C B.
Z dx 5x−2 = −
1
2ln(5x−2)+C
C.
Z dx
5x−2=5 ln|5x−2| +C D.
Z dx
5x−2 =ln|5x−2| +C
Câu 281 (Đề 103 - 2017). Tìm nguyên hàm hàm số f(x)=2 sinx A.
Z
2 sinxdx=2 cosx+C B.
Z
2 sinxdx=sin2x+C C.
Z
2 sinxdx=sin 2x+C D.
Z
2 sinxdx= −2 cosx+C
Câu 282 (Đề 104 - 2017). Tìm nguyên hàm hàm số f(x)=7x A.
Z
7xdx=7xln 7+C B.
Z
7xdx= x
ln 7+C
C.
Z
7xdx=7x+1+C D.
Z
7xdx= x+1
x+1+C
Câu 283 (Đề tham khảo - 2017). Tìm nguyên hàm hàm số f(x)=x2+ x2 A.
Z
f(x)dx=x
3 −
x+C B.
Z
f(x)dx= x
3 −
x+C C.
Z
f(x)dx=x
3 +
x+C D.
Z
f(x)dx= x
3 +
x+C
Câu 284 (Đề tham khảo - 2018). Họ nguyên hàm hàm số f(x)=3x2+1là A. x3+C B. x
3
3 +x+C C. 6x+C D. x
3+x+C. Câu 285 (Đề 101 - 2018). Nguyên hàm hàm số f(x)=x3+x
A. x4+x2+C B. 3x2+1+C C. x3+x+C D.
4x
4+1
2x
2+C. Câu 286 (Đề 103 - 2018). Nguyên hàm hàm số f(x)=x4+x2là
A. 4x3+2x+C B.
5x
5+1
3x
3+C. C. x4+x2+C. D. x5+x3+C. Câu 287 (Đề thử nghiệm - 2017). Tìm nguyên hàm hàm số f(x)=cos 2x
A.
Z
f(x) dx=1
2sin 2x+C B.
Z
f(x) dx= −1
2sin 2x+C
C.
Z
f(x) dx=2 sin 2x+C D.
Z
f(x) dx= −2 sin 2x+C
Câu 288 (Đề thử nghiệm - 2017). Cho hàm số f(x)có đạo hàm đoạn[1; 2], f(1)=1và f(2)=2
TínhI=
Z
1
f0(x)dx
A. I=1 B. I= −1 C. I=3 D. I=7
(48)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
Câu 289 (Đề tham khảo - 2018). Tích phân
Z
0
dx
x+3
A. 16
225 B. log
5
3 C. ln
5
3 D.
2 15
Câu 290 (Đề 101 - 2018). Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y =ex, y=0,x=0, x=2 Mệnh đề đúng?
A. S=π
Z
0
e2xdx B. S=
Z
0
exdx C. S=π
Z
0
exdx D. S=
Z
0
e2xdx Câu 291 (Đề 102 - 2018). GọiS diện tích hình phẳng giới hạn đường y=2x,
y=0,x=0, x=2 Mệnh đề đúng? A. S=
Z
0
2xdx B. S=π
Z
0
22xdx C. S=
Z
0
22xdx D. S=π
Z
0
2xdx Câu 292 (Đề minh họa - 2017). Viết công thức tính thể tích V khối trịn xoay tạo quay hình thang cong, giới hạn đồ thị hàm số y=f(x), trụcOxvà hai đường thẳng x=a,x=b(a<b), xung quanh trụcOx
A. V=π
Z b
a
f2(x) dx B. V=
Z b
a
f2(x) dx C. V=π
Z b
a
f(x) dx D. V=π
Z b
a |
f(x)|dx Câu 293 (Đề tham khảo - 2018). Cho hàm số y=f(x) liên tục đoạn [a;b] Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= f(x), trục hoành hai đường thẳng x= a, x=b (a<b) Thể tích khối trịn xoay tạo thành quayD quanh trục hoành
A. V=π
Z b
a
f2(x) dx B. V=2π Z b
a
f2(x) dx
C. V=π2
Z b
a
f2(x) dx D. V=π2
Z b
a
f(x) dx
Câu 294 (Đề 103 - 2018). Cho hình phẳng(H)giới hạn đường y=x2+3, y=0, x=0, x=2 GọiV thể tích khối tròn xoay tạo thành quay(H)xung quanh trụcOx Mệnh đề đúng?
A. V=π
Z
0
(x2+3)2dx B. V=π
Z
0
(x2+3) dx
C. V=
Z
0
(x2+3)2dx D. V=
Z
0
(x2+3) dx
Câu 295 (Đề 104 - 2018). Cho hình phẳng(H)giới hạn đường thẳngy=x2+2, y=0, x=1, x=2 Gọi V thể tích khối tròn xoay tạo thành quay (H) xung quanh trụcOx Mệnh đề đúng?
A. V=π
Z
1
(x2+2)2dx B. V=
Z
1
(x2+2)2dx
C. V=π
Z
1
(x2+2) dx D. V=
Z
1
(x2+2) dx
Câu 296 (Đề 101 - 2017). Cho hàm số f(x)thỏa f0(x)=3−5 sinx f(0)=10 Mệnh đề đúng?
A. f(x)=3x+5 cosx+5 B. f(x)=3x+5 cosx+2 C. f(x)=3x−5 cosx+2 D. f(x)=3x−5 cosx+15
Câu 297 (Đề 103 - 2017). ChoF(x)là nguyên hàm hàm số f(x)=ex+2x thỏa mãn F(0)=3
2 Tìm F(x)
A. F(x)=ex+x2+3
2 B. F(x)=2e
x+x2−1
2
C. F(x)=ex+x2+5
2 D. F(x)=e
x+x2+1
(49)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
Câu 298 (Đề 104 - 2017). Tìm nguyên hàm F(x)của f(x)=sinx+cosxbiết F³π
2 ´
=2 A. F(x)=cosx−sinx+3 B. F(x)= −cosx+sinx+3
C. F(x)= −cosx+sinx−1 D. F(x)= −cosx+sinx+1 Câu 299 (Đề 102 - 2018). Nguyên hàm hàm số f(x)=x4+x
A. x4+x2+C B. 4x3+1+C C. x5+x2+C D.
5x
5+1
2x
2+C. Câu 300 (Đề 104 - 2018). Nguyên hàm hàm số f(x)=x3+x2là
A. x4+x3+C B.
4x
4+1
3x
3+C. C. 3x2+2x+C. D. x3+x2+C.
Câu 301 (Đề tham khảo - 2019). Họ nguyên hàm hàm số f(x)=ex+x A. ex+x2+C B. ex+1
2x
2+C. C. x+1e
x+1
2x
2+C. D. ex+1+C.
Câu 302 (Đề minh họa - 2017). Tìm nguyên hàm hàm số f(x)=p2x−1 A.
Z
f(x) dx=2
3(2x−1)
p
2x−1+C B.
Z
f(x) dx=1
3(2x−1)
p
2x−1+C C.
Z
f(x) dx= −1
3(2x−1)
p
2x−1+C D.
Z
f(x) dx=1
2(2x−1)
p
2x−1+C
Câu 303 (Đề tham khảo - 2018). Cho hàm số f(x) xỏc nh trờn D =R\ ẵ
1 ắ
thỏa mãn
f0(x)=
2x−1, f(0)=1 f(1)=2 Giá trị biểu thức f(−1)+f(3)
A. 4+ln 15 B. 2+ln 15 C. 3+ln 15 D. ln 15
Câu 304 (Đề tham khảo - 2019). Họ nguyên hàm hàm số f(x)=4x(1+lnx)là A. 2x2lnx+3x2 B. 2x2lnx+x2 C. 2x2lnx+3x2+C D. 2x2lnx+x2+C Câu 305 (Đề 102 - 2017). Cho F(x) nguyên hàm hàm số f(x)= lnx
x Tính I = F(e)−F(1)
A. I=e B. I=1
e C. I=
1
2 D. I=1
Câu 306 (Đề 102 - 2017). Cho
Z
−1
f(x) dx=2,
Z
−1
g(x) dx= −1 TínhI=
Z
−1
[x+2f(x)−3g(x)] dx
A. I=5
2 B. I=
7
2 C. I=
17
2 D. I=
11
Câu 307 (Đề 103 - 2017). Cho
Z
0
µ
x+1−
x+2 ¶
dx=aln 2+bln với a,b số nguyên Mệnh đề đúng?
A. a+b=2 B. a−2b=0 C. a+b= −2 D. a+2b=0
Câu 308 (Đề 104 - 2017). Cho
Z π
2
0
f(x) dx=5 Tính I=
Z π
2
0
[f(x)+2 sinx] dx A. B. 5+π
2 C. D. 5+π
Câu 309 (Đề thử nghiệm - 2017). Biết F(x) nguyên hàm hàm số f(x)= x−1
thoả mãnF(2)=1 TínhF(3)
A. F(3)=ln 2−1 B. F(3)=ln 2+1 C. F(3)=1
2 D. F(3)=
7
Câu 310 (Đề 102 - 2018).
Z
0
e3x+1dxbằng A.
3 ¡
e4−e¢
B. e4−e C.
3 ¡
e4+e¢
(50)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
Câu 311 (Đề 103 - 2018).
Z
1
dx
3x−2
A. ln B.
3ln C.
2
3ln D. ln
Câu 312 (Đề 104 - 2018).
Z
1
dx
2x+3
A. ln7
5 B.
1
2ln 35 C. ln
7
5 D.
1 2ln
7
Câu 313 (Đề tham khảo - 2019). Cho
Z
0
f(x) dx=2và
Z
0
g(x) dx=5,
Z
0 [
f(x)−2g(x)] dx
A. −3 B. 12 C. −8 D.
Câu 314 (Đề 101 - 2017). Cho
Z
0
f(x) dx=12 TínhI=
Z
0
f(3x) dx
A. I=6 B. I=36 C. I=2 D. I=4 Câu 315 (Đề minh họa - 2017). Tính tích phân I=
Z π
0
cos3x sinxdx
A. I= −1
4π
4. B. I= −π4. C. I=0. D. I= −1
4
Câu 316 (Đề thử nghiệm - 2017). Cho
Z
0
f(x) dx=16 Tính tích phân I=
Z
0
f(2x) dx
A. I=32 B. I=8 C. I=16 D. I=4
Câu 317 (Đề tham khảo - 2017). Khi tính tích phânI=
Z
1
2xpx2−1dxbằng phương pháp đổi biến số với cách đặt u=x2−1ta kết đây?
A. I=2 Z
0 p
udu B. I=
Z
1 p
udu C. I=
Z
0 p
udu D. I=1
2 Z
1 p
udu
Câu 318 (Đề 101 - 2018).
Z
1
e3x−1dxbằng
A.
3(e
5
−e2) B.
3e
5
−e2 C. e5−e2 D.
3(e
5 +e2)
Câu 319 (Đề minh họa - 2017). Tính tích phân I=
Z e
1
xlnxdx
A. I=1
2 B. I=
e2−2
2 C. I=
e2+1
4 D. I=
e2−1
Câu 320 (Đề tham khảo - 2017). Cho hàm số f(x) thỏa mãn
Z
0
(x+1)f0(x) dx =10 đồng
thời2f(1)−f(0)=2 Tính
Z
0
f(x)dx
A. I= −12 B. I=8 C. m=1 D. I= −8 Câu 321 (Đề 103 - 2018). Cho
Z e
1
(1+xlnx) dx=ae2+be+cvớia,b,clà số hữu tỷ Mệnh đề đúng?
A. a+b=c B. a+b= −c C. a−b=c D. a−b= −c
Câu 322 (Đề minh họa - 2017). Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=x3−x đồ thị hàm số y=x−x2
A. 37
12 B.
9
4 C.
81
(51)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
Câu 323 (Đề tham khảo - 2017).
Gọi S diện tích hình phẳng (H) giới hạn đường y= f(x), trục hồnh đường thẳng x= −1, x=2 (như hình vẽ bên) Đặta=
Z
−1
f(x)dx, b=
Z
0
f(x)dx Mệnh đề sau đúng?
A. S=b−a B. S=b+a
C. S= −b+a D. S= −b−a x
−1 y
1
0
f
Câu 324 (Đề 101 - 2017). Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y=p2+cosx, trục hoành đường thẳng x=0, x= π
2 Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục
hoành tíchV bao nhiêu?
A. V=π−1 B. V=(π−1)π C. V=(π+1)π D. V=π+1
Câu 325 (Đề 102 - 2017). Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y=p2+sinx, trục hoành đường thẳng x=0, x=π Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tíchV bao nhiêu?
A. V=2 (π+1) B. V=2π(π+1) C. V=2π2 D. V=2π
Câu 326 (Đề 103 - 2017). Cho hình phẳngDgiới hạn đường cong y=ex, trục hoành đường thẳngx=0, x=1 Khối trịn xoay tạo thành quayD quanh trục hồnh tíchV bao nhiêu?
A. V=πe
2 B. V=
π¡ e2+1¢
2 C. V=
e2−1
2 D. V=
π¡ e2−1¢
2
Câu 327 (Đề 104 - 2017). Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y=px2+1, trục hoành đường thẳng x=0, x=1 Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tíchV bao nhiêu?
A. V=4π
3 B. V=2π C. V=
4
3 D. V=2
Câu 328 (Đề tham khảo - 2017). Tính thể tíchV phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng x=1 x=3, biết cắt vật thể mặt phẳng tùy ý vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (16x63) thiết diện hình chữ nhật có cạnh 3x p
3x2−2.
A. V=32+2p15 B. V=124π
3 C. V=
124
3 D. V=
¡
32+2p15¢ π Câu 329 (Đề 101 - 2017). ChoF(x)=x2là nguyên hàm hàm số f(x)e2x Tìm nguyên hàm hàm số f0(x)e2x
A.
Z
f0(x) e2xdx= −x2+2x+C B.
Z
f0(x) e2xdx= −x2+x+C C.
Z
f0(x) e2xdx=x2−2x+C D.
Z
f0(x) e2xdx= −2x2+2x+C
Câu 330 (Đề thử nghiệm - 2017). Biết I =
Z
3
dx
x2+x =aln 2+bln 3+cln 5, với a,b,c số nguyên TínhS=a+b+c
A. S=6 B. S=2 C. S= −2 D. S=0 Câu 331 (Đề tham khảo - 2018). Biết I=
Z
1
dx
(x+1)px+xpx+1=
p
a−pb−c với a, b, c số nguyên dương TínhP=a+b+c
(52)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
Câu 332 (Đề 102 - 2017). ChoF(x)=(x−1) ex nguyên hàm hàm số f(x)e2x.Tìm nguyên hàm hàm số f0(x) e2x
A.
Z
f0(x) e2xdx=(4−2x)ex+C B.
Z
f0(x) e2xdx=2−x
2 e
x +C C.
Z
f0(x) e2xdx=(2−x)ex+C D.
Z
f0(x) e2xdx=(x−2)ex+C
Câu 333 (Đề 103 - 2017). Cho F(x) = −
3x3 nguyên hàm hàm số f(x)
x Tìm nguyên hàm hàm số f0(x) lnx
A.
Z
f0(x) lnxdx=lnx x3 +
1
5x5+C B.
Z
f0(x) lnxdx=lnx x3 −
1 5x5+C C.
Z
f0(x) lnxdx=lnx x3 +
1
3x3+C D.
Z
f0(x) lnxdx= −lnx x3 +
1 3x3+C
Câu 334 (Đề 102 - 2018). Một chất điểm Axuất phát từO, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian quy luật v(t)=
150t
2+59
75t(m/s), t(s) khoảng thời
gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O, chuyển động thẳng hướng với A chậm 3giây so với Avà có gia tốc a (m/s2) (alà số) Sau B xuất phát 12giây đuổi kịp A Vận tốc củaB thời điểm đuổi kịp A
A. 20(m/s) B. 16(m/s) C. 13(m/s) D. 15(m/s)
Câu 335 (Đề tham khảo - 2019). Cho
Z
0
xdx
(x+2)2 =a+bln 2+cln với a,b,c số hữu tỷ Giá trị của3a+b+c
A. −2 B. −1 C. D.
Câu 336 (Đề tham khảo - 2017). Cho
Z
0
1
ex+1dx=a+bln
1+e
2 , với a,b số hữu tỉ
Tính S=a3+b3
A. S=2 B. S= −2 C. S=0 D. S=1
Câu 337 (Đề tham khảo - 2017). Cho hàm số f(x) liên tục R thỏa mãn f(x)+ f(−x)=p2+2 cos 2x,∀x∈R Tính I=
Z 3π
2
−32π
f(x)dx
A. I= −6 B. I=0 C. I= −2 D. I=6
Câu 338 (Đề 101 - 2018). Cho
Z 55
16
dx
xpx+9=aln 2+bln 5+cln 11vớia,b,clà số hữu tỉ
Mệnh đề đúng?
A. a−b= −c B. a+b=c C. a+b=3c D. a−b= −3c Câu 339 (Đề 102 - 2018). Cho
Z 21
5
dx
xpx+4 =aln 3+bln 5+cln với a,b,c số hữu tỉ
Mệnh đề đúng?
A. a+b= −2c B. a+b=c C. a−b= −c D. a−b= −2c Câu 340 (Đề 104 - 2017). ChoF(x)=
2x2 nguyên hàm hàm số f(x)
x Tìm nguyên hàm hàm số f0(x) lnx.
A.
Z
f0(x) lnxdx= −
µ lnx
x2 +
1 2x2
¶
+C B.
Z
f0(x) lnxdx=lnx x2 +
1
x2+C C.
Z
f0(x) lnxdx= −
µ lnx
x2 +
1
x2
¶
+C D.
Z
f0(x) lnxdx=lnx x2 +
(53)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
Câu 341 (Đề 104 - 2018). Cho
Z e
1
(2+xlnx) dx=ae2+b·e+cvớia,b,clà số hữu tỉ Mệnh đề đúng?
A. a+b= −c B. a+b=c C. a−b=c D. a−b= −c Câu 342 (Đề 101 - 2018). Cho hàm số f(x)thỏa mãn f(2)= −2
9 f
0(x)=2x[f(x)]2 với mọi x∈R Giá trị f(1)
A. −35
36 B. −
2
3 C. −
19
36 D. −
2 15
Câu 343 (Đề 103 - 2018). Cho hàm số f(x)thỏa mãn f(2)= −
25và f
0(x)=4x3[f(x)]2với mọi x∈R Giá trị f(1)
A. − 41
400 B. −
1
10 C. −
391
400 D. −
1 40
Câu 344 (Đề thử nghiệm - 2017).
Cho hình thang cong(H)giới hạn đường y=ex, y=0,x=0, x=ln Đường thẳngx=k(0<k<ln 4)chia(H)thành hai phần có diện tích làS1 S2 hình vẽ bên Tìm kđể S1=2S2
A. k=2
3ln B. k=ln
C. k=ln8
3 D. k=ln x
y
O k ln
S1
S2
Câu 345 (Đề tham khảo - 2018).
Cho(H)là hình phẳng giới hạn parabol y=p3x2, cung trịn có phương trình y=p4−x2 (với06x62) trục hồnh (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích của(H)bằng
A. 4π+ p
3
12 B.
4π−p3
6
C. 4π+2 p
3−3
6 D.
5p3−2π
3
x y
O
2
Câu 346 (Đề 102 - 2018).
Cho hai hàm số f(x) = ax3+bx2+cx−2 g(x) = dx2+ex+2 (a,b,c,d,e∈R) Biết đồ thị hàm số y= f(x) y= g(x)
cắt ba điểm có hồnh độ là−2;−1; 1(tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích
A. 37
6 B.
13
2 C.
9
2 D.
37 12
x y
O
−2 −1
Câu 347 (Đề 103 - 2018).
Cho hai hàm số f(x)= ax3+bx2+cx−1 g(x)= dx2+ex+
1
2 (a,b,c,d,e ∈R) Biết đồ thị hàm số y = f(x)
y= g(x) cắt ba điểm có hồnh độ −3;−1;
(tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích
A. 253
12 B.
125
12 C.
253
48 D.
125 48
x
−3 −1
y
(54)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
Câu 348 (Đề tham khảo - 2019).
Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên tính theo cơng thức đây?
A.
Z
−1
(2x2−2x−4) dx B.
Z
−1
(−2x+2) dx
C.
Z
−1
(2x−2) dx D.
Z
−1
(−2x2+2x+4) dx
x y
y=x2−2x−1
y= −x2+3
−1
2 O
Câu 349 (Đề minh họa - 2017). Kí hiệu (H) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=2(x−1)ex, trục tung trục hồnh Tính thể tíchV khối trịn xoay thu quay hình(H)xung quanh trụcOx
A. V=4−2e B. V=(4−2e)π C. V=e2−5 D. V=(e2−5)π Câu 350 (Đề 101 - 2017).
Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị vận tốc hình bên Trong khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh I(2; 9)và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song song với trục hồnh Tính quãng đường smà vật di chuyển (kết làm trịn đến hàng phần trăm)
A. s=23, 25km B. s=21, 58km
C. s=15, 50km D. s=13, 83km
t v
O
4
1
9
Câu 351 (Đề 103 - 2018). Một chất điểm Axuất phát từO, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian quy luật v(t)=
100t
2+13
30t (m/s), t (giây) khoảng
thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O, chuyển động thẳng hướng với Anhưng chậm hơn10giây so với A có gia tốc a(m/s2) (alà số) Sau khiBxuất phát được15giây đuổi kịp A Vận tốc củaB thời điểm đuổi kịp A
A. 15(m/s) B. 9(m/s) C. 42(m/s) D. 25(m/s)
Câu 352 (Đề 104 - 2018). Một chất điểm Axuất phát từO, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian quy luật v(t)=
120t
2+58
45t (m/s), t (giây) khoảng
thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từO, chuyển động thẳng hướng với Anhưng chậm hơn3giây so vớiA có giá tốc a(m/s2) ( alà số) Sau Bxuất phát 15giây đuổi kịp A Vận tốc củaB thời điểm đuổi kịp A
A. 25(m/s) B. 36(m/s) C. 30(m/s) D. 21(m/s) Câu 353 (Đề 102 - 2018). Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(2)= −1
3 f
0(x)=x[f(x)]2 với mọi x∈R Giá trị f(1)
A. −11
6 B. −
2
3 C. −
2
9 D. −
7
Câu 354 (Đề tham khảo - 2018). Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục đoạn [0; 1]
thỏa mãn f(1)=0,
Z
0
Ê
f0(x)Ô2
dx=7và
Z
0
x2f(x) dx=1
3 Tích phân Z
0
(55)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
A.
5 B. C.
7
4 D.
Câu 355 (Đề 104 - 2018). Cho hàm số f(x)thỏa mãn f(2)= −1
5 f
0(x)=x3[f(x)]2 với mọi x∈R Giá trị f(1)
A. −
35 B. −
71
20 C. −
79
20 D. −
4
Câu 356 (Đề 101 - 2017).
Cho hàm số y=f(x) Đồ thị hàm số y=f0(x)như hình bên Đặth(x)=2f(x)−x2 Mệnh đề đúng?
A. h(4)=h(−2)>h(2) B. h(4)=h(−2)<h(2) C. h(2)>h(4)>h(−2) D. h(2)>h(−2)>h(4)
x y
2
O −2
2
−2
Câu 357 (Đề 102 - 2017).
Cho hàm số y= f(x) Đồ thị hàm số y= f0(x) hình bên Đặt g(x)=2f(x)−(x+1)2.Mệnh đề đúng?
A. g(−3)>g(3)>g(1) B. g(1)>g(−3)>g(3) C. g(3)>g(−3)>g(1)
D. g(1)>g(3)>g(−3) x
y
1
O
−3
−2
4
Câu 358 (Đề 103 - 2017).
Cho hàm số y = f(x) Đồ thị hàm số y = f0(x)
như hình bên Đặt g(x)=2f(x)+x2 Mệnh đề đúng? A. g(3)<g(−3)<g(1)
B. g(1)<g(3)<g(−3) C. g(1)<g(−3)<g(3) D. g(−3)<g(3)<g(1)
x y
1
−3
O
−3 −1
Câu 359 (Đề 104 - 2017).
Cho hàm số y= f(x) Đồ thị hàm số y=f0(x) hình bên Đặt g(x)=2f(x)+(x+1)2 Mệnh đề đúng?
A. g(1)<g(3)<g(−3) B. g(1)<g(−3)<g(3) C. g(3)=g(−3)<g(1) D. g(3)=g(−3)>g(1)
x y
1
−4
O
−3
−2
(56)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
Cho hàm số f(x) = ax3 +bx2 +cx−
2 g(x) = dx
2 + ex+
1 (a,b,c,d,e∈R) Biết đồ thị hàm số y= f(x) y= g(x)
cắt ba điểm có hồnh độ là−3;−1;1(tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích
A.
2 B. C. D.
x
−3 −1
1
O
Câu 361 (Đề 104 - 2018).
Cho hai hàm số f(x)=ax3+bx2+cx+3
4 g(x)=dx
2+ex−3
4 (a,b,c,d,e∈R) Biết đồ thị hàm số y=f(x)và y=g(x)
cắt ba điểm có hoành độ −2; 1; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích
A. 253
48 B.
125 24
C. 125
48 D.
253 24
x
−2
1
y
O
Câu 362 (Đề tham khảo - 2019).
Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A1,A2,B1,B2 hình vẽ bên Biết chi phí để sơn phần tơ đậm phần cịn lại Hỏi số tiền để sơn theo cách gần với số tiền đây, biết A1A2=8m, B1B2 = 6m tứ giác M N PQ hình chữ nhật có MQ=3m?
A. 7.322.000đồng B. 7.213.000đồng C. 5.526.000đồng D. 5.782.000đồng
A1 A2
B1 B2
Q
M N
P
Câu 363 (Đề thử nghiệm - 2017).
Ơng An có mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn 16m độ dài trục bé bằng10m Ông muốn trồng hoa dải đất rộng 8m nhận trục bé elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa 100.000 đồng/1m2 Hỏi ông An cần tiền để trồng hoa dải đất đó? (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn)
8m
A. 7.862.000đồng B. 7.653.000đồng C. 7.128.000đồng D. 7.826.000đồng
Câu 364 (Đề 102 - 2017).
Một vật chuyển động đầu với vận tốc v(km/h) phụ thuộc thời gian t(h) có đồ thị phần đường parabol có đỉnh I(2; 9)
và trục đối xứng song song với trục tung hình bên Tính qng đường smà vật di chuyển
A. s=24, 25 km B. s=26, 75 km
C. s=24, 75 km D. s=25, 25 km
t v
O
I
9
(57)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
Câu 365 (Đề 103 - 2017).
Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị vận tốc hình bên Trong khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh I(2; 9)với trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song song với trục hồnh Tính qng đườngsmà vật di chuyển 4giờ
A. s=26, 5km B. s=28, 5km
C. s=27km D. s=24km
v
t
2
O
I
Câu 366 (Đề 104 - 2017).
Một người chạy thời gian giờ, vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t(h) có đồ thị phần đường parabol với I
à 2;
ả
v trc đối xứng song song với trục tung hình bên Tính qng s đường người chạy khoảng thời gian45phút, kể từ bắt đầu chạy
A. s=4, 0km B. s=2, 3km C. s=4, 5km D. s=5, 3km
v
t
O
8
1
I
Câu 367 (Đề minh họa - 2017). Một ô tô chạy với vận tốc 10m/s người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với vận tốc v(t)= −5t+10(m/s), đót khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, ô tô di chuyển mét?
(58)DƯƠN
G
PHƯỚC
SAN
G
-THPT
CHU
V
ĂN
AN
BẢNG CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1 Cơng thức bản
sin2α+cos2α=1
cos2α=1+tan 2α.
sin2α=1+cot
2α.
tanα=sinα
cosα
cotα=cosα
sinα
tanαcotα=1
2 Công thức cộng
sin(a±b)=sinacosb±cosasinb
cos(a±b)=cosacosb∓sinasinb
tan(a±b)= tana±tanb
1∓tanatanb
3 Công thức nhân đôi
cos 2α=cos2α−sin2α
cos 2α=2 cos2α−1
cos 2α=1−2 sin2α
sin 2α=2 sinαcosα
tan 2α= tanα
1−tan2α
sin 2α= tanα
1+tan2α
cos 2α=1−tan 2α
1+tan2α
4 Công thức hạ bậc
cos2α=1+cos 2α
2 sin
2α=1−cos 2α
2 tan
2α=1−cos 2α
1+cos 2α
5 Công thức nhân ba
sin 3α=3 sinα−4 sin3α cos 3α=4 cos3α−3 cosα
tan 3α=3 tanα−tan 3α
1−2 tan2α
6 Cơng thức biến đổi tổng thành tích
sina+sinb=2 sina+b cos
a−b
2
sina−sinb=2 cosa+b sin
a−b
2
cosa+cosb=2 cosa+b cos
a−b
2
cosa−cosb= −2 sina+b sin
a−b
2
tana±tanb= sin(a±b)
cosa cosb
sina+cosa=p2 sin³a+π
4 ´
sina−cosa=p2 sin³a−π
4 ´
cosa+sina=p2 cos³a−π
4 ´
cosa−sina=p2 cos ³
a+π
4 ´
7 Cơng thức biến đổi tích thành tổng
cosacosb=1
2 Ê
cos(ab)+cos(a+b)Ô
sinasinb=1
2 Ê
cos(ab)cos(a+b)Ô
sinacosb=1
2 Ê
sin(a+b)+sin(ab)Ô
cosasinb=1
2 Ê
sin(a+b)sin(ab)Ô
8 Cụng thức bổ sung
sin4a+cos4a=1−1
2sin
22a.
(sina+cosa)2=1+sin 2a
sin6a+cos6a=1−3
4sin
22a.