Cho P là một đa thức với hệ số nguyên sao cho với mọi số nguyên dương n thì tổng các chữ số trong hệ thập phân của |P ( n ) | không là một số Fibonacci.[r]
(1)(2)Bài tập Final round Abel 2019
Tìm tất số nguyên không âmm, n thoả mãn mn−1|n3−1.
Bài tập All-Russian Olympiad 2019
Cho P(x) đa thức với hệ số nguyên (khác đa thức hằng) Dãy số a0, a1, định nghĩa sau: a0 ∈N ak =P(ak−1),∀k ∈N Giả sử với số
nguyên dương b dãy chứa luỹ thừa b số nguyên dương lớn Chứng minh rằngP(x) đa thức bậc
Bài tập APMO 2019
Cho số nguyên dương m dãy số {an}n>1 định nghĩa sau: a1 ∈ N với
mỗi n >1
an+1=
a2n+ 2m an<2m
an
2 an>2
m
Xác định giá trị củaa1 để{an}là dãy số nguyên
Bài tập Balkan MO 2019
Gọi P tập tất số nguyên tố Tìm tất hàm số f :P→P thoả mãn
f(p)f(q)+qp =f(q)f(p)+pq, ∀p, q ∈P (*)
Bài tập Baltic Way 2019
Cho{Fn} Dãy Fibonaci định nghĩaF1 =F2 = vàFn+1 =Fn+Fn−1 với n>2 Tìm tất cặp số (x, y) cho
5Fx−3Fy =
Bài tập Baltic Way 2019
Cho số nguyên dương n, đặt f(n) số cặp có thứ tự số nguyên dương (a, b) cho
(3)Bài tập Baltic Way 2019
Choplà số nguyên tố lẻ Chứng minh với số nguyêncthì tồn số nguyên a cho
ap+12 + (a+c)
p+1
2 ≡c (mod p) (*)
Bài tập Baltic Way 2019
Cho a, bvà c số ngun dương lẻ cho a khơng số phương
a2+a+ = 3(b2+b+ 1)(c2+c+ 1)
Chứng minh có hai số b2 +b+ 1 và c2+c+ 1 là hợp số. Bài tập Baltic Way 2019
Chứng minh phương trình 7x = +y2+z2 khơng có nghiệm ngun dương. Bài tập 10 Belarus Team Selection Test 2019
Cho tam thức bậc haip(x)có hệ số ngun thoả p(x)khơng chia hết cho3với số nguyên x Chứng minh tồn đa thức f(x) h(x) với hệ số nguyên cho
p(x)·f(x) + 3h(x) = x6 +x4+x2+
Bài tập 11 Belarus Team Selection Test 2019
Chứng minh với số nguyên n >1 n khơng chia hết 2n−1+ Bài tập 12 Brazil National Olympiad 2019
Cho m số nguyên dương Chứng minh tồn số nguyên dươngnm cho với số nguyên dươngn >nm, tồn số nguyên dương a1, a2, , an thoả
1
am
+
am
+ .+
am n
(4)Bài tập 13 Brazil National Olympiad 2019
Cho a, bvà k số nguyên dương với k >1 cho
lcm(a, b) + gcd(a, b) =k(a+b)
Chứng minh rằnga+b >4k
Bài tập 14 Canadian Mathematical Olympiad 2019
Cho hai số nguyên dương a, b thoả a+b3 chia hết cho a2+ 3ab+ 3b2−1 Chứng minh tồn số nguyênc > 1sao cho c3 ước củaa2+ 3ab+ 3b2−1
Bài tập 15 Chinese Girls Mathematical Olympiad 2019 Cho plà số nguyên tố thoả p|(22019−1)và dãy số a
1, a2, , an, thoả điều kiện a0 = 2, a1 =
an+1 =an+p
2−1
4 an−1 (n>1)
Chứng minh rằngp-(an+ 1) với mọin >0
Bài tập 16 China Second Round 2019 Tìm tất số nguyên dương n thoả (1) n có ước ngun dương
(2) tất ước nguyên dương n d1, d2,· · · , dk, d2 − d1, d3 − d2,· · · , dk−dk−1 cấp số nhân
Bài tập 17 CMIMC 2019 Với số nguyên dương n, đặt
f(n) =
n
X
k=1 ϕ(k)
n k
2
(5)
Bài tập 18 CMIMC 2019
Gọi ϕ(n) số số nguyên dương bé n nguyên tố với n Xác định số nguyên 2≤n≤50 cho tất hệ số đa thức
fn(x) =
xϕ(n)−1− Y 16k6n gcd(k,n)=1
(x−k)
chia hết chon
Bài tập 19 Czech-Polish-Slovak 2019
Cho số ngun dương n có ước nguyên dương Giả sử ước nguyên dương n thành dãy {di}16i6k với
1 =d1 < d2 <· · ·< dk =n (k>6)
Tìm tất số nguyên dương n cho
n =d25+d26 Bài tập 20 ELMO SHORTLIST 2019 - N1
Cho đa thức với hệ số nguyên P(x)sao cho P(0) = số nguyên c > Ta định nghĩa dãy số nguyên x0 = xi+1 = P(xi) vối i > Chứng tỏ có vơ hạn số ngun dương n cho gcd(xn, n+c) =
Bài tập 21 ELMO SHORTLIST 2019 - N2
Gọi f : N → N hàm số Chứng minh f(m) +n | f(n) +m với m6n f(m) +n|f(n) +m với mọim >n
Bài tập 22 ELMO SHORTLIST 2019 - N3
(6)Bài tập 23 ELMO SHORTLIST 2019 - N4
Cho số nguyên dươngbvà dãy số nguyên a0, a1, a2, với0≤ai < b Biết a0 6= dãy {ai}là dãy tuần hồn có vơ hạn số hạng khác Gọi S tập số nguyên dương n cho n |a0a1 anb Giả sử S vơ hạn, chứng minh có vơ hạn số nguyên tố ước phần tử thuộcS
Bài tập 24 ELMO SHORTLIST 2019 - N5
Cho số nguyên dương chẵn m, tìm tất số nguyên dương n cho tồn song ánh f : [n]→[n] thoả: với x, y ∈[n] mà n |mx−y
n+ 1|f(x)m−f(y)
Ở [n] ={1,2, , n}
Bài tập 25 GREECE NATIONAL OLYMPIAD 2019
Định nghĩa dãy số {an} nhu sau: a1 = an = 5an−1 + 3n−1 với n> Tìm v2(a22019)
Bài tập 26 GREECE JBMO TST 2019
Tìm tất cặp số nguyên dương (x, n) thoả 3·2x+ =n2.
Bài tập 27 HMIC 2019
Cho p = 2017 số nguyên tố Zp tập số nguyên theo modulo p Hàm số f :Z→Zp gọi tốt tồn tạiα ∈Zp with α 6≡0 (mod p)sao cho
f(x)f(y)≡f(x+y) +αyf(x−y) (mod p), x, y ∈Z
Hỏi có hàm số tốt có chu kì 2016?
Bài tập 28 IBEROAMERICAN MATHEMATICAL OLYMPIAD 2019
(7)Bài tập 29 IBEROAMERICAN MATHEMATICAL OLYMPIAD 2019
Xác định tất đa thức P(x) có bậcn >1và hệ số nguyên cho với số thực x điều kiện sau thoả mãn
P(x) = (x−P(0))(x−P(1))(x−P(2))· · ·(x−P(n−1))
Bài tập 30 IBEROAMERICAN MATHEMATICAL OLYMPIAD 2019
Choa1, a2, , a2019 số nguyên vàP đa thức với hệ số nguyên thoả với số nguyên dương n
P(n)|an1 +an2 +· · ·+an2019
Chứng minh rằngP đa thức
Bài tập 31 International Festival of Young Mathematicians Sozopol 2019 First round - 26th annual VJIMC 2016
Với số tự nhiên n > 1, gọi ϕ(n) số số tự nhiên bé n nguyên tố với n Tìm tất số nguyên dương lẻ n cho
ϕ(n)|n2+
Bài tập 32 International Festival of Young Mathematicians Sozopol 2019 Third round
Tìm tất đa thức f có hệ số nguyên cho với số nguyên tố lẻ pthì
(8)Bài tập 33 International Festival of Young Mathematicians Sozopol 2019 Fourth round - Pocklington theorem
Cho số nguyên n >1, giả sử tồn số nguyên a số nguyên tố psao cho i) an−1 ≡1 (mod n),
ii) p|n−1và p > √n−1,
iii) gcda(n−1)/p−1, n=
Chứng minh rằngn số nguyên tố
Bài tập 34 International Festival of Young Mathematicians Sozopol 2019 Finals Với m ∈ N , gọi π(m) số số nguyên tố không lớn m Tìm tất cặp số tự nhiên (a, b)sao cho tồn đa thức P, Q với hệ số nguyên thoả mãn
π(an)
π(bn) =
P(n)
Q(n), ∀n∈N
Bài tập 35 International Mathematical Excellence Olympiad 2019
Một tập N gồm hai phần tử gọi làđầy đủ chứa số nguyên tố hợp số Xác định tất đa thức f có hệ số nguyên cho với tập đầy đủ {p, q} tập {f(p) +q, f(q) +p} đầy đủ
Bài tập 36 International Mathematical Excellence Olympiad 2019
Tìm tất cặp số nguyên dương (s, t) cho với cặp số nguyên dươnga b tồn số nguyên dương n để
as+bt|an+bn+1
Bài tập 37 International Mathematical Excellence Olympiad 2019
(9)Bài tập 38 IMO 2019
Tìm tất số nguyên dương n, k cho
k! = (2n−1)(2n−2) .(2n−2n−1)
Bài tập 39 India International Mathematics Olympiad Training Camp 2019 Chứng minh không tồn số tự nhiên a1, a2, , a2018 cho
(a1)2018 +a2,(a2)2018 +a3, ,(a2018)2018+a1
đều luỹ thừa
Bài tập 40 India TST 2019
Tìm tất đa thức đơn khởi khác f(x) có hệ số nguyên cho cho tồn số nguyên dương m để với n >m f(n)|f(2n)−2f(n).
Bài tập 41 India National Olympiad 2019
Lấym, n hai số nguyên dương phân biệt Chứng minh
gcd(m, n) + gcd(m+ 1, n+ 1) + gcd(m+ 2, n+ 2)62|m−n|+
Xác định nà dấu “=” xảy
Bài tập 42 India Regional Mathematical Olympiad 2019
Cho bảy số nguyên dương a1, a2,· · · , a6, a7 Gọi S tập tất số có dạng a2i +a2j với 16i < j 67 Chứng minh tồn hai phần tử thuộc S mà đồng dư modulo 36
Bài tập 43 International Zhautykov Olympiad 2019
Cho trước số nguyên dương n >1 Gọi I tập số nguyên mà nguyên tố với n hàm số f :I → Z Số nguyên dương k gọi chu kì hàm số f với cặp số nguyên a, b∈I thoả a≡b (mod k)thì f(a) = f(b) Giả sử f có chu kì làn, chứng minh chu kì bé f ước chu kì khác
(10)Bài tập 44 Iran Team Selection Test 2019 - First round
Cho dãy số tự nhiêna, a1, a2, , an Biết với số tự nhiênk mà ak+ số phương sốa1k+ 1, , ank+ 1cũng số phương Chứng minh a số a1, , an
Bài tập 45 Iran Team Selection Test 2019 - First round
Cho hai dãy số nguyên {an}n≥0 {bn}n≥0 thoả an, bn∈ {0,1,2,· · · ,9} Biết tồn số m cho an, bn = 06 với mọin >m với n >0
(an· · ·a1a0)2+ 999|(bn· · ·b1b0)2+ 999
Chứng minh rằngan=bn với n>0
Chú ý (xnxn−1 x0) = 10n×xn+· · ·+ 10×x1+x0
Bài tập 46 Iran Team Selection Test 2019 - First round Gọi S tập N có vơ hạn phần tử Đặt
S0 =
xy+yx|x, y ∈S, x6=y
Chứng minh tập ước nguyên tố S0 vô hạn
Bài tập 47 Iran Team Selection Test 2019 - First round
Với số nguyên dương n ta định nghĩa tập Sn N sau
Sn=
x2+ny2|x, y ∈Z
(11)Bài tập 48 Iran Team Selection Test 2019 - Third round Gọi S tập vô hạn số nguyên dương định nghĩa
T ={x+y|x, y ∈S, x6=y}
Giả sử có hữu hạn số nguyên tố pthoả mãn (i) p≡1 (mod 4)
(ii) tồn số nguyên dương s∈T cho p|s
Chứng minh có vơ hạn số ngun tố ước phần tử thuộc S Bài tập 49 Iran Team Selection Test 2019 - Third round
Tìm tất hàm số f :N→ N cho với ba số nguyên dương phân biệt x, y, z x+y+z số phương khif(x) +f(y) +f(z)là số phương
Bài tập 50 Iran Team Selection Test 2019 - Third round
Đa thứcP(x) = anxn+an−1xn−1+ a1x+a0 với hệ số nguyên gọi nguyên
thuỷ gcd(an, an−1, a1, a0) =
a) LấyP(x)là đa thức nguyên thuỷ có bậc bé 1398 S tập số nguyên tố lớn 1398 Chứng minh tồn số nguyên dương n cho P(n)
khơng chia hết cho số nguyên tố thuộc S
(12)Bài tập 51 Iran Team Selection Test 2019 - Third round
Cho a, m số nguyên dương thoả mãn ordm(a) số lẻ với hai số nguyênx, y mà
i) xy≡a (mod m),
ii) ordm(x)≤ordm(a),
iii) ordm(y)≤ordm(a),
thì hoặcordm(x)|ordm(a)hoặcordm(y)|ordm(a) Chứng minh ordm(a)chứa tối đa nhân tử nguyên tố
Bài tập 52 ITAMO 2019
Cho p, q số nguyên tố Chứng minh p+q2 là số phương thì p2+qn khơng số phương với số nguyên dương n.
Bài tập 53 ITAMO 2019
Kí hiệubxc số nguyên lớn không vượt số thực x Cho λ≥1 số thực n số nguyên dương thoả
λn+1,λn+2, ,λ4n
đều số phương Chứng minh bλc số phương
Bài tập 54 Japan Mathematical Olympiad 2019 Tìm tất ba số nguyên dương (a, b, c)sao cho
(13)Bài tập 55 Japan Mathematical Olympiad 2019 - Iran TST 2017
Một tập S tập số nguyên dương gọi tập đẹp với ba số phân biệt x, y, z ∈S có số ước x+y+z
a) Chứng minh tồn số N thoả mãn điều kiện sau: với tập đẹp S tồn nguyên dương nS >2 cho có tối đaN phần tử thuộcS khơng bội nS
b) Tìm số N bé thoả mãn điều kiện Bài tập 56 Junior Balkan MO 2019
tìm tất số nguyên tố psao cho tồn số nguyên dương x, y, z để
xp+yp+zp−x−y−z
là tích số nguyên tố
Bài tập 57 Kazakhstan National 2019
Cho p số nguyên tố dạng 4k+ mn phân số tối giản cho p−2
X
a=2
1
a(p−1)/2+a(p+1)/2 = m
n Chứng minh rằngp|m+n
Bài tập 58 Kazakhstan National 2019
Tìm tất số nguyên dương n, k, a1, a2, , ak cho nk+1+ chia hết cho
(na1+ 1)(na2+ 1) (nak+ 1)
Bài tập 59 Korea National Olympiad 2019
Giả sử số nguyên dương m, n, k thoả mãn hệ phương trình
m2+ = 2n2 (1)
2m2+ = 11k2 (2)
(14)Bài tập 60 Korea National Olympiad 2019
Cho 19 ba số nguyên (x1, y1, z1),(x2, y2, z2), ,(x19, y19, z19) Chứng minh tồn ba số phân biệt i, j, k cho
xi+xj+xk, yi+yj +yk, zi+zj +zk
đều bội
Bài tập 61 Korea National Olympiad 2019
Cho p số nguyên tố dạng7k+ Chứng minh tồn số nguyên dương m cho m3+m2−2m−1 là bội của p.
Bài tập 62 Korea 2019 - Final Round
Cho dãy số {xn} không chứa số nguyên tố thoả
x0 = 1, x1 =k+ xn+2 = (k+ 1)xn+1−xn
Chứng minh tập số nguyên k vô hạn Bài tập 63 Korea 2019 - Final Round
Tìm tất cặp số nguyên (p, q) cho phương trình
x4+ 2px2+qx+p2−36 =
có nghiệm nguyên (kể nghiệm bội) Bài tập 64 Kosovo MO 2019 Grade 12
Tìm tất số nguyên dương x, y cho 2x + 19y là lập phương số nguyên
(15)Bài tập 66 Middle European Mathematical Olympiad 2019
Tìm số nguyên dương n bé thoả mãn: từ n số nguyên liên tiếp bất kì, người ta chọn một tập (khác rỗng) số nguyên liên tiếp cho tổng chúng chia hết cho 2019
Bài tập 67 Middle European Mathematical Olympiad 2019
ChoN số nguyên dương cho tổng bình phương ước dương củaN với tích N·(N + 3) Chứng minh tồn hai số i j để N =FiFj, {Fn}n=1 dãy Fibonacci định nghĩa sauF1 =F2 = 1vàFn=Fn−1+Fn−2 với n >3
Bài tập 68 Middle European Mathematical Olympiad 2019
Cho a, b c số nguyên dương thoả a < b < c < a+b Chứng minh c(a−1) +b không ước c(b−1) +a
Bài tập 69 Moldova TST 2019
Cho p ≥5 số nguyên tố Chứng minh tồn số hai số nguyên dương m n thoả
m+n≤ p+
2
trong p ước của2n·3m−1.
Bài tập 70 Nigerian Senior Mathematics Olympiad Round 2, 2019
Cho s, tlà hai số nguyên dương plà số nguyên tố thoả p|2t2−1và p2 |2st+ 1. Chứng minh rằngp2 |s2 +t2−1.
Bài tập 71 Nigerian Senior Mathematics Olympiad Round 4, 2019 Cho f :N→N hàm số thoả mãn
i) 1≤f(x)−x≤2019, ∀x∈N,
ii) f(f(x))≡x (mod 2019), ∀x∈N
Chứng minh tồn x∈N cho fk(x) =x+ 2019k với mọi k ∈
(16)Bài tập 72 Nigerian Senior Mathematics Olympiad Round 4, 2019
Cho dãy số {xn}được định nghĩa saux0 = 0, x1 = vàxn+2 = 3xn+1−2xn với n > Tiếp theo ta định nghĩa dãy {yn} thoả yn = x2n+ 2n+2 với n > Chứng minh với n >0 yn bình phương số lẻ
Bài tập 73 Shortlist from the 2019 Pan-African Mathematics Olympiad in Cape Town, South Africa
Gọi A tập hợp số nguyên dương n thoả mãn 2nn không chia hết cho Biết tập A thứ tự tăng dần, tìm phần tử thứ 2019 (theo thứ tự tăng đó) A
Bài tập 74 Poland 2019 - Second Round - Romanian TST 2007
Cho số nguyên dương n>3 vàai với 16i6n số nguyên dương mà có ước chung lớn
aj chia hết n
X
i=1 với mọi16j 6n Chứng minh
n
Y
i=1
ai chia hết
n
X
i=1
n−2
Bài tập 75 Polish MO Finals 2019
Cho p số nguyên tố r số nguyên cho p |r7−1 Chứng minh tồn số nguyên a, bsao cho p|r+ 1−a2 và p|r2+ 1−b2 thì tồn số nguyên c cho p|r3+ 1−c2.
Bài tập 76 Polish MO Finals 2019
(17)Bài tập 77 Romania Team Selection Tests 2019
Cho số nguyên k ≥2và k sốn1, n2, , nk ∈N thoả mãn
n2 |2n1 −1, n3 |2n2 −1, , nk |2nk−1 −1, n1 |2nk−1
Chứng minh rằngn1 =n2 =· · ·=nk=
Bài tập 78 Romania Team Selection Tests 2019 - Vietnam TST 2002
Chứng minh tồn tồn số nguyên n>2002 n số nguyên dương phân biệt a1, a2, , an cho
N =a21a22· · ·a2n−4(a21+a22+· · ·+a2n)
là số phương
Bài tập 79 Romania Team Selection Tests 2019 - Vietnam TST 2002
Xác định tất hàm số f từ tập số nguyên khơng âm vào cho
f(a+b) =f(a) +f(b) +f(c) +f(d)
với mọia, b, c, d∈N thoả 2ab=c2+d2
Bài tập 80 Romania Team Selection Tests 2019 - Turkey TST 2013 Tìm tất cặp số nguyên (m, n)sao cho m6 =nn+1+n−1.
Bài tập 81 Saint Petersburg Mathematical Olympiad 2019
Trên bảng đen người ta viết100số nguyên dương phân biệt thành hàng ngang Người ta thêm vào số ước chung lớn 99 số lại (lúc ban đầu) Hỏi 100 số mới, có số khơng?
Bài tập 82 Serbia National MO 2019
(18)Bài tập 83 Silk Road Mathematics Competiton 2019 Dãy số{an} định nghĩa sau
a0 =
an= b√nc
P
k=1
an−k2 với n≥1
Chứng minh a1, a2, , a106 có 500 số chẵn
Bài tập 84 Silk Road Mathematics Competiton 2019 Tìm tất cặp số tự nhiên (n, a) cho ϕ(an+n) = 2n Bài tập 85 Singapore National Matematical Olympiad 2019
Cho p≡2 (mod 3)là số nguyên tố, k số nguyên dương đa thức
P(x) = 3x2p3−1 + 3x
p+1
3 +x+
Đặt S ={0,1,· · ·, p−1}, với số nguyên n, ta kí hiệu R(n) số dư củan chia cho p Tại bước ta thực hai biến đổi sau
(a) thay phần tử ithuộc S R(P(i)), (b) thay phần tử ithuộc S R(ik)
Xác định số nguyên dương k cho tồn hữu hạn bước biến đổiS về{0}
Bài tập 86 South African Mathematics Olympiad 2019
Tìm tất cặp số nguyên không âm (m, n) thoả mãn phương trình
20m−10m2+ = 19n
Bài tập 87 South East Mathematical Olympiad 2019
(19)Bài tập 88 South East Mathematical Olympiad 2019
Tồn hay không số nguyên dương m, n cho tồn n + số thực x0, x1, , xn thoả
x0 = 428, xn= 1928, xk+1 10 = xk 10
+m+
xk
5
06k6n−1
Bài tập 89 Spain Mathematical Olympiad 2019 Gọi S tập ước nguyên tố tập
{22+ 32+ +n2|n>2}
Hỏi tập S hữu hạn hay vơ hạn? Chứng minh nhận định Bài tập 90 Spain Mathematical Olympiad 2019
Tìm tất cặp số nguyên (x, y) thoả mãn phương trình 3423(x2+y2) =x3y3. Bài tập 91 Thailand Mathematical Olympiad 2019
Cho a, blà hai số nguyên dương nguyên tố với Chứng minh 2a(a
2+b2) a2 −b2 không số nguyên
Bài tập 92 Turkey TST 2019
Cho {an}là dãy số nguyên định nghĩa sau
a1 = 1, a2 =
an+2 =a2n+1+ (n+ 2)an+1−a2n−nan ∀n>1
a) Chứng minh tập S ước nguyên tố {an} vô hạn
(20)Bài tập 93 Turkey TST 2019
Cho số nguyên n cób chữ số, số nguyên dương gọi làước n tồn cặp số ngun khơng âm(r, l) với r+l < b mà ước số cịn lại sau ta xố r chữ số n từ bên trái l chữ số n từ bên phải Với số nguyên dươngd ta gọiAd tập số nguyên dương mà khơng nhận dlà ước Tìm d đểAd hữu hạn
Bài tập 94 Turkey TST 2019
Cho p >2 số nguyên tố, m >1 n hai số nguyên dương cho mpn−1
mn−1
là số nguyên tố Chứng minh pn|(p−1)n+
Bài tập 95 Tuymaada Olympiad 2019 Chứng minh
(14+ 12+ 1)(24 + 22+ 1)· · ·(n4 +n2+ 1)
khơng số phương với mọin ∈N
Bài tập 96 USA TST for EGMO 2019 Cho n số nguyên dương cho
1k+ 2k+· · ·+nk
n ∈Z
với mọik ∈ {1,2, ,99} Chứng minh n khơng có ước nằm 100
Bài tập 97 USA TST for EGMO 2019
Với cặp số nguyên dương (m, n), gọi am,n số thực Giả sử
am+1,n+1 =
(21)Bài tập 98 USA Winter TST for IMO 2019
Tìm tất số nguyên dương n cho tồn song ánh g : Zn → Zn mà hàm
g(x), g(x) +x, g(x) + 2x, , g(x) + 100x song ánh Zn
Bài tập 99 USA TSTST 2019
ChoP đa thức với hệ số nguyên cho với số nguyên dươngn tổng chữ số hệ thập phân |P(n)|không số Fibonacci Chứng minh P đa thức
Bài tập 100 USA TSTST 2019
Cho f :Z→ {1,2, ,10100} là hàm thoả mãn
gcd(f(x), f(y)) = gcd(f(x), x−y)
với x, y ∈ Z Chứng minh tồn hai số nguyên dương m n cho f(x) = gcd(m+x, n) với mọix∈Z
Bài tập 101 Vojtˇech Jarník IMC 2019
Cho {an}∞n=0 dáy số định nghĩa sau a0 =
an+1 =
7an+
p 45a2
n−36
2
với mọin >0 Chứng minh với mọin a) an số nguyên dương