Mỗi tuần tôi sẽ đưa lên một bài toán hình học do tôi sáng tác và những lời giải mà tôi thấy tâm đắc, đồng thời tôi cũng sẽ đề nghị một bài toán cho tuần sau.. Đề bài.[r]
(1)Tuần tháng năm 2015
Mỗi tuần toán Trần Quang Hùng,Trường THPT chuyên KHTN, ĐHKHTN, ĐHQGHN
Đây chuyên mục hàng tuần blog "Hình học sơ cấp" Mỗi tuần tơi đưa lên tốn hình học sáng tác lời giải mà thấy tâm đắc, đồng thời đề nghị toán cho tuần sau
Đề bài
Cho tam giácABC vng tạiA có đường caoAH.E, F hình chiếu H lên CA, AB Gọi K, L, N tâm bàng tiếp đỉnh H tam giácHBF, HCE, HEF Chứng minh rằngA tâm nội tiếp tam giácKLN
Lời giải
B
A
C H
F K
E N
L X
Y T
Z
I
Gọi LE, KF cắt HN X, Y Gọi Z, T hình chiếu
N lên F H L lên CE Chú ý tam giác vng cân ta có F Y
F Y +N Y =
Y H
Y H+N Y = Y H
HN =
HF
2HZ = HF
HE+HF +EF =
AB
AB+AC+BC (1)
Lại có XH
XH+LX =
XE
2XE+LE =
HE
2HE+ET = HE
2HE+ (CE+CH−HE) =
AB
AB+AC+BC (2)
Từ (1),(2) suy Y F
Y N = XH
XL Tương tự XE XN =
Y H
Y K Nhân
các tỷ số ý Y F = Y H, XE = XH dễ suy
1
Y N.XN =
1
XL.Y K Từ suy tam giác vuông Y N K
vàXLN đồng dạng suy ra∠KN L= 90◦ Ta thấy N K
N L = KY
XN =
Y H XE =
HF HE =
AB
AC Từ tam giác N KL vàABC đồng dạng
GọiIlà tâm nội tiếp tam giácABC Ta thấy tam giác
HF K LEH đồng dạng AE.AF =HE.HF =F K.EL
mà ∠AEL = ∠KF A = 135◦ Từ tam giác AEL KAF
đồng dạng Vậy AK
AL = KF AE =
KF F H =
IB
IC Ta ý đẳng thức
cuối có tam giácF KH vàIBC đồng dạng Mặt khác ta có∠KAL= 90◦+∠KAF+∠LAE = 90◦+ 45◦= 135◦ =∠BIC Từ tam giác AKLvà IBC đồng dạng Suy raA tâm nội tiếp tam giácN KL
Nhật xét
Bài toán tác giả phát cách tình cờ làm việc với hệ thức lượng tam giác vuông Nếu thay thuật ngữ "tâm nội tiếp" thành thuật ngữ "giao ba phân giác trong" coi tốn chương trình tam giác đồng dạng Bài tốn có nhiều phát triển thú vị ta thay tam giác vuông thành tam giác Bài toán quan tâm đưa lời giải khác thú vị bạn
Phạm Quang Tồn từ http://diendantoanhoc.net Ngồi bạnTồncịn đưa số phát triển từ cấu hình tốn, bạn xem lời giải trao đổi ởđây
Bài toán đề nghị
Cho tam giác ABC có đường trịn nội tiếp (I) tiếp xúc BC
D Tâm đường tròn bàng tiếp góc A làJ P điểm trên(I) không trùng D.QthuộcBC choJ QkP D Chứng minh đường trịn ngoại tiếp tam giácP BC chia đơiQJ
A
B C
J Q
M I P
D
Mọi trao đổi xin gửi email analgeomatica@gmail.com
http://diendantoanhoc.net đây. http://analgeomatica.blogspot.com/