Mỗi tuần tôi sẽ đưa lên một bài toán hình học do tôi sáng tác và những lời giải mà tôi thấy tâm đắc, đồng thời tôi cũng sẽ đề nghị một bài toán cho tuần sau.. Đề bài.[r]
(1)Tuần tháng năm 2015
Mỗi tuần toán Trần Quang Hùng,Trường THPT chuyên KHTN, ĐHKHTN, ĐHQGHN
Đây chuyên mục hàng tuần blog "Hình học sơ cấp" Mỗi tuần tơi đưa lên tốn hình học sáng tác lời giải mà thấy tâm đắc, đồng thời đề nghị toán cho tuần sau
Đề bài
Cho tam giác ABC với tâm ngoại tiếp O P, Q hai điểm đẳng giác nằm tam giác Gọi M, N hình chiếu P, Q lênBC Gọi K trung điểmP, Q.E, F hình chiếu củaKlênCA, AB.G, H đối xứngAquaE, F Đường trịn ngoại tiếp tam giácGN M vàHM N cắtCA, ABtạiS, T khác
G, H Chứng minh OK vng góc vớiST
Lời giải
A
B C
O P
Q
M
N
K G
H
T S
U V
F
E
Gọi U, V hình chiếu P, Q lên CA Ta có BU.BV =
BM.BN =BT.BHtừ có BU
BT = BH
BV hay(U T, B) = (HV, B)
hay(BT, U) = (BV, H) Tương tự ta có BV
BT = BH
BU suy
(V T, B) = (HU, B)hay (BT, V) = (BU, H) Từ (BT, U V) = (BT, U)
(BT, V) =
(BV, H)
(BU, H) = (U V, H) =
HU HV =
V A
U A = (V U, A) hay
(T B, V U) = (V U, A) Từ theo hệ thức Maclaurin mở rộng suy T V.T U =T B.T A ýA, G, H thuộc đường trịn(K) Từ T thuộc trục đẳng phương (O) và(K) Tương tự với
S suy raST trục đẳng phương của(O) và(K)vậyST ⊥OK
Nhật xét
Tác giả thu toán từ việc tổng quát toán thi chọn đội tuyển Thổ Nhĩ Kỳ năm 2015, tốn sau Cho tam giácABC với tâm nội tiếpI tâm ngoại tiếpOsao cho
AC > BC > AB đường tròn nội tiếp tiếp xúcBC, CA, AB
tạiD, E, F Gọi đối xứng củaAquaF, E làF1, E1 Đường tròn tiếp xúc BC D qua F1 cắt AB điểm thứ hai F2 Đường tròn tiếp xúcBC tạiDvà quaE1 cắtAC điểm thứ hai E2 Trung điểm đoạn OE, IF P, Q Chứng minh rằngAB+AC= 2BC P Q⊥E2F2
Trong toán ban đầu cho hai điểm đẳng giác P, Q trùng kết hợp số biển đổi nhỏ ta thu toán
Bài toán đề nghị
Cho tam giácABC nội tiếp đường trịn(O)có trực tâmH, trung tuyến AM K trung điểm AM P điểm di chuyển
(O) L hình chiếu M lênAP I trung điểmP L Đường trịn đường kính AH cắt (O) G khác A GI cắt (O) S
khác G.T điểm thuộcGL cho IT vng gócKI Chứng minh rằngST qua điểm cố định P di chuyển
A
B C
H
M K
O
P L
I G
S T
Mọi trao đổi xin gửi email analgeomatica@gmail.com
http://analgeomatica.blogspot.com/