AD là đường kính của ( O ) thì DM đi qua trực tâm H của tam giác hơn nữa AQ ⊥ BC , do đó tiếp tuyến tại E, F của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF sẽ cắt nhau trên trung trực BC.. Bài t[r]
(1)Tuần tháng năm 2015
Mỗi tuần toán Trần Quang Hùng,Trường THPT chuyên KHTN, ĐHKHTN, ĐHQGHN
Đây chuyên mục hàng tuần blog "Hình học sơ cấp" Mỗi tuần tơi đưa lên tốn hình học sáng tác lời giải mà thấy tâm đắc, đồng thời đề nghị toán cho tuần sau
Đề bài
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn(O) Dlà điểm thuộc cung BC không chứaA M trung điểmBC.P điểm nằm đường thẳng DM.E, F thuộcCA, AB cho
P E kDC vàP F kDB Gọi tiếp tuyến tạiE, F đường tròn
(K)ngoại tiếp tam giác AEF cắt tạiT Gọi tiếp tuyến
B, C (O) cắt S Q thuộc (O) cho DQk BC Chứng minh AQkST
Lời giải
A
B C
O
D M
P F
E K
G
Q T R
S
Ta dễ thấy tứ giácAEP F nội tiếp đường tròn(K) GọiDP cắt
(O)tạiGkhácD DoP F kDB nên∠F P G=∠BDG=∠BAG
từ Gthuộc(K) Từ dễ có tam giác GF E vàGBC đồng dạng Chú ý chùm D(BC, M Q) = −1 nên hàng (BC, GQ) =
−1 Gọi AQ cắt (K) R khác A theo tính đồng dạng
(EF, GR) = −1 hay tứ giác GERF điều hòa, suy GR qua T Cũng từ tam giác GF E GBC đồng dạng, lại có T
là giao hai tiếp tuyến E, F (K) S giao hai tiếp
tuyến B, C (O), nên hai tam giác GF T GBS đồng dạng Từ suy tam giácGF B vàGT S đồng dạng Từ
∠GT S = ∠GF B = 180◦−∠GF A = 180◦−∠GRA= ∠GRQ Từ suy AQkST Ta có điều phải chứng minh
Nhật xét
Bài toán mở rộng cho tốn tác giả đề nghị báo TH&TT Bài toán báo trường hợp riêng
AD đường kính của(O) thìDM qua trực tâmH tam giác AQ⊥ BC, tiếp tuyến E, F đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt trung trực BC Bài tốn có giá trị ứng dụng lớn Chẳng hạn cho Dlà trung điểm cung nhỏ BC P coi điểm trung trực BC Với cách dựng tương tự thìST song song với phân giác ∠BAC, từ ta tạo tốn qua điểm cố định thú vị
Bài toán quan tâm đưa lời giải khác bloghình học sơ cấp Một lời giải khác đẹp túy hình học đưa bạn Nguyễn Tiến Dũngsinh viên Khóa 50 Đại học Ngoại thương BạnNguyễn Cảnh Hồng lớp 11A1 Tốn, trường THPT chun Phan Bội Châu, Nghệ An cho lời giải khác dùng hàng điểm điều hịa ởđây
Bài tốn đề nghị
Cho tam giácABC có phân giác trongBE.Dlà điểm thuộcBC
sao cho ∠DAC = ∠B.K tâm nội tiếp tam giác ADC EK
cắt đường tròn ngoại tiếp tam giácABE Lkhác E Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác LBC nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
A
B D C
K E
L
S
Mọi trao đổi xin gửi email analgeomatica@gmail.com
hình học sơ cấp đây. http://analgeomatica.blogspot.com/