Mỗi tuần một bài toán hình học sơ cấp tuần 4 tháng 9 năm 2015

Mỗi tuần tôi sẽ đưa lên một bài toán hình học do tôi sáng tác và những lời giải mà tôi thấy tâm đắc, đồng thời tôi cũng sẽ đề nghị một bài toán cho tuần sau.. Đề bài.[r]

(1)

Tuần tháng năm 2015

Mỗi tuần toán Trần Quang Hùng,Trường THPT chuyên KHTN, ĐHKHTN, ĐHQGHN

Đây chuyên mục hàng tuần blog "Hình học sơ cấp" Mỗi tuần tơi đưa lên tốn hình học sáng tác lời giải mà thấy tâm đắc, đồng thời đề nghị toán cho tuần sau

Đề bài

Cho tam giácABC có phân giác trongBE Dlà điểm thuộcBC

sao cho ∠DAC =∠B K tâm nội tiếp tam giác ADC EK

cắt đường tròn ngoại tiếp tam giácABE L khácE Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác LBC nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Lời giải

A

B C

I

E

D

K

L

S

J

GọiI tâm nội tiếp tam giác ABC Đường tròn ngoại tiếp tam giác AIE cắt AI J khácI Ta thấyCI.CJ =CE.CA Lại dễ có 4CKA ∼ 4CIB nên CKCI = CBCA = CDAC Từ

CK.CJ = CKCI (CI.CJ) = CE.CD nên 4CEK ∼ 4CJ D

suy ∠CEK = ∠AJ D Ta định nghĩa lại điểm L giao DJ KE tứ giác CEJ L nội tiếp Suy ∠DLK =

∠KCE = ∠KCD suy tứ giác DKCL nội tiếp Cũng từ

4CKA ∼ 4CIB nên ∠AKJ = ∠CIE = ∠CAJ Từ

J A2 = J K.J C = J D.J L suy 4J AD ∼ 4J LA suy

∠ALD = ∠J AD = ∠DAC −∠J AC = ∠ABC −∠AKJ =

∠ABC − 12(∠DAB+∠ACB) = 12(∠ABC −∠ACB) Suy

∠ALE =∠ALD+∠DLE= 12(∠ABC −∠ACB) + 12∠ACB=

1

2∠ABC = ∠ABE Từ tứ giác ABLE nội tiếp Từ dễ

chứng minh∠BLC = 180◦−1

2∠BAC nên tâm ngoại tiếp S

tam giácBLC trung điểm BC_ chứaA đường trịn ngoại tiếp tam giácABC Ta có điều phải chứng minh

Nhật xét

Tác giả tạo toán xuất phát từ toán số đề thi IMO 2009 Bài tốn tốn tính góc khơng khó phân tích cách sâu sắc tốn mở rộng tốn thi IMO Bài tốn tham gia giải Nguyễn Ngọc Chi Lan học sinh lớp 12A1 Toán trường THPT chuyên KHTN Trong bạnNguyễn Thành Phátlớp 11CT trường THPT chuyên Nguyễn Du đưa lời giải túy hình học hoàn thiện bạnChi Lan Ngoài bạnNguyễn Tiến Dũngsinh viên K50 Đại học Ngoại thương gửi tới tác giả hai lời giải thú vị Bài toán cịn có hướng giải khác ngắn gọn dùng định lý Pascal, giới thiệu tới bạn đọc viết sau

Bài toán đề nghị

Cho tam giác ABC Trên đoạn thẳng AC lấy điểm P đoạn thẳngP C lấy điểmQsao cho P CP A = QPQC Đường tròn ngoại tiếp tam giácABQ cắtBC tạiR khácB Gọi K tâm đường trịn ngoại tiếp tam giácP AB Dựng đường kínhQS đường tròn ngoại tiếp tam giácP QR Gọi T trung điểmP C Chứng minh đường thẳng KT chia đôi đoạnP S

A

B C

P

Q R K

T S

Mọi trao đổi xin gửi email analgeomatica@gmail.com