Dãy số và các tính chất số học - Lê Phúc Lữ

Chứng minh rằng tất cả số hạng của dãy đều là số nguyên... Bằng quy nạp, ta dễ dàng có được đpcm..[r]

1 Bài giảng trường Đông 2013

DÃY SỐ VÀ CÁC TÍNH CHẤT SỐ HỌC PHẦN LÝ THUYẾT

Trong phần này, ta xét dãy số  un với u u1, 2,un2 aun1bu nn, 1

1

c u u u

Tính chất

2

2 ( ) ( 2)

n n n n

u u u b  u u u

      với số tự nhiên n

Tính chất

Nếu b 1 ta có

2

n n

n

u c

u

u  



 với số tự nhiên n

Tính chất

Nếu u u a b1, 2, , nguyên 2

( ) 4( )n

n

a  b u   b c số phương với n

Tính chất

Xét dãy  vn thỏa mãn: v1 u v12, 2 u v22, n2 (a22)vn1vn2c

2

n n

v u với n (trong trường hợp b 1)

Chứng minh chi tiết cho tính chất xem thêm viết:

“Khám phá số tính chất dãy truy hồi tuyến tính cấp 2”

trong tài liệu Chuyên đề Toán học số 9

Bài tập rèn luyện

Bài Cho dãy số ( )xn thỏa mãn x11,x2  1 xn2  xn12 ,x nn 1, 2, 3,

Xét dãy  vn xác định

1

2n , 2, 3, 4,

n n

v  u n



  

2 Bài Cho dãy số  xn xác định x0 0,x11,xn2 rxn1xn, n Chứng minh x1x3x5 x2m1 xm2 với số nguyên dương m

Bài Cho số nguyên dương m Xác định dãy số ( )xn sau:

2

0 0, , n n n 1, 1, 2, 3,

x  x m x  m x x  n

Chứng minh với cặp số tự nhiên ( , )a b với a b nghiệm phương trình

2

1

a b

m ab

 

 ( , ) (a b  x xn, n1) với n số tự nhiên

Bài Cho dãy số ( )xn xác định x0 0,x11,xn2 2xn1xn1,n1, 2, 3,

Chứng minh 4x xn n21 số phương với n

Bài Cho dãy số ( )un với

2

1, 2,

4 ,

n n n

u u

u  u  u n

  



  



Tìm tất giá trị n cho un1 số phương

Bài Cho dãy số ( )un xác định

2

1, 9,

10 , 1, 2, 3,

n n n

u u

u  u  u n

  



  



Chứng minh

4

n n

u  u

3

2

n u 

số nguyên với n

Bài 7. Cho dãy số nguyên  an xác định công thức truy hồi sau

1

1

2

1, 5, n

n n

a

a a a

a  



   với n3

Chứng minh tất số hạng dãy số nguyên

Bài Tìm tất dãy vơ hạn số nguyên dương  an bị chặn thỏa mãn

 

1

1

,

,

n n n

n n

a a

a n

a a

 

 



3 Lời giải

Đặt yn a an, n1,n1, 2, 3, Ta thấy yn1 chia hết un1 un2 nên chia hết y an n2an1 an

Suy yn1 chia hết an1,an nên yn1|yn Do đó,  yn dãy không tăng số nguyên dương kết thúc dãy với số y

Xét dãy yn y: yan an1an2 Ta xét trường hợp:

- Nếu y1, an an1an2 liman   nên dãy khơng bị chặn mâu thuẫn

- Nếu y3 2  

1

max ,

n n n n

n n n

a a a a

a a a

y y

   

 

 

  

Tương tự, an1maxa an, n1maxan2,an1 nên maxa an, n1maxan1,an2 dãy vô hạn, mâu thuẫn với tính chất nguyên dương dãy

- Nếu y2 2an an1an2 nên  2

2

n n n n

a a  a  a 

  

   

  nên suy hiệu an an1



tiến nên ai dãy với i đủ lớn

Hơn nữa, từ 2an an1an2, ta có 2a an, n1 nên ai 2 với i i đủ lớn Nếu an an1 2 với n1 an1,an  an1, 21 mà

 

1

1

1

2

,

n n

n n

n

a a

a a

a 

 





   

Từ suy an2 với n dãy số thỏa mãn đề

Bài 9. Cho  an số nguyên dương lẻ xác định sau

1 ,

a r a s an ước dương lẻ lớn an1an2

4 Lời giải

Kí hiệu s n( ) ước nguyên dương lẻ lớn n Với m số nguyên dương lẻ, ta có s(2tm)m với t nguyên dương

Suy với ,m n lẻ m n 2 ( )

m n s m n  

Đặt Mn maxa an, n1 với n1, 2, 3,

Ta có

2 ( 1)

2

n n

n n n

a a

a s a a 

 



  

3 1

1

( )

2

n n

n n n n

a a

a s a a  a

   

  

     

 

Do Mn2 Mn đẳng thức xảy an an1 Do Mn1 nên với n đủ lớn Mn dãy hằng, tức n0 cho

0

n n

a a  c, quy nạp suy

,

n

a c n n

Mặt khác, đặt d r s, a an, n1d với n nên cd Vậy tồn n đủ lớn cho an dãy an  r s,

Bài 10. Cho dãy số nguyên dương ( )an thỏa anan11 Đặt bna1a2 an Chứng minh ln có số phương dãy sau b bn, n1,bn2, ,bn11

Lời giải

Giả sử khơng có số phương dãy b bn, n1,bn2, ,bn11, tức

tồn m nguyên dương cho m2 1 b bn, n1 1 m121 hay

1

n n

b   b 

Ta chứng minh quy nạp bn1  bn 1 với số nguyên dương n

5 DÃY SỐ VÀ TÍNH TUẦN HỒN

Bài Với ,a b số nguyên dương, xét dãy số

1

, , ,

5 ,

n n n n

x a x b x c

x  x x  x  n

   



   



Chứng minh với cách chọn số , ,a b c dãy số cho tồn vô số số hạng chia hết cho 2013 không tồn số hạng chia hết cho 2013

Bài Cho p số nguyên tố ,a b hai số nguyên thỏa mãn a2ab b không chia

hết cho p Xét dãy số

2

, ,

,

n n n

v a v b

v  v v  n

  



  



Chứng minh dãy vnmodp tuần hồn chu kì khơng phụ thuộc vào p

Bài Cho số nguyên tố lẻ p thỏa mãn 2h 1(mod )p với hp1,h*

một số chẵn ( ; )

2

p

a p Xét dãy số ( )an xác định bởi:a0 a a, n1p b n n, 0,1, 2, với bn

là ước số lẻ lớn an

Chứng minh ( )an dãy số tuần hồn tìm chu kì dương nhỏ

Lời giải

Ta thấy với i, ai số chẵn, ai  p b i1 p mà

1

1 ,

2 2

i

i i i

a p p

b  i a p b

        

Suy ,

2 i

p

a p i

   , tức giá trị số hạng dãy (an) cho hữu hạn

Đặt 2ki

i i

a  b với k bi, i,ki 0 bi số lẻ Nếu bi bj a ai| j aj|ai, theo

nhận xét ai aj ngược lại hai số khơng thể nằm khoảng

,

p p

 

 

  Cũng theo nhận xét phải tồn giá trị ; , 2,

p i j i j  p

  thỏa

mãn ai aj; mặt khác ai  p b i1,aj  p b j1 nên bi bj, ai1aj1, tiếp tục

trình này, ta a0 aj i , tức dãy cho tuần hoàn từ số hạng Nếu đặt

6

Ta biết lũy thừa n!

1 i i n        

 nên đặt K tích tất số tự

nhiên khoảng ,

2

p p

 

 

  , tức

( 1)! ! p K p         

, lũy thừa K

1

1 1

2i 2i

i

p p p

                     

 , lũy thừa tích tất số

chẵn khoảng ,

p p

 

 

  Suy

1

2

T p

k k k  k   Đẳng thức xảy

chỉ tập hợp a a a1, 2, 3, ,aT tập hợp tất số chẵn khoảng ,

2 p p      

Ta có

1 2 (mod )

T

k k k k

T T

a a a a      b b b b p

Theo giả thiết ai  bi1(mod )p nên ( 1) 1(mod ) T

T T

a a a a   b b b b  p , cách chọn T nên b0 bT, tức ( 1) (mod )

T

T T

a a a a   b b b p , suy ra:

1

1 2

( 1)T 2k k k kT (mod ) ( 1)T 2k k k kT(mod )

T T

b b b     b b b b p     p

      

do ( , ) 1b pi  (b b b1 , ) 1b pT  Ta

1

2( )

2 kkk kT 1(mod )p

Hơn nữa, theo giả thiết 2h 1(mod ),p h1, 2, 3, ,p2 nên từ hệ thức trên, suy

ra 3

1

2( )

2

T T

p k k k  k  p k k k  k  

So sánh hai bất đẳng thức tổng k1k2k3 kT, ta

1

1

2

T p k k k  k  

Do đóa a a1, 2, 3, ,aT tất số chẵn khoảng ,

2

p p

 

 

 , suy

1 1

( 1)

2

p p

T   p    

 

Vậy dãy số cho tuần hoàn với chu kì dương nhỏ

4

p T    

 

Bài 4. Cho dãy số  xn thỏa mãn

*

0

2

, ,

1,

n n n x a x b x  x x  n

7

Chứng minh p số nguyên tố x2006 chia hết cho p a Tồn j2006 mà xj chia hết cho p

b Tồn TN* cho với n2006 xT n xn(mod )p

c Tồn j2006 mà xjj chia hết cho x20062006

Lời giải

a Chú ý ( , ) 1n p  tồn m cho mn1(mod )p b Sử dụng kết câu a

c Giả sử

2006

k

a a a

k

x p p p , với i1, 2, 3, ,k theo câu b, tồn Ti cho 2006 lTi 0(mod )

x   p Đặt T[ ,T T T1 2, 3, , ]Tk x2006lT 0(modp p1 2 )pk

Chọn l đủ lớn cho 2006lTmax 2006 , 2006 , , 2006 a1 a2 ak dễ dàng có

được 2006 2006

2006 2006

lT lT

x  x

  Đây đpcm

SỬ DỤNG CÔNG THỨC TỔNG QUÁT

Bài

Cho dãy số

1

7, 50,

4 1975

n n n

u u

u  u u 

  



  



Chứng minh u1996 chia hết cho 1997

Bài

Cho dãy số ( )un thỏa mãn 2

1 2,

4 15 60 ,

n n n

u

u  u u n

 

 

   

 

Chứng minh số 1 2 8

8 Bài

Cho dãy số  un thỏa mãn

2

0, 1,

1,

n n n

u u

u u u  n

  



   



Chứng minh với p số nguyên tố lớn u up( p11) chia hết cho p

Bài

Cho dãy số nguyên ( )an thỏa mãn

1

1, 1,

6 ,

n n n

a a

a a  a  n

   



  



Chứng minh a20122010 chia hết cho 2011

Bài

Cho dãy số ( )an thỏa mãn

2

1, 2011,

4022 ,

n n n

a a

a  a  a n

  



  



Chứng minh 2012

2012

a 

số phương

Lời giải. Ta xét toán tổng quát sau

Cho plà số nguyên dương lẻ lớn

Xét dãy số nguyên dương  xn xác định

1

*

2

1, ,

2 ,

n n n

x x p

x  px  x n

 

  

   



 

Chứng minh 1

1

p x

p

 

 số phương

Bài tốn có số lời giải sau

Cách (dùng công thức tổng quát dãy biến đổi trực tiếp).

Phương trình đặc trưng dãy số cho 2

2

t  pt t  pt  có

2

1

p 

    nên phương trình có hai nghiệm 2

1 1,

t  p p  t  p p 

9

Thay n1, tương ứng với hai số hạng cho trước dãy, ta hệ phương trình sau: 2 2 At Bt At Bt p

 

 

 



Giải hệ này, ta thu 2,

2

t t

A B hay

1

1 , 1, 2,3,

2 n n n t t x n     

Suy  

2 / /

1

1 1 2

1 2( 1) 2( 1)

p p p p

p t t

x t t

p p p

    

 

  

Chú ý t1t2 2 , p t t1 2 1 nên t1  t2  t1t22 t t1 2  2(p1)

Hơn nữa, ta có ,

n n n

S t t   n S S1, 2 Sn2 2pSn1Sn

Đặt t1 a, t2 b a b  2(p1),ab1

/ /

1

p p p p t t a b

Ta có

1

1

0

( ) ( 1) 2( 1) ( 1)

p p

p p i i p i i i p i

i i

a b a b a b p a b

 

   

 

         Xét biến đổi sau:

3

1

1

1 2

1

0

2

3

1 2

1

2

1 2 2

2

1

0

2

( 1) ( 1) ( 1) ( ) ( 1)

( 1) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

p

p p

p p

i i p i i i p i i i p i p

i i i

p p

p p i p i p

p p

i i p i i i p i i i

p p

i i i i

a b a b ab a b

ab b ab a t t

                                                            3

1 2 1

2

2 2

1 2

0

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

p p

p i p i p p

i i

p i

i i

t t S N

                               

Do / /  / / 22 2 

1 2( 1) 2( 1)

p p p p

t t N p  t t N p

Vậy  

2

1 2( 1)

1 2( 1)

p

x N p

N

p p

  

 

  số phương Ta có đpcm

10

Ta thấy

2

3

2

3

4 2

5

1 1, 1

1

2 1, (2 1) ,

1

1

8 1, 16 20 (4 1)

x p x p

p p

x p p

x p x p p p

p p

x

x p p x p p p p p

p                                 

Từ cơng thức truy hồi xn2 2pxn1xn, ta có 2pxn1 xn xn2 Suy

  2

2 2 (4 2) 2,

n n n n n n n n n

x  p px x x  p x  px  x  p  x x   n

Ta xây dựng công thức dãy 1, 1, 2,3,

1 n n x y n p   

 chứng minh số hạng

của dãy nguyên Xét dãy  yn thỏa mãn

1

2

1, ,

n n n y y p y  ay  by n

  

 

  



với a b, chọn sau

Do y3 4p2p1 nên

(2 1)

a p  b p  p ; ta chọn a2 ,p b 1

Dãy số tương ứng

2

1,

2 ,

n n n y y p y  py  y n

        

Ta chứng minh quy nạp 2 1, 1

1 n n x y n p      (*)

Với n1, 2, khẳng định (*)

Giả sử ta có 2 2

1 1 , 1 n n n n x x y y p p        

Ta có 2

2 (2 ) 1(2 1) 1 ,

n n n n n n n n n n n n y  y y   py  y y y  py y   y  y  y n

Hơn y y3 1y22 2p2 nên

2

2 2,

n n n

y y y   p n

11

 

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

n n n n n n n n n n n n

y y   py   y y   y y   p y   y y   p y   p y  hay

2 2 2 2

2

2

2 2

1

(4 2) 4( 1) (4 2) 4( 1)

1

(4 2) 1

1

n n

n n n

n n n

x x

y p y y p p p

p p

p x x x

p p



 

 

 

         

 

   

 

 

Khẳng định (*) với n2 Theo nguyên lí quy nạp, (*) chứng minh

Do đó, ta chứng minh với n chẵn

1

n x

p 

 số phương; nói riêng,

ta có 1

1

p x

p

 

 số phương Ta có đpcm DỰ ĐOÁN VÀ QUY NẠP

Bài

Cho dãy số nguyên dương a a a1, , , 2 3 thỏa mãn a1 1

 

1

2 if a , , , ,

3, otherwise

n n n n

n

n

a a a a a

a

a 

     

  

  

Chứng minh với số nguyên dương k tồn sốn nguyên dương n cho

1

n n

a k a  

Lời giải

Ta tính

n 10 11

n

a 10 11

12

Suy với số nguyên dương k xuất lần dãy cho

Hơn nữa, số phương đồng dư với 0,1, 4, 5,6,9 theo modulo 10 nên ta có đpcm

Bài

Cho dãy số (2 3) (2 3)

2

n n

n

u     với n0

a Chứng minh tất số hạng dãy nguyên b Tìm tất số hạng chia hết cho dãy cho

Bài

Cho dãy số  an xác định

 

0

1

0, 1,

3 ,n

n n n

a a

a  a a  n

  

 

    

 

Chứng minh an số phương với n

Bài

Cho dãy số( )an thỏa mãn

1

1,

7 ,

n n n

a a

a  a a  n

  



  



Chứng minh với số nguyên dương n anan12 số phương

Bài

Cho dãy số 1

4

0, 1, 2, 6,

2 ,

n n n n n

a a a a

a  a  a  a  a n

    



    



Chứng minh với n1 an chia hết cho n

Gợi ý. Chứng minh quy nạp an nFn với Fn số Fibonacci thứ n

MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC

13

Cho dãy số

0

1

1

1,

(2 3)

,

3

n n

n a a

n a na

a n

n

 



  



  

 



 

Chứng minh 2 1

0

n

n n k n k

k

a  a  a a 



  đvới số tự nhiên n an số nguyên

Lời giải

Xem thêm lời giải chi tiết (bằng tiếng Hungary) đây:

http://www.komal.hu/verseny/2000-03/A.h.shtml

Bài

Cho dãy số nguyên ( )an thỏa mãn

1

2

1

2, 7,

1

, 2, 3, 4,

2

n n

n

a a

a

a n

a

 

  

 

    

 

Chứng minh với n1 an số lẻ

Bài

Cho dãy vô hạn số nguyên dương ( )an xác định sau

 

1 1, 2,

n n n

a  a b n , bn chữ số tận an

Tìm điều kiện cần đủ a1 để dãy số cho chứa vô hạn lũy thừa của

Lời giải

Phần thuận:

Do a1 không chia hết an không chia hết cho với n Có nhận xét sau: Chữ số tận an đến lúc tuần hồn với chu kì 2,4,8,6 Do

4 20

m s m

a  a  sm s, 



 Vì 2|am 4| 4|

m m

a a

 

  

14

không chia hết cho 5) Suy am4s 4n5s Mà l không chia hết tồn vô

hạn ksao cho: 2k lmod 5 hay tồn vô hạn ,k s:2k 5

l s

  Phần đảo:

Tồn vô số số hạng dãy lũy thừa Giả sử 5|a1 5| ,an n (mâu thuẫn

2k khơng chia hết cho 5)

Vậy điều kiện cần đủ cần tìm a1 khơng chia hết cho

Bài

Cho n2 số tự nhiên Chứng minh tồn hữu hạn n số nguyên dương

a a1, , ,2 an thỏa mãn đồng thời điều kiện sau:

(i) a1 a2 a3  an

(ii) a a a1, , , ,2 3 an1

(iii) 1  1

1 ,

n i i i

a a a



 với quy ước an1 a1

Lời giải

Đặt di a ai, i1,i1,2, 3, ,n an1a1 Theo giả thiết, ta thấy rằng,

1 2, 2 3, , n i n, 1, 2,

a  d a a d a a  d a i Đưa vào dãy cho, ta

1 n 1 2 n n

d d  d a  d a  d d a   d d  d a

15

nguyên dương ri cho 1, 1,

1

i

i i

i r

a a i n

r 

  

 Do a a1, , ,2 an1 nên

a a2, , ,3 an1 a an| Ta chứng minh toán quy nạp

- Với n2, a a2| 1 nên ta viết a2 m a, 1km với ,k m Hơn nữa,

a a1, 21 nên m1 mà a1a a1, 2  a a2, 12 nên với n2, tồn dãy thỏa mãn đề

- Giả sử toán với n1, ta chứng minh tồn hữu hạn dãy số thỏa mãn trường hợp n phần tử

Ta có hai trường hợp:

+ Nếu a2 khơng chia hết cho an, đặt a2 pan q

 với p q,   p q, 1,q1

Do

1

1

, |

1 n

r

a a a a

r 

 nên suy 1 1

r p

q r  số nguyên dương Với a2, tồn hữu

hạn giá trị r1 có hữu hạn dãy n1 thỏa mãn nên từ suy trường hợp này, số n phần tử hữu hạn

+ Nếu a2 chia hết cho an theo ngun lí quy nạp, tồn hữu hạn dãy a a2, , ,3 an

do cách xác định 1  1

1 ,

n i i i

a a a



 , ta thấy tồn hữu hạn dãy số thỏa mãn đề

Do đó, theo ngun lí quy nạp, tốn chứng minh

Bài

Tìm tất dãy vô hạn số nguyên dương a a a1, , , 2 3 thỏa mãn đồng thời tính chất sau:

i) Dãy số cho tăng thực

ii) Khơng có số ngun dương i j k, , nào, không thiết phân biệt, thỏa mãn

i j k

16

iii)Tồn vô hạn số nguyên dương k cho ak 2k1

Gợi ý

Đặt a1c Ta chứng minh ak c ak2c phản chứng

Ta có amc1(2m1)c với n mc 1, đặt n qc r  ,0  r c

( 1) 1 2( ) 2( )

qc r q c r mc

a  a    a    r q m c  qc r  Do đó, ak 2k1 bất đẳng thức

Nếu c1 a2  c 1,ac 2c1,ac1 3c, mâu thuẫn nên c1 am a(m1)c r 2m1

Bài

Cho a a1, với a1 a2 số nguyên cho trước Với n3, số an số nguyên dương

nhỏ lớn an1 an biểu diễn cách dạng tổng

của aiaj mà 1 i j n

Chứng minh tồn hữu hạn số chẵn dãy  an dãy an1an

tuần hồn, nghĩa tồn số nguyên dương T mà an 1 T an T an1an,n

Lời giải

Cách

Xét an số lẻ với nN Với n đủ lớn, ta thấy an akal với kl với kN,

điều có nghĩa :

(1) kN al an   N l n N

(2) Nếu kl hai số đủ lớn al i ak i d i, 1, 2, 3, ,N

1

l N k N a  a  d

(3) Với n đủ lớn ta có an1an aN Xét

   1

: N N: , , , , N 0, , , N

17

Nếu f a a n, n1, ,an N 1b b1, 2, ,bN biN1aN,i1, 2, 3, ,N

Theo ngun lí Dirichlet tồn số ngun dương n T, cho

 n T, n T 1, , n T N 1  n, n 1, , n N 1

f a a   a    f a a  a  , ta gia sử n đủ lớn

Điều có nghĩa an T i  an i d i, 0,1, 2, ,N1 Theo (2) an T N  an N d

Từ suy am T am     d m, n m n a, m 1 Tam T am1am Ta có đpcm

Cách

Do dãy số cho chứa hữu hạn số chẵn nên ta giả sử chúng

1 m

i i i i

a a a  a

Khi đó, tồn số N cho với rN ar số lẻ, nhiên ar  ai aj nên hai số ,a ai j khác tính chẵn lẻ

Điều có nghĩa 1

m

r r i

a  a a với rN Với nN xét tập hợp

 1, 2, , 

n n n n n n n k

S  a a  a a  a a với k số nguyên dương lớn thỏa mãn

m

n n k i

a a  a

Khi đó, rõ ràng ta có

m

i

ka từ anan j bị chặn nên tồn hữu hạn tập hợp Sn Các tập hợp Sn xác định giá trị is thỏa mãn 1

s

n i j

a  a a nên Sn xác định xác giá trị an1an xác định tập hợp Sn1

18 Bài

Xét dãy số    an , bn xác định sau: - an số số k mà k (mod 3)

n

C 

- bn số số k mà k (mod 3)

n

C 

Chứng minh 2cn

n n

a b  với n Tìm cơng thức tổng qt  cn

Lời giải

Theo định lí Lucas

1

3 ,

s s

i i

i i

i i

n a k b

 

 

0 (mod 3)

s s

b b b k

n a a a C C C C

Khi k 0(mod 3) ( 0,1, 2, , )

n i i

C  a b i s Do đó,

 

0

1(mod 3) 0,1

2, co mot so chan cac so b_i

i i

k

n i i

i

a b

C a b

a

   



    

 



 

0

2(mod 3) 0,1

2, co mot so le cac so b_i

i i

k

n i i

i

a b

C a b

a

   



    

  

Nếu n có m vị trí mà ai 2, t vị trí ai 0 s vị trí ai 1

0 , 0(mod 2) , 1(mod 2)

2 , 2

m m

s m s t s m s t

n m n m

s s s s

a C  b C 

   

   

Từ suy

0 , 0(mod 2) , 1(mod 2)

2 2

m m

t s m s s m s t

n n m m

s s s s

a b C  C 

   

 

    

   