Các bài toán về Multiset - Tập hợp - Lê Phúc Lữ

Biết rằng tất cả các phân số trên đều đôi một khác nhau, tìm số phần tử phân biệt nhỏ nhất trong dãy đã cho... Tìm giá trị nhỏ nhất của m A với A là tập thỏa mãn các điều kiện trên.[r]

7

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TẬP HỢP

Với tập hợp A , ta ký hiệu AAaiaj 1 i jn a a, ,i jA Trong số trường hợp cụ thể, việc cho i j quy ước cụ thể, khơng mặc định hiểu i j.

Từ định nghĩa tương tự với AAA ABab aA b, B, xAxa a| A. Một multiset, gọi đa tập, tập hợp cho phép phần tử xuất nhiều lần Bài

a) Cho multiset A xét multiset A A có phần tử là:

{2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6}

Tính tổng bình phương phần tử A

b) Cho tập hợp A có n phần tử Xét multiset B có n1 phần tử lấy từ A Chứng minh số lượng multiset chia hết cho n1

Bài

a) Cho tập hợp A có n phần tử Chứng minh AA 2n1, đẳng thức xảy nào? b) Cho dãy số thực a1a2 an Xét tập hợp Aaiaj1 j i n Chứng minh A n dãy cho cấp số cộng

Bài

Cho số nguyên dương n xét Ax x n( , ) 1, n Một số nguyên dương n gọi đẹp AAA

a) Chứng minh n20172016 số đẹp

b) Chứng minh 2017

2016

n số đẹp

Bài

Tồn hay không cách phân hoạch  thành ABC thỏa mãn đồng thời? i) Nếu xA y, B xyxyC

Bài giảng trường Đơng Tốn học miền Nam 2014 – Lê Phúc Lữ

8 iii) Nếu xC y, A xyxyB

Bài

a) Tìm điều kiện cần đủ tập hợp hữu hạn A tập tập hợp số nguyên dương cho tồn B thỏa mãn: AB

x B x A

x x

 



 

b*) Xét tập hợp  2002

0 1, 2, 4, , , ,

k

A  dãy tập hợp thỏa mãn

1

1

k

k k

x A

A A x

 



 

 

    

 

  

với k1

Chứng minh dãy tập hợp này, tồn An cho

2

4

n

n x A

x A

x x

 

 

 số phương Bài

Với dãy số nguyên dương (không thiết phân biệt) a a a1, 2, 3,,a2017, xét phân số:

3 2016

2 2017

, ,a , ,a

a a

a a a  a

Biết tất phân số đơi khác nhau, tìm số phần tử phân biệt nhỏ dãy cho

Bài

a) Cho số nguyên dương n2k 3 với k,k3 Chứng minh tồn tập hợp A có nhiều

3 n

phần tử, tập {1, 2, 3,, }n

( ) ( )

A AA  AAA không chứa lũy thừa không âm b*) Cho tập hợp A {0,1, 2,, }m có

2 m

A   Chứng minh A(AA) chứa

Bài giảng trường Đơng Tốn học miền Nam 2014 – Lê Phúc Lữ

9 a) Cho 1, 2, 3, , (31 1)

2

k

S   

   Chứng minh S phân hoạch thành k tập rời

nhau cho không tồn số a b c, , mà abc thuộc tập hợp

b) Cho A tập chứa 2017 phần tử {1, 2, 3,, 4013, 4034} thỏa mãn với a b, A

thì a khơng chia hết cho b Gọi mA phần tử nhỏ A Tìm giá trị nhỏ mA với A tập thỏa mãn điều kiện

Bài

a) Cho hai tập hợp A B, cho A k B, l Tìm GTNN A B theo k l,

b) Cho A{0,1, 2,,k2,k 1 b} Chứng minh

3 3, 

AA k k b

c*) Cho k3 A0a0 a1a2 ak1 cho

1

k

a k r với 0rk2

Chứng minh AA 2k 1 r

Bài 10*

Cho n số thực x x1, 2,,xn thỏa mãn xi 1,i1, n Xét tập hợp

1

{ 1,1} i i i

i n

A x y y

 

 

   

 

Chứng minh số phần tử có trị tuyệt đối bé A không vượt

n

n

C