Phương pháp quy nạp Toán học

Quy nạp toán học là một phương pháp chứng minh toán học dùng để chứng minh một mệnh đề về bất kỳ tập hợp nào được xếp theo thứ tự.. Thông thường nó được dùng để chứng minh mệnh đề áp dụn[r]

MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TRONG

TOÁN HỌC

Nguyễn Đăng Khoa - Khóa 36 THPT chuyên Hùng Vương - Phú Thọ

Tóm tắt nội dung

Bài viết ngắn xoay quanh chủ đề sử dụng phương pháp quy nạp Toán học để giải số tập Phương pháp quy nạp Toán học phương pháp kinh điển liên quan tới Số học, Đại số Hình học tổ hợp Bài viết xuất coi chuẩn bị, đóng góp thêm cho giảng cô giáo chủ nhiệm lớp tơi

1

Quy nạp Tốn học ?

Trong chương trình tốn THCS hẳn bạn biết đến phương pháp Sau xin nhắc lại số định nghĩa quan trọng

Quy nạp toán học phương pháp chứng minh toán học dùng để chứng minh mệnh đề tập hợp xếp theo thứ tự Thông thường dùng để chứng minh mệnh đề áp dụng cho tập hợp tất số tự nhiên

Quy nạp tốn học hình thức chứng minh trực tiếp, thường thực theo hai bước Khi cố gắng để chứng minh mệnh đề cho tập hợp số tự nhiên, bước đầu tiên, gọi làbước sở, chứng minh mệnh đề đưa với số tự nhiên Bước thứ hai, gọi bước quy nạp, chứng minh rằng, mệnh đề giả định cho số tự nhiên đó, cho số tự nhiên Sau chứng minh hai bước này, quy tắc suy luận khẳng định mệnh đề cho tất số tự nhiên Trong thuật ngữ phổ biến, sử dụng phương pháp nói gọi sử dụng nguyên lý quy nạp toán học Sau ví dụ có sử dụng phương pháp quy nạp Tốn học

2

Một số ví dụ phương pháp quy nạp Toán học

Dưới ví dụ đơn giản phương pháp quy nạp

Chứng minh rằng: + + + +n = n(n+ 1)

2 với số nguyên dương n Ví dụ

Lời giải Ta có mệnh đềP(n) : + + + +n = n(n+ 1)

2

Bước sở: Với n = đương nhiên ta có đẳng thức hay P(1)

Bước quy nạp: Giả sử mệnh đềP(k)đúng tức ta có: + + + +k= k(k+ 1)

Ta biến đổi đơn giản sau:1 + + + +k+ (k+ 1) = k(k+ 1)

2 + (k+ 1) =

(k+ 1)(k+ 2)

2

Vậy mệnh đề P(k+ 1) hay ta có điều phải chứng minh

Nhận xét Cơng thức có lẽ phổ biến với bạn học sinh biết cơng thức phát nhà toán học lỗi lạc C.F Gauss (1777-1855) lần thầy giáo cho tập tính tổng số tự nhiên từ 1đến 100 ơng 10 tuổi

Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh công thức quen thuộc sau:

i) 12+ 22+ 32 +n2 = n(n+ 1)(2n+ 1)

ii) 13+ 23+ 33+ +n3 = n

2(n+ 1)2

iii) 1.2 + 2.3 + 3.4 + +n(n+ 1) = n(n+ 1)(n+ 2)

Cho số thực x thỏa mãn x+

x ∈Z Chứng minh x

n+

xn ∈Z với n∈N Ví dụ

Lời giải Ta thấy với n = n= hiển nhiên Bây ta giả sửxk+

xk x

k+1+

xk+1 ∈Zvới k∈N Vậy ta có:

xk+2+

xk+2 =

x+

x x

k+1+

xk+1

−

xk+

xk

∈Z

Từ theo ngun lý quy nạp ta có xn+

xn ∈Zvới n∈N

Nhận xét.Với toán sử dụng hai giả thiết quy nạp trở lên ta gọi phương pháp quy nạp đồng thời

Cho dãy số (xn) xác định :

  

xo =

x1 = 41

xn+2 = 3xn+

p

8(x2

n+1+x2n)

Chứng minh số hạng dãy số nguyên

(Đề thi chọn đội tuyển VMO 2019 T.P Hịa Bình)

Ví dụ

Lời giải Ta thấy: x2 = 119∈Z

(xn+2−3xn)2 = 8(x2n+1+x2n)⇔x2n+2−6xn+2.xn+ 9xn2 = 8(x2n+1+x2n) (3xn+2−xn)2 = 8(x2n+1+x2n+2)⇒3xn+2−xn=

p

8(x2

n+1+x2n+2) = xn+3−3xn+1

⇒xn+3 = 3xn+2+ 3xn+1−xn

Giải phương trình nghiệm nguyên dương (x+ 1)x =xx+1+yx

(Đề xuất Lê Sơn Tùng)

Ví dụ

Lời giải

Ta thấy với x≥3 xx+1 >(x+ 1)x Ta chứng minh quy nạp. Thật x= BĐT hiển nhiên ta có:

kk+1 >(k+ 1)k ⇔kk+1.(k+ 1)k+2 >[(k+ 1)2]k+1

⇒kk+1.(k+ 1)k+2 > kk+1.(k+ 2)k+1 ⇒(k+ 1)k+2 >(k+ 2)k+1

Theo nguyên lý quy nạp ta có với x≥3 xx+1 >(x+ 1)x ⇒xx+1+yx >(x+ 1)x Vậy ta thử x= x= ta có y= Suy (x, y) ={(1,1); (2,1)}

Chứng minh với số nguyên dương a >2, tồn vô số số nguyên dương m cho

am−1 chia hết cho m Ví dụ

Lời giải

Xét dãy số x1 = 1, xn+1 =axn −1 Ta chứng minh xn+1 =axn −1 xn (∗) Với n = (∗)

Giả sử (∗)đúng tới n=k xk+1 =axk −1 xk ⇒xk+1 =p.xk với p∈N∗ Suy xk+2 =axk+1−1 = ap.xk −1 axk −1 =xk+1

Theo ngun lý quy nạp ta có: axn−1 . x

n∀n ∈N∗

Để ý a >2 dãy(xn) dãy tăng tồn vơ sốm thỏa mãn điều kiện đề

Chứng minh với x≥ −1và n ∈N ta có bất đẳng thức (1 +x)n≥1 +nx

(Bất đẳng thức Bernoulli)

Ví dụ

Lời giải Với n = ta có (1 +x)0 = + 0.x (đúng)

Giả sử BĐT với n =k (1 +x)k ≥1 +kx

Vì x≥ −1⇒x+ ≥0nên (1 +x)k+1 ≥(1 +kx)(1 +x) = + (k+ 1)x+kx2 ≥1 + (k+ 1)x

Theo nguyên lý quy nạp ta có BĐT chứng minh

Cho số thực dương xvà số nguyên dương n Chứng minh bất đẳng thức sau:

xn(xn+1+ 1)

xn+ 1 ≤

x+

2n+1

(VMO 2011)

Lời giải

Với n = bất đẳng thức trở thành x(x 2+ 1)

x+ ≤

x+

3

Theo bất đẳng thức AM −GM ta có:

x(x2+ 1) = 2.2x.(x

2 + 1)≤

2x+ (x2+ 1)

2

= (x+ 1)

8

⇒ x(x

2+ 1)

x+ ≤

x+

3

Giả sử BĐT tớin =k (k ∈N∗), ta có giả thiết quy nạp x

k(xk+1+ 1)

xk+ 1 ≤

x+

2k+1

Ta có:

x+

2(k+1)+1

=

x+

2

x+

2k+1

≥

x+

2

.x

k(xk+1+ 1)

xk+ 1 Vậy BĐT cần chứng minh tương đương với

x+

2

.x

k(xk+1+ 1)

xk+ 1 ≥

xk+1(xk+2+ 1)

xk+1+ 1

⇔ (x+ 1)

2

4x ≥

(xk+2+ 1)(xk+ 1) (xk+1+ 1)2

⇔ (x+ 1)

2

4x −1≥

(xk+2+ 1)(xk+ 1) (xk+1+ 1)2 −1

⇔ (x−1)

2

4x ≥

xk(x−1)2 (xk+1+ 1)2 tương đương với (x−1)2(xk+1−1)2 ≥0 (đúng) Vậy suy

x+

2(k+1)+1

≥ x

k+1(xk+2+ 1)

xk+1+ 1 Theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm

Bạn Quân mua đồ cho mẹ, túi bạn Quân có tờ tiền 2000đ và5000đ Chứng minh bạn Quân trả số tiền đồ với giá khơng 10000đ mà khơng cần trả lại tiền Giả sử số tờ tiền 2000đ 5000đ vơ hạn

Ví dụ

Lời giải Gọi đồ có số tiền a (đồng)

Với a= 10000 a= 5000.2, tức bạn Quân cần trả tờ 5000đ Giả sử a= 5000.m+ 2000.n (m, n∈N)

Nếu m≥1thì ta biến đổi a+ 1000 = 5000(m−1) + 2000(n+ 3), tức bạn Quân cần trả m−1 tờ5000đ vàn+ tờ2000đ

Trong mặt phẳng có n đường thằng phân biệt cắt mặt phẳng làm miền(n ∈N∗) Mỗi

miền ta tô màu xanh đỏ Chứng minh ta tơ hết miền cho hai miền kề có màu khác

Ví dụ

Lời giải

Với n = ta có hai miền, dễ dàng tô hai màu khác

Giả sử với k đường thẳng chia làm miền ta tô miền thỏa mãn đầu

Bây ta thêm đường thẳng l tạo với k đường thẳng thành miền khác Bây ta đổi màu miền mặt phẳng có bờ đường thẳng l ta có k+ đường thẳng thỏa mãn đầu

3

Bài tập rèn luyện

Bài Chứng minh bất đẳng thức sau

a, √1

13 +

√

13+ 23 +

1

√

13+ 23+ 33 + +

1

√

13+ 23+ 33+ +n3 <2∀n ∈N

∗

b, a

n+bn

2 ≥

a+b

2

n

với a, b >0; n∈N

c,

n+

n

n

≤n+ ∀n ∈N∗

Bài Chứng minh dãy số sau dãy số giảm (xn) :xn=

1 +

n

n+1

Bài Chứng minh

a, Với số tự nhiên n +

√

5

!n

+ 1−

√

5

!n

∈Z

b, Với số n lẻ thìA = +

√

5

!n

+ 3−

√

5

!n

−2 số phương

Bài Chứng minh với số nguyên dương n ta có:

a, 42n+1+ 3n+2 .13

b, 32n+2−8n−9 64

c, a2n

≡1 mod 2n+2 với a là số lẻ.

Bài Cho n số thực không âm x1, x2, , xn (n∈N∗) thỏa mãn x1+x2+ +xn≤ Chứng minh rằng: (1−x1)(1−x2) (1−xn)≥

1 Bài (IMO 2013, problem 1)

Chứng minh với số nguyên dươngn, k ln tồn k số ngun dương m1, m2, , mk thỏa mãn: +

k−1

n = (1 +

1

m1

)(1 +

m2

) (1 +

mk ) Bài (Romanian IMO TST 2006, day 2, problem 1)

Cho dãy số (an)n≥1 : a1 = 1, a2 = với n >1thì ta có:

an=

√

an−1.an+1+

a, Chứng minh số hạng dãy số nguyên dương

Tài liệu tham khảo

[1] Chuyên đề quy nạp hình học - Nguyễn Thành Nhân

[2] Bài tập phương pháp quy nạp toán học – Lê Bá Bảo - TOANMATH.com

[3] Các kì thi tốn VMO lời giải bình luận - Trần Nam Dũng (chủ biên) Nxb Thế Giới [4] Chuyên đề số học - Nguyễn Văn Thảo

[5] Kĩ thuật dùng phương pháp quy nạp Toán học - Nguyễn Hữu Điển [6] Quy nạp toán học - Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

[7] AoPS forum

https://artofproblemsolving.com/ [8] VMF forum

https://diendantoanhoc.net/

[9] Blog Toán học Khoa Nguyễn