Đang tải... (xem toàn văn)
Cách thứ hai này, tác giả cũng biến đổi để ra như cách một nhưng quá trình biến đổi khác cách ban đầu và đoạn sau xử lí hơi thiếu thông minh một chút.. Chứng minh..[r]
(1)Về bất đẳng thức lượng giác hay Nguyễn Đăng Khoa - Khóa 36 - THPT chuyên Hùng Vương
Ngày 29 tháng năm 2019
1 Introduction
Trong trình học đội tuyển tác giả bắt gặp BĐT lượng giác thú vị mà tác giả muốn chia sẻ tới bạn đọc Bài tốn có nội dung sau
Bài tốn.Cho tam giácABC Chứng minh bất đẳng thức
sinA·sinB
sin2C
+sinB·sinC sin2A
2
+sinC·sinA sin2B
2
≥9
Tác giả xin giới thiệu bốn cách giải cho tốn này, qua bạn đọc cảm nhận vẻ đẹp
Cách
Chứng minh Gọi a, b, clà ba cạnh tam giác Ta biến đổi
XsinA·sinB sin2C
2
=X
4 sinA·sinB·cos2C
sin2C =
X4
a
2R· b
2R ·
cosC+ c
2R
2
Trong R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, kết hợp cosC = a
2+b2−c2 2ab
ta có
XsinA·sinB sin2C
2
=X(a+b) 2−c2
c2 =
Xa+b
c
2 −3
Mà ta dễ có,P a+b
c
2 ≥
Pa+b
c
2
3 ≥12
(2)Cách 2.Cách thứ hai này, tác giả biến đổi để cách trình biến đổi khác cách ban đầu đoạn sau xử lí thiếu thơng minh chút
Chứng minh Ta gọiS diện tích tam giácABC ta biến đổi sau
sinA·sinB
sin2C
= sinA·sinB 1−cosC
2
=
2S bc ·
2S ac
1−a
2+b2−c2 2ab
2
= 16S
2
c2(c+a−b)(c+b−a) =
(b+a−c)(a+b+c)
c2
(kết giống cách 1)
Từ áp dụng Cauchy - Schwarz ta có
XsinA·sinB sin2C
2
=X (b+a−c) (b+a−c)·c2
a+b+c
≥ (a+b+c)
P (b+a)c 2−c3
a+b+c
= (a+b+c) P
(b+c)a2−P
a3
Vậy ta cần chứng minh
(a+b+c)3 P
(b+c)a2−P
a3 ≥9
Bất đẳng thức hoàn toàn dễ chứng minh theo quy đồng sử dụng bất đẳng thức Shur
a3+b3+c3+ 3abc≥ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a)
Vậy ta kết thúc phép chứng minh
Cách 3.Trong cách ta biến đổi để bất đẳng thức chứatanA 2,tan
B
2,tan
C
2
Chứng minh Ta có đẳng thức quen thuộc
X tanA
2 tan
B
2 =
Bây ta biến đổi biểu thức ban đầu Ta có
sinA·sinB
sin2C
= sinA·sinB cos2A+B
2 =
4 sinA cos
A
2 sin
B
2 cos
B
2
cosA cos
B
2 −sin
A
2 sin
B
2 =
4 tanA
2 tan
B
2 −2 + tanA
2 tan
B
2
Vậy ta đặttanA tan
B
2 =z,tan
B
2 tan
C
2 =x,tan
C
2 tan
A
2 =ythì ta có 0< x, y, z
x+y+z= Đồng thời BĐT viết lại dạng
XsinA·sinB sin2C
2
=X
x−2 +
x
(3)Ta thấy BĐT có biến x, y, z độc lập phân thức nên ta nghĩ đến phương pháp tiếp tuyến
Thật vậy, ta có
x+1
x−2
≥18x−3⇐⇒(3−2x)(3x−1)2≥0(đúng dox <1).
Ta thiết lập BĐT tương tự cộng vế với vế ta thu
X
x−2 +
x
≥18(x+y+z)−9 =
Vậy ta có đpcm
Cách
Chứng minh Ta tiếp tục biến đổi biểu thức
XsinA·sinB sin2C
2
=X
4 sinA·sinB·cos2C sin2C =
XsinA·sinB·sin
2A+B sin2C
Mà ta có
sin2A+B
2 =
sinA
2 ·cos
B
2 + sin
B
2 ·cos
A
2
≥4 sinA ·cos
B
2 ·sin
B
2 ·cos
A
2 = sinA·sinB
Suy
XsinA·sinB sin2C
2
≥4X
sinA·sinB
sinC
2
Ta có bất đẳng thức
XsinA·sinB sinC
2 ≥9
4
Đây bất đẳng thức hay Hojoo Lee, tham khảo
trig inequality,https://artofproblemsolving.com/community/c6h183391p1008243 Từ ta có
XsinA·sinB sin2C
2
≥4X
sinA·sinB sinC
2 ≥9
Nhưng bất đẳng thức tác giả Hojoo Lee với tam giác nhọn, ta lại phải xét trường hợp có góc khơng nhọn Trường hợp làm vẻ đẹp lời giải tác giả để cách Tuy nhiên bạn đọc thêm kiến thức kĩ thuật biến đổi
Bây ta giả sửC≥ π
2 > A≥B, ta cóc
2≥a2+b2hay c≥√a2+b2≥√2ab.
Ta dễ có
sinA·sinB
sin2C
+sinB·sinC sin2A
2
+sinC·sinA sin2B
2
>sinC sinB
sin2A
+ sinA sin2B
2 !
(4)Bây ta biến đổi sau
sinC sinB
sin2A2 + sinA
sin2B2 !
= 2S
ab
2 sinB
1−cosA+
2 sinA
1−cosB
= 2S
ab
4S
(1−cosA)ca +
4S
(1−cosB)bc
Chú ý 1−cosA = 1− b
2+c2−a2 2bc =
(a+b−c)(a+c−b)
2bc theo cơng thức Heron
16S2= (a+b+c)(a+b−c)(b+c−a)(c+a−b).
Từ ta biến đổi
sinCsinsinB2A
2
+sinsin2AB
2
=(c+a)b22−b2 +
(c+b)2−a2 a2 =
c2
a2 +
c2
b2+ 2c(
a b2+
b a2) + (
a b −
b a)
2≥4 + 4√2>9.
Vậy hai trường hợp ta có đpcm
Bình luận.Vậy ta qua bốn lời giải khác (cách hay tác giả sưu tầm, ba cách lại tác giả) Mỗi cách có phương pháp biến đổi khác kĩ thuật xử lí khác mang vẻ đẹp tiềm ẩn Tác giả tin tiếp tục cho lò thêm hai cách nữa, mong bạn đọc tìm tịi, nghiên cứu thêm cho BĐT thú vị
(5)2 Problems
Cho tam giácABC Chứng minh bất đẳng thức sau
sin 2A·sin 2B
cos2C +
sin 2B·sin 2C
cos2A +
sin 2C·sin 2A
cos2B ≥9
2
sinAsinB
cos2C
+sinBsinC cos2A
2
+sinCsinA cos2B
2 ≤3
3
sinA sin
B
2 cos2C
2 +
sinB sin
C
2 cos2A
2 +
sinC sin
A
2 cos2B
2
≤1
4
cosA−B tanC
+
cosB−C tanA
2
+
cosC−A tanB
≥9
trig inequality,https://artofproblemsolving.com/community/c6h183391p1008243