nội dung tự học môn toán 9

Đường thẳng AF cắt đường tròn (O) tại một điểm thứ hai là D. Chứng minh rằng các cung nhỏ AB, CD, CE bằng nhau.. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ dây MD song song với AB. Dây DN c[r]

NỘI DUNG TỰ HỌC MƠN: TỐN

Từ ngày 17/02/2020 đến 29/02/2020

I GĨC Ở TÂM SỐ ĐO CUNG 1 Góc tâm

 Góc có đỉnh trùng với tâm đường trịn đgl góc ở tâm

 Nếu 00  a 1800 cung nằm bên góc đgl cung nhỏ, cung nằm bên ngồi góc đgl cung lớn

 Nếu a 1800 cung nửa đường tròn

 Cung nằm bên góc đgl cung bị chắn Góc bẹt chắnnửa đường tròn  Ki hiệu cung AB AB

2 Số đo cung

 Sốđo cung AB kí hiệu sđAB

 Sốđo cung nhỏ sốđo góc tâm chắn cung

 Số đo cung lớn hiệu 3600 số đo cung nhỏ (có chung mút với cung lớn)

 Sốđo nửa đường tròn 1800 Cung cảđường trịn có sốđo 3600 Cung khơng có sốđo 00(cung có mút trùng nhau)

3 So sánh hai cung

Trong đường tròn hay hai đường tròn nhau:  Hai cung đgl chúng có sốđo  Trong hai cung, cung có sốđo lớn đgl cung lớn

4 Định lí

Nếu C điểm nằm cung AB sđAB = sđAC + sđCB

Bài 1.Cho đường tròn (O; R) Vẽ dây AB R Tính số đo hai cung AB ( cung nhỏ cung lớn)

ĐS: 90 ;2700 0

Bài 2.Cho đường tròn (O; R) Vẽ dây AB cho số đo cung nhỏ AB số đo cung lớn AB Tính diện tích tam giác AOB

ĐS: S R2



Bài 3.Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) O;R

 

 

  Trên đường tròn nhỏ lấy CHƯƠNG III

một điểm M Tiếp tuyến M đường tròn nhỏ cắt đường tròn lớn A B Tia OM cắt đường tròn lớn C

a) Chứng minh CA CB b) Tính số đo hai cung AB

HD: b) 60 ;3000 0

Bài 4.Cho (O; 5cm) điểm M cho OM = 10cm Vẽ hai tiếp tuyến MA MB Tính góc tâm hai tia OA OB tạo

HD: 1200

Bài 5.Cho tam giác ABC, vẽ nửa đường trịn đường kính BC cắt AB D AC E So sánh cung BD, DE EC

HD: BD DE EC 

Bài 6.Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) (O; R) với R > R Qua điểm M (O; R), vẽ hai tiếp tuyến với (O; R) Một tiếp tuyến cắt (O; R) A B (A nằm M B); tiếp tuyến cắt (O; R) C D (C nằm D M) Chứng minh hai cung AB CD

II LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY 1 Định lí

Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: a) Hai cung căng hai dây

b) Hai dây căng hai cung

2 Định lí

Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: a) Cung lớn căng dây lớn

b) Dây lớn căng cung lớn

3 Bổ sung

a) Trong đường tròn, hai cung bị chắn hai dây song song nhau

b) Trong đường trịn, đường kính qua điểm cung qua trung điểm dây căng cung

Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây (không qua tâm) qua điểm cung bị căng dây

c) Trong đường trịn, đường kính qua điểm cung vng góc với dây căng cung ngược lại

Bài 1.Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) Biết A500, so sánh cung nhỏ AB, AC BC

HD: B C A   AC AB BC 

HD: Chứng minh E, B, F thẳng hàng; BC // AD

Bài 3.Cho đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ hai dây AM BN song song với cho sđBM 900 Vẽ dây MD song song với AB Dây DN cắt AB E Từ E vẽ đường thẳng song song với AM cắt đường thẳng DM C Chứng minh rằng:

a) AB  DN b) BC tiếp tuyến đường tròn (O)

Bài 4.Cho đường tròn tâm O đường kính AB Từ A B vẽ hai dây cung AC BD song song với Qua O vẽ đường thẳng vng góc AC M BD N So sánh hai cung AC BD

HD:

Bài 5.Cho đường tròn (O) dây AB chia đường tròn thành hai cung thỏa:

3 AmB AnB

a) Tính số đo hai cung AmB AnB,

b) Chứng minh khoảng cách từ tâm O đến dây AB AB

Bài 6.Trên đường tròn (O) vẽ hai cung AB CD thỏa: AB 2CD Chứng minh: AB < 2.CD

III GÓC NỘI TIẾP 1 Định nghĩa

Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đường tròn hai cạnh chứa hai dây cung của đường trịn

Cung nằm bên góc đgl cung bị chắn

2 Định lí

Trong đường trịn, sốđo góc nội tiếp nửa sốđo cung bị chắn.

3 Hệ

Trong đường trịn:

a) Các góc nội tiếp chắn cung

b) Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung nhau

c) Góc nội tiếp (nhỏ 900) có sốđo bằng nửa sốđo của góc ở tâm cùng chắn cung

d) Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng

Bài 1.Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB dây AC căng cung AC có số đo 600

a) So sánh góc tam giác ABC

b) Gọi M, N điểm cung AC BC Hai dây AN BM cắt I Chứng minh tia CI tia phân giác góc ACB

b) Chứng minh tia AN, BM tia phân giác góc A B

Bài 2.Cho tam giác ABC cân A (A900) Vẽ đường trịn đường kính AB cắt BC D, cắt AC E Chứng minh rằng:

a) Tam giác DBE cân b) CBE 1BAC



HD: a) DB DE DB DE b) CBE DAE

Bài 3.Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Vẽ đường kính MN  BC (điểm M thuộc cung BC không chứa A) Chứng minh tia AM, AN tia phân giác đỉnh A tam giác ABC

HD: MN  BC  MB MC

Bài 4.Cho đường tròn (O) hai dây MA, MB vng góc với Gọi I, K điểm cung nhỏ MA MB Gọi P giao điểm AK BI

a) Chứng minh ba điểm A, O, B thẳng hàng

b) Chứng minh P tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB

c*) Giả sử MA = 12 cm, MB = 16 cm, tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác MAB

HD: a) AOB1800 b) AK, BI đường phân giác MAB c) AB = 20 cm Chứng minh r p a   r4cm

Bài 5.Cho đường trịn (O) đường kính AB điểm C di động nửa đường trịn Vẽ đường tròn tâm I tiếp xúc với đường tròn (O) C tiếp xúc với đường kính AB D, đường tròn cắt CA CB điểm thứ hai M N Chứng minh rằng:

a) Ba điểm M, I, N thẳng hàng b) ID  MN

c) Đường thẳng CD qua điểm cố định, từ suy cách dựng đường trịn (I) nói

HD: a) MCN900  MN đường kính

b) Chứng minh O, I, C thẳng hàng; INC OBC  MN // AB; ID  AB

c) Gọi E giao điểm đường thẳng CD với (O)  EA EB  E cốđịnh

Bài 6.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BD CE cắt H Vẽ đường kính AF

a) Tứ giác BFCH hình gì?

b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh ba điểm H, M, F thẳng hàng c) Chứng minh OM 1AH

2



HD: a) Chứng minh ABF ACF 900  CE // BF, BD // CF  BFCH hình bình hành

b) Dùng tính chất hai đường chéo hình bình hành c) Dùng tính chất đường trung bình tam giác AHF

a) Chứng minh tứ giác ACEM hình thang cân

b) Vẽ CH  AB Chứng minh tia CM tia phân giác góc HCO c) Chứng minh CD 1AE

2



HD: a) Chứng minh FAC FEM vuông cân F  AE = CM;

CAE AEM 450  AC // ME  ACEM hình thang cân b) HCM OMC OCM 

c) HDC ODM  CD CH DH

MD MO DO  1 CD ≤ MD  CD CM AE

1

2

 

Bài 8.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Biết A a 900 Tính độ dài BC

HD: Vẽđường kính BD BDC BAC a BC BD sinD2 sinR a

Bài 9.Cho đường trịn (O) có hai bán kính OA OB vng góc Lấy điểm C đường tròn (O) cho

sd AC

sdBC  Tính góc tam giác ABC

Bài 10. Cho tam giác ABC cân A có góc A 500 Nửa đường trịn đường kính AC cắt AB D BC H Tính số đo cung AD, DH HC Bài 11. Cho đường trịn (O) có đường kính AB vng góc dây cung CD E

Chứng minh rằng: CD24AE BE

IV GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG 1 Định lí

Sốđo góc tạo tiếp tuyến dây cung nửa sốđo cung bị chắn

2 Hệ

Trong đường trịn, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp cùng chắn cung nhau.

3 Định lí (bổ sung)

Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm đường trịn, cạnh chứa dây cung AB), có số đo nửa số đo cung AB căng dây cung nằm bên góc đó cạnh Ax tia tiếp tuyến đường tròn

Bài 1.Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Trên tia đối tia AB lấy điểm M Vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn Gọi H hình chiếu C AB a) Chứng minh tia CA tia phân giác góc MCH

b) Giả sử MA = a, MC = 2a Tính AB CH theo a

HD: a) ACH ACM B 

b) Chứng minh MA MB MC   MB4a, AB3a MC.OC = CH.OM 

CH 6a



giao điểm đường tròn (O) với ti OA, OB, OC Chứng minh điểm M, N, P tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADF, BDE CEF

HD: Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt

Bài 3.Cho hai đường tròn (O) (O) cắt A B Một đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (O) C tiếp xúc với đường tròn (O) D Vẽ đường tròn (I) qua ba điểm A, C, D, cắt đường thẳng AB điểm thứ hai E Chứng minh rằng:

a) CAD CBD 1800 b) Tứ giác BCED hình bình hành

HD: a) Chứng minh BAC BCD , BAD BDC 

CAD CBD BCD BDC CBD    1800

b) Chứng minh BCD EDC (BAC), ECD BDC (BAD)  BC // DE, BD // CE

Bài 4.Trên cạnh góc xMy lấy điểm T, cạnh lấy hai điểm A, B cho MT2 MA MB Chứng minh MT tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác TAB

HD: Chứng minh MAT MTB ATM B 1sd AT

   MT tiếp tuyến

Bài 5.Cho hai đường tròn (O) (O) cắt A B Vẽ dây BC đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (O) Vẽ dây BD đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (O) Chứng minh rằng:

a) AB2 AC AD b) BC AC BD AD

HD: a) ABC ADB đpcm b) AB AC BC

AD  AB BD 

BC AB AC AC BD AD AB AD

2

   

 

 

Bài 6.Cho đường tròn (O) điểm M bên ngồi đường trịn Tia Mx quay quanh M, cắt đường tròn A B Gọi I điểm thuộc tia mx cho

MI2 MA MB Hỏi điểm I di động đường nào?

HD: MT2 MA MB MI   MI = MT  Điểm I di động đường tròn (M, MT)

Bài 7.Cho đường tròn (O) ba điểm A, B, C (O) Dây cung CB kéo dài gặp tiếp tuyến A M So sánh góc: AMC ABC ACB, ,

Bài 8.Cho hai đường tròn (O, R) (O, R) (R > R) tiếp xúc A Qua A kẽ hai cát tuyến BD CE (B, C  (O); D, E  (O)) Chứng minh:

ABC  ADE

Bài 9.Cho đường tròn (O, R) có hai đường kính AB CD vng góc Gọi I điểm cung AC cho vẽ tiếp tuyến qua I cắt DC kéo dài M IC = CM

V GĨC CĨ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG TRỊN GĨC CĨ ĐỈNH Ở BÊN NGỒI ĐƯỜNG TRỊN Định lí

Số đo góc có đỉnh bên đường tròn nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

Định lí

Số đo góc có đỉnh bên ngồi đường trịn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn

Bài 1.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Trên cung nhỏ AB AC lấy điểm I K cho AI AK Dây IK cắt cạnh AB, AC D E

a) Chứng minh ADK ACB

b) Tam giác ABC phải có thêm điều kiện tứ giác DECB hình thang cân

HD: a) ADK sd AK sdBI sdAB C

2



   b) C B

Bài 2.Cho đường tròn (O) dây AB Vẽ đường kính CD vng góc với AB (D thuộc cung nhỏ AB) Trên cung nhỏ BC lấy điểm N Các đường thẳng CN DN cắt đường thẳng AB E F Tiếp tuyến đường tròn (O) N cắt đường thẳng AB I Chứng minh rằng:

a) Các tam giác INE INF tam giác cân b) AI AE AF

 

HD: a) INE 1sdCN E

  b) AI AE IE AI AF IF  ,   đpcm

Bài 3.Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) Các tia phân giác góc B góc C cắt I cắt đường tròn (O) D E Dây DE cắt cạnh AB AC M N Chứng minh rằng:

a) Tam giác AMN tam giác cân

b) Các tam giác EAI DAI tam giác cân c) Tứ giác AMIN hình thoi

HD: a) DA DC EA EB FB FC ,  ,  AMN ANM

b) DAI DIA  DA = DI c) Chứng minh NI // AM, MI // AN, AM = AN  đpcm

HD: A sdCD MAC

   MA = MC = MB

Bài 5.Từ điểm A bên ngồi đường trịn (O), ta vẽ hai cát tuyến ABC ADE (B nằm A C; D nằm A E) Cho biết A500, sdBD 400 Chứng minh CD  BE

HD: A sdCE sdBD sdCE 1400



   Gọi H = CD  BE 

CHE sdCE sdBD 900



 

Bài 6.Cho điểm A, B, C D theo thứ tự đường tròn (O) cho số đo cung sau: sd AB 400, sdCD 1200 Gọi I giao điểm AC BD M giao điểm DA CB kéo dài Tính góc CID AMB

HD:

Bài 7.Cho đường tròn (O) Từ điểm M (O), ta vẽ cát tuyến MAC MBD cho CMD400 Gọi E giao điểm AD BC Biết góc

AEB700, tính số đo cung AB CD HD:

Bài 8.Cho đường tròn (O) điểm M (O) Vẽ tiếp tuyến MA cát tuyến MBC qua O (B nằm M C) Đường trịn đường kính MB cắt MA E Chứng minh: sd AnC sdBmA sdBkE   với AnC, BmA BkE