Biết AC là đường kính của (O). Cho hình vẽ dưới đây.. c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.. Tìm nghiệm duy nhất đó. Nghiệm duy nhất là:.. Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thờ[r]
(1)ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP GIỮA KÌ II LỚP
A TRẮC NGHIỆMCâu Tập nghiệm phương trình 2x + 0y = biểu diễn đường thẳng:
A y 2x 5 B y 2x C y
D x Đáp án: D
Câu Cặp số (1; 3) nghiệm phương trình sau đây?
A 3x 2y 3 B 3x y 0 C 0x 3y 9 D 0x 4y 4 Đáp án: C
Câu Phương trình 4x 3y 1 nhận cặp số sau nghiệm: A (1; 1) B ( 1; 1) C (1;1) D ( 1;1) Đáp án: B
Câu Hai hệ phương trình kx 3y x y
3x 3y
x y
tương đương k bằng:
A k = B k 3 C k 1 D k 1 Đáp án: A
Câu Hệ phương trình: 2x y 4x y
có nghiệm là:
A (2; 3) B (2;3) C (0;1) D ( 1;1) Đáp án: B
Câu Hệ phương trình 5x 2y 2x 3y 13
có nghiệm là:
A (4;8) B (3,5; 2) C ( 2;3) D (2; 3) Đáp án: D
(2)A B 1 C D Đáp án: C
Câu Cho hàm số y 1x2
4
Giá trị hàm số x 2 là: A B C 2 D 2 Đáp án: A
Câu Đồ hàm số y 2x2
3
qua điểm điểm: A 0;
3
B
2 1;
3
C
3;6 D2 1;
3
Đáp án: B
Câu 10 Biết tứ giác MNOP nội tiếp đường trịn góc
PMN 120 , đó:
A O 60 B N 60 C P 60 D P 90 Đáp án: A
Câu 11 Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn C 75 Khi đó:
A A 105 B B 75 C D 90 D D 75 Đáp án: A
Câu 12 Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm (O) Biết A 40 0,
B 60 Khi C D bằng:
A 200 B 300 C 1200 D 1400 Đáp án: A
(3)Biết AC đường kính (O) ACB 30 Số đo góc CDB bằng: A 400 B 500 C 600 D 700 Đáp án: C
Câu 14 Cho hình vẽ đây:
Biết NPQ 45 MQP 30 Số đo góc MKP bằng:
A 750 B 700 C 650 D 600 Đáp án: A
Câu 15 Cho hình vẽ
(4)B TỰ LUẬN PHẦN I ĐẠI SỐ
Bài Cho hai biểu thức A x x
x
B
x x 3 x
với x 0,x 9
a) Tính giá trị biểu thức A x
9
b) Rút gọn biểu thức B
c) Cho P = B : A Tìm x để P <
Hướng dẫn:
a) Thay x
9
(tmđk) vào A ta được:
4
2
9
A :3
2
4 1 3.
1 3
9
b) B x x
với x 0,x 9
c) P B: A x : x x x x
x 3 x x x x
1 x 10
P 3 x x
x x
Kết hợp với điều kiện P x Bài Cho biểu thức A x :
x x x
với x 0;x 9 a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x để A
6
(5)c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A
Hướng dẫn:
a) Rút gọn A x x
với x 0;x 9 b) x x 1
5 x 3
6 x
x x 81
(thỏa mãn) c) A x 1
3
x x
Vậy MinA =
3 Dấu “=” xảy x (thỏa mãn điều kiện)
Bài Cho hai biểu thức:
x x
A
2 x
x
B
x x 1 x
với x 0;x 1;x 4 a) Tính giá trị biểu thức A x 36
b) Rút gọn biểu thức P = A.B c) So sánh P với
3
Hướng dẫn:
a) Khi x 36 A 36 36 36 30 15
2
2 36
b) P x( x 1) x x x x
2 x ( x 1)(x x 1) x x
c)
2
x
1
P P
3 3(x x 1)
Bài Cho biểu thức A x x
B x x
x x x
(6)a) Tính giá trị A x 9 b) Rút gọn biểu thức B
c) Cho P B A
Tìm x để P P
Hướng dẫn:
a) Thay x = vào A ta có A 9
b) B x x x
x( x 2) x x
c) P B x
A x
Ta có P P
x
P 0
2 x
Ta có x 0 nên x 0 Để x
2 x
x 0 0 x Bài Cho biểu thức A x
x x
3 B
x x
với x 0;x 9 a) Tính giá trị B x 25
b) Rút gọn biểu thức A
c) Tính giá trị x để B x
A
Hướng dẫn:
a) Thay x 25 vào B ta có B
10
b) A
( x 3)( x 3)
c) B x x x x
A 2 x 2
(7)Hướng dẫn:
a) Ta có 3x 2y y 3x x x
2
Đặt x t x 2t
2 y 3t
(t) b) x 5t (t )
y 23 7t
Bài Tìm phương trình bậc hai ẩn có hai nghiệm (2; 0) ( 1; 2)
Hướng dẫn:
Gọi phương trình cần tìm có dạng ax by c , ta được:
c a
2a 0b c 2
a 2b c
b c
Chọn c = a 2x 3y
b Bài
Tìm giá trị tham số m để phương trình bậc hai ẩn: a) m 1x 2y m 1 có cặp nghiệm (x; y) (1; 1) b) mx 5y 3m 1 có cặp nghiệm (x; y) (2; 1)
Hướng dẫn:
a) Vì (1; 1) nghiệm phương trình nên m m 1
2
m
m m (m 1)
b) Để cặp số (2; 1) nghiệm phương trình mx 5y 3m 1 ta phải có:
2m 5.( 1) 3m 1 m
Bài Giải hệ phương trình phương pháp thế: a) 3x y
5x 2y 23
b)
3x 5y 2x y
(8)c) 2x y x 3y
d)
x y 3x 4y
Hướng dẫn:
a) (x; y) = (3; 4) b) (x; y) = ( 3;2) c) (x; y) = ( 2;1) d) (x; y) = (10;7) Bài 10 Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số: a) 4x 7y 16
4x 3y 24
b)
2x 11y 10x 11y 31
c) 2x 3y 3x 4y
d)
5x 2y 3x 7y
Hướng dẫn:
a) (x;y) ( 3;4) b) (x;y) (2;1)
c) (x;y) (14;11) d)
x;y 11 7;41 41
Bài 11 Giải hệ phương trình:
a) 3(y 5) 2(x 3)
7(x 4) 3(x y 1) 14
b)
(x 1)(y 1) xy (x 3)(y 3) xy
c) 5(x 2y) 3(x y) 99 x 3y 7x 4y 17
d)
(x 1)(y 1) (x 2)(y 1) 2(x 2)y x 2xy
Hướng dẫn:
a) HPT cho 2x 3y 21 10x 3y 45
Từ tìm nghiệm HPT là: (3; 5) b) (x; y) = (2; 2)
c) (x;y) (4;7)
d) HPT cho 2x 3y x 4y
(9)Từ tìm nghiệm HPT là: 17 4; 11 11 Bài 12 a)
15 9
x y 35 x y b)
4 2
2x 3y 3x y
3
21 3x y 2x 3y
c)
4 3
x 2y
1 4
x 2y
d)
7
x y x y
3 4
x y x y
Hướng dẫn:
a) ĐK: x 0;y 0 Đặt u
x
1 v
y , ta HPT:
15u 7v 4u 9v 35
Giải ta u v
Từ nghiệm HPT ban đầu là: 1;
2
b)
x;y 2;66 11
c) ĐK: x 2;y
2
Đặt a x 2
1
b 2y 1 Hệ phương trình 4a b a x
a 3b b y
d) Đặt a; b
x y 2 x y 1
(10)Bài 13 Cho hệ phương trình (3a b)x (4a b 1)y 35 bx 4ay 29
Tìm giá trị a, b để hệ phương trình có nghiệm (1; 3)
Hướng dẫn:
Thay x 1;y 3 vào HPT cho ta được: 9a 4b 35 12a b 29
Giả ta a 2;b 5
Bài 14 Cho đường thẳng d: y (2m 3)x 3m 4 Tìm giá trị tham số m để d qua giao điểm hai đường thẳng d :2x 3y 121
2
d :3x 4y 1
Hướng dẫn:
Gọi M d 1 d2 Ta tìm được: M(3; 2) Để d ,d1 2 d đồng quy M(3; 2) d (2m 3).3 3m 4 2
m 5
Bài 15 Cho hệ phương trình x my 2m mx y m
(m tham số) Tìm giá trị m để hệ phương trình:
a) Có nghiệm Tìm nghiệm b) Vơ nghiệm
c) Vô số nghiệm
Hướng dẫn:
Từ PT thứ ta có x 2m my Thay vào PT lại, ta được:
2
(m 1)y 2m m (*)
Số nghiệm hệ phương trình ban đầu số nghiệm (*) Khi hệ phương trình:
(11)
x;y m 2m 1; m m
b) Vô nghiệm
2
2
m
m 2m m
c) Vô số nghiệm
2
2
m
m
2m m
Bài 16 Cho hệ phương trình 2mx 5y 5x 2my 2m
(m tham số) a) Tìm m để HPT có nghiệm
b) Tìm m nguyên để nghiệm (x; y) cho x y nguyên
Hướng dẫn:
a) Từ PT thứ ta có y 2mx
5
Thay vào PT lại ta
25 4m x 15 6m 2
(*) Với m 0.x (*)
2
vô nghiệm HPT vô nghiệm Với m
2
HPT x y
HPT vô nghiệm Với m
2
: HPT có nghiệm (x;y) ;1
2m 2m
b) Khi x,y
2m 5
nhận giá trị ước
m 4; 3; 2;
Các cặp nghiệm nguyên là:
1;2 , 3;4 , 3; , 1;0
Bài 17 Cho hệ phương trình mx y4x my
(m tham số) Tìm điều kiện tham số m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện x 2
y 0
(12)Với m 2 HPT vô số nghiệm
Với m 2 : HPT có dạng 2x y 3 , mà x 2,y 0 2x y 4HPT vô nghiệm
Với m 2: HPT có nghiệm ;
m m
Khi x 2 m
2 y
Bài 18 Cho hệ phương trình (m 1)x my 3m 2x y m
(m tham số)
Tìm giá trị tham số m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) cho biểu thức S x 2 y2 đạt giá trị nhỏ
Hướng dẫn:
Với m 1: Hệ phương trình có nghiệm (m 1;m 3) Khi S x 2 y2 2(m 1) 8 2
min
S
m 1
Bài 19 Một ô tô dự định từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy nhanh 10km đến nơi sớm dự định giờ, xe chạy chậm lại 10km đến nơi chậm Tính vận tốc xe lúc đầu, thời gian dự định chiều dài quãng đường AB
Hướng dẫn:
Gọi thời gian ô tô đoạn đường AB, BC x, y (giờ) (ĐK: y > x > 0)
Ta có HPT: 50x 45y 165 y x 0,5
Giải HPT tìm
x 1,5 y
Bài 20 Tổng số học sinh khối khối trường 400 em, có 252 em học sinh giỏi Tính số học sinh khối, biết số học sinh giỏi khối chiếm tỉ lệ 60% số học sinh khối 8; số học sinh giỏi khối chiếm tỉ lệ 65% số học sinh khối
(13)Gọi số học sinh khối 8, khối trường x; y (x; y nguyên dương)
Theo ta có HPT x y 400
0,6x 0,65y 252
Giải HPT ta x 160;y 240 (thỏa mãn điều kiện)
Bài 21 Một người ô tô từ A đến B cách 90km Khi từ B A người tăng tốc độ 5km/h so với tốc độ lúc đi, thời gian thời gian 15 phút Tính tốc độ ô tô lúc từ A đến B
Hướng dẫn: Đáp án: 40km/h
Bài 22 Hai xe máy khởi hành lúc quãng đường từ A đến B dài 120km Mỗi xe máy thứ chạy nhanh xe máy thứ hai 10km nên xe máy thứ đến B trước xe máy thứ hai Tính vận tốc xe máy
Hướng dẫn:
Gọi vận tốc hai xe máy v ,v1 2 (km/h) (v1v20,v1 10)
Ta có hệ phương trình
1
2
v v 10
120 120 1
v v
Giải hệ phương trình, tìm
2
v 40 v 30
(thỏa mãn)
Bài 23 Cho số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng hai chữ số 5; bình phương chữ số hàng chục số hàng đơn vị đơn vị Tìm số
Hướng dẫn:
Gọi chữ số hàng chục hàng đơn vị là: x,y(x;y;x,y 9;x 0) Ta có hệ phương trình x y 52 x
y x y
Vậy số cần tìm 23
(14)vượt mức 21% Vì thời gian quy định họ hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm giao tổ theo kế hoạch?
Hướng dẫn:
Gọi x, y số sản phẩm giao tổ I, II theo kế hoạch (Điều kiện x, y *)
Theo ta có phương trình x y 600 Số sản phẩm vượt mức tổ I là: 18 x
100 (sản phẩm)
Số sản phẩm vượt mức tổ II là: 21 y
100 (sản phẩm)
Cả hai tổ hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm nên ta có:
18 21
x y 120
100 100
Ta có hệ phương trình:
x y 600
18 21
x y 120
100 100
Giải hệ phương trình x 200;y 400 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy số sản phẩm giao tổ I, tổ II theo kế hoạch 200 sản phẩm 400 sản phẩm
Bài 25 Để hồn thành cơng việc theo dự định, cần số công nhân làm số ngày định Nếu bớt cơng nhân phải thêm ngày hồn thành cơng việc Nếu tăng thêm cơng nhân cơng việc hồn thành sớm ngày Hỏi theo dự định, cần công nhân làm ngày?
Hướng dẫn:
Gọi số cơng nhân cần để hồn thành cơng việc x (cơng nhân) số ngày để hồn thành cơng việc theo dự định y (ngày) (ÐK:x N,x 2,y 4 ) Ta có hệ phương trình (x 2)(y 3) xy
(x 5)(y 4) xy
(15)Giải hệ phương trình, tìm x 10 y 12
Bài 26 Một canơ chạy sơng giờ, xi dịng 108km ngược dòng 63km Một lần khác canơ xi dịng 81km ngược dịng 84km Tính vận tốc nước chảy vận tốc canơ lúc nước yên lặng
Hướng dẫn:
Gọi vận tốc riêng canơ vận tốc dịng nước x, y (km/h) (ĐK x > y > 0)
Ta có HPT
108 63 7
x y x y
81 84 7
x y x y
Giải HPT thu x 24 y
Vậy vận tốc dịng nước vận tốc canơ 3km/h 24km/h Bài 27 Cho hàm số y ax (a 0) có đồ thị parabol (P)
a) Xác định a để (P) qua điểm A( 2;4) b) Với giá trị a vừa tìm trên, hãy: i) Vẽ đồ thị (P) mặt phẳng tọa độ ii) Tìm điểm (P) có tung độ
Hướng dẫn:
Từ A( 2;4) (P) , ta tìm a = b)
i) Đồ thị hàm số y 2x Học sinh tự vẽ hình ii) y 2x Cho y = ta tìm x 1 Vậy điểm cần tìm là: (1;2) ( 1;2)
Bài 28 Cho parabol (P): y x đường thẳng d: y 1x a) Vẽ (P) d hệ trục tọa độ
(16)Hướng dẫn:
a) Học sinh tự vẽ hình
b) Xét phương trình hồnh độ giao điểm (P) d: x2 1x Tìm x 0 x
2
Vậy giao điểm (0;0) 1;
2
Bài 29 Cho hàm số y 1x2
4
Xác định giá trị tham số m để điểm sau thuộc đồ thị hàm số:
a) A(2;m) b) B( 2;m) c) C m;3
4
Hướng dẫn:
a) m 1 b) m
c) m Bài 30 Cho hàm số y 2x có đồ thị (P)
a) Vẽ (P) hệ trục tọa độ
b) Tìm điểm thuộc (P) thỏa mãn: i) Có tung độ
ii) Cách hai trục tọa độ
Hướng dẫn:
a) Học sinh tự vẽ hình b)
i) Ta tìm điểm
2;4 , 2;4
ii) Có M(x ;y ) (P)0 0 y0 2x20M cách Ox, Oy nên ta có:
2
0 0
x y x 2x Ta tìm
1
x 0; ;
2
(17)Vậy điểm cần tìm là: M (0;0)1 , M2 1;
2
1
M ;
2
PHẦN II HÌNH HỌC
Bài 31 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BD CE cắt H Vẽ đường kính AF
a) Tứ giác BFCH hình gì?
b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh ba điểm H, M, F thẳng hàng
c) Chứng minh OM 1AH
Hướng dẫn:
a) Chứng minh BFCH hình bình hành
b) Sử dụng kết câu a) suy HF qua M (tính chất hai đường chéo hình bình hành qua trung điểm đường)
c) OM đường trung bình AHF OM 1AH
(18)Bài 32 Cho điểm A nằm ngồi đường trịn (O) Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB AC với (O) (B, C tiếp tuyến) Kẻ cát tuyến AMN với (O) (M nằm A N)
a) Chứng minh AB2 AM.AN
b) Gọi H AO BC Chứng minh AH.AO AM.AN
c) Đoạn thẳng AO cắt đường tròn (O) I Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Hướng dẫn:
a) ABM ANB
sđBM Chứng minh được: ABM∽ANB(g.g)
2
AB AM
AB AM.AN AN AB
b) Chứng minh AO BC, áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ABO sử dụng kết câu a) AB AH.AO2
(19)Bài 33 Cho tam giác ABC có AD đường phân giác Vẽ đường tròn tâm O qua A D đồng thời tiếp xúc với BC D Đường tròn cắt AB, AC E, F Chứng minh rằng:
a) EF BC
b) AED∽ADC AFD∽ADB c) AE.AC AF.AB AD
Hướng dẫn:
a) EAD EDB (cùng chắn DE),EAD FED (DAF)
EDB FED
suy EF BC
b) Ta có AED ADC (cùng chắn DFA) mà EAD DAC nên AED∽ADC Tương tự FAD DAB;AFD ADB nên AFD∽ADB
c) AED ADC AE AD AE.AC AD2
AD AC
∽
2
AF AD
AFD ADB AF.AB AD
AD AB
∽
(20)Bài 34 Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O; R) Gọi BD CE hai đường cao ABC Gọi (d) tiếp tuyến A đường tròn (O; R) M, N hình chiếu B C (d) Chứng minh rằng:
a) AMB∽CDB
b) AB MA.BE
AC NA.CD
Hướng dẫn:
a) Xét AMB CDB có MAB BCD (cùng chắn AB), AMB CDB (90 ) Suy AMB∽CDB(g.g)
b) AMB CDB AB MA
BC CD
∽
Tương tự, ta có: ANC∽BEC BC BE
AC AN
Suy ra: AB BC MA BE
BC AC CD AN hay
(21)Bài 35 Cho đường trịn (O; R) Hai đường kính AB CD vng góc với Gọi M điểm cung BC Dây AM cắt OC E Tia CM cắt đường thẳng AB N
a) Chứng minh MCE cân b) Chứng minh BN = BC c) Tính diện tích CBN theo R
Hướng dẫn:
Ta có AB CD (tại O), M điểm BC nên
sđAD = sđAC= sđCB= sđBD = 900, sđMB= sđMC= 450 a) Góc CEM góc có đỉnh bên đường trịn nên:
CEM
2
(sđCM + sđAD ) =
0 0
45 90 67 30'
2
Mặt khác ta tính ECMsđMBD : =
0 0
45 90 67 30'
2
Vậy CEM ECM , MCE cân M
b) Góc N góc có đỉnh bên ngồi đường trịn nên:
N(sđAC - sđMB) : = (90045 ):2 22 30'0 Mà BCN sđMB : = 45 :2 22 30'0
Vậy N BCN , BCN cân, suy BN = BC
(22)Diện tích tam giác CBN là: S 1BN.CO 1R 2.R 1R 22
2 2
Bài 36 Cho tam giác ABC điểm E cạnh BC (E B,E C) Đường tròn qua B, E đường tròn qua C, E cắt AB, AC điểm thứ hai M, N cắt điểm thứ hai P Chứng minh tứ giác AMPN tứ giác nội tiếp
Hướng dẫn:
Do BEPM, CEPN tứ giác nội tiếp nên:
0
0
MPE 180 B
EPN 180 C
MPE EPN 360 B C
MPN 360 MPE EPN B C
MPN A A B C 180
Tứ giác AMPN tứ giác nội tiếp
Bài 37 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Từ điểm M cung nhỏ AC, ta kẻ MK, MI, MH vng góc với BC, CA, AB K, I, H Chứng minh rằng:
(23)Hướng dẫn:
a) Ta có MIC MKC 90 90 180 0 Tứ giác MKCI nội tiếp
Tương tự ta có MIHA, MKBH tứ giác nội tiếp b) Do a, ta có: HIA HMA (chắn cung AH) (1)
CIK CMK (chắn cung CK) (2) Do tứ giác ABCM, BHMK nội tiếp nên:
AMC ABC HMK ABC 180
AMC HMK AMC HMC HMK HMC
AMH CMK
Từ (1), (2) (3) suy HIA CIK H, I, K thẳng hàng Bài 38 Cho ABC vng A (AB < AC) có AH đường cao Kẻ
HM AB,HN AC Gọi I trung điểm BC; MN cắt AH, AI O, K Chứng minh rằng:
a) BCNM tứ giác nội tiếp b) HOKI tứ giác nội tiếp c) 1
AK HB HC
(24)a) Ta có MAN 90 ,ANH 90 ,AMH 90 nên AMHN hình chữ nhật
OA OM
OAM cân O
OAM OMA;OAM ACB (90 ABC) OMA ACB
suy BCNM tứ giác nội tiếp
b) ABC vng A có AI đường trung tuyến nên IA = IB
IAB
cân IIAB IBA , mà AMK ACB nên
IAB AMK IBA ACB 90 KAM vuông K
Tứ giác HOKI có OHI 90 ,OKI 90 nên HOKI nội tiếp đường trịn đường kính OI
c) AKO AHI(g.g) AK AO AH AI
∽
2
BC AH
AK.AI AH.AO AK AH AK.BC AH
2
Mặt khác theo hệ thức lượng tam giác vng ABC, ta có
2
BH.CH AH AK.BC BH.CH
1 BC HB HC 1
AK BC.CH BH.CH HB HC
Bài 39 Cho đường tròn (O) đường kính AB Gọi H điểm nằm O B Kẻ dây CD vng góc với AB H Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ CK AE K Đường thẳng DE cắt CK F Chứng minh:
a) Tứ giác AHCK tứ giác nội tiếp b) AH.AB AD 2
(25)Hướng dẫn:
a) Học sinh tự chứng minh
b) ADB vng D, có đường cao DHAD AH.AB2 c) EAC EDC
2
sđEC, EAC KHC (do tứ giác AKCH nội tiếp)
EDC KHC DF HK
(H trung điểm DC nên K trung điểm FC)
ACF
tam giác cân
Bài 40 Cho đường trịn (O) đường kính AB, gọi I trung điểm OA, dây CD vng góc với AB I Lấy K tùy ý cung BC nhỏ, AK cắt CD H a) Chứng minh tứ giác BIHK tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh AH.AK có giá trị khơng phụ thuộc vào vị trí điểm K c) Kẻ DN CB,DM AC Chứng minh đường thẳng MN, AB, CD đồng quy
(26)a) HIB HKB 180 0Tứ giác BIHK nội tiếp b) Chứng minh AHI∽ABK(g.g)
2
AH.AK AI.AB R
(khơng đổi)
c) Chứng minh MCND hình chữ nhật Từ suy điều phải chứng minh
C MỘT SỐ BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 41 Cho a, b số thực dương thỏa mãn a 2b 8 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 2a 3b
a b
Hướng dẫn:
Ta có P a b
a 2b
a b
Áp dụng bất đẳng thức Cô- si ta được:
4
P a b 18
a b
Vậy Pmin18 a 2,b 3
Bài 42 Cho số thực dương a, b thỏa mãn 2a b 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 16a2 2b2
a b
(27)Ta có P 4a
1
2 b 12
a b
Áp dụng BĐT Cơ- si, ta có:
3
P 16a 4b
a b
1
P 4a b 2a b
a b
P 14
Từ tìm Pmin 14 a 1;b
Bài 43 Cho hai số x, y dương thỏa mãn điều kiện 2xy x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức P xy 12 12
x y
Hướng dẫn:
Ta có 2xy x y xy xy 4 Áp dụng BĐT Cô- si cho cặp số 12 ; 2 x y
ta được:
2
1 2 7xy
P xy xy xy
x y xy xy 2
Vậy Pmin
2
x y
Bài 44 Với hai số thực a, b dương thỏa mãn a b c 1 , tìm giá trị nhỏ biểu thức: T a 2 b 2 c 2
1 9b 9c 9a
Hướng dẫn:
2
2
a a 9ab a 3ab
1 9b 1 9b 2 Từ tìm Tmin
2
a b c
3
(28)Bài 45 Cho x số thực thỏa mãn x
Tìm giá trị lớn biểu thức M x x 2x2
Hướng dẫn:
Theo bất đẳng thức Cơ- si ta có:
2
2 1 x 2x
1 x 2x 1.(1 x 2x )
2
2
2
1 x 2x x
M M x
2
Vậy GTLN M 1 x 0
Bài 46 Cho hai số dương a, b thỏa mãn 1
a b
Tìm giá trị lớn Q 4 21 2 4 21 2
a b 2ab b a 2ba
Hướng dẫn:
Ta có 1 a b 2ab
a b Áp dụng Cơ- si ta có:
4 2 2 2
a b 2a b a b 2ab 2a b 2ab 2ab(a b) (a b)
4 2
1
a b 2ab (a b)
Tương tự 2
1
b a 2ba (a b)
2
2 Q
(a b)
Có
1 1
2
a b a b (a b)
Q
Vậy Qmax
Dấu “=” xảy a b 1 Bài 47 Cho a, b, c > 0, chứng minh:
a b c a b c
a b b c c a b c a c a b
(29)Ta có: a a 2a b c a(b c) a b c
Chứng minh tương tự b 2b ; c 2c
a c a b c a b a b c
VP
Mặt khác, sử dụng biến đổi tương đương ta chứng minh:
a a c b b a c b c
; ;
a b a b c b c a b c c a a b c
VT
Suy a b c a b c
a b b c c a b c a c a b Bài 48 Với a, b, c số dương thỏa mãn:
a b c ab bc ca 6abc Chứng minh 12 12 12
a b c
Hướng dẫn:
Ta có 12 12
2 a b ab
; 2
1 1
2 b c bc
; 2
1 1
2 c a ca
2
1 1
2 a a
;
1 1
2 b b
;
1 1
2 c c
Cộng vế với vế, ta được:
2 2 2
3 1 6 1 3
2 a b c a b c
Bài 49 Cho a, b > thỏa mãn 2b ab 0 Tìm giá trị nhỏ
2 a 2b T ab Hướng dẫn:
Ta có 2b ab 2b ab 4 ab b
a
(30)2
a 2b a b 31 b 33
T
ab b 16a 16 a
33
MinT
a 1;b 4
Bài 50 Với a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện a b c 2 Tìm giá trị lớn biểu thức:
Q 2a bc 2b ca 2c ab
Hướng dẫn:
Thay a b c , ta có:
Q (a b c)a bc (a b c)b ac (a b c)c ab = (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b)
Sử dụng bất đẳng thức Cơ- si, ta có: (a b) (a c) (a b)(a c)
2
(1) (b c) (b a)
(b c)(b a)
2
(2) (c a) (c b)
(c a)(c b)
2
(3) Từ (1), (2), (3) suy ra: Q 4(a b c)
2
Vậy maxQ 4 , đạt a b c
3