Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác Vuông và Tỉ Số Lượng Giác Góc Nhọn

Mấu chốt trong các bài toán kiểu này là ta cần dựng một tam giác vuông mà hệ thức về đường cao của nó tương ứng với đề bài.... Tính các tỉ số lượng giác của góc 15..[r]

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG VÀ TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC GÓC NHỌN (Nâng cao cho lớp 9)

A Các bai tốn ví dụ.

Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Tính BC, CA, AH biết 15 , 16

AB cm HC  cm Giải.

Ta có : AB2 BH BC BH HC BH      152 BH16BH

   

2 16 225 0 9 25 0 9

BH BH BH BH BH

         

Vậy ta có : BC BH CH   9 16 25

16.25 20

CA CH BC  

9.16 12

AH  BH CH  

Bài Cho hình thoi ABCD với gócA1200 Tia Ax tạo với AB góc 15 cắt0

cạnh BC điểm M, cắt đường thẳng CD điểm N

Chứng minh

2 2

1

3 AM  AN  AB

Giải

Từ yêu cầu chứng minh

2 2

1

3 AM  AN  AB

2 2

1 1

3

AM AN AB

  

 

 

  hệ thức liên quan tới đường cao

trong tam giác vuông

Trong ta cần dựng hình vng có hai cạnh góc vng có độ dài AM, AN có độ dài đường cao

3 AB

Ta dựng tia Ay vuông góc với Ax, tia Ay cắt cạnh CD E Khi ta có   

0 0

120 15 90 15

DAE   

 

BAM DAE g c g AM AE

      

VẬy ta có tam giác EAN vng A, hai cạnh góc vng AN, AE đường cao

2 AB AH 

Xét tam giác vng EAN ta có:

2 2 2

1 1 1

3

2

AN  AE  AB   AN  AM  AB

 

 

Bài Tính tỉ số lượng giác góc 15

Giải Xét tam giác ABC vuông A với ABC 150 Gọi d đường trung trực của

BC, d cắt AB D

Vì d trung trực BC nên ta có DC = DB  BDC cân D

  150  300

ABC DCB ADC

     (góc ngồi tam giác DBC).

Đặt

2

2 ,

2 a

AC a  DC  a AD a

(do tam giác ADC tam giác nửa đều)

Ta có: AB AD DB AD DC a     2 a a  2 

 2  

2 2 3 2 8 3 6 2

BC  AB AC  a  a a  a 



 

0

sin15 sin

4

AC a

BAC

BC a



   



  

 

0

cos15 cos

4

a AB BAC

BC a

 

   

 

 

0

tan15 tan

3

AC a

BAC

AB a

    



0

cot15

2

  



Bài Cho tam giác ABC cân A có BAC360 Trên tia đối tia CB lấy điểm

D cho CD = AC Kẻ AH vng góc BC H Đặt AB x BC , 2y

a) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác DAB x2 2y x 2y

b) Tính x AH theo y

c) Tính tỉ số lượng giác góc 180 360

Giải.

Tam giác ABC cân A có BAC 360 ABC ACB 720

Ta có

 1800 720 1080  1800 1080 360

2

Do BAD 720, ta suy tam giác ABC đồng dạng tam giác DAB.

Khi :

2 .

AB DB

AB BC DB

BC AB   hay x2 2y x 2y b) theo câu a) x2 2y x 2y  x2  2xy y 5y2

x y2 5y2 x y 5y x 1 5 y

        

(vì tam giác ABC x2y)

Ta có:    

2

2 2 2 1 5 1 5 5 AH AB  BH x  y     y   y

 

5

AH y

  

c)Các tỉ số lượng giác góc 18 Xét tam giác vng ABH ta có:



0

sin18 sin BH y BAH AB x        

0 5 10

cos18 cos AH BAH AB        

t an18 tan

5 BH BAH AH    

cot18  5

Các tỉ số lượng giác góc 36 tính tương tự góc ADH tam giác vng ADH

B Bài tập

Bài Cho tam giác nhọn ABC, BD CE hai đường cao Các điểm M, N đường thẳng CE, BD cho AMB ANC 900 Chứng minh tam giác AMN

cân

Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Lấy điểm D cạnh AC và

điểm E tia đối tia HA cho

1

AD HE

AC HA  Từ D kẻ đường thẳng song song với BC cắt AH F Chứng minh

a) AH = EF b) BE vng góc với ED

Bài Cho tam giác ABC cân A, đường cao AH BK Chứng minh

2 2

1 1

4 BK BC  AH

Bài Cho hình vng ABCD, điểm E cạnh AB Gọi F giao điểm

của DE BC Chứng minh 2

1 1

AD DE  DF

Bài Vẽ đoạn thẳng AB4cm Tại C điểm di động cho BC 3cm Vẽ

tam giác AMN vuông A có AC đường cao Xác định vị trí điểm C để

2

1

AM  AN đạt giá trị lớn nhất.

Bài 6

Cho hình thoi ABCD với gócA1200 Tia Ax tạo với AB góc 15 cắt0

cạnh BC điểm M, cắt cạnh CD điểm N Chứng minh 2

1

3 AM  AN  AB

Bài Cho tam giác ABC vuông A, AH đường cao Đặt BH x HC, y

Chứng minh x y xy  

Bài Cho đoạn BC cố định có độ dài 2a với a0 điểm A di động cho

 900

BAC  Kẻ AH vuông góc với BC H Gọi HE HF đường cao

a) Chứng minh BC2 3AH2BE2CF2

b) Chứng minh BE2 3CF2 3 BC2

c) Tìm điều kiện tam giác ABC để tổng BE2CF2 đạt giá trị nhỏ nhất.

d) Chứng minh AH3 BC BE CF BC HE HF

e) Tìm vị trí A để diện tích tam giác AEF đạt giá trị lớn

Bài Cho tam giác ABC có trực tâm H.

a) Chứng minh AB2HC2 AC2HB2 BC2HA2

b) Gọi S diện tích tam giác ABC Chứng minh

AB HC BC HA CA HB   S

Bài 10 Cho tam giác ABC vng A có đường trung tuyến AM CN vng góc với Biết AB x x  0 Tính AC BC theo x

Bài 11 Cho đoạn BC cố định có độ dài 2a a 0 điểm A thay đổi cho

 900

BAC  Gọi BM, CN đường trung tuyến tam giác ABC.

a) Chứng minh : BM2CN2 5a2

b) Tìm điều kiện tam giác ABC để tổng BM CN đạt giá trị lớn nhất.

Bài tập tỉ số lượng giác góc nhọn

Bài 12 Tính tổng sau (khơng dùng máy tính)

a) sin 102 sin 202  sin 70 sin 802

b) cos 122 cos 782  cos 1 cos 892

Bài 13 Hãy đơn giản biểu thức sau với 00  900.

a) sin6 cos6 3sin2.cos2

b) sin4  cos4  sin cos sin  cos c) cos2 tan2.cos2

Bài 14 Chứng minh hệ thức sau khơng phụ thuộc góc nhọn 

a)    

2

sin cos sin cos

A       

b)    

6 4

2 sin cos cos sin

c)

2 cot tan cot



 

 

  với tan 1

Bài 15 Cho tam giác DEF có DE9cm DF, 15cm EF, 12cm Tính sinEDF,



tanEDF .

Bài 16 Cho tam giác ABC vuông A, BC a , đường cao AH Chứng minh

rằng AH a.sin cosB B, BH a cos2B, CH a sin2B

Bài 17 Cho tam giác ABC vuông A,

3 21 ,cos

5

AC  cm C 

a) Tính tan ,cotB B

b) Gọi M trung điểm BC Kẻ đường thẳng vng góc với BC M, cắt AB, CA E, F Tính CF, MF

c) Đường phân giác góc A cắt cạnh BC D Tính BD DC

Bài 18 Cho tam giác ABC vuông A Từ trung điểm E cạnh AC kẻ EF vuông với BC

a) Chứng minh AF BE cosC

b) Biết

3 20 ,sin

5

BC cm C

Tính diện tích tứ giác ABFE

Bài 19 Cho hình bình hành ABCD có AC đường chéo lớn Kẻ CH vng góc với AD H CK vng góc với AB K

a) CHứng minh tam giác CKH BCA đồng dạng

b) Chứng minh HK AC.sinBAD

c) Tính SAKCH biết ABC120 ,0 AB8cm AD, 10cm

Bài 20 Cho tam giác ABC nhọn, kẻ ba đường cao AD, BE, CF Chứng minh

a) Hai tam giác AEF ABC đồng dạng

b) AF BD CE AB BC CA  cos cos cosA B C

c) Giả sử A60 ,0 SABC 144cm2 Tính SAEF Bài 21 Cho tam giác ABC Chứng minh

b) Khi BAC 1200 BC2 AB2AC2AB AC

Bài 22 Cho tam giác ABC cạnh a Trên cạnh BC lấy điểm D cho BD = 2CD Đường trung trực đoạn AD cắt AB, AC E, F Tính cạnh tam giác AEF

Bài 23 Cho tam giác ABC cân A có BAC 1080 Kẻ đường cao AH, tia

đối tia AB lấy điểm D cho ACD720 Đặt AB = AC = x, BC = 2y.

a) Chứng minh AD = CD = 2y