Các bài toán hình học phẳng 1. Hệ thức lợng trong tam giác vuông a) Một số hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH ta có b 2 = a. b’ c 2 = a. c’ b 2 + c 2 = a 2 h 2 = b’. c’ a. h = b. c 2 2 2 1 1 1 h b c b) Tỉ số lợng giác của góc nhọn - Các tỉ số lợng giác của góc nhọn a đợc định nghĩa nh sau: sina = c¹nh ®èi c¹nh huyÒn cosa = c¹nh kÒ c¹nh huyÒn tga = c¹nh ®èi c¹nh kÒ cotga = c¹nh kÒ c¹nh ®èi - Với hai góc a và b phụ nhau ta có sina = cosb cosa = sinb tga = cotgb cotga = tgb - Một số góc đặc biệt 0 0 1 sin30 cos60 2 0 0 2 sin45 cos45 2 0 0 3 cos30 sin60 2 0 0 tg45 cotg45 1 0 0 3 tg30 cotg60 3 0 0 cotg30 t g60 3 c) Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề. Mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề d) Một số công thức tính diện tích tam giác S = a.h 2 (h là đờng cao ứng với cạnh a) S = a.b.sinC b.c.sin A c.a.sinB 2 2 2 S = p.r (p là nửa chu vi, r là bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác) S = a.b.c 4R (R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác) S = p p a p b p c (p là nửa chu vi của tam giác) 2. Đờng tròn: a) Sự xác định đờng tròn. Tính chất đối xứng của đờng tròn - Đờng tròn tâm O bán kính R (với R > 0) là hình gồm các điểm cách đều điểm O một khoảng bằng R - Tuỳ theo OM = R; OM < R; OM > R mà ta có điểm M nằm trên, nằm bên trong, nằm bên ngoài đờng tròn - Qua ba điểm không thẳng hàng, bao giờ cũng vẽ đợc một và chỉ một đờng tròn - Đờng tròn có tâm đối xứng, đó là tâm đờng tròn. Đờng tròn có vô số trục đối xứng, đó là bất kì đờng kính nào của nó b) Đờng kính và dây cung của đờng tròn. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây - Trong một đờng tròn, dây lớn nhất là đờng kính - Đờng kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy - Đờng kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy - Trong một đờng tròn: Hai dây bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm. Trong hai dây không bằng nhau, dây lớn hơn khi và chỉ khi nó gần tâm hơn c) Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đờng tròn Căn cứ vào số điểm chung 0, 1, 2 của đờng thẳng và đờng tròn mà ta định nghĩa các vị trí: đờng thẳng và đờng tròn không giao nhau; tiếp xúc nhau; cắt nhau. Ứng với mỗi vị trí trên, khoảng cách d từ tâm đờng tròn đến đờng thẳng và bán kính R của đờng tròn có các liên hệ: d > R; d = R; d < R. Ta có các định lí - Nếu một đờng thẳng là tiếp tuyến của đờng tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm - Nếu một đờng thẳng đi qua một điểm của đờng tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đờng thẳng ấy là một tiếp tuyến của đờng tròn d) Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau: Nếu hai tiếp tuyến của một đờng tròn cắt nhau tại một điểm thì: - Điểm đó cách đều hai tiếp điểm - Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến. Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm e) Đờng tròn nội tiếp tam giác, ngoại tiếp tam giác, bàng tiếp tam giác - Đờng tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đờng tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác gọi là ngoại tiếp đờng tròn. Tâm của đờng tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đờng phân giác các góc trong tam giác - Đờng tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác gọi là đờng tròn ngoại tiếp tam giác, còn tam giác gọi là nội tiếp đờng tròn. Tâm của đờng tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của các đờng trung trực tam giác - Đờng tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và tiếp xúc với phần kéo dài của hai cạnh kia là đờng tròn bàng tiếp tam giác. Tâm của mỗi đờng tròn bàng tiếp tam giác là giao điểm của hai đờng phân giác của hai góc ngoài tam giác hoặc giao điểm của tia phân giác của một góc trong và một trong hai đờng phân giác của góc ngoài không kề với nó f) Vị trí tơng đối của hai đờng tròn Căn cứ vào số điểm chung 0, 1, 2 của hai đờng tròn mà ta định nghĩa các vị trí: Hai đờng tròn không giao nhau, tiếp xúc nhau, cắt nhau Do tính chất đối xứng của đờng tròn, nếu hai đờng tròn cắt nhau thì giao điểm đối xứng với nhau qua đờng nối tâm, nếu hai đờng tròn tiếp xúc nhau thì giao điểm nằm trên đờng nối tâm g) Góc với đờng tròn: + Góc ở tâm: Góc có đỉnh trùng với tâm đờng tròn đợc gọi là góc ở tâm. Số đo cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó. Số đo cung lớn bằng hiệu giữa 360 0 và số đo cung nhỏ. Số đo của nửa đờng tròn bằng 180 0 . + Góc nội tiếp: Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đờng tròn và hai cạnh chứa dây cung của đờng tròn đó. Cung bên trong của góc gọi là cung bị chắn. Trong một đờng tròn số đo của góc nội tiếp bằng nữa số đo cung bị chắn + Góc tạo bởi giữa tiếp tuyến và dây cung: Cho đờng tròn (O), A là tiếp điểm, xAy là tiếp tuyến của (O) tại A, AB là một dây cung. Góc tạo bởi tia Ax (hoặc tia Ay) với dây AB đợc gọi là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung. Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nữa số đo cung bị chắn + Góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn: Mỗi góc có đỉnh ở bên trong đ- ờng tròn chắn hai cung: một cung nằm bên trong góc và cung kia nằm bên trong góc đối đỉnh của cung đó. Số đo có đỉnh ở bên trong đờng tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn + Góc có đỉnh ở bên ngoài đờng tròn: Số đo góc có đỉnh ở bên ngoài đờng tròn bằng nửa hiệu hai cung bị chắn F Chú ý: Trong một đờng tròn - Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau - Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau - Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau - Góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng 90 0 có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung. - Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn là góc vuông và ngợc lại góc vuông nội tiếp thì chắn nửa đờng tròn. - Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. h) Độ dài đờng tròn - Độ dài cung tròn. - Độ dài đờng tròn bán kính R: C = 2pR = pd - Độ dài cung tròn n 0 bán kính R : Rn l 180 I) Diện tích hình tròn - Diện tích hình quạt tròn - Diện tích hình tròn: S = pR 2 - Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cong n 0 : 2 R n lR S 360 2 3. Các dạng toán cơ bản Dạng 1: Chứng minh hai góc bằng nhau. F Cách chứng minh: - Chứng minh hai góc cùng bằng góc thứ ba - Chứng minh hai góc bằng với hai góc bằng nhau khác - Hai góc bằng tổng hoặc hiệu của hai góc theo thứ tự đôi một bằng nhau - Hai góc cùng phụ (hoặc cùng bù) với góc thứ ba - Hai góc cùng nhọn hoặc cùng tù có các cạnh đôi một song song hoặc vuông góc - Hai góc so le trong, so le ngoài hoặc đồng vị - Hai góc ở vị trí đối đỉnh - Hai góc của cùng mộ tam giác cân hoặc đều - Hai góc tơng ứng của hai tam giác bằng nhau hoặc đồng dạng - Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn hai cung bằng nhau. Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau F Cách chứng minh: - Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng đoạn thứ ba - Hai cạnh của một tam giác cân hoặc tam giác đều - Hai cạnh tơng ứng của hai tam giác bằng nhau - Hai cạnh đối của hình bình hành (chữ nhật, hình thoi, hình vuông) - Hai cạnh bên của hình thang cân - Hai dây trơng ứng hai cung bằng nhau trong một đờng tròn hoặc hai đờng bằng nhau. Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau Dạng 3: Chứng minh hai đờng thẳng song song F Cách chứng minh: - Chứng minh hai đờng thẳng cùng song song với đờng thẳng thứ ba - Chứng minh hai đờng thẳng cùng vuông góc với đờng thẳng thứ ba - Chứng minh chúng cùng tạo với một cát tuyến hai góc bằng nhau: ở vị trí so le trong; ở vị trí so le ngoài; ở vị trí đồng vị. - Là hai dây chắn giữa chúng hai cung bằng nhau trong một đờng tròn - Chúng là hai cạnh đối của một hình bình hành, chữ nhật, hình vuông, Dạng 4: Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc F Cách chứng minh: - Chúng cùng song song với hai đờng thẳng vuông góc khác. - Chứng minh chúng là chân đờng cao trong một tam giác. - Đờng kính đi qua trung điểm của dây và dây không đi qua tâm. - Chúng là phân giác của hai góc kề bù nhau. - Tính chất 2 đờng chéo hình thoi, hình vuông Dạng 5: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đờng thẳng đồng quy. F Cách chứng minh: - Dựa vào tổng hai góc kề bù có tổng bằng 180 0 - Dựa vào hai góc đối đỉnh - Dựa vào hai đờng thẳng đi qua một điểm cùng song song với đờng thẳng khác - Dựa vào hai góc bằng nhau có 1 cạnh trùng nhau - Chứng minh chúng là ba đờng cao, ba trung tuyến, ba trung trực, ba phân giác trong (hoặc một phân giác trong và phân giác ngoài của hai góc kia) - Vận dụng định lí đảo của định lí Talet. Dạng 6: Chứng minh hai tam giác bằng nhau * Hai tam giác thờng: - Trờng hợp góc - cạnh - góc (g-c-g) - Trờng hợp cạnh - góc - cạnh (c-g-c) - Trờng hợp cạnh - cạnh - cạnh (c-c-c) * Hai tam giác vuông: - Có một cạnh và một góc nhọn bằng nhau - Có cạnh huyền bằng nhau và một cạnh góc vuông bằng nhau - Cạnh góc vuông đôi một bằng nhau Dạng 7: Chứng minh hai tam giác đồng dạng * Hai tam giác thờng: - Có hai góc bằng nhau đôi một (g-g) - Có một góc bằng nhau xen giữa hai cạnh tơng ứng tỷ lệ (c-g-c) - Có ba cạnh tơng ứng tỷ lệ (c-c-c) * Hai tam giác vuông: - Có một góc nhọn bằng nhau - Có hai cạnh góc vuông tơng ứng tỷ lệ - Có cạnh huyền và một cạnh góc vuông tơng ứng tỷ lệ Dạng 8: Chứng minh tứ giác nội tiếp F Cách chứng minh: - Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 0 - Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện - Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm. - Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới một góc a. - Dựa vào phơng tích của đờng tròn . Các bài toán hình học phẳng 1. Hệ thức lợng trong tam giác vuông a) Một số hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH ta có b 2 =. c) Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề. Mỗi cạnh góc vuông bằng. phân giác các góc trong tam giác - Đờng tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác gọi là đờng tròn ngoại tiếp tam giác, còn tam giác gọi là nội tiếp đờng tròn. Tâm của đờng tròn ngoại tiếp tam giác