Đại số & Giải tích

Giải Hàm số xác định với mọi x thuộc R... Giải Hàm số xác định với mọi x thuộc R.[r]

HÀM SỐ LIÊN TỤC (tiết 2) A PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

1 Xét tính liên tục hàm số dạng:

 

 









0 x x

a x=x

g x

f x   



o Tìm

 

0

lim

x x





g x





.Hàm số liên tục x0

 

lim

x x



g x



a









2 Xét tính liên tục hàm số dạng:

 

 









 





0 0 x<x x=x x>x

g x

f x a

h x

      o Tìm :

 

 

 

 

 

0

0

0

lim

lim

lim

lim

x x x x

x x x x

f x

g x

f x

g x

f x

 

 

 

 

















































Hàm số liên tục x = x0

 

 

 

0 0

lim lim

x x f x  x x f x  f x a

     

3 Chứng minh phƣơng trình f(x) = có nghiệm khoảng (a;b) o Chứng tỏ f(x) liên tục đoạn [a;b]

o Chứng tỏ f(a).f(b)<0

Khi f(x) = có nghiệm thuộc (a;b)

Nếu chưa có (a;b) ta cần tính giá trị f(x) để tìm a b Muốn chứng minh f(x)=0 có hai , ba nghiệm ta tìm hai , ba khoảng rời khoảng f(x)=0 có nghiệm

B CÁC VÍ DỤ

1 Cho hàm số:

 





 

1 x 1

a x=1

x

f x x

  

  

 

a số Xét tính liên tục của hàm số x0 =

Giải Hàm số xác định với x thuộc R

Ta có f(1) = a











2

1 1

1

1

1

lim

lim

lim

1 2

1

1

x x x

x

x

x

x

x

x

  











 





Nếu a=2 hàm số liên tục x0 =

2 Cho hàm số:

 









2 1 x 0 x x

x

f x    



 Xét tính liên tục hàm số x0 = 0

Giải Hàm số xác định với x thuộc R

Ta có f(0) =

 

 





 

0

2

0 0

lim lim

lim lim 1 0= lim lim

x x

x x x x

f x x

f x x f x x

 

   

 

   

   

 

       

   

Vậy hàm số không liên tục x0 =

3 Cho hàm số:

 









2

2 x x +x-1 x

ax

f x    



 Xét tính liên tục hàm số

trên toàn trục số

Giải x >1 ta có f(x) = ax +2 hàm số liên tục

x <1 ta có f(x) = x2+x-1 hàm số liên tục

Khi x = 1:

Ta có f(1) = a+2

 





 





1

2

1

lim lim 2

lim lim 1

x x

x x

f x ax a

f x x x

 

 

 

 

     

 

     

 

Hàm số liên tục x0 = a = -1

Hàm số gián đoạn x0 = a



-1

Vậy hàm số liên tục toàn trục số a = -1.Hslt



  

;1

 

1;



a



-1 4 Chứng minh phƣơng trình sau ln có nghiệm:

a)

5

x  x   b)

3

x   x

a) Đặt

 

5

f x x  x  Tập xác định hàm số f x

 

D Vì f x

 

hàm đa thức  f x

 

liên tục 

Ta có f

 

   1 5.1 1  f

 

  2 21, nên suy f

   

1 f    2 21 với m Do f x

 

0 ln có nghiệm x0  



2; 1



với m

b) Đặt

 

3

f x x  x Tập xác định hàm số f x

 

D Vì f x

 

hàm đa thức  f x

 

liên tục 

Ta có f

 

1  1 có f

 

2 31, nên suy f

   

1 f 31.

 

   1 31 với m Do f x

 

0 ln có nghiệm n0

 

1; với m

5 Chứng minh phƣơng trình sau có hai nghiệm:

4

4x 2x   x

LỜI GIẢI

Đặt f x

 

4x42x2 x Tập xác định hàm số f x

 

D Vì f x

 

hàm đa thức  f x

 

liên tục 

Ta có f

 

0  3,f

 

 1 4, f

 

1 2

Vì f

   

1 f     12 0, m phương trình (1) ln có nghiệm  



1;0



(2) Vì f

   

0 f     6 m phương trình (1) có nghiệm 

 

0;1 (3)

Từ (2), (3)  phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: cho hàm số:

2

1 ( )

1

x

neu x

f x x

a neu x

 

 

 

 



để f(x) liên tục điêm x0 = a bằng?

A B +1 C D -1

Câu 2: cho hàm số:

2

1

( )

0

x neu x

f x

x neu x

  

 



 mệnh đề sau, mệnh đề sai?

A lim ( )

0 

 f x

x

B.lim ( )

0 

 f x

x

Câu 3: cho hàm số: ( ) ax 32

1

neu x f x

x x neu x

 

  

  

 để f(x) liên tục tồn trục số a

bằng?

A -2 B -1 C D

Câu 4: Cho hàm số

( )

f x x  x Xét phương trình: f(x) = (1) mệnh đề

sau, tìm mệnh đề sai?

A (1) có nghiệm khoảng (-1; 1) B (1) có nghiệm khoảng (0; 1)

C (1) có nghiệm R D Vô nghiệm

Câu 5: Cho hàm số: (I) y = sinx ; (II) y = cosx ; (III) y = tanx ; (IV) y = cotx Trong hàm số sau hàm số liên tục R

A (I) (II) B (III) IV) C (I) (III) D (I0, (II), (III) (IV)

Câu 6: cho hàm số:

2 16

4 ( ) 4

4

x

neu x

f x x

a neu x

  



 

 



đề f(x) liên tục điêm x = a bằng?

A B C D

Câu 7: Cho hàm số f(x) chưa xác định x = 0:

2

2 ( ) x x

f x

x





Để f(x) liên tục x = 0, phải gán cho f(0) giá trị bao nhiêu? A -3 B -2 C -1 D

Câu 8: Cho hàm số f(x) chưa xác định x = 0:

3

2

2 ( ) x x

f x

x





Để f(x) liên tục x = 0, phải gán cho f(0) giá trị bao nhiêu? A B C D

Câu 9: cho hàm số:

2

ax

( )

1

neu x f x

x x neu x

 

  

  

 để f(x) liên tục R a bằng? A B C D Đáp án khác

Câu 10: Cho phương trình

3x 2x 2 Xét phương trình: f(x) = (1)

mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng?

C (1) có nghiệm R D (1) có nghiệm

Câu 11 Khẳng định sau đúng:

A Hàm số có giới hạn điểm 𝑥 = 𝑎 liên tục 𝑥 = 𝑎 B Hàm số có giới hạn trái điểm 𝑥 = 𝑎 liên tục 𝑥 = 𝑎 C Hàm số có giới hạn phải điểm 𝑥 = 𝑎 liên tục 𝑥 = 𝑎

D Hàm số có giới hạn trái phải điểm 𝑥 = 𝑎 liên tục 𝑥 = 𝑎 Câu 12: Cho hàm số 𝑓(𝑥) Khẳng định sau đúng:

A Nếu 𝑓 𝑎 𝑓 𝑏 < hàm số liên tục (𝑎; 𝑏) B Nếu hàm số liên tục (𝑎; 𝑏) 𝑓 𝑎 𝑓 𝑏 <

C Nếu hàm số liên tục

 

a;b 𝑓 𝑎 𝑓 𝑏 < phương trình 𝑓 𝑥 = có nghiệm (𝑎; 𝑏)

D Cả ba khẳng định sai

Câu 13: Cho phương trình 2𝑥4 − 5𝑥2 + 𝑥 + = Khẳng định đúng: A Phương trình khơng có nghiệm khoảng (−1; 1)

B Phương trình khơng có nghiệm khoảng (−2; 0) C Phương trình có nghiệm khoảng (−2; 1) D Phương trình có nghiệm khoảng (0; 2) Câu 14: Khẳng định đúng:

A Hàm số

2

1 ( )

1

x f x

x

 

 liên tục B Hàm số

1 ( )

1

x f x

x

 

 liên tục C Hàm số ( )

1

x f x

x

 

 liên tục D Hàm số

1 ( )

1

x f x

x

 

 liên tục

Câu 15: Cho hàm số 𝑓 𝑥 = 𝑥2

𝑥 𝑥 < 1, 𝑥 ≠

0 𝑥 = 𝑥 𝑥 ≥

Khẳng định đúng:

A Hàm số liên tục điểm trừ điểm thuộc đoạn [0; 1] B Hàm số liên tục điểm thuộc

D Hàm số liên tục điểm trừ điểm 𝑥 =

Câu 16: Cho hàm số 𝑓 𝑥 = 𝑥3+8

4𝑥+8 𝑥 ≠ −2

3 𝑥 = −2 Khẳng định đúng:

A Hàm số không liên tục

B Hàm số liên tục điểm thuộc

C Hàm số liên tục điểm trừ điểm 𝑥 = −2 D Hàm số liên tục điểm 𝑥 = −2

Câu 17: Cho hàm số 𝒇 𝒙 =

𝒙𝟑−𝟑𝒙+𝟐

𝒙−𝟐 𝒙 ≥ 𝟐

𝟑𝒙 − 𝟓 𝒙 < Khẳng định đúng:

A Hàm số liên tục điểm x = B Hàm số liên tục trái 𝑥 = C Hàm số liên tục phải 𝑥 = D Hàm số liên tục điểm 𝑥 =

Câu 18 Cho hàm số 𝑓 𝑥 = 𝑥3−1

𝑥−1 𝑥 ≠

2 𝑥 = Khẳng định sai:

A Hàm số liên tục phải điểm 𝑥 = B Hàm số liên tục trái điểm 𝑥 = C Hàm số liên tục điểm thuộc D Hàm số gián đoạn điểm 𝑥 =

Câu 19: Cho hàm số 𝑓 𝑥 = 𝑥2−2

𝑥− 𝑥 ≠

2 𝑥 =

Khẳng định sai:

A Hàm số gián đoạn điểm 𝑥 = B Hàm số liên tục khoảng ( 2; +∞) C Hàm số liên tục khoảng (−∞; 2) D Hàm số liên tục

Câu 20: Cho hàm số 𝑓 𝑥 = 1−𝑥

𝑥−2 𝑥 ≠

𝑥 = Khẳng định sai:

A Hàm số gián đoạn điểm 𝑥 = B Hàm số liên tục khoảng (2; +∞) C Hàm số liên tục khoảng (−∞; 2) D Hàm số liên tục

Câu 21.Tìm m để hàm số

3 2 2 1

( ) 1

3

   

 

  

  



x x

x

f x x

m x

A m1 B

3



m C m2 D m0

Câu 22: Hàm số 𝑓 𝑥 =

𝑥2−3𝑥+2

𝑥2−2𝑥 𝑥 <

𝑚𝑥 + 𝑚 + 𝑥 ≥ liên tục 𝑚 bằng:

A B -6 C

6



D

6

Câu 23 Cho hàm số

 

 –1000 20,01

f x x x Phương trình f x

 

0 có nghiệm thuộc khoảng khoảng sau đây?

I



1;0



II

 

0;1 III

 

1;

A Chỉ I B Chỉ I II C Chỉ II D Chỉ III Câu 24 Tìm m để hàm số

2

1

( )

2

            x x

f x x

x m x

liên tục 

A m1 B

6

 

m C m2 D m0

Câu 25 Cho hàm số

 

2

, 3

2 ,

         x x

f x x

x

Tìm khẳng định khẳng định

sau:

 

I f x

 

liên tục x

 

II f x

 

gián đoạn x

 

III f x

 

liên tục 

A Chỉ

 

I

 

II B Chỉ

 

II

 

III

C Chỉ

 

I

 

III D Cả

 

I ,

 

II ,

 

III Câu26.Cho hàm số

 





2

2

1 , , ,

          x x

f x x x

k x

Tìm k để f x

 

gián đoạn x1

A k  2 B k 2 C k  2 D k  1 Câu 27 Tìm a để hàm số

4 1

( ) (2 1)

3

           x x

f x ax a x

x

liên tục x0

A 1

2 B

1

4 C

1

 D 1

Câu 28.Tìm a để hàm số

2

1

( )

( 2)

              x x x f x a x x x

liên tục x1

A 1

2 B

1

4 C

3

Câu 29 Tìm khẳng định khẳng định sau:

 

I

 

1

 



x f x

x liên tục với x1

 

II f x

 

sinx liên tục 

 

III f x

 

 x

x liên tục x1

A Chỉ

 

I B Chỉ

 

I

 

II C Chỉ

 

I

 

III D Chỉ

 

II

 

III

Câu 30 Cho hàm số

 

3

, ,

,

    

 

 



 



x

x x

f x m x

x x

Tìm m để f x

 

liên tục



0;



là A 1

3 B

1

2 C

1