Đặc biệt : Hình bình hành nhận giao điểm hai đường chéo làm tâm đối xứng của hình (h.25). b) Hai đường thẳng a và a' đối xứng với nhau qua tâm O nếu hai điểm của đường thẳng này đối xứ[r]
(1)HÌNH BÌNH HÀNH ĐỐI XỨNG TÂM
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 Định nghĩa hình bình hành
ABCD hình bình hành <=> AB//CD AD//BC
Hình 21
2 Tính chất hình bình hành
Nếu ABCD hình bình hành (h.21) thì:
a) Các cạnh đối : AB = CD, AD = BC ; b) Các góc đối : A = C; B = D ;
c) Hai đường chéo cắt trung điểm đường : OA = OC,OB = OD
3 Dấu hiệu nhận biết hình bình hành
Tứ giác ABCD hình bình hành có điều kiện sau : a) Các cạnh đối song song (định nghĩa)
b) Các cạnh đối (đảo tính chất 1) c) Các góc đối (đảo tính chất 2)
(2)e) Hai cạnh đối vừa song song vừa
4 Bổ sung
Hai hình bình hành có đường chéo chung đường chéo chúng đồng quy trung điểm đường chéo chung
5 Hai điểm đối xứng qua điểm
Hai điểm A A' gọi đối xứng qua điểm O O trung điểm đoạn thẳng AA' (h.22)
Quy ước : Điểm đối xứng O qua O O
6 Hai hình đối xứng qua điểm
• Hai hình F F' gọi đối xứng với qua điểm O điểm thuộc hình đối xứng qua O với điểm thuộc hình ngược lại
• Định lí
a) Hai đoạn thẳng AB A'B' đối xứng với qua tâm O A đối xứng với A'; B đối xứng với B' qua O (h.23)
Hình 23
(3)7 Hình có tâm đối xứng
Điểm O gọi tâm đối xứng hình F điểm đối xứng qua O điểm thuộc hình F thuộc hình F
Đặc biệt : Hình bình hành nhận giao điểm hai đường chéo làm tâm đối xứng hình (h.25)
8 Bổ sung
a) Nếu hai đoạn thẳng AB A'B' đối xứng qua tâm O (O nằm ngồi đường thẳng AB, A'B') AB // A'B' AB = A'B (h.23)
b) Hai đường thẳng a a' đối xứng với qua tâm O hai điểm đường thẳng đối xứng với hai điểm đường thẳng qua O
c) Một hình khơng có, có vô số tâm đối xứng
(4)lượt ba điểm đối xứng chúng qua O ba điểm A', M', B' thẳng hàng (M' nằm A' B')
B MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 10 Cho hình bình hành ABCD Vẽ phía ngồi hình bình hành tam giác ABE,
ADF
a) Chứng minh ÀEFC
b) Gọi M, N, K thứ tự trung điểm đoạn thẳng BD, AF, AE Tính số đo NMK
Giải (h.26)
a) Đặt
ABC = ADC = => CBE = FDC = + 60
( )
( )
EAF = 360° - 60° + 60° + DAB
= 360° - 120° + 180°- = + 60°
=> EAF = FDC = CBE
(5)=> CE = CF = EF => CEF
b) Ta có : MN ; MK ; NK đường trung bình tam giác ACF ; ACE ; AEF nên MN =
2CF ; MK =
2CE ; NK = 2EF
Suy MN = MK = NK => MNK => NMK = 60°
Nhận xét
• Câu a, chứng minh CEF cách chứng minh CE=CF ECF = 60° • Có thể làm tương tự sau : Cho hình bình hành ABCD Vẽ phía ngồi hình
bình hành tam giác vuông cân ABE B, ADF D Chứng minh CEF vng cân
• Với kỹ thuật trên, làm tốn đảo sau : Cho CEF có điểm A nằm tam giác Trên nửa mặt phẳng bờ EF có chứa điểm A, dựng tam giác ADF, AEB Chứng minh tứ giác ABCD hình bình hành
Ví dụ 11 Cho hình bình hành ABCD
Gọi d đường thẳng qua A không cắt đoạn thẳng BD Gọi BB , CC , DD1 1là khoảng cách
từ B ; C ; D đến đường thẳng d Chứng minh rằng: BB + DD = CC 1
(6)Gọi AC cắt BD O ; kẻ OO ⊥d
Áp dụng tính chất đường trung bình hình thang BB D D ACC1 1ta có :
1
1
BB + DD =2.OO
1
CC = 2.OO
1 1
Suy BB + DD = CC
Nhận xét Vận dụng kĩ thuật trên, giải tốn sau : Cho hình bình hành ABCD
và đường thẳng d khơng có điểm chung với hình bình hành Gọi
1 1
AA , BB , CC , DD đường vuông góc kẻ từ A, B, C, D đến đường thẳng d
Chứng minh : AA + CC1 =BB + DD1
Ví dụ 12 Hai hình bình hành ABCD ; A'B'C'D có chung đỉnh D Chứng minh hai tam giác
AB'C A'BC' có trọng tâm
Giải (h.28)
• Trường hợp B, D, B' thẳng hàng Dễ thấy, bạn đọc tự chứng minh • Trường hợp B, D, B' không thẳng hàng
(7)Xét tam giác BDB' ta có BO', B'O đường trung tuyến, suy G trọng tâm tam giác GO' =
3BO' ; GO = 3B'O
✓ Xét tam giác AB'C có B'O đường trung tuyến, GO =
3B'O nên G trọng tâm tam
giác AB'C (1)
✓ Xét tam giác A'BC' có BO' đường trung tuyến, GO' =
3BO' nên G trọng tâm tam
giác AB'C (2)
Từ (1) (2) suy hai tam giác AB'C A'BC' có trọng tâm G
Nhận xét
• Bài làm dễ sót trường hợp
• Trường hợp 2, ta cịn có ba tam giác AB'C, A'BC' BDB' có trọng tâm
• Như hai tam giác có chung đỉnh chung đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh có trọng tâm
C BÀI TẬP
1 Cho hình bình hành ABCD Gọi E ; F ; G ; H theo thứ tự nằm cạnh AB, BC, CD, DA
cho BE = DG ; BF = DH Chứng minh : a) EFGH hình bình hành
b) Bốn đoạn AC, BD, EG FH đồng quy
2 Cho tứ giác ABCD, E F trung điểm cạnh AB CD Gọi M, N, P, Q
lần lượt trung điểm đoạn AF, GE, BF DE Chứng minh MNPQ hình bình hành
3 Giả sử P điểm nằm mặt phẳng tam giác ABC cho trước Trên
(8)a) Tìm mối liên hệ độ dài cạnh tam giác A'B'C' với khoảng cách từ P đến đỉnh tam giác ABC Chứng minh có điểm P cho tam giác A'B'C'
b) Chứng minh với điểm P nằm tam giác ABC có :
BPC - B'A'C' = CPA - C'B'A' = APB - A'C'B' = giá trị không phụ thuộc vào vị trí P
4 Cho ABC, M điểm nằm tam giác Lần lượt vẽ hình bình hành MBDC, MAED Chứng minh điểm M di động đường thẳng ME ln qua điểm cố định
5 Cho hai điểm cố định B C Một điểm A thay đổi hai nửa mặt phẳng bờ BC
sao cho A, B, C không thẳng hàng Dựng hai tam giác vuông cân ADB ACE với DA = DB ; EA = EC cho điểm D nằm khác phía điểm C đường thẳng AB điểm E nằm khác phía điểm B đường thẳng AC Gọi M trung điểm DE Chứng minh đường thẳng AM qua điểm cố định
6 Cho ABC cân (AC = BC) Gọi A , B ,C1 1lần lượt trung điểm cạnh BC, AC AB Lấy
các điểm A , B2 2tương ứng đối xứng qua AB củaA B1 CA2và A C1 1cắt M,
2 1
CB B C cắt N Gọi P giao điểm AN BM Chứng minh AP = BP
7 Gọi M trung điểm cạnh BC hình bình hành ABCD, N giao điểm AM BD, P
là giao điểm AD CN Chứng minh : a) AP = AD
b) CP = BD AB = AC
8 Cho hình bình hành ABCD Gọi E, F theo thứ tự trung điểm cạnh AD, BC Đường
(9)b) Lấy M thuộc đoạn DC Gọi I, K theo thứ tự điểm đối xứng M qua tâm E, F Chứng minh I, K thuộc đường thẳng AB
c) Chứng minh : AI + AK không đổi M di chuyển cạnh CD
9 Chứng minh : Nếu cạnh đáy AD hình thang ABCD tìm điểm E cho
chu vi ABE, BCE, CDE BC =
2AD