Đường lối giải: Với các bất phương trình bậc cao hoặc các bất phương trình có chứa ẩn ở mẫu thì việc rút gọn biểu thức và phương trình thành đa thức, tử và mẫu thành nhân tử đóng vai t[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Phần I: Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
1 Các phương pháp a Phương pháp
- Tìm nhân tử chung đơn,đa thức có mặt tất hạng tử - Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung nhân tử khác
- Viết nhân tử chung ngồi dấu ngoặc, viết nhân tử cịn lại hạng tử vào dấu ngoặc ( kể dấu chúng )
b Ví dụ:
15a2b2 - 9a3b + 3a2b = 3a2b ( 5b - 3a - b2 )
2x (y - z ) + 5y (z - y ) = 2x(y -z ) - 5y(y -z ) = (y- z)(2x - 5y) xm + + xm( x3 + 1) = xm(x + 1) (x2 - x + 1)
2.Phương pháp dùng đẳng thức a Phương pháp:
- Dùng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử b Ví dụ:
9x2 - = (3x)2 - 22 = (3x-2)(3x+2)
-27a3b6 = 23 - (3ab2)3 = (2-3ab2)(4+6ab2+9a2b4) 25x4 - 10x2y+y2 = (5x2-y)2
3.Phương pháp nhóm nhiều hạng tử a Phương pháp
- Kết hợp hạng tử thích hợp thành nhóm
- áp dụng tiếp tục phương pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức b Ví dụ:
2x3 - 3x2 + 2x - = (2x3 + 2x) - (3x2 + 3)
= 2x(x2 +1) - 3(x2 +1)
(2)x2 - 2xy + y2 - 16 = (x -y )2 - 42 = (x - y - 4) (x - y + 4)
4 Phối hợp nhiều phương pháp
a Phương pháp: - Chọn phương pháp theo thứ tự ưu tiên + Đặt nhân tử chung
+ Dùng đẳng thức + Nhóm nhiều hạng tử b Ví dụ:
3xy2 - 12xy + 12x =3x( y2 - 4y + 4)
=3x (y -2 )2
3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6axy2 - 3a2xy +3xy
=3xy(x2 - 2x - y2 - 2ay - a2 + 1) =3xy 2
(x 2x 1) (y 2ay a )
− + − + +
=3xy (x 1− ) (2− y a+ )2
=3xy (x 1− −) (y a+ ) ( x 1− +) (y a+ )
=3xy( x-1 - y - a)(x - + y +a )
5 Phương pháp tách hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử a Phương pháp:
Tách hạng tử thành hai hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử dùng Phương pháp
nhóm hạng tử đặt nhân tử chung
b Ví dụ:
Phân tích đa thức x2 - 6x + thành nhân tử * Cách 1: x2- 6x + = x2 - 2x - 4x +
= x (x - 2) - 4(x -2) = (x - 2) (x - 4) * Cách 2: x2 - 6x + = x2 - 6x + -
= ( x - 3)2 -
=( x -3 - 1)( x- + 1) = (x - 4)(x -2)
* Cách 3: x2 - 6x + = x2 - - 6x + 12
(3)* Cách 4: x2 - 6x + = x2 - 16 - 6x + 24 =( x - 4)(x + ) - (x - 4)
=(x - 4)(x + - 6) = (x - 4)(x -2) * Cách 5: x2 - 6x + = x2 - 4x + -2x + = (x - 2)2 - (x - 2)
=( x -2)(x- 2- 2) = (x - 4)(x -2)
Tuy có nhiều cách tách thông dụng hai cách sau:
*Cách 1: Tách hạng bậc thành hai hạng tử dùng phương pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung
áp dụng phân tích tam thức bậc hai ax2 + bx + c thành nhân tử ta làm sau:
- Tìm tích ac
- Phân tích tích ac thành tích hai thừa số nguyên cách - Chọn hai thừa số có tổng b
Khi hạng tử bx tách thành hai hạng tử bậc Ví dụ: 4x2 - 4x -
- Tích ac 4.(- 3) = - 12
- Phân tích -12 = -1 12 = 1.(-12) =-2 = -3 =3 (-4) - Chọn thừa số có tổng : - (- 6)
4x2 - 4x - = 4x2 + 2x - 6x - = 2x( 2x+ 1) - (2x + 1)
=(2x + 1)(2x - 3)
* Cách 2: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử đưa đa thức dạng hiệu hai bình phương
Ví dụ: 4x2 - 4x - = 4x2 - 4x +1 - = ( 2x - 1)2 - 22
= (2x - - 2)(2x - +2) = (2x + 1)(2x-3) 3x2 - 8x + = 4x2- 8x + - x2 = (2x - )2 - x2
= ( 2x - - x)(2x -2 + x ) = (x - )(3x -2) 6 Phương pháp thêm bớt hạng tử
a Phương pháp : Thêm bớt hạng tử để đưa đa thức dạng đẳng thức nhóm nhiều hạng tử Thông thường hay đưa dạng
a2- b2 sau thêm bớt b Ví dụ:
(4)=( 2x2 + 9)2 - (6x)2
= (2x2 + - 6x)(2x2 + + 6x)
x7 + x2 +1= x7 - x + x2 + x + = x(x6 - 1) + (x2+ x + 1)
= x(x3 - 1)(x3 + 1) +(x2 + x + 1)
= x(x3 +1)(x -1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x5 - x4 - x2 + 1) II Các phương pháp khác:
1 Phương pháp đổi biến số( Đặt ẩn phụ ) a Phương pháp:
Đặt ẩn phụ đưa dạng tam thức bậc hai sử dụng phương pháp b Ví dụ:
* Phân tích đa thức 6x4 - 11x2 + 3thành nhân tử
đặt x2 = y ta 6y2 - 11y + = ( 3y + 1)(2y + 3)
Vậy: 6x4 - 11x2 + = ( 3x2 - )(2x2 - 3)
* Phân tích đa thức (x2 + x)2 + 3(x2 + x) +2 thành nhân tử đặt x2 + x = y ta y2 + 4y + = (y +1)(y+2)
Vậy: (x2 + x)2 + 3(x2 + x) +2 = ( x2 + x + 1)( x2 + x +2)
2 Phương pháp hệ số bất định a Phương pháp:
Phân tích thành tích hai đa thức bậc bậc hai hay đa thức bậc nhất,một đa thức bậc hai dạng( a + b)( cx2 + dx +m) biến đổi cho đồng hệ số đa thức với
hệ số đa thức b.Ví dụ:
Phân tích đa thức x3 - 19x - 30 thành nhân tử
Nếu đa thức phân tích thành nhân tử tích phải có dạng x(x2 + bx + c) = x + (a+b)x2 + (ab + c)x +ac
(5)ac =-30 Chọn a = 2, c = -15
Khi b = -2 thoả mãn điều kiện Vậy : x3 - 19x - 30 =(x + 2)(x2- 2x - 15)
3 Phương pháp xét giá trị riêng a Phương pháp:
Xác định dạng thừa số chứa biến đa thức, gán cho biến giá trị cụ thể xác định thừa số cịn lại
b.Ví dụ
P = x2(y - z) + y2(z - c) + z(x - y) thay x y thấy P = y2 ( y- z) + y2 (z - y) = P chứa thừa số (x -y)
Vậy thay x y, thay y z, thay z x P khơng đổi ( đa thức P hốn vị vịng quanh) Do P chứa thừa số (x - y) chứa thừa số (y - z), (z - x ) Vậy P có dạng k(x - y)(y - z)(z - x)
Ta thấy k phải số P có bậc ba tập hợp biến x, y, z cịn tích (x - y)(y - z)(z - x) có bậc ba tập hợp biến x, y,z Vì đẳng thức x2(y - z) + y2(z - c) + z(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x)
đúng với x, y, z Nên ta gán cho biến x, y, z giá trị riêng chẳng hạn: x = 2, y = 1, z =
ta được: 4.1 + 1.(-2) + = k.1.1.(-2)
k =-1
Vậy P = - (x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z)
c)Ngồi ta cịn có nhận xét: Giả sử phải phân tích biểu thức F(a,b,c) thành nhân tử,trong đó a,b,c có vai trị biểu thức đó.Nếu F(a,b,c) = a=b F(a,b,c) chứa nhân tử a-b,b-c,c-a Nếu F(a,b,c) biểu thức đối xứng a,b,c F(a,b,c) ≠ khi a = b ta thử xem a= -b, F(a,b,c) có triệt tiêu khơng,nếu thoả mãn F(a,b,c) chứa nhân tử a+b từ chứa nhân tử b+c, c+a
c1)Ví dụ 1: Phân tích thành nhân tử
(6)- Khi a= b ta có F(a,b,c) = a2(a-c)+a2(c-a) = 0,do F(a,b,c) có chứa nhân tử (a-b)
Tương tự F(a,b,c) chứa nhân tử (b-c) (c-a) Vì F(a,b,c) biểu thức bậc ba F(a,b,c) = k(a-b)(b-c)(c-a) Cho a= 1,b=0,c= -1 ta có
1+1 = k.1.1.(-2) k = -1 Vậy F(a,b,c) = -(a-b)(b-c)(c-a)
c2)Ví dụ 2:Phân tích đa thức thành nhân tử
F(x,y,z) = (xy+xz+yz)(x+y+z) - xyz
- Khi x = -y F(x,y,z)= -y2z + y2z = nên F(x,y,z) chứa nhân tử x+y
Lập luận tương tự ví dụ 1,ta có F(x,y,z) = (x+y)(y+z)(z+x) 4 Phương pháp tìm nghiệm đa thức:
a Phương pháp:
Cho đa thức f(x), a nghiệm đa thức f(x) f(x) = Như đa thức f(x) chứa nhân tử (x - a )thì phải nghiệm đa thức Ta biết nghiệm nguyên đa thức có phải ước hệ số tự
Ví dụ: x3 + 3x -
Nếu đa thức có nghiệm a (đa thức có chứa nhân tử (x - a)) nhân tử cịn lại có dạng (x2 + bx + c)
-ac = - a ước -
Vậy đa thức với hệ số nguyên,nghiệm nguyên có phải ước hạng tử không đổi
Ước (- ) (- 1), 1,(-2), 2, (- 4), Sau kiểm tra ta thấy nghiệm đa thức
đa thức chứa nhân tử ( x - 1) Do ta tách hạng tử đa thức làm xuất nhân tử chung ( x - 1)
*Cách 1: x3 + 3x - = x3 - x2 + 4x2 - = x2 (x -1) + 4(x -1)(x +1)
= (x - 1)(x2 + 4x + 4) =(x -1)(x + 2)2
*Cách 2: x3 + 3x - =x3 - + 3x2 - = (x3- 1) + 3(x2 - 1) = ( x - 1)(x2 + x +1 +3(x2+ - 1)
= ( x - 1)(x + 2)2
Chú ý:
(7)-Nếu đa thức có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hạng tử bậc lẻ đa thức có chứa nhân tử ( x + 1)
Ví dụ:
* Đa thức: x2 - 5x + 8x - có - + - =
Đa thức có nghiệm hay đa thức chứa thừa số ( x - 1) *Đa thức: 5x3 - 5x2 + 3x + có -5 + =1 +
Đa thức có nghiệm (-1) đa thức chứa thừa số ( x + 1)
+ Nếu đa thức khơng có nghiệm nguyên đa thức có nghiệm hữu tỷ Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ có phải có dạngp
q p ước hạng tử
không đổi, q ước dương hạng tử cao Ví dụ: 2x3 - 5x2 + 8x -
Nghiệm hữu tỷ có đa thức là: (-1), 1, (
2 −
),
2, ( −
),(3
2) (- 3), Sau
kiểm tra ta thấy x= a nghiệm nên đa thức chứa nhân tử (x - a) hay (2x - 1) Do ta tìm cách tách hạng tử đa thức để xuất nhân tử chung ( 2x - 1)
2x3 - 5x2 + 8x - = 2x3- x2 - 4x2 + 2x + 6x -
= x2(2x - 1) - 2x(2x - 1) + 3(2x -1) = (2x - 1)(x2 - 2x + 3)
5 Phương pháp tính nghiệm tam thức bậc hai a.Phương pháp: Tam thức bậc hai ax2 + bx + c
Nếu b2 - 4ac bình phương số hữu tỷ phân tích tam thức thành thừa số phương pháp biết
Nếu b2 - 4ac khơng bình phương số hữu tỷ khơng thể phân tích tiếp
nữa
b Ví dụ: 2x2 - 7x +
a =2, b = -7, c =
xét b2 - 4ac = 49 - 4.2.3 = 25 = 52
phân tích thành nhân tử : 2x2 - 7x + = (x - 3)(2x -1)
(8)2x2 - 7x + = 2(x2- 7
2x + 2)
= (x2 - 2.7
4x +
49 25 16 −16)
= − −
2
7
(x ) ( )
4 =
7
(x - - )(x - + )
4 4 =
2(x-3)(x-1 2)
Chú ý: P(x) = x2 + bx = c có hai nghiệm x1, x2 thì:
P(x) = a(x - x1)(x - x2)
Phần 2: Giải toán phân tích đa thức 1 Bài tốn rút gọn biểu thức
a Ví dụ: Cho
A = x x 2 x
x x x 5x 6x
− − −
− +
+ + + +
a1) Rút gọn A
a2) Tính giá trị A với x = 998
a3).Tìm giá trị x để A >
b Đường lối giải: Dựa sở tính chất phân thức đại số, phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử nhằm xuất nhân tử chung rút gọn, đồng thời tìm tập xác định biểu thức thông qua nhân tử nằm mẫu
Với học sinh: Rèn luyện kỹ vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào loại toán rút gọn, giúp học sinh thấy liên hệ chặt chẽ kiến thức phát triển trí thơng minh
b Ví dụ 2: (Các tốn tương tự )Rút gọn biểu thức :
A =
4
4
1
2
x x x
x x x x
+ + +
− + − +
B =
2 2
2
( ) ( ) ( )
a b c b c a c a b
ab ac b bc
− + − + −
− − +
C =
3 3
2 2
3
( ) ( ) ( )
x y z xyz
x y y z z x
+ + −
− + − + −
Đường lối giải :Để rút gọn phân thức trên:
(9)- Bước 2: chia tử thức mẫu thức cho nhân tử chung 2.Bài tốn giải phương trình:
a.Đường lối giải: Với phương trình bậc hai trở lên việc áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử quan trọng, sau phân tích vế chứa ẩn dạng phương trình tích A.B = A = B =
b Ví dụ: Giải phương trình (4x + 3)2 - 25 =
Giải: áp dụng phương pháp phân tích đa thức vế trái thành nhân tử đưa phương trình dạng
8(2x - 1)(x +2) = x =
2 x = -2
3 Bài tốn giải bất phương trình
a Đường lối giải: Với bất phương trình bậc cao bất phương trình có chứa ẩn mẫu việc rút gọn biểu thức phương trình thành đa thức, tử mẫu thành nhân tử đóng vai trị quan trọng đưa bất phương trình dạng bất phương trình tích (A.B < A.B > ) hay bất phương trình thường
b Ví dụ: Giải bất phương trình
b1)
2
x
x− − x− >
(x 2)(x 3) −
− − >
Nhận xét: (- 2) < (x- 2)(x - 3) < < x< b2) 3x2 - 10x - >
(3x+ 2)( x- 4) >
Ta lập bảng xét dấu tích Kết x <
3 −
x > 4 Bài toán chứng minh chia hết
a Đường lối giải: Biến đổi đa thức cho thành tích xuất thừa số có dạng chia hết
b Ví dụ:
b1) Chứng minh x ta có biểu thức
(10)Phân tích : P = 8(2x-1)(x+1) chia hết cho b2)Chứng minh biểu thức :
2
3
n+n +n
số nguyên n Biến đổi biểu thức dạng
2
2
6
n+ n +n và chứng minh (2n+3n2
+n3)
chia hết cho
Ta có 2n+3n2+n3 = n(n+1)(n+2) tích ba số ngun liên tiếp,vì có thừa
số chia hết cho 2,một thừa số chia hết cho mà (2;3)=1 nên tích chia hết cho 6.Vậyn
3
n n n
+ + số ngun
5 Bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ
a) Đường lối giải : Ta tìm cách phân tích đa thức dạng đẳng thức
A2 + m , A2 - m ,A2+B2 (m số) nhận xét để đến kết cuối
b Ví dụ :Chứng tỏ x2+x+1 > x
Ta viết : x2+x+1 = x2+2.1
2x+
4+4 = (x+ 2)
2 + 3
4 ≥
4>0 x
Ví dụ : Tìm giá trị lớn (hoặc nhỏ nhất) đa thức A(x,y) = 2005 + x2 + 15 y2 + xy + 8x + y
(Tương tự :B = x2+y2+xy - x- y )
Ta có : A(x,y) = 2005 + x2 + 15 y2 + xy + 8x + y
= (x2+1
4y
2+16+xy+8x+4y) + (59
4 y
2- 3y) + 2005 -16
=(x+1
2y+4)
2+59
4 ( y
2 - 2.
59y+ 36
3481)+1989- 59
= (x+1
2y+4)
2+59
4 (y-6 59)
2+117342
59 ≥
117342 59
Vì (x+1
2y+4)
2≥ , 59
4 (y-6 59)
2 ≥ 0.Dấu " =" xảy
239 59 6 59 59 x x y y y + + = = − − = =
Vậy A(x,y) đạt GTNN 117342
59