Tính thể tích hình chóp tam giác đều S.ABC biết : a Cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a.. Tính thể tích hình chóp tứ giác đều S.ABCD biết : a Cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a...[r]
(1)SỞ GD VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM TRƯỜNG THPT ĐOÀN THƯỢNG GIÁO VIÊN : Nguyễn Trường Sơn CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN NỘI DUNG : I THỂ TÍCH KHÔI CHÓP Phương pháp tính trực tiếp Phương pháp tính gián tiếp Phương pháp phân chia lắp ghép khối II THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN KHÁC (2) (3) BÀI : THỂ TÍCH KHỐI CHÓP I Lý thuyết cần nhớ V B.h Công thức thể tích khối chóp : (1) Trong đó B là diện tích đáy, h là độ dài đường cao tương ứng Một số tính chất cần nhớ a) Cách xác định góc : - Góc đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) góc (d) và (d’), với (d’) là hình chiếu (d) trên mp (P) - Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng nằm mặt đó, vuông góc với giao tuyến điểm b) Một số tính chất khoảng cách : - Cho / /( P) và A, B thì : d(A; (P)) = d (B; (P)) - Cho ( P ) I và A; B ta có: d ( A;( P )) IA d ( B;( P )) IB VSABC SA SB SC V SA ' SB ' SC ' c) Cho hình chóp SABC trên SA, SB, SC lấy A’, B’, C’ ta có SA ' B ' C ' II Bài Tập Phương pháp tính trực tiếp V B.h Cơ sở : sử dụng công thức , ta phải tính diện tích đáy, và tính độ dài đường cao Tính thể tích hình chóp tam giác S.ABC biết : a) Cạnh đáy a, cạnh bên 2a b) Cạnh đáy a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc 600 c) Cạnh đáy a, mặt bên hợp với mặt đáy góc 600 d) Cạnh đáy a, và góc ASB 1200 Tính thể tích hình chóp tứ giác S.ABCD biết : a) Cạnh đáy a, cạnh bên 2a (4) b) Cạnh đáy a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc 600 c) Cạnh đáy a, mặt bên hợp với mặt đáy góc 600 d) Cạnh đáy a, và góc ASB 1200, góc ACS 1200 Cho tứ điện SABC cạnh a, dựng đường cao SH a) CMR : SA vuông góc BC b) Tính thể tích SABC Gọi O là trung điểm SH CMR : OA, OB, OC đôi vuông góc Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, ( SAB) ( ABCD), SAB đều, H là trung điểm AB, M là trung điểm BC Tính thể tích S.ABCD và khoảng cách từ S tới MD Gợi ý : Kẻ SK MD thì H, K, C thẳng hàng Ta có : d ( S ; MD) a 30 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, SA ( ABCD) , cạnh SC hợp với đáy góc 300, hợp với (SAB) góc 450 Tính SC và thể tích S.ABCD a3 V K : SC = 2a, Bài (Tốt nghiệp THPT 2011) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông A, D, AD=CD=a, AB=3a, SA ( ABCD) , SC tạo với đáy góc 450 Tính thể tích S.ABCD ( V 2a 3 ) Bài (CĐ 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy là t.giác ABC vuông cân B AB = a, SA ( ABC ) Góc (SBC) và (ABC) 300, M là trung điểm SC Tính thể tích S.ABM Gợi ý : bài toán có thể giải theo phương pháp Tính trực tiếp : Coi M là đỉnh Gián tiếp : Coi B là đỉnh, so sánh với thể tích S.ABC Phân chia khối đa diện : V V ( SABC ) V ( MABC ) Bài (A – 2011 ) a3 V 12 ) ( (5) Cho hình chóp S.ABC có đáy là t giác ABC vuông cân B, BA=BC=2a, mp (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC) M là trung điểm AB, mp qua SM, và song song vơi BC cắt AC N biết góc (SBC) và (ABC) 60 Tính thể tích S.BCNM và d(AB; SN) Kết : V a Kẻ NE//AB, từ A kẻ AK NE; AH SK ta có AH ( SKE ) Ta có d ( AB; SN ) d ( A;( SKE )) AH 39 a 13 Bài (A – 2010 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, M, N là trung điểm AB, AD, CN cắt MD H Biết SH ( ABCD) và SH a Tính VS CDNM và d ( MD; SC ) 3a 57 a V d ( MD; SC ) 24 và 19 Kết : CN MD nên ke HK SC thì HK là đường vuông góc chung Bài 10(A – 2009 ) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông A, D AB=AD=2a, CD = a góc (SBC) và (ABCD) 60 Gọi I là trung điểm AD, biết 2mp (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với (ABCD) Tính thể tích S.ABCD ( V 15a ) Gợi ý : Kẻ IK CB thì góc SKI 600 Tính IK dựa vào S(IBC) = S(ABCD) – S(DIC) – S(AIB) Bài 11 (D – 2011 ) Cho hình chóp SABC có đáy là t giác ABC vuông B, BA=3a, BC=4a ( SBC ) ( ABC ) SB 2a 3; góc SBC 300 Tính V(SABC) và d(B;(SAC)) 7a Gợi ý : Kẻ SH BC SH ( ABC ) , V 2 3a d(B;(SAC))=4.d(H(SAC))= Bài 12 (Thử ĐT 2011 lần ) Cho hình chóp S.ABC có ( SBC ) ( ABC ) SB=SC=1 Các góc đỉnh S 600 Tính V(SABC) Gợi ý : V SH S ABC Gọi H là trung điểm BC : Bài 13(Thử ĐT 2010 lần 1) (6) Cho tứ diện SABC có SA=x, các cạnh còn lại Tính V(SABC), tìm x để V Max? Cho hình chóp S.ABCD có SA=x, các cạnh còn lại bằg 1.Tính V(SABCD),tìm x để V Max? Gợi ý 2) + Tam giác SAC vuông S SH AC SH ( ABCD); V x x + Kẻ Bài 14 (Thử ĐT 2011 lần 2) Cho tứ diện OABC có OA=2, OB=3, OC=4, các góc đỉnh O 60 Tính V(OABC)? V AH SOBC 2 Cách : VSABC SA SB SC V SA ' SB ' SC ' Trên OB, OC lấy OB’=OC’=2 ta tính Cách : Áp dụng SA ' B ' C ' V(OAB’C’) Bài 15 (Thử TM 2011) Cho hình chóp S.ABC có ABC là t giác vuông C SA ( ABC ) CA=CB=a, góc (SBC) và (ABC) Gọi G là trọng tâm ABC Tính V(SABC) và d(G;(SBC)) 1 V a3 tan ; d (G;( SBC )) a sin 3 Kết : Bài 16 (Thi thử ĐH) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là HCN, AB=AS=a, AD a , SA ( ABCD) M,N là trung điểm AD, SC, I là giao BM và AC CMR : ( SAC ) ( SMB) , tính V(ANIB) ? Sử dụng tích vô hướng => MB AC MB ( SAC ) ( SMB) ( SAC ) AMB vuông A có AI là đường cao, tính AI, BI => V(ANIB)= V(N.AIB)= 2a 36 Bài 17 (Một số bài toán tỉ số thể tích) S 2a (7) Cho khối chóp tam giác SABC có ABC vuông cân B, AC a , SA ( ABC ) , góc SB và mp(ABC) 60 H là hình chiếu A trên SB, mp(P) chứa AH và song song với BC, cắt SC K a) Hãy nêu cách dựng mp(P)? b) Tính tỉ số thể tích khôi đa diện SAHK và ABCHK? Cho khối chóp tam giác SABC có ABC là tam giác vuông cân B, AC a , SA ( ABC ) , góc SC và mp(ABC) 60 H là hình chiếu A trên SC, mp(P) chứa AH và song song với BC, cắt SB K a) Hãy nêu cách dựng mp(P)? b) Tính tỉ số thể tích khôi đa diện SAHK và ABCHK? V ( SABC ) a 3; V ( SAHK ) a 3; V ( ABCHK ) a 3 9 32 96 KQ : => Tỉ số Bài 18 Cho khối chóp SABCD có SA ( ABC ); SA a Đáy ABCD là hình vuông cạnh a, C’ là hình chiếu A trên SC Mặt phẳng (P) chứa AC’ và song song với BD, cắt SB, SD B’, D’ a) Hãy nêu cách dựng mp(P) ? b) Tính tỉ số thể tích khôi đa diện SAB’C’D’ và ABCDD’C’B’ 1 V ( SABCD) a 2;V ( SAB 'C ' D ') a 2; V ( ABCDD' C ' B ') a 3 9 KQ : Một số bài tập luyện tập (CĐ 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông cân B AB = a, SA ( ABC ) Góc (SBC) và (ABC) 30, M là trung điểm SC Tính V(S.ABM) a3 V 12 ) ( (CĐ2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ( SAB) ( ABCD) , ,SA=SB, góc SC và đáy 450 Tính V(S.ABCD) ( V a3 ) (CĐ 2009) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB =a, SA a Gọi M,N,P là trung điểm SA, SB, CD CMR : MN vuông góc SP và tính V(AMNP) ? (CĐ 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang Góc BAD, ABC cùng 90 BA=BC=a, AD=2a, SA vuông góc với đáy và SA=2a Gọi M, N là trung điểm SA, SD CMR : BCNM là HCN và tính V(S.BCNM) ? (8) (TN 2011) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông A, D, AD=CD=a, AB=3a, SA ( ABCD) , SC tạo với đáy góc 450 Tính thể tích S.ABCD ( V 2a 3 ) (TN 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc (SBD) và đáy 600 Tính V(S.ABCD) (TN 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là HCN tâm O; SA=SB=SC=SD Biết AB=3a, BC=4a và góc OAS 450 Tính V(S.ABCD) (TN 2009) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy Biết góc BAC 120 Tính V(S.ABCD) ? (TN 2008) Cho hình chóp tam giác S.ABC cạnh đáy a, cạnh bên 2a Gọi I là trung điểm BC CMR : SA vuông góc BC, và tính V(S.ABI) ? 10.(TN 2007) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B, cạnh bên SA vuông góc với đáy Biết SA=AB=BC=a Tính V(S.ABC) ? 11.(TN 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh SB a a) Tính V(S.ABCD)? b) CMR : trung điểm SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD 12.(B – 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, SA=a, SB a và mp (SAB) vuông góc với mặt đáy Gọi M, N là trung điểm Ab, BC Tính V(S.BMDN) và cosin góc đường thẳng SM, DN 13.(A – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là t.giác và nằm mp vuông góc với đáy Gọi M, N, P là trung điểm SB, BC, CD CMR : AM vuông góc với BP, và tính V(CMNP) 14 (B – 2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi E là điểm đối xứng với D qua trung điểm SA, M là trung điểm AE, N là trung điểm BC CMR : MN vuông góc BD và tính d(MN; AC) 15 (D – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, góc ABC, BAD 90 BA=BC=a, AD=2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a Gọi H là hình chiếu A trên SB CMR : t.giác SCD vuông và tính khoảng cách từ H tới (SCD) 16 (B – 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là HCN với AB=a, AD a , Sa=a và SA vuông góc với mặt đáy Gọi M, N là trung điểm AD, SC; I là giao điểm BM và AC CMR : mp(SAC) vuông góc mp(SMB) và tính V(ANIB) 17 (B – 2004) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên và mặt đáy Tính tan góc mp (SAB) và (ABCD), V(S.ABCD)? (9) 18 (A – 2002 ) Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S có độ dài cạnh đáy a Gọi M, N là trung điểm SB, SC Tính S(AMN), biết mp(AMN) vuông góc với mp(SBC) 19 (D – 2002) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với (ABC), AC=AD=4, AB=3, BC=5 Tính khoảng cách từ A tới mp(BCD) ? (10) Phương pháp gián tiếp a) Cơ sở : Để tính V(H) ta có thể tính thể tích V’ khối chóp khác đơn giản Dựa vào mối quan hệ V và V’ => V b) Một số tính chất V B + Cùng chiều cao : V ' B ' V h + Chung đáy : V ' h ' VSABC SA SB SC V SA ' SB ' SC ' SA ' B ' C ' + Sử dụng : (CT dùng cho hình chóp tam giác) Bài 1(CĐ 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy là t.giác ABC vuông cân B AB = a, SA ( ABC ) Góc a3 V 12 ) (SBC) và (ABC) 300, M là trung điểm SC Tính thể tích S.ABM ( Gợi ý : Bài toán có thể giải theo phương pháp Tính trực tiếp : Coi M là đỉnh Gián tiếp : Coi B là đỉnh, so sánh với thể tích S.ABC Phân chia khối đa diện : V V ( SABC ) V ( MABC ) Bài (CĐ 2009) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy AB=a, SA a Gọi M, N, P là trung điểm SA, SB, CD CMR : MN SP , và tính V(AMNP) ? 1 a3 V ( P AMN ) V (C AMN ) V (C.SAB) V ( S ABC ) V ( SABCD) 4 48 Gợi ý : Bài (D – 2010 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA=a Hình chiếu vuông góc S trên (ABCD) là H thuộc AC cho AC=4.AH Gọi CM là đường cao SAC CMR : M là trung điểm SA và tính V(SMBC) ? 1 a 14 V ( SMBC ) V (C.SMB) V (C.SAB) V ( S ABC ) 2 48 Gợi ý : Bài (Thử ĐT 2010 lần 2) (11) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD cạnh đáy a, M,N là trung điểm SA, BC Biết góc MN và (ABCD) 600 Tính V(SMNC)? a 30 V ( S MNC ) V ( A.MNC ) V ( M ANC ) MH S ANC 48 Gợi ý : Bài (Thử ĐT 2011) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB=5, BC=6, AC=9, SA SB C 27 Tính V(S.ABCD) ? Gợi ý : V(S.ABCD)=2.V(S.ABC) Theo herong : S ( ABC ) 10 Do SA=SB=SC nên kẻ đường cao SH thì H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC SA=R abc 4S , tính SA => tính SH => V(S.ABCD)=45 Bài (Thử ĐT lần – 2011 ) Cho tứ diện OABC có OA=2, OB=3, OC=4, các góc đỉnh S 60 Tính V(O.ABC) ? VSABC SA SB SC Gợi ý : Áp dụng VSA ' B ' C ' SA ' SB ' SC ' KQ : V 2 Trên OB, OC lấy OB’=OC’=2 ta tính V(OAB’C’) Bài (B – 2009 ) Cho lăng trụ ABC.A’BC’ có BB’=a, góc BB’ và (ABC) 60 Hình chiếu vuông góc B’ lên (ABC) trùng với trọng tâm ABC Tính V(A’ABC) 9a KQ : V(A’ABC)=V(B’.ABC) = 208 a 3a BG BD (D trung điểm G là trọng tâm ABC => góc B’BG 60 => AC) Đặt AB=x, biểu diễn BC, CD theo x, dựa vào BCD => x Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là HV cạnh a, cạnh bên SA=2a và vuông góc với đáy Gọi B’, C’, D’ là hình chiếu A trên SB, SC, SD (12) a) CMR : A, B’, C’ D’ đồng phẳng (cùng nằm trên mp vuông góc với SC) b) Tính V(S.AB’C’D’) VSABC SA SB SC V SA ' SB ' SC ' cách chia khối chóp tứ giác thành khối chóp SA ' B ' C ' Gợi ý : Áp dụng tam giác Bài (Một số bài toán tỉ số thể tích) Cho khối chóp tam giác SABC có ABC vuông cân B, AC a , SA ( ABC ) , góc SB và mp(ABC) 60 H là hình chiếu A trên SB, mp(P) chứa AH và song song với BC, cắt SC K a) Hãy nêu cách dựng mp(P)? b) Tính tỉ số thể tích khôi đa diện SAHK và ABCHK? Cho khối chóp tam giác SABC có ABC là tam giác vuông cân B, AC a , SA ( ABC ) , góc SC và mp(ABC) 60 H là hình chiếu A trên SC, mp(P) chứa AH và song song với BC, cắt SB K a) Hãy nêu cách dựng mp(P)? b) Tính tỉ số thể tích khôi đa diện SAHK và ABCHK? V ( SABC ) a 3; V ( SAHK ) a 3; V ( ABCHK ) a 3 9 32 96 KQ : => Tỉ số Bài 10 Cho khối chóp SABCD có SA ( ABC ); SA a Đáy ABCD là hình vuông cạnh a, C’ là hình chiếu A trên SC Mặt phẳng (P) chứa AC’ và song song với BD, cắt SB, SD B’, D’ a) Hãy nêu cách dựng mp(P) ? b) Tính tỉ số thể tích khôi đa diện SAB’C’D’ và ABCDD’C’B’ 1 V ( SABCD) a 2;V ( SAB 'C ' D ') a 2; V ( ABCDD' C ' B ') a 3 9 KQ : (13) 3) Phương pháp phân chia lắp ghép khối đa diện Bài (CĐ 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy là t.giác ABC vuông cân B AB = a, SA ( ABC ) Góc a3 V 12 ) (SBC) và (ABC) 300, M là trung điểm SC Tính thể tích S.ABM ( Gợi ý : Bài toán có thể giải theo phương pháp Tính trực tiếp : Coi M là đỉnh Gián tiếp : Coi B là đỉnh, so sánh với thể tích S.ABC Phân chia khối đa diện : V V ( SABC ) V ( MABC ) Bài Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tính thể tích khối chóp BDC’A’ HD : Thể tích lập phương a3 V(BDC’A’) V(L.phương) trừ thể tích hình chóp vuông đỉnh là B’, D’, A, C 1 a3 a3 Mỗi chóp vuông này có V => V(BDC’A’) (14) BÀI : THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN KHÁC I Một số công thức thể tích V B.h Trong đó B là diện tích đáy, h là độ dài đường cao Khối trụ tròn xoay : V B.h Trong đó B là diện tích đáy, h là độ dài đường cao Lăng trụ : Khối chóp nón : V B.h Trong đó B là diện tích đáy, h là độ dài đường cao Hình hộp chữ nhật : V = a.b.c Với a, b, c là độ dài cạnh Hình lập phương : V = a3 Với a là độ dài cạnh hình lập phương II Bài tập Bài (Bài tâp bản) a) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cạnh a, góc A’B và (ABC) 60 Tính thể tích khối lăng trụ b) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cạnh a, góc (A’BC) và (ABC 60 Tính thể tích lăng trụ Bài a) (B – 2009) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có BB’=a, góc BB’ và (ABC) 60 Tam giác ABC vuông C, góc BAC 60 Hình chiếu vuông góc B’ lên (ABC) trùng với trọng tâm ABC Tính V(A’ABC) 9a HD : V(A’ABC)=V(B’.ABC) = 208 a 3a BG BD (D trung điểm G là trọng tâm ABC => góc B’BG 600 => AC) Đặt AB=x, biểu diễn BC, CD theo x, dựa vào BCD => x b) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có BB’=a, góc BB’ và (ABC) 60 Tam giác ABC vuông A, góc BCA 60 Hình chiếu vuông góc B’ lên (ABC) trùng với trọng tâm ABC Tính V(A’ABC) c) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có BB’=a, góc BB’ và (ABC) 60 Tam giác ABC vuông B, góc ACB 60 Hình chiếu vuông góc B’ lên (ABC) trùng với trọng tâm ABC Tính V(A’ABC) (15) Bài (B - 2010) a) Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB=a Góc (A’BC) và (ABC) 60 Gọi G là trọng tâm A ' BC Tính thể tích lăng trụ và bán kính mặt cầu ngoại tiếp GABC Gợi ý : + Lăng trụ là lăng trụ đứng, có đáy là đa giác => Mặt bên là HCN, cạnh bên vuông góc với đáy + GA=GB=GC, kẻ GH ( ABC ) thì H là tâm đáy, Gọi I là tâm mặt cầu thì I là giao GH và trung trực AG => IG 7a 3a ;V 12 b) Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB=a Góc (B’AC) và (BAC) 60 Gọi G là trọng tâm B ' AC Tính thể tích lăng trụ và bán kính mặt cầu ngoại tiếp GABC Bài (B - 2011) Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có dáy ABCD là HCN, AB=a, AD a Hình chiếu vuông góc A’ trên (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD Góc mp (ADD’A’) và (ABCD) 600 Tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách từ B’ tới (A’BD) ? 3 V a3 a (CK BD ) Do B’C//A’D nên d(B’;(A’BD))=d(C(A’BD))=CK = Gợi ý : Một số bài luyện tập (A – 2008) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, AB=a, AC a và hình chiếu vuông góc A’ trên (ABC) là trung điểm BC Tính V(A’.ABC) và cosin góc hai đường thẳng AA’, B’C’ (D – 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là t.giác vuông, AB=BC=a, cạnh bên AA ' a Gọi M là trung điểm BC Tính thể tích lăng trụ và d(AM;B’C) (A – 2006) Cho hình trụ có đáy là hình tròn tâm O, O’, bán kính đáy chiều cao và a Trên (O) lấy A, trên (O’) lấy B cho AB=2a Tính V(OO’AB) (B – 2003) Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, góc BAD 60 Gọi M là trung điểm AA’và N là trung điểm CC’ CMR : B’, M, D, N đồng phẳng Tìm độ dài AA’ để B’MDN là hình vuông (B – 2002) Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh a a) Tính khoảng cách A’B và B’D ? b) Gọi M, N , P là trung điểm BB’, CD, A’D’ Tính góc MP và C’N ? (16)