KÕt luËn. PhÇn iii.[r]
(1)TRƯờNG ĐạI HọC SƯ PHạM Hà NộI TRƯờNG ĐạI HọC SƯ PHạM Hà NộI
KHOA Toán TIN KHOA Toán TIN
Đề TàI NGHIÊN CứU KHOA HọC
Đề TàI NGHIÊN CứU KHOA HọC
Về NGHIệP Vụ SƯ PHạM
Về NGHIệP Vụ SƯ PHạM
TÊN Đề TàI:RèN Kỹ NĂNG GIảI BàI TOáN PH
ÂN TíCH ĐA THứC THàNH NHÂN Tử CủA HọC SINH MÔN ĐạI Số 8
Ngời hớng dẫn:PGS,TS Nguyễn Doan Tuấn Cán Khoa Toán Tin-ĐHSP Hà Nội Ngêi thùc hiƯn: BÕ ThÞ Thu H»ng
Ngay sinh:17-02-1984
Phú Thọ-2010
Phần i Mở ĐầU
Phn i Mở ĐầU 1 Lý chọn đề tài:
(2)Cùng với đổi chơng trình sách giáo khoa, tăng cờng sử dụng thiết bị, đổi phơng pháp dạy học nói chung đổi phơng pháp dạy học tốn nói riêng trờng THCS tích cực hố hoạt động học tập, hoạt động t duy, độc lập sáng tạo học sinh, khơi dậy phát triển khả tự học, nhằm nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện hình thành kĩ vận dụng kiến thức cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn
Trong chơng trình Đại số lớp 8, dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử nội dung quan trọng, việc áp dụng dạng toán phong phú, đa dạng cho việc học sau nh rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, giải phơng trình, Qua thực tế giảng dạy nhiều năm, nh qua việc theo dõi kết kiểm tra, thi học sinh lớp (các lớp giảng dạy), việc phân tích đa thức thành nhân tử khơng khó, nhng cịn nhiều học sinh làm sai cha thực đợc, cha nắm vững phơng pháp giải, cha vận dụng kĩ biến đổi cách linh hoạt, sáng tạo vào toán cụ thể
Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi phơng pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ giải tốt khó khăn, vớng mắc học tập đồng thời nâng cao chất lợng môn nên thân chọn đề tài: “ Rèn kĩ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử học sinh - môn đại số ”
2.Mục đích nghiên cứu:
-Góp phần nâng cao chất lợng dậy học phổ thông sơ- đặc biện phần đại số lớp phần phân tích a thc thnh nhõn t
-Tạo điều kiện cho học sinh có kiến thức vững vàng, có ý thức tự học tìm tòi sáng tạo trình häc tËp
-Đào tọ nguồn nhân lực có tri thức vững vàng, ứng dụng đợc tri thức vào thực tiễn sống
3.nhiƯm vơ nghiªn cøu:
-Tìmhiểu nội dung dạy học phân tích đa thức thành nhân tử SGK lớp -Tìm hiểu mạch kiến thức có liên quan đến phân thức đa thức thành nhân tử mà em đợc tìm hiểu
-Điều tra thực trạng:
+Thng xuyờn nghiờn cu dạng tập liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử SGK,SBT
+Thờng xuyên kiểm tra đánh giá để nhận phản hồi học sinh Qua nhận khuyết điểm, sai lâm mà học sinh hay mắc phải tốn phân tích đa thức thành nhân tử để tìm hớng khắc phục, tìm phơng pháp phù hợp giúp nâng cao chất lợng giảng dậy
(3)Đề tài nghiên cứu phạm vi học sinh lớp 8A, 8B trờng THCS Tình Cơng-Cẩm Khª-Phó Thä
ý tởng đề tài phong phú, đa dạng, phạm vi nghiên cứu rộng, nên thân nghiên cứu qua bốn phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ch-ơng trình SGK, SBT toỏn hin hnh
5.Phơng pháp nghiên cứu:
Phơng pháp mà sử dụng để nghiên cứu chủ yếu phơng pháp thực nghiệm s phạm
PHÇN II:
PHÇN II: NéI DUNGNéI DUNG
Ch
Chơng I: Cơ sở lý luận Mục đích chuyên đề nghiên cứuơng I: Cơ sở lý luận Mục đích chuyên đề nghiên cứu
Trớc phát triển mạnh mẽ kinh tế tri thức khoa học, công nghệ thông tin nh nay, xã hội thơng tin hình thành phát triển thời kỳ đổi nh nớc ta đặt giáo dục đào tạo trớc thời thách thức Để hòa nhập tiến độ phát triển giáo dục đào tạo ln đảm nhận vai trò quan trọng việc “đào tạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà nớc đề ra, “đổi giáo dục phổ thông theo Nghị số 40/2000/QH10 Quốc hội”
Nhằm đáp ứng đợc mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, đờng nâng cao chất lợng học tập học sinh từ nhà trờng phổ thông Là giáo viên mong muốn học sinh tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy t sáng tạo, rèn tính tự học, mơn tốn mơn học đáp ứng đầy đủ u cầu
(4)Vấn đề đặt làm để học sinh giải toán phân tích đa thức thành nhân tử cách xác, nhanh chóng đạt hiệu cao Để thực tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh kĩ nh quan sát, nhận xét, đánh giá toán, đặc biệt kĩ giải toán, kĩ vận dụng toán, tuỳ theo đối tợng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp sở phơng pháp học cách giải khác, để giúp học sinh học tập tốt mơn
1 C¬ së thùc tiÔn
Tồn nhiều học sinh yếu tính tốn, kĩ quan sát nhận xét, biến đổi thực hành giải toán, phần lớn kiến thức lớp d ới, cha chủ động học tập từ đầu chơng trình lớp 8, chay lời học tập, ỷ lại, nhờ vào kết ngời khác, cha nỗ lực tự học, tự rèn, ý thức học tập yếu
Đa số em sử dụng loại sách tập có đáp án để tham khảo, nên gặp tập, em thờng lúng túng, cha tìm đợc hớng giải thích hợp, khơng biết áp dụng phơng pháp trớc, phơng pháp sau, phơng pháp phù hợp nhất, hớng giải tốt
Giáo viên cha thật đổi phơng pháp dạy học đổi cha triệt để, ngại sử dụng đồ dùng dạy học, phơng tiện dạy học, tồn theo lối giảng dạy cũ xa, xác định dạy học phơng pháp mơ hồ
Phụ huynh học sinh cha thật quan tâm mức đến việc học tập em nh theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở hc nh
CHƯƠNG II:CáC BIệN PHáP (GIảI PHáP) SƯ PHạM NÂNG CAO CHấT LUợNG
3.1 Nhng giải pháp đề tài
Đề tài đa giải pháp nh sau:
- Sắp xếp toán theo mức độ, nhng dng toỏn c bn
- Xây dựng phơng pháp giải phân tích đa thức thành nhân tử
Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức + Phơng pháp Đặt nhân tử chung
+ Phng phỏp Dựng hng đẳng thức + Phơng pháp Nhóm nhiều hạng tử
(5)- Củng cố phép biến đổi hoàn thiện kĩ thực hành - Tìm tịi cách giải hay, khai thác toỏn
- Giới thiệu hai phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử (Nâng cao)
Đối víi häc sinh kh¸, giái: Ph¸t triĨn t (giíi thiệu hai phơng pháp) + Phơng pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác
+ Phơng pháp thêm bớt hạng tử
3.2 Các phơng pháp thờng gặp
Củng cố kiến thức bản
Các phơng pháp b¶n:
1 phơng pháp đặt nhân tử chung
Phơng pháp chung:
Ta thờng làm nh sau:
- Tìm nhân tử chung hệ số (ƯCLN hệ số).
- Tìm nhân tử chung biến (mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ ). Nhằm đa dạng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D)
Chú ý: Nhiều để làm xuất nhân tử ta cần đổi dấu hạng tử
VÝ dụ 1: Phân tích đa thức 14x2 y 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử (BT-39c)-SGK-tr19) Giáo viên gợi ý:
- Tìm nhân tử chung hệ số 14, 21, 28 hạng tử ? (Học sinh trả lời là: 7, ƯCLN(14, 21, 28 ) = )
- Tìm nhân tử chung biến x2 y, xy2, x2y2 ? (Học sinh trả lời xy ) - Nhân tử chung hạng tử đa thức cho 7xy
Gi¶i: 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy = 7xy.(2x – 3y + 4xy)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức 10x(x y) 8y(y x) thành nhân tử (BT-39e)-SGK-tr19)
Giáo viên gợi ý:
- Tìm nhân tử chung hệ số 10 ? (Học sinh trả lời là: 2) - Tìm nhân tử chung cđa x(x – y) vµ y(y – x) ?
(Học sinh trả lời là: (x y) (y – x) )
- Hãy thực đổi dấu tích 10x(x – y) tích – 8y(y – x) để có nhân tử chung (y – x) (x y)?
Cách 1: Đổi dấu tích 8y(y – x) = 8y(x – y)
(6)Gi¶i: 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y) = 2(x – y).5x + 2(x – y).4y = 2(x – y)(5x + 4y)
Ví dụ 3: Phân tích đa thức 9x(x y) 10(y x)2 thành nhân tử.
Lời giải sai: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 (đổi dấu sai ) = (x – y)[9x + 10(x – y)] (sai từ trên) = (x – y)(19x – 10y) (kết sai )
Sai lầm học là:
Thực đổi dấu sai: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 Sai lầm đổi dấu ba nhân tử : –10 (y – x)2 tích –10(y – x)2
(v× –10(y – x)2 = –10(y – x)(y – x)).
Lời giải đúng: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2 = (x – y)[9x – 10(x – y)] = (x – y)(10y – x)
Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh:
Cách tìm nhân tử chung hạng tử (tìm nhân tử chung hệ số nhân tử chung biến, biến chung lÊy sè mò nhá nhÊt)
Quy tắc đổi dấu cách đổi dấu nhân tử tích
Chú ý: Tích khơng đổi ta đổi dấu hai nhân tử tích (một cách tổng qt, tích khơng đổi ta đổi dấu số chẵn nhân tử tích đó).
2 Phng phỏp hng ng thc
Phơng pháp chung:
Sử dụng bảy đẳng thức đáng nhớ dới dạng tổng hiệu đ“ ” a dạng“ tích ”
1 A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 A2 – B2 = (A – B)(A + B)
4 A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3 A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = (A – B)3 A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
(7)Gợi ý: Đa thức có dạng đẳng thức ? (HS: có dạng A2 – B2 )
Lêi gi¶i sai: (x + y)2 – (x– y)2 = (x + y – x – y)(x + y + x – y) (thiÕu dÊu ngc)
= 0.(2x) = (kÕt qu¶ sai)
Sai lầm học sinh là: Thực hiƯn thiÕu dÊu ngc
Lời giải đúng: (x + y)2 – (x– y)2 = [(x + y) – (x – y)].[(x + y) + (x – y)] = (x + y – x + y)(x + y + x – y)
= 2y.2x = 4xy
Các sai lầm học sinh dễ mắc phải:
- Quy tắc bỏ dấu ngoặc, lấy dấu ngoặc quy t¾c dÊu
- Phép biến đổi, kĩ nhận dạng đẳng thức hiệu hai bình phơng, bình phng ca mt hiu
Khai thác toán: Đối với học sinh giỏi, giáo viên cho em làm bài tập dới dạng phức tạp
* NÕu thay mò “2” bëi mò “3” ta có toán
Phân tích (x + y)3 (x y)3 thành nhân tử (BT-44b)-SGK-tr20) * Đặt x + y = a, x – y = b, thay mũ mũ ta có toán
Phân tích a6 b6 thành nhân tử (BT-26c)-SBT-tr6) a6 – b6 =
2
3
a b
= (a3 – b3 )( a3 + b3 )
Ví dụ 5: Phân tích a6 b6 thành nhân tử (BT-26c)-SBT-tr6)
Giải: a6 b6 =
2
3
a b
= (a3 – b3 )( a3 + b3 )
= (a – b)(a2 + ab + b2)(a + b)(a2 – ab + b2)
Giáo viên củng cố cho học sinh:
Các đẳng thức đáng nhớ, kĩ nhận dạng đẳng thức qua toán, dựa vào hạng tử, số mũ hạng tử mà sử dụng đẳng thức cho thích hợp
3 ph¬ng pháp nhóm nhiều hạng tử
Phơng pháp chung
Lựa chọn hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hai dạng sau đặt nhân tử chung, dùng ng thc
Thông thờng ta dựa vào mối quan hÖ sau:
(8)- Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn: + Mỗi nhóm phân tích đợc.
+ Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực đợc
1) Nhóm nhằm xuất phơng pháp đặt nhân tử chung:
Ví dụ 6: Phân tích đa thức x2 xy + x y thành nhân tử (Bài tập 47a)-SGK-tr22) Cách 1: nhóm (x2 xy) (x y)
Cách 2: nhóm (x2 + x) ( xy – y )
Lêi gi¶i sai: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y)
= (x – y)(x + 0) (kÕt dấu sai bỏ sót số 1)
Sai lầm học sinh là: bỏ sót hạng tử sau đặt nhân tử chung
(HS cho ngoặc thứ hai đặt nhân tử chung (x – y) cịn lại số 0)
Lời giải đúng: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + 1.(x – y) = (x – y)(x + 1)
2) Nhóm nhằm xuất phơng pháp dùng ng thc:
Ví dụ 7: Phân tích đa thức x2 2x + 4y2 thành nhân tư
Gi¶i: x2 – 2x + – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – (2y)2 = (x – 1)2 – (2y)2
= (x – – 2y)(x – + 2y)
3) Nhãm nhằm sử dụng hai phơng pháp trên:
Ví dụ 8: Phân tích đa thức x2 2x 4y2 4y thành nhân tử.
Li gii sai: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên) = (x – 2y)(x + 2y – 2) (kết dấu sai)
Sai lÇm cđa häc sinh lµ:
Nhóm x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai ngoặc thứ hai)
Lời giải đúng: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) + (– 2x – 4y ) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) = (x + 2y)(x – 2y – 2)
(9)Cách nhóm hạng tử đặt dấu trừ “ – ” dấu cộng “ + ” tr ớc dấu ngoặc, phải kiểm tra lại cách đặt dấu thực nhóm
Trong phơng pháp nhóm thờng dẫn đến sai dấu, học sinh cần ý cách nhóm kiểm tra lại kết sau nhóm
Lu ý: Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích thành nhân tử khơng thực đợc nữa, cách nhóm sai, phải thực lại.
Vận dụng phát triển kỹ năng 4 phối hợp phơng pháp thông thờng
Phơng pháp chung
Là kết hợp nhuần nhuyễn phơng pháp nhóm nhiều hạng tử, đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức Vì học sinh cần nhận xét toán cách cụ thể, mối quan hệ hạng tử tìm hớng giải thích hợp
Ta thờng xét phơng pháp: Đặt nhân tử chung ?
Dùng đẳng thức ? Nhóm nhiều hạng tử ?
VÝ dơ 9: Phân tích đa thức x4 9x3 + x2 9x thành nhân tử (BT- ?2 -SGK-tr22) Gợi ý phân tích: Xét phơng pháp: Đặt nhân tử chung ?
Dùng đẳng thức ? Nhóm nhiều hạng t ?
Các sai lầm học sinh thờng mắc phải Lời giải cha hoàn chỉnh:
a) x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) (phân tích cha triệt để) b) x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3 ) + (x2 – 9x)
= x3(x – 9) + x(x – )
= (x – 9)(x3 + x ) (phân tích cha triệt để)
Lời giải đúng: x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) = x[(x3 – 9x2 ) + (x – 9)] = x[x2 (x – 9) + 1.(x – 9)] = x(x – 9)(x2 + 1)
Ví dụ 10: Phân tích đa thức A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử
(Bài tập 57- SBT-tr to¸n tËp 1)
(10)áp dụng đẳng thức: (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) Suy hệ sau: A3 + B3 = (A + B)3 – 3AB(A + B).
Gi¶i:
A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 = [(x + y) + z]3– x3 – y3 – z3
= (x + y)3 + z3 + 3z(x + y)(x + y + z) – x3 – y3 – z3 = [(x + y)3 – x3 – y3 ] + 3z(x + y)(x + y + z)
= 3xy(x + y) + 3(x + y)(xz + yz + z2 ) = 3(x + y)( xy + xz + yz + z2)
= 3(x + y)(y + z)(x + z)
Khai thác toán:
1) Chøng minh r»ng A chia hÕt cho víi mäi x, y, z nguyªn
2) Cho x + y + z = Chøng minh x3 + y3 + z3 = 3xyz (Bµi tËp 38-SBT-tr7)
Híng dÉn:
Dïng x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) vµ x + y + z = x + y = z
3) Phân tích đa thức x3 + y3 + z3 3xyz thành nhân tư (Bµi tËp 28c)-SBT-tr6)
Híng dÉn:
Dïng x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y)
Trong chơng trình sách giáo khoa Toán hành giới ba phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử là: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử Tuy nhiên phần tập lại có áp dụng ba phơng pháp để giải, (Chẳng hạn nh tập 53, 57 sgk/tr 24-25) Sách giáo khoa có gợi ý cách “ tách ” hạng tử thành hai hạng tử khác “ thêm bớt hạng tử ” thích hợp áp dụng phơng pháp để giải Xin giới thiệu thêm hai phơng pháp này, để học sinh vận dụng rộng rãi thực hành giải tốn
` Ph¸t triĨn t duy
Giới thiệu hai phơng pháp phân tích khác: (Nâng cao)
5 phơng pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác
Ví dụ 11: Phân tích đa thức f(x) = 3x2 8x + thành nhân tử. Gợi ý ba cách phân tích: (chú ý có nhiều cách phân tích)
(11)= (2x – x)( 2x – + x) = (x 2)(3x 2)
Cách (tách hạng tử : – 8x) 3x2 – 8x + = 3x2 – 6x – 2x + 4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x 2)
Cách (tách hạng tử : 4) 3x2 – 8x + = 3x2 – 12 – 8x + 16 = 3(x2 – 22 ) – 8(x – 2) = 3(x – 2)(x + 2) – 8(x – 2) = (x – 2)(3x + – 8)
= (x – 2)(3x – 2)
Nhận xét: Từ ví dụ trên, ta thấy việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử nhằm: - Làm xuất đẳng thức hiệu hai bình phơng (cách 1)
- Làm xuất hệ số hạng tử tỷ lệ với nhau, nhờ làm xuất nhân tử chung x – (cách 2)
- Làm xuất đẳng thức nhân tử chung (cách 3)
Vì vậy, việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác nhằm làm xuất các phơng pháp học nh: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử việc làm cần thiết hc sinh gii toỏn.
Khai thác cách giải: Tách hạng tử: 8x (Cách 2)
Nhận xét: Trong ®a thøc 3x2 – 6x – 2x + ta thấy hệ số số hạng là:
3, – 6, –2, tû lÖ
6
hay (– 6).( – 2)= 3.4 vµ (– 6) + ( –
2)= –
Khai thác: Trong đa thức 3x2– 8x + đặt a = 3, b = – 8, c = 4
TÝnh tích a.c phân tích a.c = b1.b2 cho b1 + b2 = b
(ac = b1.b2 = 3.4 = (– 6).( – 2) = 12; b1 + b2 = b = (– 6) + ( – 2)= 8)
Tổng quát:
Để phân tích đa thức dạng ax2 + bx + c thành nhân tử, ta tách hạng tử bx thành b1x + b2x cho b1b2 = ac
Trong thùc hµnh ta làm nh sau:
Bớc 1: Tìm tích ac
(12)áp dụng: Phân tích đa thức 6x2 + 7x thành nhân tử (Bài tập 35c)-SBT-tr7) Ta cã: a = – ; b = ; c = –
Bíc 1: ac = (–6).(–2) = 12
Bíc 2: ac = (–6).(–2) = (–4).(–3) =(–12).(–1) = 6.2 = 4.3 = 12.1 Bíc 3: b = = + 3
Khi ta có lời giải: – 6x2 + 7x – = – 6x2 + 4x + 3x – 2 = (– 6x2 + 4x) + (3x – 2) = –2x(3x – 2) + (3x – 2) = (3x – 2)(–2x + 1)
Lu ý: Đối với đa thức f(x) có bậc từ ba trở lên, để làm xuất hệ số tỉ lệ, tuỳ theo đặc điểm hệ số mà ta có cách tách riêng cho phù hợp nhằm để vận dụng phơng pháp nhóm đẳng thức đặt nhân tử chung.
Ví dụ 12: Phân tích đa thức sau thõa sè : n3 – 7n +
Gi¶i: n3 – 7n + = n3 – n – 6n + = n(n2 – 1) – 6(n – 1)
= n(n – 1)(n + 1) – 6(n – 1) = (n – 1)[n(n + 1) – 6]
= (n – 1)(n2 + n – 6)
= (n – 1)(n2 – 2n + 3n – 6) = (n – 1)(n(n – 2) + 3(n – 2)) = (n – 1)(n – 2)(n + 3)
Ví dụ 13: Phân tích đa thức x4 30x2 + 31x 30 thành nhân tử.
Ta cã c¸ch t¸ch nh sau: x4 – 30x2 + 31x – 30 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30
Gi¶i: x4 – 30x2 + 31x – 30 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30 = x(x3 + 1) – 30(x2 – x + 1)
= x(x + 1)(x2 – x + 1) – 30(x2 – x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x – 30)
= (x2 – x + 1)(x 5)(x + 6) phơng pháp thêm bớt cïng mét h¹ng tư
Phơng pháp thêm bớt hạng tử nhằm sử dụng phơng pháp nhóm để xuất dạng đặt nhân tử chung dạng đẳng thức
(13)Ta cã ph©n tÝch:
- Tách x2 thành 2x2 – x2 : (làm xuất đẳng thức) Ta có x4 + x2 + = x4 + 2x2 + – x2 = (x4 + 2x2 + 1) – x2
- Thêm x bớt x: (làm xuất đẳng thức đặt nhân tử chung) Ta có x4 + x2 + = x4 – x + x2 + x + = (x4 – x) + (x2 + x + 1)
Gi¶i: x4 + x2 + = x4 – x + x2 + x + = (x4 – x) + (x2 + x + 1)
= x(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)
Ví dụ 15: Phân tích đa thức x5 + x4 + thành nhân tử.
Cỏch 1: Thờm x3 bớt x3 (làm xuất đẳng thức đặt nhân tử chung)
Gi¶i: x5 + x4 + = x5 + x4 + x3 – x3 + 1 = (x5 + x4 + x3 )+ (1 – x3 )
= x3(x2+ x + 1)+ (1 – x )(x2+ x + 1) = (x2+ x + 1)(x3 – x + )
Cách 2: Thêm x3, x2, x bớt x3, x2, x (làm xuất đặt nhân tử chung)
Gi¶i: x5 + x4 + = x5 + x4 + x3 – x3 + x2 – x2 + x – x + 1
= (x5 + x4 + x3) + (– x3 – x2 – x ) + (x2 + x + 1) = x3(x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x3 – x + )
Chú ý: Các đa thức có dạng x4 + x2 + 1, x5 + x + 1, x5 + x4 + 1, x7 + x5 + 1,….;
tổng quát đa thức dạng x3m+2 + x3n+1 + x3 – 1, x6 – có chứa
nh©n tư x2 + x +
Ví dụ 16: Phân tích đa thức x4 + thành nhân tử (Bài tập 57d)-SGK-tr 25) Gợi ý: Thêm 2x2 bớt 2x2 : (làm xuất đẳng thức)
Gi¶i: x4 + = x4 + 4x2 + – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 + – 2x)( x2 + + 2x)
Khai thác toán:
* Thay thành 64y4 , ta có toán: x4 + 64y4 Hớng dẫn giải:
(14)Trên vài ví dụ điển hình giúp em học sinh giải những mắc mứu trình giải toán phân tích đa thức thành nhân tử.
CHƯƠNG III: thực nghiệm s phạm
1/Mục đích thực nghiệm:
-Kiểm tra hiệu đề tài nghiên cứu
-Tìm thiếu sót, tìm khuyết điểm nh biện pháp khắc phục để hoàn thiện đề tài tốt
2./néi dung thực nghiệm
Đ6 phân tích đa thức thành nhân tö b»ng
phơng pháp đặt nhân tử chung
I Mơc tiªu * VỊ kiÕn thøc:
- HS phân tích đa thức thành nhân tư
- Biết cách tì hiểu m nhân tử chung đặt nhân tử chung
* VÒ kÜ năng:
- HS rốn k nng phõn tớch a thức thành nhân tử phơng pháp đặt nhân tử chung
* Về thái độ:
- HS có thái độ tích cực học tập, hăng hái phát biểu xây dựng
II ChuÈn bÞ
GV: Bảng phụ, thớc thẳng, phấn mầu
HS: Thc; c trớc “Phân tích đa thức đặt nhân tử chung
III ph ơng pháp dạy học:
- Chủ yếu sử dụng phơng pháp dạy học nêu giải vấn đề, dạy học tái hiện, phơng pháp dùng lời, phơng pháp làm việc độc lập học sinh, hợp tác nhóm nhỏ,…
IV Tiến trình hoạt động
Hoạt động GV Hoạt động HS
HĐ1: kiểm tra cũ (5ph)
GV: Chữa BT 36b/17 sgk
2 Tìm thừa số chung cđa biĨu thøc 2x
HS1: BT 36/17 tÝnh gi¸ trị biểu thức b) x3 +3 x2+ 3x+1 x = 99
= (x+1)3 (1)
Thay x = 99 vµo (1) cã (99+1)3 = 1003
(15)+3xy
Gọi HS nhận xét Chữa chốt phơng pháp Cho điểm HS
Vì 2x = 2.x ; 3xy = 3y.x
HĐ2: Giảng míi (30ph)
GV: Viết 2x +3xy thành tích cỏch t tha s chung
Việc làm gọi phân tích đa thức thành nhân tử Thế phân tích đa thức thành nhân tử?
Phng pháp gọi phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp đặt nhân tử chung
GV: HÃy phân tích15x3 -5x2 +10x thành nhân tử?
1 HS lên bảng
GV gi HS nhn xột sau ú cht li ph-ng phỏp
GV áp dụng làm ?1 (bảng phụ) HS lên bảng
Nhận xét làm bạn?
Trong phn c phi làm ntn để xuất nhân tử chung ?
GV chốt lại phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử chung Sau đa ý GV y/c HS ng/c ?2 nêu cách giải HS lên bảng giải phần ?2
Gọi HS nhận xét sau chữa chốt ph-ơng pháp
1 VÝ dơ:
HS thùc hiƯn:
a) VD1: ViÕt 2x +3xy thµnh tÝch 3xy+2x = x(3y+2)
- HS biến đổi đa thức thành tích đa thức
HS thùc hiÖn:
b) VD2: Phân tích 15x3 -5x2 +10x thành nhân tử
15x3 -5x2 +10x = 5x(3x2-x+2)
2 ¸p dơng: ?1
a) x2-x= x(x-1)
b) 5x2(x-2y) -15x(x-2y)= 5x(x-2y)(x-3) c) 3(x-y) -5x(y-x)= 3(x-y)+5x(x-y)=(x-y) (3+5x)
- HS nhËn xÐt
- HS phần c: phải đổi dấu (y -x) = -(x-y) - HS chữa
* Chó ý: Sgk/18
- HS phân tích VT thành nhân tử áp dụng: A.B = =>A = hc B =
?2
3x2-6x=03x(x-2)=0 0
2
x x x x
HS nhËn xÐt
H§3: Cđng cè (8ph)
GV em lên bảng giải BT 39/19 (a,c,e) bảng phụ
3 Bài tập: Bài 39/19sgk
a) 3x - 6y = 3(x-2y)
(16)Gäi HS nhận xét chữa
GV yêu cầu HS gi¶i BT 40b/19
Hoạt động nhóm
Sau chữa chốt phơng pháp
e) 10x(x-y) -8y(y-x) = 10x(x-y) +8y(x-y) = 2(x-y)(5x+4y)
Bµi 40b/19
HS hoạt động nhóm
b) x(x-1)-y(1-x)=x(x-1)+y(x-1)=(x-1) (x+y)
Thay x=2001; y=1999 ta cã: (2001-1)
(2001+1999)=2000.4000=8000000
V h íng dÉn nhà
BTVN: 39,40 (phần lại), 41,42/19 sgk
Xem lại ví dụ BT chữa Đọc trớc sau
* Bµi 42:
(17)-Ngày soạn:15-11-2010 Lớ
p
Ngày giảng
Sĩ số Lớ p
Ngày giảng
SÜ sè
8A 8C
8B 8D
TiÕt 10
Đ7 phân tích đa thức thành nhân tử b»ng
phơng pháp dùng đẳng thức
I Mơc tiªu * VỊ kiÕn thøc:
- HS hiểu đợc cách phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp dùng đẳng thức
* VÒ kĩ năng:
- HS bit dng cỏc hng đẳng thức vào việc phân tích đa thức thành nhân tử
* Về thái độ:
- HS có thái độ tích cực học tập, u thích mơn học
II Chuẩn bị
- GV: Bảng phụ, thớc thẳng, phấn mầu
- HS: Thc; ụn li nội dung đẳng thức
III c¸c ph ơng pháp dạy học:
- Ch yu s dng phơng pháp dạy học nêu giải vấn đề, dạy học tái hiện, phơng pháp dùng lời, phơng pháp làm việc độc lập học sinh, hợp tác nhóm nhỏ,…
IV Tiến trình hoạt động
Hoạt động GV Hot ng ca HS
Hđ1: kiểm tra cò (5ph)
1) Điền vào chỗ trống ( ) để hoàn thiện đẳng thức sau(Bảng phụ)
1 A3+3A2B +3AB2 + B3 = A2- B2 = A2- 2AB +B2= A3- B3= A3-3A2B +3AB2 - B3 = A3+ B3 = A2+2AB +B2 = HS1 điền từ câu đến
HS2 điền từ câu đến
HS 1: = (A+B)3 = (A+B) (A-B) = (A-B)2
4 = (A+B) (A2+ AB +B2) HS 2:
5 =(A-B)3
6 = (A+B) (A2- AB +B2) = (A+B)2
(18)Hđ 2: Bài (30ph)
Gv phân tích thành nhân tử? a) x2 -4x +4
b) x2 -2 c) 1- 8x3
+ Để làm đợc tập ta làm ntn? GV: Đó phơng pháp phân tích thành nhân tử phơng pháp dùng đẳng thức
GV cho c¶ líp làm ?1 Nhận xét làm bạn GV chữa chốt phơng pháp GV: lớp làm ?2
Gọi HS làm chữa
GV: áp dụng làm bµi tËp sau: CMR
(2n+5)2-25 chia hÕt cho víi mäi sè nguyªn n?
Mn CM: (2n+5)2-25 chia hết cho ta làm ntn?
Trình bày theo nhãm
Gọi nhóm trình bày sau chữa chốt phơng pháp
1 VÝ dô:
- HS trình bày a) x2 -4x +4= (x-2)2 b) x2-2=(x- 2)(x+ 2)
c) 1-8x3 = 1-(2x)3 = (1-2x)(1+2x+4x2) - HS áp dụng đẳng thức học
?1 2 HS lên bảng a) x3+3x2+3x+1=(x+1)3
b)(x+y)2-9x2= (x+y+3x)(x+y-3x) HS nhËn xÐt
?2
HS: 1052-25 =(105+5)(105-5) =110.100 = 11000
2 ¸p dơng:
HS đọc đề
HS phân tích (2n+5)2-25 thành nhân tử HS hoạt động nhóm
Gi¶i:
(2n+5)2-25 = (2n+5)2-52
= (2n+5+5)(2n+5-5) = 2n(2n+10)
= 4n(n+5) 4
VËy (2n+5)2-25 chia hết cho với mọi số nguyên n
Hđ 3: Củng cố (8ph)
GV: em lên bảng giải tập 43 a.b/20
Gi HS nhn xột chốt phơng pháp GV cho HS hoạt động nhóm tập c,d 44/20 (bảng phụ)
Gäi HS nhận xét, chốt phơng pháp
Bài 43/20sgk
a) x2+6x+9 =(x+3)2 b) 10x-25-x2 = -(x-5)2
Bµi 44/20sgk
c) (a+b)3+(a-b)3
= (a+b+a-b)[(a+b)2-(a+b)(a-b)+ (a-b)2] = 2a(a2+3b2) =2a3+6ab2
d) 8x3 +12x2y+6xy2 +y3= (2x +y)3
(19)- GV: Học lại đẳng thc
- BTVN: 43,44,45 (phần lại), 46/20,21
(20)Ngày soạn:23-11-2010 Lớ
p
Ngày giảng
Sĩ số Lớ p
Ngày giảng
SÜ sè
8A 8C
8B 8D
TiÕt 11
Đ8 phân tích đa thức thành nhân tử bằng
phơng pháp nhóm hạng tử
I Mơc tiªu * VỊ kiÕn thøc:
- HS hiĨu biết phân tích đa thức phơng pháp nhóm hạng tử
* Về kĩ năng:
- HS rèn kĩ áp dụng phơng pháp nhóm để phân tích số đa thức thành nhân tử
* Về thái độ:
- HS co thái độ tích cực học tập, u thích mơn học
II ChuÈn bÞ
- GV: Bảng phụ, thớc thẳng, phấn mầu - HS: Thớc; đọc trớc
III ph ơng pháp dạy học:
- Chủ yếu sử dụng phơng pháp dạy học nêu giải vấn đề, dạy học tái hiện, phơng pháp dùng lời, phơng pháp làm việc độc lập học sinh, hợp tác nhóm nhỏ,…
IV Tiến trình hoạt động
Hoạt động GV Hoạt động HS
HĐ 1: Kiểm tra cũ (5ph)
?: Hoµn hµnh bµi tËp sau : e) -x3+9x2-27x+27
= -( ) = -( x- )3
2 Chữa tập 45/20b sgk b) x2-x +1/4 =0
x2-2.1/2x +(1/2)2 =0 ( - )2 = =>
HS 1:
e) -x3+9x2-27x+27 =-(x3-9x2+27x-27) =-(x-3)3
HS2:
b) x2-x +1/4 =0 x2-2.1/2x +(1/2)2 =0
Gọi HS nhận xét cho điểm
HĐ 2: Bài (30ph)
GV: phân tích đa thức sau thành nhân tử:
(21)x2-3x +xy -3y
GV: Các hạng tử có nhân tử chung hay kh«ng?
Làm để xuất nhân tử chung?
Ph©n tÝch x2-3x +xy -3y theo phơng pháp nhóm hạng tử?
GV: Cũn cỏch để nhóm khơng ? u cầu HS làm sau chữa
GV: t¬ng tù nh vÝ dơ a, hÃy phân tích 2xy - 3z +6y +xz thành nhân tử? (HS trình bày)
Gọi HS nhận xét Chữa chốt phơng pháp: cách làm nh ví dụ gọi phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp nhóm hạng tử
GV : áp dụng làm ?1 sgk/22 Gọi HS nhận xét sau ú cha
HS : nhân tử chung HS: nhóm hạng tử vào nhóm
HS : a) x2-3x +xy -3y = (x2-3x) +(xy -3y)
= x(x-3) +y (x-3) = (x-3)(x+y) HS : Nhóm hạng tử 3; HS: tự trình bày
Ví dụ 2:
b) 2xy - 3z +6y +xz = (2xy +6y)+(3z+xz) = 2y(x+3) +z(x+3) =(x+3)(2y+z) HS nhËn xÐt
2 ¸p dơng: ?1 15.64+25.100+36.15+60.100 = (15.64+36.15)+(25.100+60.100) = 15(64+36)+100(25+60) = 15.100+100.85 =100(15+85) =100.100 =10000 GV: nghiên cứu ?2 bảng phơ
- Cho biÕt ý kiÕn cđa em vỊ lời giải bạn?
- Chữa cách làm tõng HS
?2: HS hoạt động nhóm trả lời HS : Bạn Thái: phân tích cha xong Bạn Hà : phân tích cha xong Bạn An: Làm đúng, đủ
H§3: Cđng cè (8 phót)
GV trình bày lời giải tập 47 a,c/22 (2 HS lên bảng)
Gi HS nhn xột sau chữa
Bµi tËp 47 a,c/22 Phân tích thành nhân tử:
a) x2-xy+x-y = (x2-xy) +(x-y) = x(x-y) +(x-y)= (x-y) (x+1)
c) 3x2-3xy-5x+5y= (3x2 - 3xy) -(5x- 5y) = 3x(x-y) -5 (x-y)= (3x-5)(x-y)
Bài tập 50a/23 sgk: Tìm x x(x-2)+x-2=0
(22)3 Gi¶i BT 50a/23 sgk
Gọi HS nhận xét sau chữa chốt phơng pháp
x-2 =0 hc x+1 =0
x=2 hc x=-1
v H íng dÉn vỊ nhµ (2 ph)
- Học lại phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử - BTVN: 47 đến 50 /22,23 sgk
-3.kÕt qu¶ thùc nghiƯm
Bµi tËp kiĨm tra (thêi gian 90 phót)
Bµi : Phân tích đa thức sau thành nhân tử M = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tö
A = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x4 8x + 63
Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x2y2(y x) + y2z2(z – y) + z2x2(y – z) Bµi 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a)
KÕT QU¶ KIĨM TRA
STT Hä tên Lớp điểm
1 Trần Minh Công 8A 7.25
2 Lê Thị Thu Thảo 8A 6.75
3 Đỗ Anh Dũng 8A 8,5
4 Trần Mạnh Cờng 8A 8,0
5 Đỗ Phơng Nhung 8A 7,0
6 Ngun ThÞ Thu HiỊn 8A 5,25
7 Đặng Anh Tuấn 8B 4,0
8 Nguyễn phơng linh 8B 5,0
9 Nguyễn Văn Th 8B 8,0
10 TrÇn Duy HiÕu 8B 7,5
(23)12 Trần Thị Nga 8B 6,0
13 Đào Duy Mạnh 8B 7,5
Thống kê
Kt qu ỏp dụng kĩ góp phần nâng cao chất lợng học tập môn học sinh đại trà
Cụ thể kết kiểm tra dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử đợc thông kê qua giai đoạn hai lớp 8A, 8B năm học 2009 – 2010 nh sau:
a) Cha áp dụng giải pháp
Kiểm tra khảo sát chất lợng đầu năm
Thời gian
u hc kỳ I đến cui học kỳ I
TS HS
Trung bình trở lên Số lợng Tỉ lệ (%)
Cha áp dụng giải pháp 70 31 44,29%
* Nhận xét: Đa số học sinh cha nắm đợc kỹ phân tích tốn, đẳng thức đáng nhớ, quy tắc dấu, quy tắc dấu ngoặc, cách trình bày giải cịn lung tung
b) ¸p dụng giải pháp
Lần 1: Kiểm tra tiết
Thêi gian
Đầu học kỳ I đến cui học kỳ I
TS HS
Trung b×nh trë lên Số lợng Tỉ lệ (%)
Kết áp dụng giải pháp (lần 1) 70 43 61,43%
* Nhận xét: Học sinh hệ thống, nắm kiến thức đẳng thức đáng nhớ, quy tắc dấu, quy tắc dấu ngoặc vận dụng tốt phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử giải toán, biết nhận xét đánh giá tốn trờng hợp, trình bày hợp lý
Lần 2: Kiểm tra sát Thời gian
u học kỳ I đến cui học kỳ I
TS HS
Trung bình trở lên Số lợng Tỉ lệ (%)
Kết áp dụng giải pháp (lần 2) 70 62 88,57%
(24)bày giải hợp lý có hệ thống logic, mét sè Ýt häc sinh qu¸ yÕu, kÐm cha thùc hiƯn tèt
Học sinh tích cực tìm hiểu kĩ phơng pháp giải, phân loại dạng toán, chủ động lĩnh hội kiến thức, có kĩ giải nhanh tốn có dạng tơng tự, đặt nhiều vấn đề mới, nhiều toán
Tãm l¹i:
Từ thực tế giảng dạy áp dụng phơng pháp nhận thấy học sinh nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ cách giải toán dạng tập Kinh nghiệm giúp học sinh trung bình, học sinh yếu nắm vững cách phân tích đa thức thành nhân tử chơng trình học, đợc học rèn luyện kĩ thực hành theo hớng tích cực hố hoạt động nhận thức mức độ khác thông qua chuỗi tập Bên cạnh cịn giúp cho học sinh giỏi có điều kiện tìm hiểu thêm số phơng pháp giải khác, dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm phát huy tài toán học, phát huy tính tự học, tìm tịi, sáng tạo học sinh học tốn
PhÇn iii KÕt luận
Phần iii Kết luận Bài học kinh nghiƯm
Thơng qua việc nghiên cứu đề tài kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy, cho phép rút số kinh nghiệm sau:
Đối với học sinh yếu kém: Là trình liên tục đợc củng cố sửa chữa sai lầm, cần rèn luyện kỹ để học sinh có khả nắm đợc phơng pháp vận dụng tốt phơng pháp phân tích vào giải toán, cho học sinh thực hành theo mẫu với tập tơng tự, tập từ đơn giản nâng dần đến phức tạp, không nên dẫn em xa nội dung SGK
Đối với học sinh đại trà: Giáo viên cần ý cho học sinh nắm các phơng pháp bản, kĩ biến đổi, kĩ thực hành việc vận dụng ph-ơng pháp đa dạng vào tập cụ thể, luyện tập khả tự học, gợi suy mê hứng thú học, kích thích khơi dậy óc tìm tịi, chủ động chiếm lĩnh kiến thức
(25)vấn đề để việc giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử tốt Qua tập cho học sinh thói quen tự học, tự tìm tịi sáng tạo, khác thác cách giải, khai thác toán khác nhằm phát triển t cách tồn diện cho q trình tự nghiên cứu em
Đối với giáo viên: Giáo viên thờng xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu vận dụng học sinh q trình cung cấp thơng tin có liên quan chơng trình đại số đề cập
Giáo viên phải định hớng vạch dạng toán mà học sinh phải liên hệ nghĩ đến để tìm hớng giải hợp lý nh đề cập, giúp học sinh nắm vững dạng toán đợc rèn luyện kĩ phân tích cách tờng minh dạng tập để tìm hớng giải sau biết áp dụng phát triển nhanh tập tổng hợp, kĩ vận dụng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cách đa dạng giải toán Đồng thời tạo điều kiện để học sinh đợc phát triển t cách toàn diện, gợi suy mê hứng thú học tập, tìm tịi sáng tạo, kích thích khơi dậy khả tự học học sinh, chủ động học tập học toán
Nếu thực tốt phơng pháp trình giảng dạy học tập chất lợng học tập mơn học sinh đợc nâng cao hơn, đào tạo đợc nhiều học sinh giỏi, đồng thời tuyển chọn đợc nhiều học sinh giỏi cấp trờng, cấp huyện, tỉnh,
Híng phỉ biÕn ¸p dơng
Đề tài đợc triển khai phổ biến áp dụng rộng rãi chơng trình đại số lớp 8, cho năm học sau, cho trờng loại hình
Híng nghiªn cøu ph¸t triĨn
Đề tài đợc nghiên cứu tiếp tục phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử khác (nâng cao)
(26)Tài liệu tham khảo:
-sách giáo khoa, sách tËp líp 8-NXBGD
-phơng pháp giải dạng toán toán 8-Nguyễn Văn Nho-NXBGD -toán bồi dỡng đại số 8-Vũ Hữu Bình,Tơn Thân,Đỗ Quang Thiều-NXBGD -kiểm tra đánh giá thờng xun định kỳ mơn tốn 8-NXBGD
Phó THä,ngµy 30/12/2010 Ngêi viÕt