Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Phương ph¸p 1: ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG LÝ thuyÕt: Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có một nhân tử chung thì đa thức đó được biểu diễn thành mộ[r]
(1)“SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” Chủ đề 2: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ (1) ! Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành tích đa thức VD: a) 2x2 + 5x - = (2x - 1).(x + 3) b) x - √x y +5 √ x - 10y = [( √ x ) – y √ x ] + (5 √ x - 10y) = √ x ( √ x - 2y) + 5( √ x - 2y) = ( √ x - 2y)( √ x + 5) Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Phương ph¸p 1: ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG LÝ thuyÕt: Nếu tất các hạng tử đa thức có nhân tử chung thì đa thức đó biểu diễn thành tích nhân tử chung với đa thức khác a) Phương pháp đặt nhân tử chung dùng các hạng tử đa thức có nhân tử chung Cụ thể: AB + AC + AD = A( B + C + D) b) C¸c bước tiÕn hµnh: -Bước 1: Phát nhân tử chung và đặt nhân tử chung ngoài dấu ngoặc -Bước 2: ViÕt c¸c h¹ng tö ngoÆc b»ng c¸ch chia tõng h¹ng tö cña ®a thøc cho nh©n tö chung VD1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : a) B = 17x3y - 34x2y2 + 51xy3 b) D = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by) c) x − y -5x y − x Giải: a) B = 17x3y - 34x2y2 + 51xy3 Þ B = 17xy( x2 - 2xy + 3y2) b)D = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by) Þ D = 2x2(ax + 2by + ax - by) = 2x2(2ax + by) c) x − y -5x y − x =3 x − y -5x − x − y =3 x − y +5x x − y = x − y 3+5x VD2: Tìm x , biết: x=3 x−3=0 ⇔[ ⇔[ x−1=0 x= Vậy giá trị cần tìm là: x = 3, x= BÀI TẬP: 1) Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : a) 2x2 + x b) 16x2(x - y) -10y(y - x) c) 14x2 – 21xy2 + 28x2y2 f ) x 2-3x+xy-3y e) 3x2-3xy-5x+5y 2) Tìm x, biết: x x −2 +x-2=0 VD2: Giải phương trình: x + √2 x - = Giải: Ta có: x + √ x -3 = (1+ √ ) x -3 = (1+ √ ) x = x= 1+ √ Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là : S = GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! { 1+ √ } d ) 2(x + 3) – x(x + 3) (2) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” BÀI TẬP: Giải phương trình: a) (x - 1)(5x + 3) = (3x - 8)(x - 1) b) 5x(x - 3) + 10(x - 3) = Phương pháp 2: DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC LÝ thuyÕt: Nếu đa thức là vế đẳng thức đáng nhớ nào đó thì có thể dùng đẳng thức đó để biểu diễn đa thức này thành tích các đa thức a) Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp dùng đẳng thức dùng các hạng tử đa thức có dạng đẳng thức b) Các đẳng thức quan trọng 3 2 a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a b (a b)(a ab b ) a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 an + bn =(a + b)(an-1 - an-2b + - abn-2 + bn-1) a2 - b2 = (a + b).(a - b) 2 3 a + 3a b + 3ab + b = (a + b) a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3 an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + + abn-2 + bn-1) a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)2 VD1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : a) A = x2 - b) B = x2 + 2xy + y2 - 25 d ) a +b 2- a −b c) C = (x + y)2 - 2(x + y) + e ) 2x-2y-x2 +2xy-y 2 Giải: a) A = x2 - ⇒ A = x2 - 22 = (x - 2)(x + 2) b) B = x2 + 2xy + y2 - 25 ⇒ B = (x + y)2 - 52 = (x + y + 5)(x + y - 5) c) C = (x + y)2 - 2(x + y) + ⇒ C = [( x + y) - 1] = ( x + y - 1)2 a +b − a −b = a +b +a −b a +b −a +b =2a.2b=4ab d ) a +b 2- a −b = a +b + a −b e ) 2x-2y-x +2xy-y = 2x-2y - x2 −2xy +y =2 x −y - x −y = x −y − x − y = x −y −x + y d ) x + 4x + - y2 2 VD2: Giải phương trình: ( x+1 ) =4 ( x −2 x +1 ) Giải: Ta có: ( x+1 )2=4 (x −2 x+1 )⇔ x +2 x +1=4 x 2−8 x + ⇔ x +2 x−4 x +8 x=4−1 ⇔−3 x +10 x=3 ⇔−3 x2 +9 x+ x −3=0 ⇔−3 x ( x−3)+1 ( x−3 )=0 x=3 x −3=0 x =3 ⇔( x−3 )(−3 x +1)=0⇔[ ⇔[ ⇔[ −3 x +1=0 −3 x=−1 x= ;3 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S={ } BÀI TẬP: Giải phương trình: a) (x2 + 2x + 1) - = 2 Tính: g ) 2xy-x -y +16 b) x3 - = x(x - 1) f ) x + 2x2 y + x y - 9x Phương pháp 3: NHÓM CÁC HẠNG TỬ LÝ thuyÕt: Nhóm số hạng tử đa thức cách thích hợp để có thể đặt nhân tử chung dùng đẳng thức đáng nhớ Phương ph¸p nµy thường dïng cho nh÷ng ®a thøc cÇn ph©n tÝch thµnh GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! (3) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” nhân tử cha có nhân tử chung cha áp dụng đẳng thức mà sau nhóm các hạng tử đó biến đổi sơ nhóm lại thì xuất đẳng thức có nhân tử chung, cụ thể: Bước 1: Phát nhân tử chung đẳng thức nhóm Bước 2: Nhóm để áp dụng phương pháp đẳng thức đặt nhân tử chung Bước 3: §Æt nh©n tö chung cho toµn ®a thøc VD: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : c) x2-2xy+y2-9 a) A = xy - xz - y + z b) B = x2 + y2 - z2 + 2xy + 2z - d) 8x3 + 4x2 - y3 - y2 Giải: a) A = xy - xz - y + z ⇒ A = (xy - xz) - (y - z ) = x(y - z) - (y - z) = (y - z)(x - 1) b) B = x2 + y2 - z2 + 2xy + 2z - = (x2 + 2xy + y2) - (z2 - 2z + 1) = (x + y)2- (z - 1)2 =[ ( x + y )− ( z −1 ) ][ ( x + y ) + ( z−1 ) ] = (x + y - z + 1)(x + y + z - 1) c) x2-2xy +y2 -9= x2 -2xy+ y2 -9= x −1 2-32 = x −1+3 x −1−3 = x +2 x − d) 8x3 + 4x2 - y3 - y2 = (8x3 - y3) + (4x2 - y2) x y x y x y x xy y x y x y x y x xy y x y BÀI TẬP: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : a) P = 5x2 - 5xy - 10x + 10y c ) x +4x-2xy-4y+y b) B = (a2 + b2)xy + (x2 + y2)ab Phân tích thành nhân tử (với a, b, x, y là các số không âm) a) xy y x x a3 b) b a 2b ab Phư¬ng ph¸p 4: T¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö; hoÆc thªm, bít cïng mét h¹ng tö LÝ thuyÕt *) Lí thuyết chung: Phương pháp này nhằm biến đổi đa thức để tạo hạng tử thích hợp để nhóm sử dụng đẳng thức: *) C¸c trưêng hîp: a, Trưêng hîp ®a thøc d¹ng ax2 + bx + c ( a, b, c Î Z; a, b, c ¹ 0) - NÕu - NÕu - NÕu +) +) TÝnh : = b2 - 4ac: = b2 - 4ac < 0: Đa thức không phân tích đợc = b2 - 4ac = 0: §a thøc chuyÓn vÒ d¹ng b×nh phư¬ng cña mét nhÞ thøc bËc nhÊt = b2 - 4ac > = b2 - 4ac = k2 ( k Î Q) ®a thøc ph©n tÝch ®ưîc trưêng Q( số hữu tỉ) = b2 - 4ac ¹ k2 ®a thøc ph©n tÝch ®ưîc trưêng sè thùc R c −b Nhaåm tìm soá x1, x2 cho : x1 x2 = a vaø x1+ x2 = a Khi đó: P(X) == ax2 + x1x + x2x + c = (x- x1)(x- x2) **Hoặc nhầm nghiệm: c - NÕu a + b + c = th× (*) cã nghiÖm lµ x1 = 1, nghiÖm lµ x2 = a GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! (4) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” −c - NÕu a - b + c = th× (*) cã nghiÖm lµ x1 = - 1; nghiÖm lµ x2 = a b, Trưêng hîp ®a thøc tõ bËc trë lªn: - NhÈm nghiÖm cña ®a thøc: +) NÕu tæng c¸c hÖ sè cña c¸c h¹ng tö b»ng Þ ®a thøc cã nghiÖm b»ng +) NÕu tæng c¸c hÖ sè cña c¸c h¹ng tö bËc ch½n b»ng tæng c¸c hÖ sè cña c¸c h¹ng tö bËc lÎ Þ ®a thøc cã nghiÖm b»ng - - Lưu ý: Định lý: " Nếu đa thức có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải là ước hạng tử tự Nếu p ®a thøc cã nghiÖm h÷u tØ d¹ng q th× p lµ ưíc cña h¹ng tö tù do, q lµ ưíc dư¬ng cña hÖ sè cña h¹ng tö cã bËc cao nhÊt" - Khi biết nghiệm đa thức ta có thể dùng phép chia đa thức, dùng sơ đồ Hooc – ne để hạ bậc cña ®a thøc Ví dụ VD1: x 2-3x+2 Ta thấy: x 1+x =3, x1.x 2=2 ⇒x1=2, x =1 Vậy: x2-3x+2 = x −2 x −1 b) y y y y y 2 y y1 y1 y y1 c) 2x2 - 3x + = 2x2 - 2x - x +1 = 2x(x - 1) - (x - 1) = (x - 1)(2x - 1) a ) x +x- BÀI TẬP: e) x2 - 7xy + 12y2 b ) x 2+ 5x+6 c ) x 2- 4x+3 d ) x - x- f) x3 – 7x – VD2: Thực phép chia đa thức sau đây cách phân tích đa thức bị chia thành nhân tử: (x5 + x3 + x2 + 1):(x3 + 1) Giải:Vì x5 + x3 + x2 + 1= x3(x2 + 1) + x2 + = (x2 + 1)(x3 + 1) nên (x5 + x3 + x2 + 1):(x3 + 1) = (x2 + 1)(x3 + 1):(x3 + 1) = (x2 + 1) BÀI TẬP: Tính: (x2 - 5x + 6):(x - 3) x +xy-y 2x -3x+1 b) x +x-2 x 2+ xy − y a) 2x -3xy+y 2) Rút gọn các phân thức sau: x 2−3 xy + y Phương pháp thêm, bớt cùng hạng tử: VD1: a) 4x4 + 81= 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2= (4x4 + 36x2 + 81) - (6x)2= (2x2 + 9)2- (6x)2= (2x2 + - 6x)(2x2 + + 6x) b) x2 + = x2 + 4x + - 4x = (x + 2)2 - 4x = (x + 2)2 x x - = x 2 x2 x 2 VD2: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö : 5x2 + 6xy + y2 Giải : C¸ch 1: T¸ch 6xy thµnh 5xy + xy cã: 5x2 + 6xy + y2 = (5x2 + 5xy) + (xy + y2 ) = 5x(x + y) + y(x + y)= (5x + y)(x + y) C¸ch 2: Thªm 4x2 vµo 5x2 råi bít 4x2 ta cã : 5x2 + 6xy + y2 = 9x2 + 6xy + y2- 4x2 = (9x2 + 6xy + y2)- 4x2= (3x + y)2 - (2x)2= (5x + y)(x + y) VD3: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö : x3 + 3x2 - GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! (5) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” Giải: 2 C¸ch 1: x3 + 3x2 - = x3 + 4x2 - x2 - 4x + 4x - = ( x −x ) + ( x −4 x ) + ( x−4 ) = x2(x - 1)+ 4x( x - 1) + 4(x - 1) = (x - 1)(x + 2)2 C¸ch 2: x3 + 3x2 - = x3 - x2 + 4x2 – = ( x −x2 ) + ( x 2−4 ) =x ( x−1 ) +4 ( x2 −1 ) =x ( x −1 )+ ( x−1 ) ( x +1 ) ¿ ( x−1 ) [ x2 +4 ( x +1 ) ]= ( x −1 ) ( x + x +4 ) = (x - 1)(x + 2)2 C¸ch 3: x3+3x2 -4=x 3-1+3x2-3= x 3-1 + 3x2 -3 = x −1 x2 +x +1 +3 x2 −1 = x −1 x +x +1 +3 x −1 x +1 = x −1 x +x +1+3 x +1 = x −1 x +x +1+3x +3 = x −1 x +4x +4 = x −1 x +2 VD4: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : x7 + x2 + = x7 – x + x2 + x + 1= (x7 - x) + (x2 + x + 1)= x(x6 - 1) + (x2 + x + 1) = x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1)= x(x - 1)(x3 + 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[x(x - 1)(x3 + 1) + 1]= (x2 + x + 1)(x5 - x4 + x2 – x + 1) *) Chú ý: Các đa thức dạng: x3m+1 + x3m+2 + chứa thừa số x2 + x + BÀI TẬP: Tính: a4 + 16 Phư¬ng ph¸p 5: Dïng phÐp chia ®a thøc (nhÈm nghiÖm) LÝ thuyÕt: - §a thøc f(x) chia hÕt cho ®a thøc g(x) vµ chØ khi: f(x)= g(x).q(x) (q(x) lµ thư¬ng cña phÐp chia) *) §Æc biÖt : f(x) chia hÕt cho x - a <=> f(a) = Do đó, ta có thể dung phương pháp nhẩm nghiệm: Thay x = a nào đó, f(a) = thì x = a là nghiệm Ví dụ VD : Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö : x4 - 2x3 + x2 - Giải: §a thøc trªn nÕu cã nghiÖm h÷u tØ th× nghiÖm sÏ lµ ưíc cña ¦(4) = ThÊy x = - lµ nghiÖm nªn : x4 - 2x3 + x2 - 4= (x + 1)(x3 - 3x2 + 4x - 4) Mµ g(x) = x3 - 3x2 + 4x - cã x = lµ nghiÖm Do vËy g(x) = (x - 2)(x2 – x + 2) Víi ®a thøc : x2 – x + cã = 1- = - < nªn ®a thøc nµy kh«ng ph©n tÝch ®ưîc trªn R Do vËy: x4 - 2x3 + x2 - = (x + 1)(x - 2)(x2 – x + 2) 1; 2; 4 VD2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : A = 3x3 + 2x2 + 2x – 1 Gi¶i: NhÈm ®ưîc nghiÖm x = Nên A = (3x - 1) ( x2 + x + 1) VUI TOÁN HỌC “XÂY TƯỜNG” GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! (6) “SỰ HỌC LÀ VÔ BỜ ~ KIÊN TRÌ THÌ CẬP BẾN !” Em hãy “ xây tường” hình bên cách điền các phân số thích hợp vào các “viên gạch” theo quy tắc sau: a = b + c 17 17 17 −4 17 −7 17 GV: AYLIGIO.BACHTUYET ! 11 17 (7)