10 đề phân tích đa thức thánh nhân tử nâng cao toán 8

10 đề phân tích đa thức thánh nhân tử nâng cao toán 8 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập l...

Chuy ên đề bồi dưỡng học sinh giỏi CHUYÊN ĐỀ 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ. . Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đơn thức và đa thức. . Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp thông thường: - Đặt nhân tử chung (thừa số chung). - Dùng hằng đẳng thức đáng nhớ. - Nhóm nhiều hạng tử. . Phân tích đa thức thành nhân tử bằng vài phương pháp khác (bổ sung) - Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử. - Thêm bớt cùng một hạng tử. - Đặt ẩn phụ (còn gọi là đổi biến số). - Dùng phương pháp hệ bất đònh. - Tìm nghiệm của đa thức. - Quy tắt HORNER (Hót - Nơ). B. MỘT SỐ BÀI TOÁN: I. PHƯƠNG PHÁP THÊM BỚT, TÁCH, NHÓM HẠNG TỬ Bài1. Phân tích đa thức thành nhân tử A = x 2 y 2 (y - x) + y 2 x 2 (z - y) - z 2 x 2 (z - x) Cách 1: Khai triển hai trong ba số hạng, chẳng hạn khai triển hai số hạng đầu rồi nhóm các số hạng làm xuất hiện thừa số chung z - x A = x 2 y 3 – x 3 y 2 + y 2 z 3 – y 3 z 2 – z 2 x 2 (z – x) = y 2 (z 3 – x 3 ) – y 3 (z 2 – x 2 ) – z 2 x 2 (z – x) = y 2 (z – x)(z 2 + zx + x 2 ) – y 3 (z – x)(z + x) – z 2 x 2 (z – x) = (z – x)(y 2 z 2 + y 2 zx + x 2 y 2 – y 3 z – y 3 x – z 2 x 2 ) = (z – x)[y 2 z(z – y) – x 2 (z – y)(z + y) + y 2 x(z – y) = (z – x)(z – y)(y 2 z – x 2 z – x 2 y + y 2 x) = (z – x)(z – y)[z(y – x)(y + x) + xy(y – x)] = (z – x)(z – y)(y – x)(xy + xz + yz). Cách 2: Để ý rằng: (z – y) + (y – x) = (z – x). Do vậy ta có: A = x 2 y 2 (y – x) + y 2 z 2 (z – y) – z 2 x 2 [(z – y) + (y – x)] = x 2 y 2 (y – x) + y 2 z 2 (z – y) – z 2 x 2 (z – y) – z 2 x 2 (y – x) = (y – x)(x 2 y 2 – z 2 x 2 ) + (z – y)(y 2 z 2 – z 2 x 2 ) = (y – x)x 2 (y – z)(y + z) + (z – y)z 2 (y – x)(y + x) = (y – x)(z – y)(- x 2 y – x 2 z +yz 2 + xz 2 ) = (y – x)(z – y)[xz(z – x) + y(z – x)(z + x)] = (y – x)(z – y)(z – x)(xz + yz +xy) Bài 2. Phân tích đa thức thành nhân tử a) a 3 + b 3 + c 3 -3abc Chuy ên đề bồi dưỡng học sinh giỏi b) (x – y) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 Lời giải: a) Các hạng tử của đa thức đa thức đã cho không chứa thừa số chung, không có dạng một hằng đẳng thức đáng nhớ nào, cũng không thể nhóm các số hạng. Do vậy ta phải biến đổi đa thức bằng cách thêm bớt cùng một hạng tử để có thể vận dụng được các phương pháp phân tích đã biết. a 3 + b 3 + c 3 = (a 3 + 3a 2 b +3ab 2 + b 3 ) + c 3 – (3a 2 b +3ab 2 + 3abc) = (a + b) 3 +c 3 – 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[(a + b) 2 – (a + b)c + c 2 – 3ab] = (a + b + c)(a 2 + 2ab + b 2 – ac – bc + c 2 – 3ab] = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 – ab – ac – bc) b) Cách 1: Đặt x – y = a , y – z = b, z – x = c thì a + b + c = 0. Khi đó theo câu a ta có: a 3 + b 3 + c 3 – 3abc = 0 hay a 3 + b 3 +c 3 =3abc Vậy: (x – y) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 3(x – y)(y – z)(z – x) Cách 2: Để ý rằng: (a + b) 3 = a 3 + 3ab(a + b) + b 3 và (y – z) = (y – x) ĐỀ I: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x2 - y2 - 2x + 2y b) 4x2 – 25 + (2x + 7)(5 – 2x) c) x3 + x2y – 4x – 4y d) 16x3y + 0,25yz3 f) x – 4x3 + 4x2 e) (a + b + c)2 + (a + b – c)2 – 4c2 g) 4a2b2 – (a2 + b2 – c2)2 Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x4y4 + b) x2 + 2xy – 8y2 + 2xz + 14yz – 3z2 Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 b) a(b + c)(b2 – c2) + b(a + c)(a2 – c2) + c(a + b)(a2 – b2) c) (x2 + x)2 + 4x2 + 4x – 12 ĐỀ II: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 2x + 2y - x2 - xy b) 3(x+ 4) – x2 – 4x c) x3 – 3x2 + – 3x d) a + a2b – ab2 – b3 e) a(b3 – c3) + b(c3 – a3) + c(a3 – b3) f) x + x2 – 4x - g) a – a4 + 2a3 + 2a2 Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x4y4 + 64 b) x7 + x2 + Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử a) 3x2 – 22xy – 4x + 8y + 7y2 + b) (a – x)y3 – (a – y)x3 – (x – y)a3 c) ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) d) (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2 ĐỀ III: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 3a2 - 6ab + 3b2 - 12c2 b) 3(x+ 4) – x2 – 4x c) x + x2 – 4x - d) a – a4 + 2a3 + 2a2 e) x – x2 – x + f) (a + b)3 – (a – b)3 g) a + b4 + c4 – 2a2b2 – 2b2c2 – 2a2c2 Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x4y4 + 64 b) 12x2 + 5x – 12y2 + 12y – 10xy – Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) b) a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2) c) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 d) x2 – 7xy + 10y2 ĐỀ IV: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x2 - 25 + y2 + 2xy b) x2 – xy + x – y c) x2 – 2x – 15 d) 2ab2 – a2b – b3 e) a + b4 + c4 – 2a2b2 – 2b2c2 – 2a2c2 f)a + a2b – ab2 – b3 g) a(b3 – c3) + b(c3 – a3) + c(a3 – b3) Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x8 + x + b) x10 + x5 + Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử a) 2x2 – 7xy + 3y2 + 5xz – 5yz + 2z2 b) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 c) (x – y)5 + (y – z)5 + (z – x)5 d) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 ĐỀ V: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) a2 + 2ab + b2 - ac - bc b) 5x2 – 5y2 – 10x + 10y c) 3x2 – 6xy + 3y2 – 12z2 d) x + x3 + x2 – e) x – 3x2 + 3x – – y3 f) x – x2 + 2x - g) (x + y)3 – x3 – y3 Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x4y4 + b) x2 + 3xy + 2y2 + 3xz + 5yz + 2z2 Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) 3x5 – 10x4 – 8x3 – 3x2 + 10x + b) (x + y)7 – x7 – y7 c) (x2 + 2x)2 + 9x2 + 18x + 20 d) (xy + 4)2 – (2x + 2y)2 ĐỀ VI: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x2 - 2x - 4y2 - 4y b) 3x2 – 6xy + 3y2 – 12z2 c) x2 – xy + x – y d) x 2y2 + – x2 – y2 e) X m + + xm + – x - f) x – x2 + 2x - g) (x + y)3 – x3 – y3 Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x4y4 + b) x2 – 8xy + 15y2 + 2x – 4y – Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) 5x4 + 24x3 – 15x2 – 118x + 24 b) ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + abc c) x2 – 4xy + 4y2 – 2x + 4y – 35 d) 4x4 – 12x2 + ĐỀ VII: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x2y - x3 - 9y + 9x b) x2 – xy + x – y c) x2 – 2x – 15 d) a + 2ab + b2 – 2a – 2b + e) (b – c)3 + (c – a)3 + (a – b)3 f) a – b2 – 4a + 4b g) x3 + y3+ z3 – 3xyz Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử a) 32x4 + b) x4 – 13x2 + 36 Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử a) 15x3 + 29x2 – 8x – 12 b) (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5 c) (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16 ĐỀ VIII: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x2(x -1) + 16(1- x) b) x2 – 2x – 15 c) x2 – xy + x – y d) x – x2 + 2x – e) (x + y)3 – x3 – y3 f) a + 2ab + b2 – 2a – 2b + Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x8 + 3x4 + b) x4 – 13x2 + 36 Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) 15x3 + 29x2 – 8x – 12 b)8 a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) + 2abc c) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) – 12 d) x4 – 7x2 + ĐỀ IX: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x2(x -1) + 16(1- x) b) ax – bx – a2 + 2ab – b2 c) 2x2 + 3x – d) x2 + 4x – y2 + e) 2x2 – 18 f) x2 – 7xy + 10y2 g) x4 + 6x2y + 9y2 – Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử a) 3a – 3b + a2 – 2ab + b2 b) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử a) a + 2ab + b2 – 2a – 2b + b) (b – c)3 + (c – a)3 + (a – b)3 c) a – b3 – 3a + 3b d) (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 ĐỀ X: Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x10 + x5 + b) x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + c) a(b + c)(b2 – c2) + b(a + c)(a2 – c2) + c(a + b)(a2 – b2) d) ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) e) a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2) f) ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + abc g) (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5 Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử a) a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) + 2abc b) a3(b – c) + b3(c – a) + c3(a – b) Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử a) 4(x2 + 15x + 50)(x2 + 18x + 72) – 3x2 THCS Sông vệ Tạ Thanh Ban CHỦ ĐỀ : PHÂN TÍCH ĐATHỨC THÀNH NHÂN TỬ A. MỤC TIÊU : Sau khi học xong chủ đề này, HS có khả năng : − Biết thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử − Hiểu các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thường dùng. − Vận dụng được các phương pháp đó để giải các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử, tìm nghiệm của đa thức, chia đa thức, rút gọn phân thức B. THỜI LƯNG : 5 tiết C. THỰC HIỆN : Câu hỏi 1 : Thế nào là phân tích một đa thức thành nhân tử ? Trả lời : Phân tích một đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đơn thức và đa thức khác. Bài toan 1 : Trong các cách biến đổi đa thức sau đây, cách nào là phân tích đa thức thành nhân tử ? Tại sao những cách biến đổi còn lại không phải là phân tích đa thức thành nhân tử ? 2x 2 + 5x − 3 = x(2x + 5) − 3 (1) 2x 2 + 5x − 3 = x       −+ x x 3 52 (2) 2x 2 + 5x − 3 = 2       −+ 2 3 2 5 2 xx (3) 2x 2 + 5x − 3 = (2x − 1)(x + 3) (4) 2x 2 + 5x − 3 = 2       − 2 1 x (x + 3) (5) Lời giải : Ba cách biến đổi (3), (4), (5) là phân tích đa thức thành nhân tử. Cách biến đổi (1) không phải là phân tích đa thức thành nhân tử vì đa thức chưa được biến đổi thành một tích của những đơn thức và đa thức khác. Cách biến đổi (2) cũng không phải là phân tích đa thức thành nhân tử vì đa thức đượ biến đổi thành một tích của một đơn thức và một biểu thức không phải là đa thức. Câu hỏi 2 : Những phương pháp nào thường dùng để phân tích đa thức thành nhân tử ? Trả lời : Ba phương pháp thường dùng để phân tích đa thức thành nhân tử là : Phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp dùng hằng đẳng thức và phương pháp nhóm nhiều hạng tử. Câu hỏi 3 : Nội dung cơ bản của phương pháp đặt nhân tử chung là gì ? Phương pháp này dựa trên tính chất nào của phép toán về đa thức ? Có thể nêu ra một công thức đơn giản cho phương pháp này hay không ? Trả lời : Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có một nhân tử chug thì đa thức đó biểu diễn được thành một tích của nhân tử chung đó với một đa thức khác. 1 THCS Sông vệ Tạ Thanh Ban Phương pháp này dựa trên tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng các đa thức. Một công thức đơn giản cho phương pháp này là : AB + AC = A(B + C) Bài toán 2 : Phân tích đa thức thành nhân tử a) 3x 2 + 12xy ; b) 5x(y + 1) − 2(y + 1) ; c) 14x 2 (3y − 2) + 35x(3y − 2) +28y(2 − 3y) Trả lời : a) 3x 2 + 12xy = 3x.x + 3x . 4y = 3x(x + 4y) b) 5x(y + 1) − 2(y + 1) = (y + 1) (5x − 2) c) 14x 2 (3y − 2) + 35x(3y − 2) +28y(2 − 3y) = 14x 2 (3y−2) + 35x(3y−2) − 28y(3y −2) = (3y − 2) (14x 2 + CHUYấN CAC PHệễNG PHAP PHAN TCH ẹA THệC THAỉNH NHAN Tệ A.cơ sở lý thuyết: a/ Định lý về phép chia đa thức (phép chia hết và chia có d): - Khi đó với hai đa thức bất kỳ f(x), g(x) và g(x) 0 tồn tại duy nhất hai đa thức q(x) và r(x)sao cho: f(x) = g(x).q(x) + r(x), r(x) = 0, hoặc bậc r(x) < bậc g(x). q(x) đợc gọi là thơng, r(x) đợc gọi là d. Nếu r(x) = 0 thì ta nói f(x) chia hết cho g(x) và ký hiệu f(x) M g(x) Nếu r(x) 0 thì ta nói f(x) chia cho g(x) có d. b/ Hệ quả: Ta có f(a) là d trong phép chia f(x) cho x- a. c/ Định nghĩa nghiệm của một đa thức một ẩn: Phần tử aA đợc gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0. d/ Định lý Bơdu về nghiệm của một đa thức: Phần tử a là nghiệm của đa thức f(x) khi và chỉ khi f(x) M x-a. e/ Các phơng pháp cơ bản để phân tích đa thức thành nhân tử: - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp đặt nhân tử chung. - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp dùng hằng đẳng thức. - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp nhóm nhiều hạng tử. - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phơng pháp. - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách tách một hạng tử thành nhiều hạng tử. - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách thêm bớt cùng một hạng tử. 1. Phng phỏp t nhõn t chung Vớ d 1. Phõn tớch cac a thc sau thnh nhõn t. 28a 2 b 2 21ab 2 + 14a 2 b = 7ab(4ab 3b + 2a) 2x(y z) + 5y(z y ) = 2(y z) 5y(y z) = (y z)(2 5y) x m + x m + 3 = x m (x 3 + 1) = x m ( x+ 1)(x 2 x + 1) 2. Phng phỏp dựng hng ng thc Vớ d 2. Phõn tớch cac a thc sau thnh nhõn t. 9x 2 4 = (3x) 2 2 2 = ( 3x 2)(3x + 2) 8 27a 3 b 6 = 2 3 (3ab 2 ) 3 = (2 3ab 2 )( 4 + 6ab 2 + 9a 2 b 4 ) 25x 4 10x 2 y + y 2 = (5x 2 y) 2 3. Phng phỏp nhúm nhiu hng t Vớ d 3. Phõn tớch cac a thc sau thnh nhõn t 2x 3 3x 2 + 2x 3 = ( 2x 3 + 2x) (3x 2 + 3) = 2x(x 2 + 1) 3( x 2 + 1) = ( x 2 + 1)( 2x 3) x 2 2xy + y 2 16 = (x y) 2 4 2 = ( x y 4)( x y + 4) 4. Phi hp nhiu phng phỏp Vớ d 4. Phõn tớch cac a thc sau thnh nhõn t 3xy 2 12xy + 12x = 3x(y 2 4y + 4) = 3x(y 2) 2 3x 3 y 6x 2 y 3xy 3 6axy 2 3a 2 xy + 3xy = = 3xy(x 2 2y y 2 2ay a 2 + 1) = 3xy[( x 2 2x + 1) (y 2 + 2ay + a 2 )] = 3xy[(x 1) 2 (y + a) 2 ] = 3xy[(x 1) (y + a)][(x 1) + (y + a)] = 3xy( x 1 y a)(x 1 + y + a) Ví dụ5: A(x) =10x 2 -7x+a (aQ) xác định a sao cho A(x) chia hết cho 2x-3. Đặt phép chia đa thức: 10x 2 -7x+a 2x-3 10x 2 -15x 5x+4 8x+a -8x-12 a+12 Để A(x) M 2x-3 ta phải có: a+12=0 a= -12. Vậy a=-12 thì A(x) chia hết cho 2x-3 Ví dụ 6: Cho đa thức: A(x) = a 2 x 3 +3ax 2 -6x-2a (a Q) Xác định a sao cho A(x) chia hết cho (x+1) +Đặt phép chia đa thức: a 2 x 3 +3ax 2 -6x-2a x+1 -a 2 x 3 +a 2 x 2 ax 2 +(3a-a 2 )x+(a 2 -3a-6) (3a-a 2 )x 2 -6x-2a -(3a-a 2 )x 2 +(3a-a 2 )x -a 2 +a+6 Để A(x) chia hết cho x+1 ta phải có: -a 2 +a+6=0 (a+2)(3-a)=0 a+2=0 a=-2 3-a=0 a=3 Vậy a=-2 hoặc a=3 thì A(x) chia hết cho x+1 Ví dụ 7: Phân tích đa thức 5x 3 -2x-3 thành nhân tử, Dễ thấy x=1 là một nghiệm , theo định lý Bơdu thì Trờng THCS Yên Lạc Năm học: 2005 2006. =========================================================== Chuyên đề: một số phơng pháp phân tích đa thức một biến thành nhân tử. Các ph ơng pháp: - Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử. - Thêm, bớt cùng một hạng tử. - Đổi biến số. - Hệ số bất định. - Xét giá trị riêng (Đối với một số đa thức nhiều biến). I) Phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử: Đối với các đa thức mà các hạng tử không có nhân tử chung, khi phân tích ra nhân tử ta thờng phải tách một hạng tử nào đó ra thành nhiều hạng tử khác để nhóm với các hạng tử đã có trong đa thức để cho trong các nhóm có nhân tử chung, từ đó giữa các nhóm có nhân tử chung mới hoặc xuất hiện các hằng đẳng thức quen thuộc. Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f(x) = 2x 2 - 3x + 1. Giải: Cách 1: Tách hạng tử thứ hai: -3x = -2x - x. Ta có f(x) = (2x 2 - 2x) - (x - 1) = 2x(x - 1) - (x - 1) = (x - 1)(2x - 1). Cách 2: Ta có f(x) = (x 2 - 2x + 1) + (x 2 - x) = (x - 1) 2 + x(x - 1) = (x - 1)[(x - 1) + x] = (x - 1)(2x - 1). Tổng quát: Để phân tích tam thức bậc hai f(x) = ax 2 + bx + c ra nhân tử, ta tách hạng tử bx thành b 1 x + b 2 x sao cho b 1 b 2 = ac Bài tập 1: Phân tích các đa thức sau ra nhân tử: a) 4x 2 - 4x - 3; b) 2x 2 - 5x - 3; c) 3x 2 - 5x - 2; d) 2x 2 + 5x + 2. Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f(x) = x 3 - x 2 - 4. Giải: Ta lần lợt kiểm tra với x = 1; 2; 4 ta thấy f(2) = 0. Đa thức f(x) có nghiệm x = 2, do đó khi phân tích ra nhân tử, f(x) chứa nhân tử x - 2. Từ đó: f(x) = x 3 - x 2 - 4 = (x 3 - 2x 2 ) + (x 2 - 2x) + (2x - 4) = x 2 (x - 2) + x (x - 2) + 2 (x - 2) = (x - 2)(x 2 + x + 2). Tổng quát: Nếu đa thức f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + + a 1 x + a 0 có nghiệm nguyên là x = x 0 thì x 0 là một ớc của hệ số tự do a 0 , khi phân tích f(x) ra nhân tử thì f(x) có chứa nhân tử x - x 0 . Vì vậy đối với những đa thức một biến bậc cao, ta nên tìm lấy một nghiệm của nó để định hớng việc phân tích ra nhân tử. Bài tập 2: Phân tích các đa thức sau ra nhân tử: a) x 3 + 2x - 3; b) x 3 - 7x + 6; c) x 3 - 7x - 6; (Nhiều cách) d) x 3 + 5x 2 + 8x + 4; e) x 3 - 9x 2 + 6x + 16; f) x 3 - x 2 - x - 2; g) x 3 + x 2 - x + 2; h) x 3 - 6x 2 - x + 30. =========================================================== Hoàng Văn Tài Bồi dỡng Kiến thức Toán lớp 8. 1 Trờng THCS Yên Lạc Năm học: 2005 2006. =========================================================== Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f(x) = 3x 3 - 7x 2 + 17x - 5. Giải: Theo ví dụ 2, ta thấy các số 1; 5 không là nghiệm của đa thức. Nh vậy đa thức không có nghiệm nguyên, tuy vậy đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ khác. Ta chứng minh đợc điều sau đây: Tổng quát: Nếu đa thức f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + + a 1 x + a 0 có nghiệm hữu tỉ là x = q p (dạng tối giản) thì p là một ớc của hệ số tự do a 0 còn q là ớc dơng của hệ số cao nhất a n . Khi phân tích f(x) ra nhân tử thì f(x) có chứa nhân tử qx - p. Trở về ví dụ 3: Xét các số 3 5 ; 3 1 , ta thấy 3 1 là nghiệm của đa thức, do đó khi phân tích ra nhân tử, đa thức chứa nhân tử 3x - 1. Từ đó: f(x) = 3x 3 - 7x 2 + 17x - 5 = (3x 3 - x 2 ) - (6x 2 - 2x) + (15x - 5) = x 2 (3x - 1) - 2x(3x - 1) + 5(3x - 1) = (3x - 1)(x 2 - 2x + 5). Bài Một số vấn đề về phân tích đa thức thành nhân tử Phần I : Đặt vấn đề I - Lí do chọn đề tài: Toán học là môn khoa học, là nền tảng cho các môn khoa học khác, có ứng dụng trong hầu hết các lĩnh vực của cuộc sống. Toán học giữ vai trò quan trọng trong mọi bậc học, làm thế nào để học đợc toán, học giỏi toán đó là vấn đề đặt ra mà không phải lúc nào cũng giải quyết đợc một cách đễ dàng. Với cơng vị là một giáo viên toán, tôi nhận thấy cần phải đầu t suy nghĩ hơn nữa để tìm ra phơng pháp tốt nhất phù hợp với từng đơn vị kiến thức, giúp các em tiếp thu kiến thức một cách chủ động, nhẹ nhàng có hiệu quả. Trong chơng trình đại số THCS, việc phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những nội dung kiến thức cơ bản. Phân tích đa thức thành nhân tử là cơ sở xây dựng nhiều nội dung kiến thức, nhiều dạng toán khác nhau trong chơng trình nh: - Quy đồng, rút gọn phân thức. - Giải phơng trình, bất phơng trình - Chứng minh bất đẳng thức - Tìm cực trị Nhiều khi việc phân tích đa thức thành nhân tử gặp nhiều khó khăn đối với học sinh, nhất là trong các trờng hợp đa thức cần phân tích có bậc cao, hệ số lớn, phức tạp, do đó nếu phân tích đa thức thành nhân tử dùng các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử thông thờng thì không thể giải quyết đợc. Vì vậy việc giáo việc cung cấp cho học sinh các phơng pháp phân tích cơ bản, hệ thống bài tập áp dụng từng phơng pháp sẽ giúp cho học sinh định hớng tốt trong việc phân tích đa thức thành nhân tử . Từ đó học sinh tự tin và phân tích đa thức thành nhân tử thành kỹ năng thành thạo trong việc việc phân tích đa thức thành nhân tử trong lớp 8,9 và nhiều vấn đề liên quan sau này II - Đối tợng nghiên cứu : - Học sinh khá, giỏi lớp 8 - Học sinh tham gia bồi dơng thi học sinh giỏi huyện III - Phạm vi nghiên cứu: Vành đa thức một ẩn với phân tích đa thức thành nhân tử số nguyên. 3 Nguyễn Văn Minh THCS Nghĩa Phúc, Nghĩa Hng, Nam Định Một số vấn đề về phân tích đa thức thành nhân tử Phần II : Nội dung I - Những cơ sở lí luận và thực tiễn: Khi giảng dạy phần phân tích đa thức thành nhân tử , phần bài tập trong SGK và SBTĐS lớp 8 là tơng đối đơn giản đối với đối tợng học sinh khá, giỏi. Nhng thực tế khi khai thác các dạng bài tập khác ta mới thấy sự phong phú đa dạng. Để giải đợc các thể loại này đòi hỏi giáo viên phải cung cấp cho học sinh các phơng pháp giải cho từng thể loại bài tập. Qua quá trình giảng dạy phần phân tích đa thức thành nhân tử với nhiệm vụ bồi dỡng học sinh lớp 8, tôi mạnh dạn đa ra một số phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho các dạng bài tập cơ bản thờng gặp. Theo tôi khi dạy giáo viên cần cung cấp thêm cho học sinh và yêu cầu ... + y)3 – x3 – y3 Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x4y4 + b) x2 + 3xy + 2y2 + 3xz + 5yz + 2z2 Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) 3x5 – 10x4 – 8x3 – 3x2 + 10x + b) (x + y)7 – x7... b3 g) a(b3 – c3) + b(c3 – a3) + c(a3 – b3) Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x8 + x + b) x10 + x5 + Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử a) 2x2 – 7xy + 3y2 + 5xz – 5yz + 2z2 b) (x + y... (x + y)3 – x3 – y3 Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x4y4 + b) x2 – 8xy + 15y2 + 2x – 4y – Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) 5x4 + 24x3 – 15x2 – 118x + 24 b) ab(a + b) + bc(b