Chủ đề: Rút gọn biểu thức - bài toán phụ

Các bài toán rút gọn, tính giá trị của biểu thức chứa số Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức.[r]

CHỦ ĐỀ : RÚT GỌN BIỂU THỨC _ BÀI TOÁN PHỤ A LÝ THUYẾT

1 CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI CĂN THỨC

1 neu A

neu A <  

    

A

A A

A

2 AB A B (Với A0;B0)

3 A  A

B B (Với A0;B0)

4 A B2  A B (Với B0)

5 

A B A B (Với A0;B0)

6  

A B A B (Với A0;B0)

7 A  AB

B B (Với A0;B0)

8 A  A B

B

B (Với B0)

9  

2

 

 

C A B

C

A B A B

(Với A0; AB2)

10    

 

C A B

C

A B

A B

(Với A0;B0; AB)

11  3  3 

2 XÁC ĐỊNH NHANH ĐIỀU KIỆN CỦA BIỂU THỨC

BIỂU THỨC - ĐKXĐ: VÍ DỤ

1 A ĐKXĐ: A0 Ví dụ: x2018 ĐKXĐ: x2018 A

B ĐKXĐ: B0 Ví dụ:

2 3  

x

x ĐKXĐ: x3

3 A

B ĐKXĐ: B0 Ví dụ:

2

 

x

x ĐKXĐ: x3

4 A

B ĐKXĐ: A0;B0 Ví dụ: 3

x

x ĐKXĐ:

0

3

 

   

 x

x x

5 A

B ĐKXĐ:

0 0

    

       

A B A B

Ví dụ:

2

 

x

x ĐKXĐ:

1

2

1

2

   

    

 

  

       

 

x

x x

x x

x

6

Cho a > ta có:

2    

  

x a

x a

x a

Ví dụ: x2 1     

x a

x a

7

Cho a > ta có:

2     

x a a x a Ví dụ:

2

4 2 2

    

x x

Chú ý 1: Giải phƣơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

1 Dạng tổng quát 1: A x( )  k A x( ) k (k 0)với k số Dạng tổng quát 2: A x( )  B x( ) A x( ) B x( )

3 Dạng tổng quát 3: A x( ) B x( )

Chú ý 2: Giải bất phƣơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

1 Dạng tổng quát 1:

( )  ( )  ( ) ( ) ( )

f x g x g x f x g x

Đặc biệt với số k 0thì f x( )    k k f x( )k

2 Dạng tổng quát 2:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

 

  

  

f x g x f x g x

f x g x

Đặc biệt với số k 0thì ( ) ( ) ( )

 

    



f x k f x k

f x k

3 Dạng tổng quát 3:

 Trường hợp f x( )  g x( )  f x( )2  g x( )2  Trường hợp f x( )  g x( )  f x( )2  g x( )2

Chú ý 3: Bất đẳng thức Cô – Si cho hai số a, b khơng âm ta có:

2

 

a b ab

Dấu “ = ” xảy  a b

Ví dụ: chox2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x x

Hƣớng dẫn

Vì x 1 0.Áp dụng bất đẳng thức Cơ – Si ta có A  x x.1 2

x x

Dấu “ = ” xảy    x x

x

Vậy Amin   2 x

Ví dụ: chox2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức B x x

Hƣớng dẫn

Cách giải sai: Vì x 2 0.Áp dụng bất đẳng thức Cơ – Si ta có B  x x.1 2

Dấu “ = ” xảy    x x

x (khơng thỏa mãn x2)

Vậy Bmin   2 x

Gợi ý cách giải đúng:

Dự đốn Bminđạt mức x2 ta có Bnx  1 x nx

x Dấu “ = ” xảy

1

    

  

nx x x

Do ta có

4

 

   

 

x x

B

x Áp dụng bất đẳng thức Cơ – Si ta có

4 1

2

4

  x  

x x x

Dấu “ = ” xảy

   x x

x (vì x2)

Vậy min 2

  

B x

Ví dụ: chox3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức C x x

Hƣớng dẫn

Tƣơng tự: Vì x 3 0.Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si ta có 10

9

 

     

 

x x

C x

x x

Dấu “ = ” xảy  x

Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ biểu thức 12

2

 



x D

x

với x0

Hƣớng dẫn

Gợi ý: Áp dụng bất đẳng thức Cơ – Si ta có 16 4

    



D x

x

Dấu “ = ” xảy  x

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Bước 2: Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức, rút gọn tử, phân tích tử thành nhân tử

Bước 3: Chia tử mẫu cho nhân tử chung tử mẫu Bước 4: Khi phân thức tối giản ta hồn thành việc rút gọn

Ví dụ: Rút gọn biểu thức 2 1

1

      

      



   

 

x x x

A x

x

x x x

Hƣớng dẫn Điều kiện:

1

    

x x

    

  

      

   

2

2

2

2

1

2

1

1

2 1

1 1

2

1

2

      

      



   

 

 

    

 

  

 



 

 

     



 

  

   

 

 

 

 

 

x x x

A x

x

x x x

x x x x x

A

x

x x

x

x x x x x

A

x

x x x x

x x

A

x

x x

A x

B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI

Các toán rút gọn, tính giá trị biểu thức chứa số Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức

a) A 5 b) B 4 12 c) C  19 3 d) D 6

a)  

6 5 5

A       

b)  

2

4 12 3

B       

c)  

2

19 4

C        

d)  

2

5 3

D       

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức

a) A 3 b) B 15

c) C  5 d) D 7 13 7 13

Hƣớng dẫn

a)  

2

4 3

A     

b) B 15   15 1 2  15 1

c)  

2

9 5

C      

d)

 

  2 2

1

7 13 13 14 13 14 13

1

13 13

2

D       

 

     

 

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức a) 5

5

A   

 

b)

5 6

B  

  

c) 1

1 2 3 99 100

C     

   

Hƣớng dẫn

a) 5 2

5

A        

   

b)

     

3

3

6

3

5 6

5 6

B

 

      

  

      

c)

       

1 1

1 2 3 99 100

2 100 99

C     

   

         

d)       

3

2

3 3

5 7

5 7

5 7 7

D        

     

Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức

a) A 2  2 b) B 5  5

c) C  14 6 5 21 d) 3 10

D   



Hƣớng dẫn

a) A 2  2  2   22 3 b) B 5  5  5 2 5 2

c) C  14 6 5 21 7 10 21   7   7 34

d)   

 2   

5 3

3 10

4

6 5 1

D

   

  

  

 

Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức

a) A 3  3 c)C35 2 7 35 27

b) B 5 3 29 12 5 d)

3

2 5

Hƣớng dẫn a) A 3  3  1  1 2

b) B 5 3 29 12 5  5 5  5 1 

c)       

3

2

3 3

14

5 7

5 7 7

C      

     

d)

      

3

2

3 3

4

2 5

2 5 5

D     

     

Ví dụ 6: Rút gọn biểu thức

a) A 3  74 b)

5 13 3 13

B     

c) C3 20 14 2 320 14 2 d) 3

9

D   

Hƣớng dẫn

a) A 3  3  2 3 2 3 2

b) B 5 13 3  3 13 3  1   3 1  3

      2

c) C3 20 14 2 320 14 2

  2    2

3 3

40

20 14 20 14 20 14 20 14



     

4 

d) 3

9

D   

  2    2

3 3

18

9 9



     

3



a) A 11 2  11 2 b)B 41 12 5  41 12 5

c)C 2  2 d)D 5 329 12 5  Hƣớng dẫn

a) A 11 2  11 2  3 2 3 6 b) B 41 12 5  41 12 5  6 5 6 5 2

c) C 2  2  2   22 3

d) D 5 329 12 5   5 3   5 1 

Các toán rút gọn chứa ẩn tốn phụ

Dạng 1: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC A KHI xx0

Phương pháp: Rút gọn giá trị biến (nếu cần) sau thay vào biểu thức cho thay vào

biểu thức cho tính kết

Ví dụ: Cho biểu thứcA2x x a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị A x3

Hƣớng dẫn

a) Ta có 4 x 4 x 4 x < 4 x <

x x x

A x x

x x x

    

 

    

  

 

b) Khi x3 ta có: A  3

Ví dụ: Cho biểu thức 2

4

2

x x x

A

x

x x

 

  



 

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị A x



a)     

  

1 2 2

1 2

4

2 2

x x x x x x

x x x x

A

x

x x x x

      

  

   



   

2 42  22

x x x

x

x x

  

 



  với ĐKXĐ: x0;x2

b) Ta có:    

2

2 3

2

x      x  

 Khi

2 x

 Ta có:

2 1 3

2 3

A      

  

Ví dụ: Cho biểu thức

 2

2

:

1 1

x x x

A

x x x x

   

  

   

 

a) Rút gọn A

b) Tính giá trị A biết x 5

Hƣớng dẫn

a)

 

     

    

2

2

2 1

2

:

1 1 1 1

x x x x x

x x x

A

x x x x x x x

      

      

    

     

     

    

2

1

2

4

1

x

x x

x x

x x

 

 

  với ĐKXĐ: x0;x1

b) Khi x       5 x x x 3 Ta có

6

A  

Ví dụ: Cho biểu thức

2

xy x y x

A

x y x y x y

  

  

  

 

a) Rút gọn A

b) Tính giá trị A biết x y 

a)

  

2 2

2 2

xy x y x xy x xy y x

A

x y x y x y x y x y x y

                              2

x y x x

x y x y

x y x y

                 

b) Ta có x y y

A x x



    

Khi

9

x y

y   x  Ta có

1

1

2 A

A

 

     

Ví dụ: Cho biểu thức

2

2 2

2 2

2 8

x x x

A

x x x x x x

    

      

     

 

a) Rút gọn A

b) Tính giá trị A biếtx 3.

Hƣớng dẫn                           

2 2

2 2 2 2 2 2

x 2x 2x x x 2

a) A .

x

2 x 4 x 4 x 2

x 2 4x x 1

x x 2 4x x 2 x 1

.

x

2 x 4 x 2 x 4 x

x 4 x 1 x 1

x 0, x 2

x

x 4 x

                                         

  2  

b) x  42 3  3 1  3 1 tmdk

A 3 1 3 3

2 3 1

  

 