MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ CHỨA CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA

Các công thức vận dụng a.. Khai phương một tích: A.[r]

(1)

- - Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

MỘT SỐ BÀI TỐN CĨ CHỨA CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA I LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa bậc hai: Với a0,

  

   

a x x a

x 2

2 Các công thức vận dụng a Hằng đẳng thức: A2  A

b Khai phương tích: A.B  A B với A0,B0 c Khai phương thương:

B A B

A 

với A0,B0 d Đưa thừa số từ vào từ dấu

B A B

A  với A0 ( A2.B  A B với A0) B

A B

A  với A < ( A2BA B với A < 0) e Khử mẫu biểu thức lấy căn:

B AB B

A

 với A.B0,B0 f Trục thức mẫu:

a)

B B A B

A 

với B >

b)  2 

B A

B A C B A

C

  



c)  

B A

B A C B A

C

 





3 Định nghĩa bậc ba: x3 a  x3 a

4 Tính chất bậc ba a 3

.B A B

A 

b

3 3

B A B

A 

với B0

II CÁC DẠNG TOÁN

1 BÀI TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC

Dạng phân tích tử mẫu thành nhân tử rút gọn

Ví dụ: Rút gọn biểu thức

x x x x

x

x 

   



1

2

(2)

- - Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

             2 1 2 1

1

x x x x

x x x

x x x x x

x x x

x x x x x x

x x x

x x x x                                    

Dạng phân tích mẫu thành nhân tử quy đồng sau rút gọn Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức

2 : 1 1                 x x x x x x x x

Với x0,x1 Hướng dẫn giải

                    

2 1

:

1 1

2

1 1

1

2 1 2

1

2

1

2

1 1 2 1

x x x

x x x x x

x x

x x x x

x x x

x x x x x

x

x x x

x x x x x

x

x x x

x x

x

x x x

x

x x x

x x                                                                         

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức

3

2

x x x x

     

(3)

     

        

3

2

3 3 1 2

1

3 3

1

3

1

x x x x

x x x x x x

x x

x x x x

x x

     

   

       



 

     



 

 



 

 



 

 



2 BÀI TỐN TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức

a)



 b) 3 2 6 3 Hướng dẫn giải

a)  

 

2

3

4 3 1

2

6 2 2( 1)



 

   

  

b)

     

      2  

3 6 3 2 3 3 12

3 2.3 3 3 3 3 3

       

            

Ví dụ 2: Cho     

2014 2014 2014

x x  y y  

Tính tổng x + y Hướng dẫn giải Ta có:

    

2 2

2014 2014 2014 2014

x x x x x x

y y y y y y

        

Từ (1) (2) suy ra: y y2  2014   x x2  2014  4

Từ (1) (3) suy ra:      

2014 2014

x x    y y  Cộng (4) với (5) thu gọn ta

0

(4)

3 BÀI TỐN CHỨNG MINH

Ví dụ 1: Chứng minh hiệu: 1 23 23

số hữu tỉ Hướng dẫn giải

Ta có: 1 3 3

2 9 7

2 3

 

    

      

 

    số hửu tỉ

Vậy : 1

23 23 số hửu tỉ Ví dụ 2: Chứng minh rằng:

51



là hai số đối Hướng dẫn giải

Ta có:   

    

4 5 4 5 1

2

0

5 5

    



   

  

Vậy: 51



là hai số đối

Ví dụ 3: Chứng minh tổng: 3

18 13  185 13 số nguyên tố Hướng dẫn giải

Đặt 3

18 13 18 13

x   

Ta có:

 

   

 

  

3

3 3

2

3

2

18 13 18 13

18 13 18 13 18 13 18 13 18 13 18 13

36 18 25.13 36

3 36

3 12

x

x x

x x x

   

         

  

 

   

    

3 x

   x23x120,x

3  x

Vậy: 3

18 13  185 13 số nguyên tố 4 BÀI TỐN GIẢI PHƢƠNG TRÌNH

4.1 Một vài phƣơng pháp a) Phương pháp nâng lũy thừa Ví dụ 1: Giải phương trình

2x  3 (1) Hướng dẫn giải

Điều kiện: x

(5)

Vậy x 3 nghiệm phương trình Ví dụ 2: Giải phương trình

4x 1 x 1 x2 (1) Hướng dẫn giải

Điều kiện: x2

 1

4 2

2 2

2

x x x

x x x x x

x x x

     

        

    

  2  

2

x x x

     x2 hai vế khơng âm

2

4

7

2

x x x x

x x

     

  

  

2

x  không thỏa mãn điều kiện Vậy phương trình vơ nghiệm

b) Phương pháp đưa phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ: Giải phương trình

1 2 2

x  x  x  x 

Hướng dẫn giải Điều kiện: x2

   

 

2

1 2 2

2 2

x x x x

x x

       

      

Với x       2 x x ta có

 1  x  2 x  2 Vì x  2 với x2

3

x x

  

  

x thỏa mãn điều kiện

Với x     2 x ta có  1  x   2 1 x 2

2 2

 thỏa mãn với 2 x3

Kết hợp hai trường hợp ta có: Nghiệm phương trình là: 2 x3 c) Phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ: Giải phương trình 8 x 3 5 x 3 Hƣớng dẫn giải

Đặt:

8 0,

(6)

Đặt:

5 0,

v  x  v v   x Ta có hệ phương trình: 2 2

2

13

2 u v u v

u v u

v  

    

 



 

   

 

  

Thay giá trị u,v ta tìm nghiệm phương trình x4 4.2 Một vài phƣơng pháp khác

a) Phương pháp sử dụng đối nghịch hai vế Ví dụ: Giải phương trình

2 2

2x 4x 3 3x 6x  7 2xx (1) Hướng dẫn giải

VT = 2x2 4x 3 3x2 6x 7 2x12  1 3x12    4 Dấu ‘=’ xảy x = -1

VP = -(x +1)2 + 3 Dấu ‘=’ xảy x = -1

Suy ra: 2x2 4x 3 3x2 6x  7 2xx2

2 2

2x 4x 3x 6x 2x x

          x =

Vậy x = nghiệm phương trình

b) Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số Ví dụ: Giải phương trình

3 3

2x  1 x 1 Hướng dẫn giải

+) Với x > ta có: 3

2x  1 1; 0

x suy ra: VT = 3

2x  1 x 1 = VP Vậy phương trình vơ nghiệm

+) Với x < ta có: 2x3 11; 0

x suy ra: VT = 3 13 1

x

x = VP

Vậy phương trình vơ nghiệm

+) Với x = ta có : VT = 2x313 x 1 = VP Vậy Phương trình có nghiệm x =

c) Phương pháp bất đẳng thức Ví dụ: Giải phương trình

2

7 x x 1 x 6x13 (1) Hướng dẫn giải

Điều kiện: 1x7

Ta có: ab2 2a2b2 với a, suy b

   

4

16

2

7

    

       

x x

x x x

x

Mặt khác : x26x13x3244 Vậy phương trình (1) tương đương với:

3

13

7x x  x2  x   x

Vì x = thỏa mãn điều kiện

(7)

Ví dụ 1: Tính tổng

a) 1 1

1         2013 2014 Hướng dẫn giải

1 1 1

1 2 3 4 2013 2014

2 2014 2013

1 1 1

2014

    

    

     

 

b) 12 12 12 12 12 12 1 2 2

1 2 3 2013 2014

           

Hướng dẫn giải Với n  N* ta có:

 

   

 

   

 

   

2

2 2 2

2

1 2 1 1

1 1

1

1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

1 1

1 1 1

1

n n n n

n n n n

n n n n n n

n n n n

n n n n n n

n n

   

   

  

   

      

  



Do :

2 2 2 2

1 1 1 1

1 1

1 2 3 2013 2014

1 1 1 1

1 1

1 2 3 2013 2014

1 1.2013

2014 2013 2013

2014

           

           

  

 

c) 1

2 1 2 3 22 3 33  2014 20132013 2014 Hướng dẫn giải

Với n  N* ta có:

        

1 1 1

1 1 1 1

n n

n n n n n n n n n n n n n n

 

   

         

(8)

- - Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

1 1

2 1 2 3 2014 2013 2013 2014

1 1 1 1

1 2 3 2013 2014

1

2014 2014

2014

   

        

 

Ví dụ 2: Cho 1 1

1.2013 2.2012 2012.2 2013.1

S     

Hãy so sánh S

2014 2013 Hướng dẫn giải

Bất đẳng thức Cauchy viết dạng: 1 a b a b  

với ab Áp dụng ta có: S > 2.2013

2014

C BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Rút gọn biểu thức

a)  

2 2 1

2

1

x

x x x x



   

  

b) :

5

x x x x

x x x x x

      

  

   

        

   

Bài 2: Chứng minh 3 2303 6 2303 6

27   27  số nguyên

Bài 3: Chứng minh rằng: x 1 3 1 nghiệm phương trình 33 20 x

x Bài 4: Giải phương trình

a) 3x2 21x182 x27x7 2 b) x1 5x1 3x2

c) 3x2 6x7 5x2 10x14 42xx2

Bài 5: Cho: 1 1

2 3 4 2014 2015

P    

   

P có phải số hữu tỉ không? Bài 6: Chứng minh

1 1

2004 2005

2 1006009

      

Bài 7: Chứng minh rằng: n1,nN thì:  

1 1 1