MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤTBẬC HAI ĐỂ CÁC BẠN HỌC SINH THAM KHẢO VÀ RÈN LUYỆN. CÁC BẠN CÓ THỂ THAM KHẢO THÊM CÁC TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC KHÁC TRÊN TRANG FB: HOCMAINGUYENCHITHANH. CHÚC CÁC BẠN THÀNH CÔNG
5.9. 2015 THẦY GIÁO NGUYỄN CHÍ THANH-01688.783.999 SÂN CHƠ I T À I N Ă N G V I Ệ T Page 7 1. Định nghĩa Cho D R, D . Hàm số f xác định trên D là một qui tắc đặt tương ứng mỗi số x D với một và chỉ một số y R. x đgl biến số (đối số), y đgl giá trị của hàm số f tại x. Kí hiệu: y = f(x). D đgl tập xác định của hàm số. T = y f x x D() đgl tập giá trị của hàm số. 2. Cách cho hàm số Cho bằng bảng Cho bằng biểu đồ Cho bằng công thức y = f(x). Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa. 3. Đồ thị của hàm số Đồ thị của hàm số y = f(x) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm M x f x; ( ) trên mặt phẳng toạ độ với mọi x D. 4. Sƣ biến thiên của hàm số Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu x x K x x f x f x 1 2 1 2 1 2 , : ( ) ( ) Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu x x K x x f x f x 1 2 1 2 1 2 , : ( ) ( ) 5. Tính chẵn lẻ của hàm số Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D. Hàm số f đgl hàm số chẵn nếu với x D thì –x D và f(–x) = f(x). Hàm số f đgl hàm số lẻ nếu với x D thì –x D và f(–x) = –f(x). Chú ý: + Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. + Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng. 6. Tịnh tiến đồ thị hàm số: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đồ thị (C) của hàm số ()y f x ; p và q là hai số dương tùy ý. Khi đó: a. Tịnh tiến (C) lên trên q đơn vị thì được đồ thị hàm số ()y f x q . b. Tịnh tiến (C) xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị hàm số ()y f x q . c. Tịnh tiến (C) sang trái p đơn vị thì được đồ thị hàm số ()y f x p . d. Tịnh tiến (C) sang phải p đơn vị thì được đồ thị hàm số ()y f x p . VẤN ĐỀ 1: Tìm tập xác định của hàm số Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x) là tìm tất cả những giá trị của biến số x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa: D = x R f x coù nghóa() . Điều kiện xác định của một số hàm số thường gặp: 1. Tập xác định của hàm số 2 ( ),( ) n y f x n Z là { | ( ) 0}D x R f x . CHƢƠNG II HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI I. HÀM SỐ 5.9.2015 THẦY GIÁO NGUYỄN CHÍ THANH-01688.783.999 S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T Page 8 2. Tập xác định của hàm số 2 1 ,( ) () n y n Z fx là { | ( ) 0}D x R f x . 3. Nếu các hàm số ()y f x và ()y g x có các tập xác định là f D và g D thì tập xác định của hàm số ( ) ( ), ( ). ( )y f x g x y f x g x là fg D D D . 4. Để tìm tập xác định D của hàm số ()y f x ta có thể tìm tập K các giá trị của đối số x để hàm số ()y f x không xác định. Khi đó tập xác định \D R K . - Tập xác định của hàm số 1 () y fx là \{ | ( ) 0}D R x R f x . - Tập xác định của hàm số () () fx y gx là ( )\{ | ( ) 0} fg D D D x R g x . Chú ý: + Đôi khi ta sử dụng phối hợp các điều kiện với nhau. + Điều kiện để hàm số xác định trên tập A là A D. + A.B 0 A B 0 0 . Baøi 1. Tình giá trị của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra: a) f x x( ) 5 . Tính f(0), f(2), f(–2), f(3). b) x fx xx 2 1 () 2 3 1 . Tính f(2), f(0), f(3), f(–2). c) f x x x( ) 2 1 3 2 . Tính f(2), f(–2), f(0), f(1). d) khi x x f x x khi x x khi x 2 2 0 1 ( ) 1 0 2 12 . Tính f(–2), f(0), f(1), f(2) f(3). e) khi x f x khi x khi x 10 ( ) 0 0 10 . Tính f(–2), f(–1), f(0), f(2), f(5). Baøi 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau: a) x y x 21 32 b) x y x 3 52 c) y x 4 4 d) x y xx 2 32 e) x y xx 2 1 2 5 2 f) x y xx 2 3 1 g) x y x 3 1 1 h) x y x x x 2 21 ( 2)( 4 3) i) y xx 42 1 23 Baøi 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau: a) yx23 b) yx23 c) y x x41 d) yx x 1 1 3 e) y xx 1 ( 2) 1 f) y x x3 2 2 g) x y xx 52 ( 2) 1 h) yx x 1 21 3 i) yx x 2 1 3 4 5.9. 2015 THẦY GIÁO NGUYỄN CHÍ THANH-01688.783.999 SÂN CHƠ I T À I N Ă N G V I Ệ T Page 9 Baøi 4. Tìm a để hàm số xác định trên tập K đã chỉ ra: a) x y x x a 2 21 62 ; K = R. ĐS: a > 11 b) x y x ax 2 31 24 ; K = R. ĐS: –2 < a < 2 c) y x a x a21 ; K = (0; +). ĐS: a 1 d) xa y x a xa 2 3 4 1 ; K = (0; +). ĐS: a 4 1 3 e) xa y xa 2 1 ; K = (–1; 0). ĐS: a 0 hoặc a 1 f) y x a xa 1 26 ; K = (–1; 0). ĐS: –3 a –1 e) y x a xa 1 21 ; K = (1; +). ĐS: –1 a 1 Bài 5: Tìm tập xác định của hàm số: 2 25 ,0 14 42 ,0 11 xx x xx y xx x x Bài 6: Cho hàm số ( 1) 2y m x m mx m tìm m để hàm số xác định với 1x . BTVN: Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số a. 2 1 ( 1) y x b. 22y x x c. 2 1y x x x d. 1 1 1 yx xx e. 2 2 1 34 4 y x x x f. 11 11 xx y xx g. 12yx h. 31 4 x y xx Bài 2: Tìm các giá trị của m để hàm số sau xác định với mọi x > 0 a. 21y x m x m b. 2 3 4 1 xm y x m xm Bài 3: Tìm m để hàm số sau xác định trên khoảng (-1; 0) 1 26y x m xm 5.9.2015 THẦY GIÁO NGUYỄN CHÍ THANH-01688.783.999 S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T Page 10 VẤN ĐỀ 2: Xét sự biến thiên của hàm số Cho hàm số f xác định trên K. y = f(x) đồng biến trên K x x K x x f x f x 1 2 1 2 1 2 , : ( ) ( ) f x f x x x K x x xx 21 1 2 1 2 21 ( ) ( ) , : 0 y = f(x) nghịch biến trên K x x K x x f x f x 1 2 1 2 1 2 , : ( ) ( ) f x f x x x K x x xx 21 1 2 1 2 21 ( ) ( ) , : 0 Phƣơng pháp giải: Cách 1: Sử dụng định nghĩa. Cách 2: Thực hiện theo các bước: Bƣớc 1: Lấy mọi 12 ,x x K với 12 xx ta thiết lập tỷ số: 21 21 ( ) ( )f x f x A xx Bƣớc 2: Khi đó -Nếu A > 0 thì hàm số đồng biến trên K. -Nếu A < 0 thì hàm số nghịch biến trên K. Bảng biến thiên: Baøi 1. Xét sự biến thiên của các hàm số sau trên các khoảng đã chỉ ra: a) yx23 ; R. b) yx5 ; R. c) y x x 2 4 ; (–; 2), (2; +). d) y x x 2 2 4 1 ; (–; 1), (1; +). e) y x 4 1 ; (–; –1), (–1; +). f) y x 3 2 ; (–; 2), (2; +). Baøi 2. Với giá trị nào của m thì các hàm số sau đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định): a) y m x( 2) 5 b) y m x m( 1) 2 c) m y x 2 d) m y x 1 BTVN: Bài 1: Xét sự biến thiên của hàm số 1 () 1 x fx x trên mỗi khoảng ;1 và 1; . x a b y Hàm số đồng biến trên (a;b) x a b y Hàm số nghịch biến trên (a;b) 5.9. 2015 THẦY GIÁO NGUYỄN CHÍ THANH-01688.783.999 SÂN CHƠ I T À I N Ă N G V I Ệ T Page 11 Bài 2. Cho hai hàm số ()y f x và ()y g x cùng xác định và đồng biến trên K. a) Chứng minh rằng hàm số ( ) ( ) ( )h x f x g x cũng đồng biến trên K. b) Giả thiết thêm rằng cả hai hàm số ()y f x và ()y g x là dương trên K, nghĩa là: , ( ) 0x K f x và ( ) 0gx . Chứng minh rằng hàm số ( ) ( ). ( )k x f x g x cũng đồng biến trến K. c) Giả thiết thêm rằng cả hai hàm số ()y f x và ()y g x là âm trên K, nghĩa là: , ( ) 0x K f x và ( ) 0gx . Chứng minh rằng hàm số ( ) ( ). ( )k x f x g x nghịch biến trến K. Bài 3. Xét sự biến thiên của hàm số 1 yx x trên mỗi khoảng sau: a) ;1 . b) 1;0 . c) 0;1 . d) 1; . VẤN ĐỀ 3: Xét tính chẵn lẻ của hàm số Để xét tính chẵn lẻ của hàm số y = f(x) ta tiến hành các bước như sau: Tìm tập xác định D của hàm số và xét xem D có là tập đối xứng hay không. Nếu D là tập đối xứng thì so sánh f(–x) với f(x) (x bất kì thuộc D). + Nếu f(–x) = f(x), x D thì f là hàm số chẵn. + Nếu f(–x) = –f(x), x D thì f là hàm số lẻ. Chú ý: + Tập đối xứng là tập thoả mãn điều kiện: Với x D thì –x D. + Nếu x D mà f(–x) f(x) thì f là hàm số không chẵn không lẻ. Baøi 1. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau: a) y x x 42 42 b) y x x 3 23 c) y x x22 d) y x x2 1 2 1 e) yx 2 ( 1) f) y x x 2 g) x y x 2 4 4 h) xx y xx 11 11 i) y x x 2 2 Bài 2. Cho hai hàm số ()y f x và ()y g x có cùng tập xác định D. Hàm số ()y h x với ( ) ( ) ( )h x f x g x với mọi xD gọi là tổng của hai hàm số đã cho. Chứng minh rằng: a) Tổng của hai hàm số chẵn là một hàm số chẵn. b) Tổng của hai hàm số lẻ là một hàm số lẻ. Bài 3. Cho hai hàm số ()y f x và ()y g x có cùng tập xác định D. Hàm số ()y h x với ( ) ( ). ( )h x f x g x với mọi xD gọi là tích của hai hàm số đã cho. Chứng minh rằng: a) Tích của hai hàm số chẵn là một hàm số chẵn. b) Tích của hai hàm số lẻ là một hàm số chẵn. c) Tích của một hàm số lẻ và một hàm số chẵn là một hàm số lẻ. 1. Hàm số bậc nhất y = ax + b (a 0) II. HÀM SỐ BẬC NHẤT 5.9.2015 THẦY GIÁO NGUYỄN CHÍ THANH-01688.783.999 S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T Page 12 Tập xác định: D = R. Sự biến thiên: + Khi a > 0, hàm số đồng biến trên R. + Khi a < 0, hàm số nghịch biến trên R. Đồ thị là đường thẳng có hệ số góc bằng a, cắt trục tung tại điểm B(0; b). Chú ý: Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b và (d ): y = a x + b : + (d) song song với (d ) a = a và b b . + (d) trùng với (d ) a = a và b = b . + (d) cắt (d ) a a . 2. Hàm số y ax b (a 0) b ax b khi x a y ax b b ax b khi x a () Chú ý: Để vẽ đồ thị của hàm số y ax b ta có thể vẽ hai đường thẳng y = ax + b và y = –ax – b, rồi xoá đi hai phần đường thẳng nằm ở phía dưới trục hoành. Baøi 1. Vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) yx27 b) yx35 c) x y 3 2 d) x y 5 3 Baøi 2. Tìm toạ độ giao điểm của các cặp đường thẳng sau: a) y x y x3 2; 2 3 b) y x y x3 2; 4( 3) c) y x y x2 ; 3 d) xx yy 35 ; 23 Baøi 3. Trong mỗi trường hợp sau, tìm giá trị k để đồ thị của hàm số y x k x2 ( 1) : a) Đi qua gốc tọa độ O b) Đi qua điểm M(–2 ; 3) c) Song song với đường thẳng yx2. Baøi 4. Xác định a và b để đồ thị của hàm số y ax b : a) Đi qua hai điểm A(–1; –20), B(3; 8). b) Đi qua điểm M(4; –3) và song song với đường thẳng d: yx 2 1 3 . c) Cắt đường thẳng d 1 : yx 2 5 tại điểm có hoành độ bằng –2 và cắt đường thẳng d 2 : yx–3 4 tại điểm có tung độ bằng –2. d) Song song với đường thẳng yx 1 2 và đi qua giao điểm của hai đường thẳng yx 1 1 2 và yx35 . Baøi 5. Trong mỗi trường hợp sau, tìm các giá trị của m sao cho ba đường thẳng sau phân biệt và đồng qui: a) y x y x y mx2 ; 3; 5 b) y x y mx y x m–5( 1); 3; 3 c) y x y x y m x2 1; 8 ; (3 2 ) 2 d) y m x m y x y x(5 3 ) 2; 11; 3 5.9. 2015 THẦY GIÁO NGUYỄN CHÍ THANH-01688.783.999 SÂN CHƠ I T À I N Ă N G V I Ệ T Page 13 e) y x y x y m x m 2 5; 2 7; ( 2) 4 Baøi 6. Tìm điểm sao cho đường thẳng sau luôn đi qua dù m lấy bất cứ giá trị nào: a) y mx m21 b) y mx x3 c) y m x m(2 5) 3 d) y m x( 2) e) y m x(2 3) 2 f) y m x m( 1) 2 Baøi 7. Với giá trị nào của m thì hàm số sau đồng biến? nghịch biến? a) y m x m(2 3) 1 b) y m x m(2 5) 3 c) y mx x3 d) y m x( 2) Baøi 8. Tìm các cặp đường thẳng song song trong các đường thẳng cho sau đây: a) yx3 6 1 0 b) yx0,5 4 c) x y 3 2 d) yx26 e) xy21 f) yx0,5 1 Baøi 9. Với giá trị nào của m thì đồ thị của các cặp hàm số sau song song với nhau: a) y m x m y x(3 1) 3; 2 1 b) m m m m y x y x m m m m 2( 2) 3 5 4 ; 1 1 3 1 3 1 c) y m x y m x m( 2); (2 3) 1 Baøi 10. Vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) x khi x y khi x x khi x 1 1 1 2 12 b) x khi x y khi x x khi x 2 2 1 0 1 2 22 c) yx35 d) yx21 e) yx 15 23 22 f) y x x21 g) y x x 1 h) y x x x11 y ax bx c 2 (a 0) Tập xác định: D = R Sự biến thiên: Đồ thị là một parabol có đỉnh b I aa ; 24 , nhận đường thẳng b x a2 làm trục đối xứng, hướng bề lõm lên trên khi a > 0, xuông dưới khi a < 0. Chú ý: Để vẽ đường parabol ta có thể thực hiện các bước như sau: – Xác định toạ độ đỉnh b I aa ; 24 . – Xác định trục đối xứng b x a2 và hướng bề lõm của parabol. – Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn, giao điểm của parabol với các trục toạ độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục trục đối xứng). III. HÀM SỐ BẬC HAI 5.9.2015 THẦY GIÁO NGUYỄN CHÍ THANH-01688.783.999 S Â N C H Ơ I T À I N Ă N G V I Ệ T Page 14 – Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để vẽ parabol. Baøi 1. Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) y x x 2 2 b) y x x 2 23 c) y x x 2 22 d) y x x 2 1 22 2 e) y x x 2 44 f) y x x 2 41 Baøi 2. Tìm toạ độ giao điểm của các cặp đồ thị của các hàm số sau: a) y x y x x 2 1; 2 1 b) y x y x x 2 3; 4 1 c) y x y x x 2 2 5; 4 4 d) y x x y x x 22 2 1; 4 4 e) y x x y x x 22 3 4 1; 3 2 1 f) y x x y x x 22 2 1; 1 Baøi 3. Xác định parabol (P) biết: a) (P): y ax bx 2 2 đi qua điểm A(1; 0) và có trục đối xứng x 3 2 . b) (P): y ax bx 2 3 đi qua điểm A(–1; 9) và có trục đối xứng x 2 . c) (P): y ax bx c 2 đi qua điểm A(0; 5) và có đỉnh I(3; –4). d) (P): y ax bx c 2 đi qua điểm A(2; –3) và có đỉnh I(1; –4). e) (P): y ax bx c 2 đi qua các điểm A(1; 1), B(–1; –3), O(0; 0). f) (P): y x bx c 2 đi qua điểm A(1; 0) và đỉnh I có tung độ bằng –1. Baøi 4. Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị của mỗi hàm số sau luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và đỉnh I của đồ thị luôn chạy trên một đường thẳng cố định: a) m y x mx 2 2 1 4 b) y x mx m 22 21 Baøi 5. Vẽ đồ thị của hàm số y x x 2 56 . Hãy sử dụng đồ thị để biện luận theo tham số m, số điểm chung của parabol y x x 2 56 và đường thẳng ym . Baøi 6. Vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) y x x 2 21 b) y x x 2 c) y x x 2 21 d) x neáu x y x x neáu x 2 2 21 2 2 3 1 e) x neáu x y x x neáu x 2 2 1 0 4 1 0 f) x khi x y x x khi x 2 20 0 BÀI TẬP ÔN CHƢƠNG II Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau: a) yx x 4 2 4 b) xx y x 11 c) xx y x x x 2 2 3 1 d) xx y x 2 23 25 e) xx y x 2 3 2 1 f) x y xx 21 4 Bài 2. Xét sự biến thiên của các hàm số sau: 5.9. 2015 THẦY GIÁO NGUYỄN CHÍ THANH-01688.783.999 SÂN CHƠ I T À I N Ă N G V I Ệ T Page 15 a) y x x 2 41 trên (; 2) b) x y x 1 1 trên (1; +) c) y x 1 1 d) yx32 e) y x 1 2 f) x y x 3 2 trên (2; +∞) Bài 3. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau: a) xx y x 42 2 2 1 b) y x x33 c) y x x + x 2 ( 2 ) d) xx y xx 11 11 e) xx y x 3 2 1 f) yx2 Bài 4. Giả sử y = f(x) là hàm số xác định trên tập đối xứng D. Chứng minh rằng: a) Hàm số F x f x f x 1 ( ) ( ) ( ) 2 là hàm số chẵn xác định trên D. b) Hàm số G x f x f x 1 ( ) ( ) ( ) 2 là hàm số lẻ xác định trên D. c) Hàm số f(x) có thể phân tích thành tổng của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ. Bài 5. Cho hàm số y ax bx c 2 (P). Tìm a, b, c Tìm a, b, c thoả điều kiện được chỉ ra. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số vừa tìm được. Tìm m để đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Xác định toạ độ trung điểm I của đoạn AB. a) (P) có đỉnh S 13 ; 24 và đi qua điểm A(1; 1); d: y mx . b) (P) có đỉnh S(1; 1) và đi qua điểm A(0; 2); d: y x m2 . . của hai hàm số đã cho. Chứng minh rằng: a) Tích của hai hàm số chẵn là một hàm số chẵn. b) Tích của hai hàm số lẻ là một hàm số chẵn. c) Tích của một hàm số lẻ và một hàm số chẵn là một hàm số. rằng: a) Tổng của hai hàm số chẵn là một hàm số chẵn. b) Tổng của hai hàm số lẻ là một hàm số lẻ. Bài 3. Cho hai hàm số ()y f x và ()y g x có cùng tập xác định D. Hàm số ()y h x với. chẵn lẻ của hàm số Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D. Hàm số f đgl hàm số chẵn nếu với x D thì –x D và f(–x) = f(x). Hàm số f đgl hàm số lẻ nếu với x D thì –x D và f(–x)