của phương trình nào dưới đây.. A.[r]
(1)- PHẦN 1:
ĐÁP ÁN
TỔNG ƠN:100 CÂU TRẮC NGHIỆM TỐN 12 (TIẾP THEO)(đã gửi lần 5)
1.D 2.A 3.D 4.D 5.C 6.D 7.C 8.A 9.A 10.C
11.C 12.A 13.C 14.C 15.D 16.B 17.A 18.D 19.B 20.D 21.C 22.C 23.D 24.A 25.A 26.D 27.D 28.C 29.D 30.B 31.C 32.C 33.D 34.A 35.D 36.D 37.D 38.D 39.B 40.D 41.A 42.D 43.A 44.B 45.A 46.A 47.B 48.C 49.D 50.C 51 52.D 53.B 54.C 55.C 56.D 57.C 58.B 59.C 60.A 61.A 62.A 63.A 64.A 65.A 66.A 67.B 68.C 69.B 70.D 71.A 72.A 73.A 74.A 75.A 76.A 77.B 78.C 79.D 80.C 81.A 82.A 83.A 84.A 85.A 86.A 87.A 88.A 89.A 90.A 91.A 92.A 93.D 94.C 95.A 96.D 97.D 98.A 99.D 100.B PHẦN 2:Các em xem thật kỹ phần kiến thức tích phân, xem ví dụ mẫu giải làm tập áp dụng vào tập nhé, chúc em học tốt
BÀI 2: TÍCH PHÂN
A KIẾN THỨC CƠ BẢN
1) Định nghĩa: Cho hàm số f liên tục khoảng K ,a b hai số thuộc K Nếu F nguyên hàm f K hiệu số F b F a gọi tích phân hàm số f từ a đến b kí hiệu d
b
a
f x x
Ta gọi: a cận dưới, b cận trên, f hàm số dấu tích phân, f x dx biểu thức
dưới dấu tích phân, x biến số lấy tích phân Nhận xét :
a) Nếu a b ta gọi d
b
a
f x x
tích phân f đoạn a b ; b) Hiệu số F b F a kí hiệu F x ba Khi : d
b
b a a
f x xF x F b F a
c) Tích phân không phụ thuộc biến số, tức là:
d d d
b b b
a a a
f x x f t t f u u F b F a
(2)- 2) Tính chất: Cho k số:
) ( ) ) ( ) ( )
c) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )
a b a
a a b
b b b b b
a a a a a
a f x dx b f x dx f x dx
k f x dx k f x dx d f x g x dx f x dx g x dx
e) Tính chất chèn cận: ( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
VD1:
1
1 3
0
1
d
3 3
x
I x x
VD2:
Cho
2
1
d 3, d
f x x f x x
Tính
5
d I f x x
5
1
d d d
I f x x f x x f x x
VD3: Cho hàm số f x liên tục đoạn 0;10 thỏa mãn
10
d f x x
;
6
d f x x
Tính
giá trị biểu thức
2 10
0
d d
P f x x f x x
10 10 10
0 0
d d d d d
f x x f x x f x x f x x f x x P P
3 Tích phân hàm chứa dấu trị tuyệt đối
Tính tích phân ( )
b
a
I f x dx
+ Bước 1: Xét dấu f x khoảng a b ; - Giải phương trình f x 0 x xi a b; - Lập bảng xét dấu f x khoảng a b ;
+ Bước 2: Chèn cận xi bỏ dấu trị tuyệt đối (căn vào BXD) ta tích phân
d d d
i
i
x
b b
a a x
I f x x f x x f x x
VD:
2
2 d
I x x x
(3)-
2
2
1 x
x x
x
BXD:
x 4 3
2
2
x x
Suy ra:
3
2 2
4
2 d d d
I x x x x x x x x x
3
2 2
4
2 d d d
x x x x x x x x x
-3
3 3
2 2
-4 -3
7 32 46
3 3
3 3 3 3
x x x
x x x x x x
B MỌT SỐ PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN:
1) PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN
Yêu cầu : Tính tích phân 1 2 d
b
a
I f x f x x Phƣơng pháp:
+ Biến đổi dạng d
b
a
I f u x u x x
+ Đặt t u x dt u x d x + Đổi cận:
x a t u a t
x b t u b t
+ Khi đó:
2
1
d
t
t
I f t t tính phân đơn giản
VD1:
1
4
2
0
2
3
3 5
2
1
2
2
2 x=0 t=2 x=1 t=3
1 1 211
2 5 10
I x x dx x xdx
t x
dt xdx t
I dt
(4)-
7
2
3
0
2 3
2
2
2 4
2
1 1
1
1.2
2
1 x=0 t=1 x= t=2
1 1 3.2 3.1 45
.3
2 2 4
I x x dx x xdx
t x
t x
t dt xdx
t
I t t dt t dt
VD3: Biết
3 2
d ln ln
x
x a b
x
, ,a b Khi đó, a b đồng thời hai nghiệm
của phương trình đây?
A x2 4x 3 B. 2
x x C
x x D x2 2x 3
3
2
2
2
8
3
3
1
d d ln ln
1
1 x=2 t=3 x=3 t=8
1 1 1
ln ln ln ln ln ln ln
2 2 2 2
3
,
2
x x
x x a b
x x
t x
dt xdx
dt
I t
t
a b
VD4: Biết
1
3
d 3ln
6
x a
x
x x b
,a b hai số nguyên dương a
b phân số tối
giản ính ab ta kết
A ab 5 B ab27 C ab6 D. ab12
1
2
0
4
4 4
2 2
3 3
3
d d 3ln
6
3 x=0 t=3 x=1 t=4
3 3 10 10 10 10 10
I d d d 3ln 3ln 3ln
4
x x a
x x
x x x b
t x
dt dx
t t
t t t t
t t t t t
10 10
3ln 3ln 3ln
4 3
4,
a b
(5)-
VD5: Cho
2
1
ln
d ln
e
x
I x
x x
có kết dạng I lnab với ,a b Q Khẳng định sau
đây đúng:
A 2a3b3 B. b
a C
2
4a 9b 11. D a b1
2
1
3
3
2
2 2
ln ln
d d ln
ln ln
ln x=1
x=e
2 2 2
ln ln ln ln ln
3
3 ln
2
3
,
2
e e
x x
I x x a b
x
x x x
t x t
dt dx t
x t
I dt dt t
t t t t
a b
VD6: Cho
9
d 27
f x x
Tính
0
3 d
f x x
A I 27 B I 3 C I 9 D I 3
0
3
0
9
1
3 d -3 d
3
3 x=-3 t=9 x=0 t=0
1 1
.27
3 3
f x x f x x
t x
dt dx
I f t dt f t dt
VD7: Cho f x hàm số liên tục
2
d
f x x
3
2 d 10 f x x
ính giá trị
của
2
3 d I f x x
(6)-
3
1
6
2
1
2 d 10 2d 10
2 x=1 t=2
2 x=3 t=6
10 20
2
f x x f x x
t x
dt dx
f t dt f t dt
2
0
6
0
1
3 d 3d
3
3 x=0 t=0 x=2 t=6
1 1
5 20
3 3
I f x x f x x
t x
dt dx
I f t dt
VD8: Cho
1
d
f x x
Tính
6
sin cos3 d
I f x x x
A I 5 B I 9 C. I 3 D I 2
6
0
1
1
sin cos3xd sin 3cos3xd
sin x=0 t=0 os3x x= t=1
6
1
dt
3
f x x f x x
t x
dt c dx
I f t
VD9: Cho biết
1
1 d
2
xf x x
Tính tích phân
2
6
sin sin d
I x f x x
A I 2 B
I C
2
(7)-
2
6
1 1
1 1
2 2
sin sin d 2sin sin osxd
1 sin x=
6
dt=cosxdx x=
1
2sin sin osxd
2
I x f x x x f x c x
t x t
t
I x f x c x t f t dt t f t dt
2) PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN
Yêu cầu: Tính tích phân d
b
a
I f x x Phƣơng pháp: Đặt x t dx t dt
+ Đổi cận:
2
x a t t
x b t t
+ Khi đó:
2
1
d
t
t
I f t t t
Một số cách đổi biển cần nhớ: Gặp 2 2
a x đặt x atan ,t t 2;
Gặp 2
a x đặt sin , ;
2
xa t t
VD1: Tính tích phân
1
1 d
I x
x
Đặt
3 tan , ; d tan d
2
x t t x t t
Đổi cận: x 0 t 0;
6
x t Suy ra:
6
2
0
1
tan d d
3 3tan
I t t t
t
VD2: Tính tích phân
1
2
1
I x dx
Đặt sin , ; d cos d
2
x t t x t t
(8)- Đổi cận: x 0 t 0;
2
x t
Suy ra:
2 2 2 2
2
0
0 0
1 cos 1
1 sin cos d cos d d sin
2 4
t
I x t t t t t t t
3) PHƢƠNG PHÁP TỪNG PHẦN ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN
Công thức phần:
d d
b b
b a
a a
u x v x xu x v x v x u x x
Viết gọn: d d
b b
b a
a a
u v uv v u
Áp dụng: Tính tích phân d
b
a
I f x x Phƣơng pháp:
+ Bƣớc 1: Biến đổi 1 2 d
b
a
I f x f x x
+ Bƣớc 2: Đặt
1
2
d d
d d
u f x x u f x
dv f x x v f x x
(Chọn dv cho v dễ lấy nguyên hàm) + Bƣớc 3: Khi d
b b a
a
I uv v u
VD1: Tính tích phân
1
2
2 2
1
1
2
2
1
1
2
2 ln
1 ln
2
4
4 ln ln
1
4 ln 4 ln ln1 4
2 2
7
4
2 2
e
e e
e e
e e
I x xdx
du dx
u x
x
dv x dx
v x x
I x x x x x dx x x x x dx
x
x e
x x x x e e e e
e
e e e e
(9)-
VD2: Tính tích phân
1
5
5
1 1
1
5 5
0
0 0
1
5 5 5
0
0
3
3
3
1
1 1
3 3
5 5
1 3 32 17
3
5 25 5 25 25 25 25
x
x x
x x x x
x x
I x e dx
du dx
u x
v e
dv e dx
I x e e dx x e e dx
x e e e e e
VD3: Cho hàm số f x thỏa mãn
3
4x1 f x dx5
13f 3 5f 1 1 Tính
3
d I f x x
A I 0 B I 1 C I 1 D I 2
3
3
1
4 d
4
d
4
13 5
1 4
x f x x
u x du dx
dv f x x v f x
x f x f x dx
f f f x dx
I I I
VD4: Biết
2
ln
d ln
x b
x a
x c
(với a số thực, b c số nguyên dương , b
c phân số
tối giản) Tính giá trị 2a3bc
(10)-
2
2
2 2 2
2
1 1 1
ln
d ln
1 u = lnx du =
1
1 dv = d
v =
1 1 1 1 1 1
.lnx lnx lnx ln2 + ln1
2
1 1
.ln2 + ln2
2 2
1
1, 2, 3
2 x b x a x c dx x x x x
I dx dx
x x x x x x x
b c a a b c
C BÀI TẬP ÁP DỤNG:
1) Tính tích phân sau: a)
3x dx x
b)
1
2
3x2 x 5x
c)
2
2x 4x
dx x
d)
2 3 x x dx x e) sin cos
cos
x x dx
x f) 2 x dx x
g)
3 2
4 12 x x dx x
h)
2
2
5
x x x x
dx x
i)
1
5
dx x j) 2 x dx x x
k)
3
23
dx x x
l)
1
09 24 16
dx x x
m)
1
0 12
dx x x
n)
4 3 4 x dx x x
o)
4 2 cos x x e e dx x p)
cos cos x x dx
q)
2
sin cos x x dx
r)
2
cos x dx
s)
2
2
cosx 2sin x dx
2) Tính tích phân sau: a)
2
2
1 x x dx
b)
1
3
1
x x dx
c)
x dx x
d)
1
7
1 x x dx
e)
1
6
0
1 x x dx
f)
1
0
xdx x
g)
1
1 x xdx
h)
1
0
xdx x i) x dx x j) 2 1 x dx x x k) 1 dx x x
l) 10 10 10 dx
x x
m) 1 ln e x dx x
n)
2
2
3ln 2ln
.ln e e x x dx x x
o)
1
1 3ln ln
e
x x dx x
p)
2
1 ln ln e x dx
x x
(11)- q) ln x x e dx e
r)
ln
0
x
dx e
s)
3 1 x dx I e t) ln 1 x x e dx e
u)
2 3
2
sin sinx x dx
v)
cos sin sin cos x x dx x x
w)
2 2 sin cos 4sin x dx x x x) 2sin sin
x dx x
y)
2
sin cos cos x x dx x
z)
2
sin sin 3cos x x dx x
3) Tính tích phân sau: a) cos x xdx
b)
1
2
2 x x e dx
c)
1
.ln
e
x xdx
d)
1
.ln
e
x xdx
e)
1
2 x x x e dx
f)
2
ln 1x dx
g) ln x dx x
h)
1
x x
e x e dx
i) ln e x xdx x
j)
1
x x e dx
k)
2 cos sin2 x e xdx
l)
0
2
1
x
x e x dx
m)
3 2
ln x x dx
n)
2 1 ln e x xdx x
o)
1
2
ln
x x dx
p)
2 sin
cos cos
x
e x xdx
q)
4
sin
tanx e x.cosx dx
r)
3 ln sin cos x dx x s) 2
4x dx
t)
2
2
4
x x dx
u) 2
x x dx
v)
3 09 dx x
w)
1
1
dx x x x)
2
dx x x
y)
4
01 cos
x
dx x
z)
1 x x dx e
4) Tính tích phân sau: a)
2
x x dx
b)
0
cos x dx
c)
0
1 cos 2xdx
d)
1 x x dx x e)
tan x dx
f) 3 tan xdx
g)
4
tan x dx
h) tan xdx i)
cot x dx
j)
sin x.cos xdx
k)
2
4
sin x.cos x dx
(12)- m)
2
3
sin x.cos xdx
n)
2
sin x.cosxdx
p)
2 4
sin
dx x
q)
4 cos
dx x
r)
2 4
sin
dx x
s)
4 cos
dx x
t)
4
0cos sin cos
dx
x x x
5) Tính tích phân sau: a)
2
4
cos xdx
b)
1
x e dx
c)
2 2
1
.e dxx x
d)
tan
2 0cos
x e
dx x
e)
1
2
1 ln
e x
e x dx
x
f)
1
3
3
x x
e dx
x
g)
3
.sin cos
x x
dx x
h)
ln
ln 3
x x
dx
e e
i)
1 2
0
2 15 25
5
x x x
dx
x x
j)
1 3
0
2 12 16
4
x x x
dx
x x