Đang tải... (xem toàn văn)
Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản, các hằng đẳng thức đáng nhớ, mối liên hệ của các cung đặc biệt và sử dụng tính chất của giá trị lượng giác để biến đổi. + Khi chứng minh một đẳng [r]
(1)1 PHẦN 1:
ĐÁP ÁN:
TỔNG ƠN 80 CÂU TRẮC NGHIỆM TỐN 10 (tiếp theo)(đã gửi lần 5)
1.B 2.D 3.D 4.D 5.D 6.B 7.C 8.B 9.D 10.B
11.B 12.C 13.B 14.D 15.C 16.D 17.A 18.C 19.C 20.D 21.C 22.B 23.B 24.B 25.D 26.B 27.C 28.D 29.A 30.B 31.A 32.C 33.B 34.A 35.B 36.C 37.A 38.D 39.D 40.D 41.B 42.B 43.C 44.D 45.C 46.C 47.D 48.B 49.A 50.B 51.B 52.D 53.D 54.D 55.C 56.B 57.B 58.C 59.A 60.C 61.A 62.A 63.D 64.D 65.C 66.A 67.A 68.C 69.A 70.B 71.B 72.B 73.C 74.C 75.D 76.D 77.C 78.D 79.B 80.C PHẦN 2:
Các em xem giáo khoa lý thuyết 1, chương IV, xem ví dụ mẫu làm tập áp dụng vào tập nhé!Chúc em học tốt
CHƢƠNG VI
CUNG VÀ GĨC LƢỢNG GIÁC CƠNG THỨC LƢỢNG GIÁC
§1: GĨC VÀ CUNG LƢỢNG GIÁC
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Đơn vị đo góc cung trịn, độ dài cung tròn
a) Đơn vị rađian: Cung trịn có độ dài bán kính gọi cung có số đo rađian, gọi tắt cung
rađian Góc tâm chắn cung rađian gọi góc có số đo rađian, gọi tắt góc rađian rađian cịn viết tắt rad
Vì tính thơng dụng đơn vị rađian người ta thường không viết rađian hay rad sau số đo cung góc
b) Độ dài cung tròn Quan hệ độ rađian:
Cung trịn bán kính R có số đo , có số đo a0 0 a 360 có độ dài l thì:
180
a
l R R
180
a
Đặc biệt:
0 180
1 ,
180
rad rad
2 Góc cung lƣợng giác
a) Đƣờng tròn định hƣớng: Đường tròn định hướng đường trịn ta chọn
(2)2 b) Khái niệm góc, cung lƣợng giác số đo chúng
Cho đường tròn định hướng tâm O hai tia Ou Ov, cắt đường tròn U V Tia Om cắt đường tròn M , tia Om chuyển động theo chiều(âm dương) quay quanh O điểm M chuyển động theo chiều đường tròn
Tia Om chuyển động theo chiều từ Ou đến trùng với tia Ov ta nói tia Om quét góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov Kí hiệu Ou Ov,
Điểm M chuyển động theo từ điểm U đến trùng với
điểm V ta nói điểm Mđã vạch nên cung lượng giác điểm đầu U , điểm cuối V Kí hiệu UV
Tia Om quay vịng theo chiều dương ta nói tia Om quay góc 3600 (hay ), quay hai vịng ta nói quay góc 2.3600 7200 (hay ), quay theo chiều âm phần tư vòng ta nói quay góc 900(hay
2), quay theo chiều âm ba vòng bốn phần bảy( 25
7 vịng) nói quay góc 25.3600
7 (hay 50
7 )…
Ta coi số đo góc lượng giác Ou Ov, số đo cung lượng giác UV
B CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG TOÁN : XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN ĐẾN CUNG VÀ GÓC
LƢỢNG GIÁC
Ví dụ 1: a) Đổi số đo góc sau rađian: 72 ,6000 0 b) Đổi số đo góc sau độ: ,3
18 Giải a) Vì 10
180rad nên
0 10
72 72 ,600 600 ,
180 180
b) Vì
0 180
1rad nên
0
5 180 3 180
50 , 108 ,
18 18 5
o o
Ví dụ 2: Một đường trịn có bán kính 36m Tìm độ dài cung đường trịn có số đo a)
4 b)
0 51 Giải
Theo cơng thức tính độ dài cung trịn ta có 180
a
l R R nên a) Ta có 36.3 27 84,
4
l R m
b) Ta có 51.36 51 32, 04
180 180
a
l R m
C BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: a) Đổi số đo góc sau rađian: 20 , 40 25',0 270
b) Đổi số đo góc sau độ: ,
17
Bài 2: Một đường trịn có bán kính 25m Tìm độ dài cung đường trịn có số đo
-+
u v
m M
V O
(3)3 a)
7 b)
0 49
§2 GIÁ TRỊ LƢỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I – GIÁ TRỊ LƢỢNG GIÁC CỦA CUNG 1 Định nghĩa
Trên đường tròn lượng giác cho cung AM có sđAM
Tung độ y OKcủa điểm M gọi sin kí hiệu sin sinOK
Hồnh độ xOH điểm M gọi cơsin kí hiệu cos cosOH
Nếu cos0, tỉ số sin cos
gọi tang kí hiệu tan(người ta cịn dùng kí hiệu tg)
tan sin cos
Nếu sin0, tỉ số cos
sin
gọi cơtang kí hiệu cot (người ta cịn dùng kí hiệu
cotg): cot cos sin
Các giá trị sin , cos , tan , cot gọi giá trị lƣợng giác cung .
Ta gọi trục tung trục sin, cịn trục hồnh trục côsin
2 Hệ
1) sin cos xác định với Hơn nữa, ta có
sin sin , ;
cos cos ,
k k
k k
2) Vì 1 OK1; 1 OH 1nên ta có sin
1 cos
3) Với m 1 m tồn cho sin m cos m 4) tan xác định với
2 k k
A'
B' B K
H O
A M
(4)4 5) cot xác định với k k
6) Dấu giá trị lượng giác góc phụ thuộc vào vị trí điểm cuối cung AM đường tròn lượng giác
Bảng xác định dấu giá trị lượng giác Góc phần tư
Giá trị lượng giác I II III IV
cos
sin
tan
cot
Mẹo ghi nhớ: “Nhất dương, nhị sin, tam tan, tứ cos” 3 Giá trị lƣợng giác cung đặc biệt:
Góc
4
3
2
32 2 00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600
sin 0
2
2
3
2
3
2
2 –1
cos 1
2
2
1
2
2
2 –1
tan 0
3 || –1 ||
cot || 3 1
3
3
3 –1 || ||
II – QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƢỢNG GIÁC
1 Công thức lƣợng giác
Đối với giá trị lượng giác, ta có hệ thức sau: 1/ 2
sin cos 1 2/ tan sin
cos
, ,
2 k k
3/ cot cos sin
, k, k
4/ tan cot 1, , k
k
5/
2
1 tan ,
cos
,
2 k k
6/
2
1 cot ,
sin
(5)5 2 Giá trị lƣợng giác cung có liên quan đặc biệt
Góc đối ( ) Góc bù nhau( ) Góc phụ nhau( 2 )
cos() cos sin( )sin sin cos
2
sin() sin cos( ) cos cos sin
tan() tan tan( ) tan tan cot
cot() cot cot( ) cot cot tan
Góc ( ) Góc 2( 2 )
sin( ) sin sin cos
2
cos( ) cos cos sin
2
tan( )tan tan cot
2
cot( )cot cot tan
2
Chú ý: Để nhớ nhanh công thức ta nhớ câu: " cos - đối, sin – bù, phụ - chéo,
tang côtang,
chéo sin" Với ngun tắc nhắc đến giá trị cịn khơng nhắc
thì đối
B CÁC DẠNG TỐN:
DẠNG 1: TÍNH GIÁ TRỊ LƢỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƢỚC
I PHƢƠNG PHÁP :
Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác
Sử dụng tính chất bảng giá trị lượng giác đặc biệt Sử dụng hệ thức lượng giác
II VÍ DỤ MINH HỌA :
Ví dụ 1: Tính giá trị lượng giác cịn lại góc biết: a) sin
3
0
90 180 b) cos
3 c) tan 2 d) cot
(6)6 Lời giải
a) Vì 900 1800 nên cos mặt khác sin2 cos2 suy
2 2
cos sin
9
Do
1
sin 3
tan
cos 2 2 2 2
3
2
cos 3
cot 2
sin
3
b) Vì sin2 cos2 nên sin cos2
9
Mà sin
2 suy
5 sin
3
Ta có
5
sin 3
tan
cos 2
3
2
cos 3
cot
sin 5
3
c) Vì tan 2 cot 1
tan 2
Ta có tan2 12 cos2 21 2 cos
9
cos tan 2 2 1
Vì sin tan 2 nên cos Vì cos
3
Ta có tan sin sin tan cos 2 2
cos 3
d) Vì cot nên tan 1
cot
Ta có cot2 12 sin2 21 12 sin
3
sin cot 2 1
Do cos
2 cot nên sin
Do sin 3
Ta có cot cos cos cot sin
sin 3
Ví dụ 2: a) Cho cos
3 Tính
tan cot
tan cot
A
b) Cho sin
0
90 180 Tính giá trị biểu thức cot tan tan 3cot
C
(7)7 a) Ta có
2 2
2
2 1
2
tan tan 3
tan cos 1 2 cos
1 tan 1
tan
tan cos
A
Suy 2.4 17
9
A
b) 2
sin cos 1cos2 =1 sin2 16 25 25
4 cos
5 cos
5
Vì 0
90 180 cos
Do đó:tan
cot
cot tan tan 3cot
C
4
2
3
3
3
4
2 57
DẠNG 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC LƢỢNG GIÁC, CHỨNG MINH BIỂU THỨC LƢỢNG GIÁC
I PHƢƠNG PHÁP :
Sử dụng hệ thức lượng giác bản, đẳng thức đáng nhớ, mối liên hệ cung đặc biệt sử dụng tính chất giá trị lượng giác để biến đổi
+ Khi chứng minh đẳng thức ta biến đổi vế thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế đại lượng khác
+ Chứng minh biểu thức khơng phụ thuộc góc x hay đơn giản biểu thức ta cố gắng làm xuất nhân tử chung tử mẫu để rút gọn làm xuất hạng tử trái dấu để rút gọn cho
II VÍ DỤ MINH HỌA :
Ví dụ : Đơn giản biểu thức A cos sin
Giải
cos sin
2
A
Asinsin0. Ví dụ : Đơn giản biểu thức 1– sin2 .cot2 1– cot2
A x x x
Giải 1– sin2 .cot2 1– cot2
A x x x cot2xcos2x 1 cot2x sin x2
Ví dụ 3: Chứng minh đẳng thức sau
3
3 sin cos
cot cot cot
sin
x x
x x x
x
Giải Ta có sin 3cos 12 cos3
sin sin sin
x x x
VT
(8)8 Mà cot2 12
sin
x
x
sin tan
cos
x x
x nên
2
cot cot cot
VT x x x cot3x cot2x cotx 1 VP => ĐPCM Ví dụ : Chứng minh biểu thức
2
2 2
1 tan 1
4 tan 4sin cos x
x x x
A không phụ thuộc vào x
Giải
Ta có :
2 2 2 2
2
2 2 2
1 tan 1 tan 1 1
4 tan 4sin cos tan tan cos
x x
x x x x x x
A
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 tan tan tan tan
4 tan tan tan
x x x x
x x x
tan22
4 tan
x x
Ví dụ 5: Đơn giản biểu thức sau
a) A cos sin cos sin
2 2
b) cos(5 ) sin tan cot(3 )
2
B x x x x
c) sin7 cos tan( ) cot7
6
C
d) sin 2550 cos( 188 ) tan 368 cos 638 cos 98 D
Giải
a) Asincossincos A 2sin
b) Ta có cos(5 x) cos x 2.2 cos x cosx
sin sin sin cos
2 x x x x
3
tan tan tan cot
2 x x x x
cot(3 x) cot x cotx
Suy B cosx cosx cotx cotx
c) Ta có sin cos 4.2 tan cot
6
A
1
sin cos tan cot 1
6 2
A
d) Ta có
0
0 0
2 sin 30 7.360 cos(8 180 )
tan 360 cos 90 2.360 cos 90
B
0
0
0 0 0 0
0
0 0 0
1
2 cos sin 30 cos
1 2
tan cos 90 sin tan cos 90 sin
1 cos cos
0 tan sin sin tan sin B
(9)9 Bài 1: Tính giá trị lượng giác cung biết
a) b) cot 3 với
c) cos
3
d) tan2 o o 180 270
e) cot
0O 90 O f) sin 12 13
Bài 2: Tính giá trị biểu thức lượng giác
a/ Tính
b/ Tính
c/ Tính
d/ Tính
Bài 3: Chứng minh đẳng thức sau
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Bài 4: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc x
a)
b)
c)
1 sin x , 0
3 2
tan x 2 A1 5cot x tan x 5cot x tan x
2sin x cos x A
cos x 3sin x
cot x B1 3sin x cos x sin x cos x
sin x 3cos x B
sin x 3cos x
2 sin x
3
0 x 90 F tan x cos x2 cos x cot x sin x
4 cos x
5
x
2
G tan x cot x sin x cos x
2 2
cos x sin x 1 2sin x
4 2
sin xcos x 1 2sin x cos x
2
3 4cos x (1 2sin x)(1 2sin x)
sin x cot xcos x tan x sin xcos x
2 2
(1 cos x)(sin x cos x cos x) sin x
2 2
tan x sin x tan x sin x
2 2
cot xcos xcot x cos x
1 cos sin
sin cos
x x
x x
1 tan x cot x
sin x cos x
4
Acos x sin x 2sin x
4 2
Bcos xsin x cos xsin x
2
(10)10 d)
Bài 5:Rút gọn tính giá trị biểu thức sau
a/
b/
c/
d/
Bài 6: Rút gọn biểu thức sau
HẾT
4
Dcos x (2cos x 3) sin x (2sin x 3)
0
Acos( 315 )sin 765
0 0
Bsin 32 sin148 sin 302 sin122
0 0
Csin 810 cos540 tan135 cot 585
0 0
Dsin 825 cos( 15 ) cos 75 sin( 555 )
A cos( x) sin( x) cos( x) sin( x)
2 2 2 2
7 3
B 2 cos x 3cos( x) sin( x) tan( x)
2 2
3 3
C cos( x) sin(x ) tan( x).cot( x)
2 2 2