Vậy nếu I là giao điểm của đường phân giác của ∠A với cạnh BC thì tứ giác AHIK là hình thoi.. Ngược lại ΔABC có ∠A = 90 o.[r]
(1)LUYỆN TẬP HÌNH VNG
Câu 1: Cho tam giác ABC vuông A, đường phân giác AD Gọi M, N chân đường vuông
góc kẻ từ D đến AB, AC Chứng minh tứ giác AMDN hình vng Lời giải:
Xét tứ giác AMDN, ta có: ∠(MAN) = 1v (gt) DM ⊥ AB (gt)
⇒∠(AMD) = 1v
DN ⊥ AC (gt) ⇒∠(AND) = 1v
Suy tứ giác AMDN hình chữ nhật
(vì có ba góc vng), có đường chéo AD đường phân giác A Vậy hình chữ nhật AMDN hình vng
Câu 2: Cho hình vng ABCD Trên AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự điểm E, K, P, Q
(2)Ta có: AB = BC = CD = DA (gt) AE = BK = CP = DQ (gt)
Suy ra: EB = KC = PD = QA * Xét ΔAEQ ΔBKE, ta có: AE = BK (gt)
A = B = 90o
QA = EB (chứng minh trên)
Suy ra: ΔAEQ = ΔBKE (c.g.c) ⇒ EQ = EK (1) * Xét ΔBKEvà ΔCPK,ta có: BK = CP (gt) B = C = 90o
EB = KC (chứng minh trên)
Suy ra: ΔBKE = ΔCPK (c.g.c) ⇒ EK = KP (2) * Xét ΔCPK ΔDQP,ta có: CP = DQ (gt) C = D = 90o
(3)Suy ra: ΔCPK = ΔDQP (c.g.c) ⇒ KP = PQ (3) Từ (1), (2) (3) suy ra: EK = KP = PQ = EQ Hay tứ giác EKPQ hình thoi
Mặt khác: ΔAEQ = ΔBKE ⇒ ∠(AQE) = ∠(BKE)
Mà ∠(AQE) + ∠(AEQ) = 90o
⇒ ∠(BEK) + ∠(AEQ) = 90o
⇒ ∠(BEk) + ∠(QEK) + ∠(AEQ ) = 180o
Suy ra: ∠(QEK) = 180o -(∠(BEK) + ∠(AEQ))= 180o - 90o = 90o
Vậy tứ giác EKPQ hình vng
Câu 3: Cho tam giác ABC, điểm I nằm B C Qua I vẽ đường thẳng song song với AB,
cắt AC H Qua I vẽ đường thẳng song song với AC, cắt AB K a, Tứ giác AHIK hình gì?
b, Điểm I vị trí BC tứ giác AHIK hình thoi
(4)a, Ta có: IK // AC (gt) hay IK // AH Lại có: IH // AB (gt) hay IH // AK Vậy tứ giác AHIK hình bình hành
b, Hình bình hành AHIK hình thoi nên đường chéo AI phân giác (A.)
Ngược lại AI phân giác ∠A Hình bình hành AHIK có đường chéo phân giác góc nên hình bình hành AHIK hình thoi
Vậy I giao điểm đường phân giác ∠A với cạnh BC tứ giác AHIK hình thoi c, Hình bình hành AHIK hình chữ nhật
⇒ ∠A = 90o suy ΔABC vuông A Ngược lại ΔABC có ∠A = 90o
Suy hình bình hành AHIK hình chữ nhật
Vậy ΔABC vng A tứ giác AHIK hình chữ nhật
Câu 4: Hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD Gọi P, Q theo thứ tự trung điểm AB, CD
Gọi H giao điểm AQ DP, gọi K giao điểm CP BQ Chứng minh PHQK hình vng
Lời giải:
(5)QD = 1/2 CD (gt) Suy ra: AP = QD
Hay tứ giác APQD hình bình hành Lại có: ∠A = 90o
Suy tứ giác APQD hình chữ nhật Mà AD = AP = 1/2 AB
Vậy tứ giác APQD hình vng
⇒ AQ ⊥ PD (t/chất hình vng) ⇒ ∠(PHQ) = 90o (1)
HP = HQ (t/chất hình vng)
* Xét tứ giác PBCQ, ta có: PB // CD PB = 1/2 AB (gt)
CQ = 1/2 CD (gt)
Suy ra: PB = CQ nên tứ giác PBCQ hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song nhau)
∠B = 90o suy tứ giác PBCQ hình chữ nhật
PB = BC (vì AD = 1/2 AB) Vậy tứ giác PBCQ hình vng
⇒ PC ⊥ BC (t/chat hình vng) ⇒ ∠(PKQ) = 90o (2)
PD tia phân giác ∠(APQ) ( t/chất hình vng) PC tia phân giác ∠(QPB) (t/chất hình vng)
Suy ra: PD ⊥ PC (t/chất hai góc kề bù) ⇒ ∠(HPK) = 90o (3)
(6)Câu 5: Cho tam giác ABC vuông cân A Trên cạnh BC lấy điểm H, G cho BH = BG
= GC Qua H G kẻ đường vuông góc với BC chúng cắt AB, AC theo thứ tự E F Tứ giác EFGH hình gì? Vì sao?
Lời giải:
Vì ΔABC vng cân A nên ∠B = ∠C = 45o
Vì ΔBHE vng H có ∠B = 45o nên ΔBHE vuông cân H
Suy HB = HE
Vì ΔCGF vng G, có ∠C = 45o nên ΔCGF vuông cân G
Suy GC = GF
Ta có: BH = BG = GC (gt) Suy ra: HE = HG = GF
Vì EH // GF (hai đường thẳng vng góc với đường thắng thứ ba) nên tứ giác HEFG hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song nhau);
Lại có ∠(EHG) = 90o nên HEFG hình chữ nhật
Mà EH = HG (chứng minh trên) Vậy HEFG hình vng
Câu 6: Cho hình vng ABCD Trên cạnh AD lấy điểm F, cạnh DC lấy điểm E cho AF
(7)Lời giải:
Xét ΔABF ΔDAE,ta có: AB = DA (gt) ∠(BAF) = ∠(ADE) = 90o
AF = DE (gt)
Suy ra: ΔABF = ΔDAE (c.g.c) ⇒ BF = AE ∠B1= ∠A1
Gọi H giao điểm AE BF Ta có: ∠(BAF) = ∠A1+ ∠A2 = 90o
Suy ra: ∠B1+ ∠A2 = 90o
Trong ΔABH,ta có: ∠(AHB) + ∠B1+ ∠A2 = 180o
⇒ (∠(AHB)) = 180o – (∠B1+ ∠A2) = 180o – 90o = 90o