Cho hình thang cân ABCD (AB//CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo và M, N, P theo thứ tự là trung điểm của AO, DO, BC.. BM là đường trung tuyến => BM là đường cao BM. Cho hình [r]
(1)
HÌNH CHỮ NHẬT TÍNH CHẤT VỀ KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 Định nghĩa
Hình chữ nhật tứ giác có góc vng (h.29)
Như hình chữ nhật hình bình hành, hình thang cân 2 Tính chất
Hình chữ nhật có tất tính chất hình bình hành, hình thang cân
Như : Trong hình chữ nhật, hai đường chéo cắt trung điểm đường
3 Dấu hiệu nhận biết
• Tứ giác có ba góc vng hình chữ nhật
• Hình thang cân có góc vng hình chữ nhật • Hình bình hành có góc vng hình chữ nhật
• Hình bình hành có hai đường chéo hình chữ nhật 4 Áp dụng vào tam giác vuông
(2)
• Đảo lại, tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh nửa cạnh tam giác tam giác vuông
ABC ; MB = MC A = 90° AM =
2BC
5 Bổ sung
• Hình chữ nhật có tâm đối xứng giao điểm hai đường chéo
• Hình chữ nhật có hai trục đối xứng hai đường thẳng qua trung điểm hai cạnh đối 6 Đường thẳng song song vói đường thẳng cho trưóc
6.1 Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm tùy ý đường thẳng đến đường thẳng
6.2
(3)
• Nhận xét : Tập hợp điểm cách đường thẳng cố định khoảng h không đổi hai đường thẳng song song với đường thẳng cách đường thẳng khoảng h
6.3 Đường thẳng song song cách
• Nếu đường thẳng song song cách cắt đường thẳng chúng chắn đường thẳng đoạn thẳng liên tiếp (h.32)
• Đảo lại, đường thẳng song song cắt đường thẳng chúng chắn đường thẳng đoạn thẳng liên tiếp chúng song song cách
6.4 Bổ sung
Cho hai đường thẳng a b song song với cách khoảng h Các điểm cách a b nằm đường thẳng m song song với a b
cách hai đường thẳng khoảng h
2
B MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 13 Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) Gọi O giao điểm hai đường chéo M, N, P theo thứ tự trung điểm AO, DO, BC Nếu AOB = 60°thì tam giác MNP tam giác ?
(4)
ABCD hình thang cân => ABD = BAC (c.c.c) => ABD = BAC; mà AOB = 60° => OAB
BM đường trung tuyến => BM đường cao BM => BM ⊥AO
BMC cóBMC = 90°, MP đường trung tuyến
=> MP =
2BC
Tương tự ta có NP =
2BC
Mặt khác MN đường trung bình OAD => MN =
2AD Mà AD = BC
=> MP = NP = MN=>MNP
Ví dụ 14 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình chiếu B AC Gọi I N trung điểm AD HC Chứng minh BN⊥IN
(5)
Gọi M trung điểm BH => MN // BC, MN =
2BC
Do AINM hình bình hành
=> AM // IN (1)
Mặt khác ABN có BH đường cao, MN đường cao (vì MN // BC, BC⊥AB) nên M trực tâm => AM⊥BN (2)
Từ (1) (2) suy BN⊥IN
Nhận xét Với kỹ thuật trên, giải tốn hay khó sau : Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình chiếu B AC Gọi E, F, M trung điểm AB, DH, BH Chứng minh AM⊥EF
Ví dụ 15 Cho tam giác ABC (AB < AC) P điểm nằm tam giác cho
PBA = PCA Gọi H K chân đường vng góc hạ từ P xuống AB AC ; M trung điểm BC Chứng minh :
(6)
a) Gọi E, F theo thứ tự trung điểm PB PC Suy HEP = 2.PBH ; KFP = 2.KCP => HEP = KFP (1)
Mặt khác, dễ có PEMF hình bình hành =>PEM = PFM (2) Từ (1) (2) ta có : HEM = KFM
Sử dụng tính chất đường trung tuyến tam giác vng đường trung bình tam giác, ta.có : EM = KF (=1
2PC); HE = MF (= 2BP)
Do : HEM = MFK (c.g.c) => MH = MK b) HEM = MFK => HME = MKF (3) Vì AB < AC => ABC > ACB > PCB PBH = PCK ( ) Suy raFMC > FCM => MF < FC FMC > EMB (4) Từ MF < FC => MF < FK =>KMF > MKF (5) Từ (3), (4) (5) suy HME + EMB < KMF + FMC Vậy HMB < KMC
(7)
• Việc tạo trung điểm E, F tạo mối liên kết giả thiết với khai thác triệt để giả thiết
• Với kỹ thuật trên, giải tốn sau : Cho tam giác ABC, phía tam giác vẽ BAx = CAy = 21°.Hạ BE vng góc với Ax, CF vng góc với Ay Gọi M trung điểm BC Chứng minh tam giác MEF cân tính góc tam giác
(Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên ĐHKHTN Hà Nội, năm học 1989 - 1990)
C BÀI TẬP
1 Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O, điểm M nằm đoạn OB, điểm E đối xứng với A qua M, điểm H chân đường vng góc kẻ từ E tới BC Vẽ hình chữ nhật EHCF Chứng minh M, H, F thẳng hàng
2 Cho ABC vuông A (AC > AB), đường cao AH Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đường vng góc với BC D cắt AC E
a) Chứng minh AE = AB
b) Gọi M trung điểm BE Tính số đoAHM
3 Cho tam giác ABC vng A có AM đường trung tuyến Gọi D điểm thuộc AM Kẻ DI vng góc với AB, DK vng góc với AC
a) Chứng minh IK // BC
b) Xác định vị trí điểm D AM cho IK =
3BC
4 Cho ABC vuông A có AH, AM tương ứng đường cao, đường trung tuyến Kẻ HD, HE vng góc với AB, AC Kẻ MK vng góc với AB Gọi N giao điểm AM HE Chứng minh :
(8)
b) BN // DE ;
c) MK, BN, AH đồng quy
5 Cho hình chữ nhật ABCD (AB > BC) Lấy điểm E cạnh AD Lấy F, K cạnh CD cho DF = CK <
2CD Vẽ đường thẳng vng góc với EK
tại K cắt BC M Chứng minh MEF vng
6 Cho ABC nhọn có BD ; CE đường cao Gọi I, K hình chiếu B C đường thẳng DE Chứng minh DK = EI
7 Cho hình chữ nhật ABCD, điểm E thuộc cạnh AB Trên tia đối tia CB lấy điểm I cho EDI = 90°.Vẽ hình chữ nhật EDIK Chứng minh DBK = 90°
8 Cho ABC cân A Lấy điểm D thuộc cạnh BC Kẻ Dx vng góc với BC, cắt AB, AC E F Vẽ hình chữ nhật BDEH DCKF Gọi I O tâm hình chữ nhật BDEH, DCKF a) Chứng minh AIDO hình t)ình hành
b) Chứng minh A trung điểm HK
c) Gọi M trung điểm OI Khi D di động BC, chứng minh M nằm đoạn thẳng I O1 1, I , O1 1lần lượt trung điểm AB, AC
9 Cho tứ giác ABCD có độ dài cạnh AB = 3, BC = 3, CD = 3, DA = 3
A = 60
Tính góc cịn lại tứ giác ABCD