Chương I. Căn bậc hai. Căn bậc ba

Để rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần biết vận dụng thích hợp các phép biến đổi đơn giản như: đưa thừa số ra ngoài dấu căn, đưa thừa số vào trong dấu căn, khử căn ở mẫu[r]

(1)

1 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!

I CĂN BẬC HAI - CĂN THỨC BẬC HAI 1 Căn bậc hai số học

 Căn bậc hai số không âm a số x cho x2a

 Số dương a có hai bậc hai hai số đối nhau: Số dương kí hiệu a , số âm kí hiệu  a

 Số có bậc hai số 0, ta viết 00

 Với số dương a, số a đgl bậc hai số học a Số đgl bậc hai số học của

 Với hai số khơng âm a, b, ta có: a < b  a b 2 Căn thức bậc hai

 Với A biểu thức đại số, ta gọi A thức bậc hai A A xác định (hay có nghĩa) A lấy giá trị không âm

 A A A neáu A A neáu A

2

0

 

  

 

Dạng 1: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ A CĨ NGHĨA  A có nghĩa  A 0 

A

1 có nghĩa  A >

Bài Với giá trị x thức sau có nghĩa:

a) 3x b) 42x c)  3x d) 3x1 e) 9x2 f) 6x1 ĐS: a) x 0 b) x 2 c) x

3

 d) x

3

  e) x

 f) x  Bài Với giá trị x thức sau có nghĩa:

a)

2 

 x

x x

b) x x

x2 2 c) x

x x24 2

d)

x

1

 e) x

4

2 3 f) x

2 

 ĐS: a) x 2 b) x 2 c)x2 d) x

2

 e) x

2

  f) x 1

(2)

a) x21 b) 4x23 c) 9x26x1

d) x22x1 e)  x 5 f) 2x21

ĐS: a) xR b)xR c) xR d) x 1 e) x 5 f) khơng có Bài Với giá trị x thức sau có nghĩa:

a) 4x2 b) x216 c) x23

d) x22x3 e) x x( 2) f) x25x6

ĐS: a) x 2 b) x 4 c) x  d) x 1 x 3 e) x 2 x0 f) x 2 x 3

a) x 1 b) x 3  c) 4 x

d) x2 x1 e)

x x2 12 4

f)

x x

1

2

 

ĐS: a) x 1 b) x 2 x4 c) x 4 d) x 1 e) x

 f)

x 1

Dạng 2: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC

Áp dụng: 

0



  A A

A A

Bài Thực phép tính sau:

a) 0,8 ( 0,125) b) ( 2) c)  

2

3 2 d)  

2

2 3 e)

2

1 2

 



 

  f)  

2 0,1 0,1

ĐS: a) 0,1 b) c) 2 d) 3 2 e) 1 2

 f) 0,1 0,1 Bài Thực phép tính sau:

a) 3 2 2 3 2 2 b) 5 6 2 5 6 2 c) 2 32 1 32 d) 3 22 1 22 e)  5 22  5 22 f)  1 2  5 2

ĐS: a) b) 4 c) d) e) f) 2 24

(3)

d) 24 5  5 e) 17 12 2  2 f) 2  22 12 2

ĐS: a) 2 b) 2 c) d) 3 4 Bài Thực phép tính sau:

a) 5 3 29 12 5 b) 13 30 2  2 c)  3 2 6 d) 5 13 3  3 13 3 e)

1 3 13 3  1 3 13 3

Dạng 3: RÚT GỌN BIỂU THỨC

Áp dụng: 

0



  A A

A A

Chú ý: Xét trường hợp A ≥ 0, A < để bỏ dấu giá trị tuyệt đối Bài Rút gọn biểu thức sau:

a) x 3 x26x9 (x3) b) x24x 4 x2 ( 2  x 0) c) x x x

x

2 2 1

( 1)

 



 d)

x x

x

2 4 4

2 ( 2)

2  

  

 ĐS: a) b) c) d) 1x

Bài * Rút gọn biểu thức sau:

a) 4 a4a22a b) x2y x24xy4y2 c) x2 x48x216

d) x x x

x

2 10 25

2

5

 

 

 e)

x x

x

4

2

4

2

 

 f)

x x

2

4 ( 4)

8 16 

 

  Bài Cho biểu thức A x22 x2 1 x22 x21

a) Với giá trị x A có nghĩa? b) Tính A x

ĐS: a) x 1 x 1 b) A2

Bài Cho số dương x y z, , thoả điều kiện: xyyz zx 1  Tính:

A x y z y z x z x y

x y z

2 2 2

2 2

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )

1 1

     

  

  

ĐS: A2 Chú ý: 1y2(xy yz zx  )y2(xy y z)(  ), 1z2(y z z x )(  ), 1x2 (z x x)( y)

(4)

 A B A hay B

A B

0 ( 0)

  

   

 

B A B

A B2     

   A B A hay A

A B A B

0

   

      

  

B

A B

A B hay A B

0

 

     

 A  B  A B hay A B  A B A

B

0

 

    



 A B A

B

0

 

    



Bài Giải phương trình sau:

a) (x3)2  3 x b) 4x220x25 2 x5 c) 12 x36x2 5

d) x2 x 1 e) x2 x 1 x 1 1 f) x2 1x 1 x 16

   

ĐS: a) x 3 b) x

 c) x 1;x

   d) x2 e) x 2 f) x

4 

a) 2x 5 1x b) x2 x 3x c) 2x2 3 4x3

d) 2x 1 x1 e) x2  x x3 f) x2 x 3x5

ĐS: a) x

  b) x  c) x2 d) vô nghiệm e) x 3 f) vô nghiệm Bài Giải phương trình sau:

a) x2 x x b) 1x2  x c) x24x  3 x

d) x2 1 x2 1 e) x2   4 x f) 2 x2  x

ĐS: a) x 0 b) x 1 c) vô nghiệm d) x 1;x  e) x2 f) vô nghiệm

a) x22x 1 x21 b) 4x24x  1 x c) x42x2  1 x

d) x2 x x

   e) x48x216 2 x f) x2 x

9 6  1 11 2

ĐS: a) x1;x 2 b) vô nghiệm c) x 1 d) vô nghiệm e)

x2;x 3;x 1

f) x 2;x

3

 

(5)

5 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!

a) x3   1 x b) x2  3 x c) 9x212x 4 x2 d) x24x 4 4x212x9

ĐS: a) x 0;x

   b) x 3;x  1; x  1 c) x 1;x

  d) x 1;x

 

a) x2   1 x b) x28x16  x c) 1x2 x 1

d) x2 4 x24x 4

ĐS: a) x 1 b) vô nghiệm c) x 1 d) x 2

II LIÊN HỆ GIỮA PHÉP KHAI PHƯƠNG VÀ PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA  Khai phương tích: A B  A B A ( 0,B0)

Nhân bậc hai: A B  A B A ( 0,B0)  Khai phương thương: A A A B

B  B ( 0, 0) Chia hai bậc hai: A A A B

B

B  ( 0, 0) Dạng 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH Bài Thực phép tính sau:

a) 12 27 75 48   b) 3( 272 48 75) c)  

2 2

d) 1 3 1  3 2 e)  

2

3 5 3 f)

 2

11 7 11

ĐS: a) 13 3 b) 36 c) 11 6 d) 2 3 e) 10 f) 2 4 Bài Thực phép tính sau:

a) 2 3 2 b) 21 12 3 

c)  6 2 2  2 d) 4 15 10 6 4 15 e) 13 160 53 90 f) 2 2 12 18 128

ĐS: Chú ý:  

2

4 3

2

2 2

  

   

(6)

a) 5 125 80 605 b) 15 216  33 12 6 c)

8 32 25 124 192

d) 2 3 6 2 e) 3 5 3 f)    

3

21  1

ĐS: a) b) 6 c) d) e) 10 f) 14 Bài Thực phép tính sau:

a) 10 10

5

 

  b)

2 12 27 18 48 30 162

  

  c)

2 3

  

 

d) 3 5 10

 

 e)

1

2 2



    f)

 2

5 5

 

 ĐS: a) –2 b)

2

 c) d)

a) A 12 7  12 7 b) B 4 10 5  4 10 5 c) C 3  3

ĐS: Chứng tỏ A0,B0,C0 Tính A B C2, 2, 2 A  6; B 1 , C 10 Dạng 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Bài Rút gọn biểu thức:

a) 15 35 14



 b)

10 15 12



 c)

2 15 10 10

  

  

d) 16

2

   

  e)

x xy y xy



 f)

a a b b b a ab 1

  

 ĐS: a)

7

b)

2 c)

3 2



 d) 1 2 Tách 16 4 e) x

y f)

a b ab 1

  Bài Rút gọn biểu thức sau:

a) x x y y  x y

x y

2

  

 b)

x x

x

x x

2

( 0)

2

  

 

c) x y y  x y y

y x

2

1

( 1, 1, 0)

1 ( 1)

 

   

 

ĐS: a) xy b) x x

1 

 c) x

1

1 0 y 1 x

1

(7)

Bài Rút gọn tính:

a) a b

b a

1

:

1

 

  với a7,25;b3,25 b) a a

2

15 8 15 16 với a 5

 

c) 10a24a 10 4 với a

5

  d) a22 a2 1 a22 a21với a

ĐS: a) a b

1 ; 

 b) 4 c) d) Dạng 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Bài Giải phương trình sau:

a) x x

2  

 b)

x x

2  

 c) x x

2

4  9 2 3

d) x x

x

7

  

 e)

x

x x

4 20 45

9 

    

ĐS: a) x

 b) vô nghiệm c) x 3;x

2

   d) x6 e) x9 Dạng 4: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Bài So sánh số:

a) 7 b) 8 7 c) 2005 2007 2006

ĐS:

Bài Cho số không âm a, b, c Chứng minh: a) a b ab

2  

b) a b  a b c) a b a b

    d) a b c   ab bc ca e) a b a b

2

 



Bài Tìm giá trị lớn biểu thức sau:

a) A x 2 4x b) B 6 x x2 c) C x 2x ĐS: a) A  2 x b) B  4 x c) C  2 x

III BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI  Với A ≥ B ≥ A B2 A B + Với A < B ≥ A B2  A B  Với A ≥ B ≥ A B A B2 + Với A < B ≥ A B  A B2  Với A.B ≥ B  A AB

B  B + Với B >

A A B B B

(8)

 Với A ≥ AB2 C C A B A B A B2

( )



 

 Với A ≥ 0, B ≥ A  B C C A B A B A B ( )   

Dạng 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH Bài Thực phép tính sau:

a) 125 45 20   80 b)  99 18 11 11 22 c) 27 48 75

4  5 16 d)

9 49 25

8  18 e) 5 5

1 5

    

 

  

    

   f)

1

3



 

ĐS: a) 5 b) 22 c) 7

6 d)

5 12

 e) 4 f) Bài Thực phép tính sau:

a) 7

2 7 2 4 7

    

  b)

2

6 6

 

 

c) 1

3 2 5 3 2

d) :

1 5

  



 

   

 

e) 1 12 33 2 

f) 3 13 48

  

 ĐS: a) 32 20

9 

b) 17

6 c)

30

6 d) 3 e)

2 f)

Dạng 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC Bài Rút gọn tính giá trị biểu thức:

a) A x x

11  

  , x23 12 3 b)

a B

a a a

2

1

2(1 ) 2(1 ) 

  

   ,

a

c) C a a

a a 4 12 27   

  , a 3 d) D h h h h

1

2

 

    , h 3 e) E x x

x x

2

4

 



   , x2( 1) f) F a a a2

3

1 :

(9)

ĐS: a) A x 3   b) B

a a2

1

7

 

 

  c)

a C

a

2

1

5



  



d) D h h

2

2 2



 

 e) E x

1

2



 

 f) F 1 a 1 Dạng 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

a) x 1 4x 4 25x25 0  b) x 9x 24 x 17

2 64



     

c) 9x218 2 x2 2 25x250 3 d) 2xx2 6x212x 7

e) (x1)(x 4) x25x 2 f)

ĐS: a) x 2 b) 290 c) vô nghiệm d) x 1 2e) x2;x 7

Dạng 4: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC

Bài Cho biểu thức: Sn( 1) n( 1) n (với n nguyên dương) a) Tính S S2; 3

b) Chứng minh rằng: Với m, n nguyên dương m n , ta có: Sm n S Sm n Sm n c) Tính S4

ĐS: a) S26;S310 b) Chứng minh Sm n Sm n S Sm n c) S434 Bài Cho biểu thức: Sn( 3 2)n( 3 2)n (với n nguyên dương)

a) Chứng minh rằng: S2nSn22 b) Tính S S2, 4

HD: a) Sử dụng đẳng thức a2b2(a b )22ab b) S12 3;S210;S498 Bài Cho biểu thức: Sn (2 3)n (2 3)n (với n nguyên dương)

a) Chứng minh rằng: S3n3SnSn3 b) Tính S S3, 9

HD: a) Sử dụng đẳng thức a3b3(a b )33 (ab a b ) Chứng minh S3nSn33Sn

b) S14;S361;S9226798

IV RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI

(10)

Bài Cho biểu thức: A x x x

x

x x

1 2

4

2

 

  



 

a) Tìm x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm x để A2 ĐS: a) x0,x4 b) A x

x

2 

 c) x 16

x x x

2

2 (1 )

1 2 1

    

  

  

 

a) Rút gọn A x0,x1 b) Tìm x để A dương c) Tìm giá trị lớn A ĐS: a) A xx b) 0 x c) maxA khi x

4

 

x x x x

2

5

  

  

   

a) Rút gọn A b) Tìm x để A 1 ĐS: a) A x

x  

 b) 0 x 9;x4

Bài Cho biểu thức: A a a a a a a a

a a a a a a a

1 1 1

1

 

   

      

       

a) Rút gọn A b) Tìm a để A7 c) Tìm a để A 6 ĐS: a) A a a

a 2 2

 b) a 4;a

4

  c) a0,a1

x x x x

15 11 2

2 3

  

  

   

a) Rút gọn A b) Tìm x để A  ĐS: a) A x

x

3  

 b) x

1 121 

Bài Cho biểu thức: A x x x x

x x x x x

3 2

1 :

1

      

      

    

   

   

a) Rút gọn A b) Tìm x để A 0 ĐS: a) A x

x

 

 b) 0 x 4 Bài Cho biểu thức: A a a a a

a a a

2 2

1

 

  

 

a) Rút gọn A b) Tìm a để A2 c) Tìm giá trị nhỏ A ĐS: a) A a  a b) a 4 c) minA khi a

4

(11)

Bài Cho biểu thức: A a a a

a a a

2

1 1

2 2 1 1

     

      

 

   

a) Rút gọn A b) Tìm a để A 0 c) Tìm a để A 2 ĐS: a) A a

a 1

 b) a 1 c) a 3 2

Bài Cho biểu thức: A a a a a a a a a

a a a a

2

1

1 1 2 1

      

   

  

 

a) Rút gọn A b) Tìm a để A 6 

 c) Chứng minh A 

Bài 10 Cho biểu thức: A x x x x x

x x x x x

5 25

1 :

25 2 15 5 3

       

       

    

   

a) Rút gọn A b) Tìm x để A 1 ĐS: a) A

x 

 b) x4;x9;x25

Bài 11 Cho biểu thức: A a a

a a a a

1 1

:

1

 

   

     

  

   

a) Rút gọn A b) Tìm a để A  ĐS: a) A a

a



 b) a 16

Bài 12 Cho biểu thức: A x x x

x x x2 x x

1

:

1 1 1

     

      

    

   

a) Rút gọn A b) Tính giá trị A x 3 c) Tìm x để A ĐS: a) 2

1

x x

 b) x 2 c) x x

1

;

5

  

Bài 13 Cho biểu thức: B x y xy x y x y

x y : xy y xy x xy

     

      

  

   

   

a) Rút gọn B b) Tính giá trị B x3,y 4 ĐS: a) B y x b) B 1

Bài 14 Cho biểu thức: B x x x

xy y x x xy y x

3

2

2 2



 

    

(12)

ĐS: a) B x y

 b) x2;3; 4

Bài 15 Cho biểu thức: B x y x x y y

x y

x y x y x y xy

3

1 1

:

     

 

     



   

 

a) Rút gọn B b) Cho x y 16 Xác định x, y để B có giá trị nhỏ

Bài 16 Cho biểu thức: B ab ab a b

a b a a b b a b a a b b a ab b

1 3

. : 

    

       

       

    

a) Rút gọn B b) Tính B a16, b4 ĐS:

Bài 17 Cho biểu thức:  

x y xy

x y

x y B

y x

x y x y

2

3

:

     

 

 

    

 

a) Rút gọn B b) Chứng minh B 0

Bài 18 Cho biểu thức: B a ab a a ab a

ab ab ab ab

1

1 :

1 1

       

        

   

   

a) Rút gọn B b) Tính giá trị B a 2  b 1

 

 c) Tìm giá trị nhỏ B a b 

V CĂN BẬC BA  Căn bậc ba số a số x cho x3a  Mọi số a có bậc ba

 A B 3A3B  3A B 3A B.3  Với B  ta có: A A

B B

3

 Dạng 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH

Áp dụng: 3a3 a;  3a 3a

các hằng đẳng thức: (a b )3a33a b2 3ab2b3, a b3 a3 a b2 ab2 b3

(  )  3 3 

a3b3(a b a )( 2ab b 2), a3b3(a b a )( 2ab b 2)

(13)

d)    

3

34 1  34 1

e) 3936343332 ĐS: a) 1 b) 1 c) 3 d) 12 23 2 e) Bài Thực phép tính sau:

a) A32 532 b) B39 5 39 5

c) C (2 3) 26 15 33  d) D 33 9 125 3 9 125

27 27

      

ĐS: a) A 1 Chú ý:

3

1 5

2   

   

  b) B 3 Chú ý:

3

2   

   

 

c) C 1 Chú ý: 26 15 3  (2 3)3 d) D1 Đặt a 33 9 125

27

   , b 3 9 125

27

     a3 b3 6,ab

3

   Tính D3 Dạng 2: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC

Bài Chứng minh rằng, nếu: ax3by3cz3

x y z

1 1

   3ax2by2cz2 3a3b3c

HD: Đặt ax3by3cz3t  a t b t c t x3, y3, z3

   Chứng tỏ VT VP 3t Bài Chứng minh đẳng thức:

x y z xyz  x y z  x y  y z  z x

2 2

3 3 3

3 3

3

2

 

            

HD: Khai triển vế phải rút gọn ta vế trái

Dạng 3: SO SÁNH HAI SỐ Áp dụng: A B 3A3B

Bài So sánh:

a) A2 33 B323 b) A 33 B3 1333 c) A5 63 B6 53 ĐS: a) A B b) AB c) AB

Bài So sánh:

a) A320 14 2 320 14 2 B2 ĐS: a) A B Chú ý:  

3 20 14 2  2

(14)

a) 32x 1 b) 32 3 x 2 c) 3x  1 x d) 3x39x2  x e) 35  x x

ĐS: a) x 13 b) x 10

 c) x0;x1;x2 d) x 1 e) x 5;x 4;x 6

a) 3x 2 x 1 b) 313 x 322 x c) 3x 1 x3 ĐS: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ, đưa hệ phương trình

a) x 3 b) x 14;x5 c) x7

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I Bài Rút gọn biểu thức sau:

a) 20 45 18  72 b) ( 28 3  7) 7 84 c)

 2

6  120

d) 1 200 :1

2 2

 

 

 

 

ĐS: a) 15 2 b) 21 c) 11 d) 54

Bài Rút gọn biểu thức sau:

a) 1

5



  b)

4



 c)

1 2

2 3

 

 

ĐS: a)  b)

2 c)

3  Bài Chứng minh đẳng thức sau:

a)    

2

2 2  1 2 2 69 b) 2 3 2 3 c)

 2  2

4

8

2 5

 

 

d) 11 2  11 2 6

ĐS: Biến đổi VT thành VP

Bài So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi):

a) 2 10 b) 2003 2005 2004 c) ĐS: a) 2 3 10 b) 2003 20052 2004 c) 

x x x2

2 11

3 9

 

  

   với x 3

a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A c) Tìm x nguyên để A nguyên ĐS: a) A x

x

3 

(15)

Bài Cho biểu thức: A x x x x x

x x x x

2

1 2003

1 1

      

   

  

 

a) Tìm điều kiện để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn A c) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên

ĐS: a) x0;x 1 b) A x x 2003 

 c) x { 2003;2003}  Bài Tìm giá trị lớn biểu thức: A

x x

1 

  ĐS: maxA

3

 x 

Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

A 6 x9x2 9x212x4

ĐS: Sử dụng tính chất a  b a b, dấu "=" xảy  ab 0 minA 1khi x

3

  

Bài Tìm x nguyên để biểu thức sau nhận giá trị nguyên:

A x

x  

 ĐS: x49; 25;1;16; 4 Chú ý: A

x

3  

 Để A  Z xZ x 3 ước 4

Bài 10 Cho biểu thức: Q x x x

x

x x x

2

    

  



 

 

a) Rút gọn Q b) Tìm số ngun x để Q có giá trị nguyên ĐS: a) Q

x

1 

 b) x 2;3

Bài 11 Cho biểu thức M a

a a a a a

1 1

:

1

  

  

   

  với a0,a1 a) Rút gọn biểu thức M b) So sánh giá trị M với

ĐS: a) M a

a a

1

1 

   b) M1

Bài 12 Cho biểu thức P x x

x x x x x x

1 2

 

   

    

     

  

a) Tìm điều kiện để có nghĩa b) Rút gọn biểu thức c) Tính giá trị với x 3 2

ĐS: a) x1;x2;x3 b) P x x 2

(16)

Bài 13 Cho biểu thức: B x x x x

x x x

x

3

2 1

1

 

   

 

  

       

   

với x 0 x 1 a) Rút gọn B b) Tìm x để B

ĐS: a) B x 1 b) x 16

Bài 14 Cho biểu thức: A x y x x y y

x y

x y x y x y xy

3

1 1

:

     

 

     



   

 

với x0,y0 a) Rút gọn A

b) Biết xy 16 Tìm giá trị x, y để A có giá trị nhỏ Tìm giá trị ĐS: a) x y

xy



b) minA   1 x y 4

Bài 15 Cho biểu thức: P x

x x x

1

 

 

a) Rút gọn b) Tính giá trị biểu thức x  ĐS: a) P x

x 1

 

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	1,48 MB