Xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số

Moät soá saùch tham khaûo thöôøng giaûi caùc baøi toaùn daïng naøy baèng caùch söû duïng ñònh lyù ñaûo veà daáu cuûa tam thöùc baäc hai.. Ñònh lyù naøy hieän nay ñaõ khoâng coøn ñöôïc [r]

GV: Nguyễn Văn Khánh - - THPT SỐ PHÙ MỸ

ÑT : 0169 8033 568

§1 SỰ ĐỒNG BIẾN,NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

 KHÁI NIỆM:

Cho hàm số y=f(x) xác định khoảng K; Khi đó:

f(x) đồng biến K, ∀x1,x2 ∈K : x1 <x2 ⇔ f(x1)<f(x2)

f(x) nghịch biến K,∀x1,x2 ∈K : x1 <x2 ⇔ f(x1)>f(x2)

 ĐỊNH LÍ: Mối liên hệ tính chất đơn điệu hàm số dấu đạo hàm:

f'’(x)  0,∀x∈K f(x) đồng biến K f'’(x)  00,∀x∈K f(x) nghịch biến K (Dấu “ =” xảy số hữu hạn điểm)

 PHƯƠNG PHÁP XÉT SỰ ĐỒNG BIẾN , NGHỊCH BIẾN CỦA CÁC HAØM SỐ: 1.Tìm TXĐ Tính f ’(x)

Tìm điểm f’(x) = f ’(x) không xác định

Sắp xếp điểm theo thứ tự tăng dần lập bảng biến thiên

Nêu kết luận khoảng đồng biến nghịch biến hàm số (theo ĐL trên)  CHÚ Ý: Khi xét dấu f’(x) ta thường gặp áp dung dấu nhị thức bậc

(ax+b , a  0) dấu tam thức bậc hai (ax2+bx+c,a  0) ˆ Dấu nhị thức bậc

ax+b ( a  0)

ˆ Dấu tam thức bậc hai f(x)= ax2+bx+c(a  0)  = b2-4ac , ’ = b’2-ac

1/  < (hoặc ’ < )  f(x) dấu với a , x  R 2/  =  f(x) dấu với a

2 b x

a    3/  >  f(x) coù N0 x1,x2 ( Gs x1< x2)

“ Trong trái,ngồi cùng”  VÍ DU 1Ï: Xét đồng biến , nghịch biến hàm số : y=

 

x3 -3x2 +8x-2

Giải: TXĐ : D =  , y’=x2 -6x2 +8 , y’=0

x x

   

 

Bảng biến thiên

x – + y’ + – +

y

3 ∞

+

x - b

a

 +

ax+b traùi dấu dấu

a a

x - x1 x2 +

f(x) dấu trái dấu dấu

GV: Nguyễn Văn Khánh - - THPT SỐ PHÙ MỸ

ÑT : 0169 8033 568 + _

_

0

1

1 _

y y'

+∞ ∞

x -∞ Kết luận:

Hàm số đồng biến khoảng (- ; 2) (4; + ) , nghịch biến khoảng (2;4)

VÍ DU 2Ï: Xét chiều biến thiên hàm số y x Giải: Ta có TXĐ  1;1,

2 '

1 x y

x  



với x   1;1 Do với x   1;1, 'y trái dấu với x Ta có bảng biến thiên hàm số

Kết luận : hàm số đồng biến 1;0, nghịch biến 0;1  VÍ DU 3Ï: Tìm m để hàm số  

2

3

y  x  x  m x m nghịch biến  Giải TXĐ : D =  Ta coù

'

y  x  x m 'y tam thức bậc hai ( hệ số

x  1 0) có  ' 2m5

Do hàm số nghịch biến   '  2m 5  

m  

 Chú ý: Đối với hàm bậc 3, y’ tam thức bậc hai.Khi đó:  Hàm số y ĐB  ' 0,y   x R

0 a     

 

ˆ Hàm số y NB   ' 0,y   x R

0 a     

 

LUYỆN TẬP DẠNG CƠ BẢN

Lời khuyên: Khi muốn luyện tập giải dạng luyện thi cần có kỉ giải

thành thạo dạng bản, thường gặp mức độ từ dễ đến khó

Bài 1: Xét đồng biến , nghịch biến hàm số :

a)

2 2

y  x  x  x ĐS: Hàm số nghịch biến 

b)

5

y x x  ĐS: Hàm số nghịch biến khoảng  ; 1 0;1, đồng biến khoảng 1;0 1; 

c)

2 16 31

y  x  x  x ĐS: Hàm số nghịch biến khoảng  ; 4 2; , đồng biến 4; 2

GV: Nguyễn Văn Khánh - - THPT SỐ PHÙ MỸ

ĐT : 0169 8033 568 a)

1 x y x  

 ĐS: Hàm số nghịch biến  ; 1  1; 

b)

2    x y

x ĐS: Hàm số đồng biến

1 ;     

  vaø ;       

c)

1

y x ĐS:hàm số đồng biến 1;0, nghịch biến 0;1 d)

2 2 4

2 x x y x    

 ĐS: NB khoảng ; 0 4; , ĐB khoảng 0; 2

2; 4

e) y 1x 1x ĐS: Hàm số đồng biến 1;0, nghịch biến 0;1 Bài 3:

a) Chứng minh hàm số sau đồng biến  : f x   ³ ² 17x  x  x4 b) Chứng minh hàm số

2 x y x  

 nghịch biến khoảng xác định

c) (4/ 10 –SGK 11CB) Chứng minh hàm số y= 2x-x2đồng biến khoảng (0 ; 1)

nghịch biến khoảng (1 ; 2)

Bài 4:

a) Tìm m để hàm số :    

1

yx  m x  m  x đồng biến .ĐS: m  3 m 2 b) Tìm m để hàm số :

2 mx y x m  

 nghịch biến khoảng xác định ĐS:  3m c) Tìm m để hàm số :    

1

y m x  m x xnghịch biến .ĐS:  2 m1  LUYỆN TẬP DẠNG LUYÊN THI

Bài 1: Xét đồng biến , nghịch biến hàm số :

2

y x x

ĐS: Hàm cho đồng biến 1;

 



 

 

, nghịch biến ;1

 

 

 

HD: Để xét dấu y’ áp dụng BPT:

 2 ( )

( ) ( )

( ) g( )          g x f x g x

f x x

Bài 2: Chứng minh hàm số

y  x x  nghịch biến 

HD: Để chứng minh y’  , x  ,ta áp dung BPT

2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

g x f x

f x g x

g x

f x g x

                      Bài 3: Xét đồng biến , nghịch biến hàm số :

a) y = x –sinx , x  [0;2 ] ĐS: h/s đồng biến đoạn [0;2] b) y = x +2cosx , ;5

6

x   

 

ĐS: h/s nghịch biến ;5 6  

 

 

 

Bài 4: Tìm m để hàm số    

1

3

y  x  m x  m x đồng biến trên0;3

HD: Hàm số đồng biến 0;3 y 0, x 0;3         2 , 0;3 x x m x x

ÑS: 12

GV: Nguyễn Văn Khánh - - THPT SỐ PHÙ MỸ

ĐT : 0169 8033 568 Bài 5: [ĐH.K.A -2013] Tìm m để hàm số

3

y x  x  mx nghịch biến khoảng 0;  ĐS:m  1

 Chú ý: Dạng toán tìm điều kiện tham số m để hàm số f(x) đồng biến (nghịch biến)

khoảng dạng thường gặp thi đại học Một số sách tham khảo thường giải toán dạng cách sử dụng định lý đảo dấu tam thức bậc hai Định lý khơng cịn học chương trình THPT Do cách giải khơng hợp lệ kì thi TSĐH.

Bài 6: Tìmađể hàm số

3

yx  x ax a nghịch biến đoạn có độ dài ĐS: 9 a

HD: ycbt  1 2  1 22 1 2

3

a

x x   x x  x x     a (với x1,x2 N0 y’)

Baøi 7: Cho < <

2



Chứng minh rằng: sin + cos >

HD: XÐt hµm sè : f(x) = xsinx + cosx - víi x  0,

2



 

 

 

Bài 8: Giải phương trình:

4x 1 4x  1

HD: Xét hàm số y 4x 1 4x21 TXÑ: 1;       

D ÑS:

2 

x

Baøi 9: Giải bất phương trình sau: x9 2x4 5

HD: Xét hàm số y f x( ) x9 2x4 TXÑ: D   2;  ÑS: T 0;

Bài 10: [ĐH-K.B-2007] Chứng minh với giá trị dương m , phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt:

 

2

2

x  x  m x (1)

HD: (1)  3 2

6 32 (2)

x

x x m

  

  



Xét hàm số f x x36x232, x 2 Bảng biến thiến suy đpcm

Bài 11: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 3

sin xcos xm.(1)

HD: (1)  t33t 2m, với sin cos 2 sin t  x x x 

  Xét hàm số  

3

f t t  t, t  2; 2 ĐS:  1 m1

Bài 12: [ĐH-K.D-2004] Chứng minh phương trình sau có 1 nghiệm x5x22x  (1)

HD: Giả sử x nghiệm (1), ta có 0

 2

5

0

x  x   x 05  x 0 0  

0 1

x    x 05  x  0