Đề tài Giải quyết các bài toán xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số toán THPT

Bài toán xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số là một bài toán rất quen thuộc đối với học sinh lớp 12, nó có mặt trong hầu hết các kì thi: Tốt nghiệp, cao đẳng, đại học, trung học chuyên nghiệp. Vì vậy nó có một vị trí rất quan trọng trong chương trình toán phổ thông. Mặt khác do đối tượng học sinh đại trà nên việc dạy và học phần này cũng gặp nhiều khó khăn. Bài tập trong sách giáo khoa còn ít và chưa đa dạng. Để việc dạy và học phần này chủ động hơn và có hiệu quả hơn tôI viết đề tài này áp dụng cho học sinh đại trà

Việc giảI quyết bài toán xác định hàm số có tác dụng to lớn đối với học sinh:

- Thứ nhất: Thông qua bài toán xác định tính đồng biến và nghịch biến của hàm số giúp học sinh chủ động hơn trong cách phân tích, tìm lời giảI cho bài, học sinh thấy được mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn, qua đó giúp học sinh

có hứng thú học tập hơn, hiệu quả giờ dạy cao hơn

- Thứ hai: Việc giảI bài oán xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm

số giúp học sinh củng cố, đào sâu kiến thức rèn luyện tính linh hoạt, khả năng sáng tạo Khi giảI bài toán này học sinh phảI thường xuyên phảI sử dụng kiến thức liên quan như: GiảI phương trình, biến đổi tương đương, các kiến thức về đạo hàm, tam thức bậc hai, xét chiều biến thiên, kĩ năng biến đổi…

- Thứ ba: Thông qua việc giảI bài toán xác địng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số giúp học sinh rèn luyện các thao tác tư duy như: Phân tích, tổng hợp, có khả năng đặc biệt hoá, kháI quát hoá bài toán Mặt khác còn rèn luyện cho học sih các phẩm chất trí tuệ như: Tính cẩn thận, chặt chẽ, linh hoạt, nâng cao khả năng sáng tạomoix khi gặp một bài toán có thể suy nghĩ tìm tòi những lời giảI khác nhau, chọn ra cách giảI hay nhất

Tuy nhiên vấn đề xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số xen kẽ các vấn đề khác nên học sinh gặp khó khăn như lúng túng khi tìm đường lối giảI

có khi vận dụng một cách máy móc dập khuân

Vì những lí do trên, tài liệu này hệ thống một số phương pháp giảI bài toán xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số những sai lầm mà học sinh hay mắc phảI trong quá trình giảI bài toán

II Nhiệm vụ và mục đích nghiên cứu.

Nhằm đè xuất phương pháp giúp việc dạy và học nội dung bài toán xác địng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số đạt kết quả cao hơn

III Phương pháp nghiên cứu.

Nghiên cứu bằng lí luận dạy và học, nghiên cứu các sách giáo khoa, tài liệu tham khảo và các tài liệu có liên quan gắn liền với điều kiện thực tiễn, phương pháp giảng dạy ở trường THPT Sơn Thịnh

IV Cấu trúc kinh nghiệm.

Chương I Các kiến thức cơ bản

Chương II Các dạng bài toán về tính đơn điệu

PHẦN II NỘI DUNG KINH NGHIỆM.

CHƯƠNG I CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN.

I Định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến

1 Định nghĩa

Giả sử hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) Ta nói:

- Hàm số y=f(x) đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) nếu ∀ x1; x2 ∈(a;b) mà

) ( )

1 2

1 2

1

x x

x f x f x x

y y

- Hàm số y=f(x) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) ⇔ <0

trên khoảng (a;b).

- Hàm số y=f(x) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) ⇒f’(x)= lim 0

trên khoảng (a;b)

II Liên hệ giữa tính đơn điệu và đạo hàm của hàm số

1 Định lí 1:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b)

a, Nếu f’(x)>0 ∀ x∈(a;b) thì y = f(x) đồng biến trên khoảng đó.

b, Nếu f’(x)<0 ∀ x∈(a;b) thì y = f(x) nghịch biến trên khoảng đó.

2 Định lí 2:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b)

Nếu f’(x)≥0 ( hoặc f’(x)≤0 ) và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số điểm hữu hạn trên (a;b) thì y = f(x) đồng biến ( hoặc nghịch biến ) trên khoảng đó

3 Điểm tới hạn:

Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0 ∈ (a;b) Điểm x0

được gọi là một điểm tới hạn của hàm số nếu tại đó f’(x) không sác định hoặc bằng 0

4 Quy tắc tìm tính đơn điệu của hàm số:

- Tìm khoảng đơn điệu của hàm số được thông qua bảng biến thiên

a, Tìm các khoảng giới hạn

b, Xác định dấu của đạo hàm trong các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn

c, Suy ra chiều biến thiên của hàm số trong mỗi khoảng

III Sự đồng biến, nghịch biến của một số hàm thông dụng

1 Hàm số bậc nhất:

y= ax+b (a ≠0)

- Tập xác định: R

y’ = a

a>0 ⇔ y’ > 0 ⇒ Hàm số luôn đồng biến.

a<0 ⇔ y’ < 0 ⇒ Hàm số luôn nghịch biến.

- Tập xác định: R

y’ = 2ax + b

y’ = 0 ⇔

a

b x

2

−

=

+ Nếu a>0

x −∞

a b 2 − + ∞

y’ - 0 +

y +∞ +∞

a 4 ∆ − Hàm số đồng biến trên ( a b 2 − ;+ ∞) và nghịch biến trên (− ∞; a b 2 − ). + Nếu a<0 x −∞

a b 2 − + ∞

y’ + 0

-y a ∆ − ∞ − − ∞

Hàm số nghịch biến trên (

a

b

2

− ;+ ∞) và đồng biến trên (− ∞;

a

b

2

- Vẽ đồ thị:

a>0

b 2a

a<08

b 2a

b x a

3

3 3

3

2 2

b x a

3 3

+ a, ∆=b2 −3ac < 0 ⇒ y’ cùng dấu với a.

Nếu a> 0 hàm số bậc ba luôn đồng biến

Nếu a< 0 hàm số bậc ba luôn nghịch biến

* Bảng biến thiên:

a>0

x −∞ +∞y’ + +

y +∞

* Đồ thị:

a>0

- Nếu b > 0 ⇒ y’ = 0 có một nghiệm x = 0

a< 0 : Hàm số đồng biến trên khoảng (− ∞;0) và nghịch biến trên

khoảng ( 0 ; + ∞).

a> 0 : Hàm số nghịch biến trên khoảng (− ∞;0) và đồng biến trên

khoảng ( 0 ; + ∞)

* Bảng biến thiên:

a>0

x − ∞ 0 + ∞

y’ - 0 +

y +∞ +∞

f(0)

a<0 x −∞ 0 + ∞

y’ - 0 +

y

f(0)

− ∞

∞ −

* Đồ thị :

a>0

f(

f(0)

- Suy ra chiều biến thiên của hàm số.

* Ví dụ 1: Xác định các khoảng đơn điệu của hàm số:

Y’ = 0











=

−

=

=

⇔

1 1 0

x x x

Bảng biến thiên:

x − ∞ -1 0 1 + ∞

y’ - 0 + 0 - 0 +

y +∞ +∞

⇒ Hàm số nghịch biến trên khoảng (− ∞ ; − 1) và (0;1)

Hàm số đồng biến trên khoảng (-1;0) và (1; + ∞)

* Ví dụ2: Xác định các khoảng đơn điệu của hàm số:

a, y = ex - x

b, y = x lnx

Giải:

a TXĐ: R

y’ = ex - 1

y’ > 0 ⇔ ex - 1 > 0 ⇔ ex > 1 = e0 ⇔ x > 0.

y’ < 0 ⇔ x < 0.

⇒ Hàm số nghịch biến trên khoảng (− ∞ ; 0)

Hàm số đồng biến trên khoảng (0; + ∞)

b, y = x lnx

TXĐ: R+*

y’ = lnx + x

x

1

= lnx + 1

y’ > 0 ⇔ lnx > 1 = ln e−1 ⇔ x > e− 1=

e

1

y’ < 0 ⇔ lnx < 1 = ln e−1 ⇔ x < e− 1=

e

1

⇒ Hàm số nghịch biến trên khoảng (

e

1

;

0 )

- Hàm số luôn đồng biến ⇔y’ ≥ 0, ∀x∈R

Bài toán trở thành “ Tìm điều kiện để y’ ≥ 0, ∀x∈R”

y’ = 0 Luôn có ít nhất một nghiệm thực, do đó hàm số tương ứng không thể đồng biến

* CHÚ Ý: Dạng bài toán tìm điều kiện để hàm số y = f(x) luôn nghịch biến làm

tương tự như trên

10

1

Vậy các giá trị của m cần tìm là

6

16

0 1

−

≤ +

−

−

⇔

0 1 2 3

0 1 2 3

m m

m m

0 4

4

m m

* BÀI TOÁN 3:

Cho hàm số y = f(x;m), m là tham số

Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng (α ;+∞).

* Phương pháp giải:

y’ = f’(x;m)

Hàm số đồng biến trên khoảng (α ;+∞ ) ⇔ y' ≥ 0, ∀x> α

+) Giả sử y’ = g(x) = ax2 +bx+c (a ≠ 0) Hoặc y’ luôn cùng dấu với g(x)

Hàm số đồng biến trên khoảng (α ;+∞).

S g a

αα

+) Giả sử y’ = g(x) = ax +b (a ≠ 0) Hoặc y’ luôn cùng dấu với g(x).

Hàm số đồng biến trên khoảng (α ;+∞).

-) Nếu m = -1 ⇒ y'= 2(x+1)2 ≥ 0 Hàm số luôn luôn đồng biến ⇒ Hàm số

đồng biến trong khoảng (1;+∞) Do đó, giá trị m = -1 là thích hợp

-) Nếu m ≠ -1 ⇒ ∆'>0, y’ có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Giả sử x1 <x2

0 1 '

0 '

1 2

m

m m m

22

3−

≤

Vậy: m ≤3−2 2

y’ = 0 có hai nghiệm x = 1, x = m + 1.

-) Nếu m = 0 ⇒ y'≥0 ⇒ Hàm số luôn luôn đồng biến ⇒ Hàm số đồng biến

nghịch biến trong khoảng (1;+∞)

14 4

1 ,

<

⇔

1 2 2

0 ) 14 5 ( 0

S

m m

Hàm số đồng biến trên khoảng (− ∞ ; α ) ⇔ y'≥0, ∀x< α

+) Giả sử y’ = g(x) = ax2 +bx+c (a ≠ 0) Hoặc y’ luôn cùng dấu với g(x).

Hàm số đồng biến trên khoảng (− ∞ ; α).

S g a

αα

+) Giả sử y’ = g(x) = ax +b (a ≠ 0) Hoặc y’ luôn cùng dấu với g(x).

Hàm số đồng biến trên khoảng (− ∞ ; α).

0 1 ' 0

0 '

0 14 24

0 6

0 1 6 2 2

m m m

1 6

1

m m m m m

1 12

7

6

1 6

4

m x

Hàm số đồng biến trên khoảng (− ∞ ; α ) ⇔ y'≥0, ∀x< α

+) Giả sử y’ = g(x) = ax2 +bx+c (a ≠ 0) Hoặc y’ luôn cùng dấu với g(x)

α

2

0 0

S g

β

α

g g

+) Giả sử y’ = g(x) = ax +b (a ≠ 0) Hoặc y’ luôn cùng dấu với g(x)

Ta cần có y’ ≥ 0 , ∀x∈(α ; β)

( ) ( )

β

α

g g a

( ) ( )

0 0

2

3 2

m x

x mx

x

Giả sử x1 <x2 Ta có, y’ > 0 , ∀x∈(x1 ;x2) Hàm số đồng biến trong khoảng ( )1 ; 2

( )1 ; 2 ,

1

1

m x

0 1 3

12

0 2

− +

− đồng biến trong khoảng ( )0;3

Giải:

y’ = −x2 + 2(a− 1)x +a+ 3

a a

0

' > ∀ ∈

⇔ y x Điều kiện phải có là:

0 0 1

⇔

0 3 1

6 9

0 3

a a

KẾT QUẢ KINH NGHIỆM

Tài liệu này đã được thông qua tổ…………, được các đòng nghiệp góp ý Qua quá trình giảng dạy đã được bổ sung Tài liệu này đã đạt được một số kết quả:

- Hệ thống được các phương pháp giải toán xác định tính đơn điệu của hàm số, mỗi phương pháp được minh hoạ bằng một số ví dụ cụ thể

- Thông qua việc giảI bài toán xác định tính đơn điệu của hàm số giúp học sinh cùng cố, đào sâu kiến thức, thấy được sự liên hệ chặt chẽ các kiến thức toán học

- Việc giảI bài toán xác định tính đơn điệu của hàm số không chỉ nhằm hình thành kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo cho học sinh mà còn phát huy được tính tích cực, độc lập, sáng tạo của học sinh Đây chính là vấn đề mấu chốt, là mục tiêu cơ bản của dạy học hiện đại

Những két quả trên đây tuy còn nhỏ bé nhưng cũng giúp cho việc giảng dạy và học tập được chủ động và đạt kết quả cao hơn Học sinh có tiến bộ và yêu thích môn toán hơn

Tuy nhiên tài liệu vẫn còn sơ sài, rất mong sự đóng góp của đồng nghiệp

để tài liệu được đầy đủ và hoàn thiện hơn TôI xin chân thành cảm ơn

*