Phương pháp hàm số với các bài toán phương trình có chứa tham số

 4 27 3 *Nhận xét : Với dạng bài tập này vẫn là dạng fx=gm , m là tham số điều quan trọng là +Nếu với yêu cầu “tìm điều kiện để phương trình có nghiệm “ thì chỉ cần tìm miền giá trị[r]

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC – GIÁO VIÊN : NGUYỄN MINH NHIÊN – ĐT 0976566882 PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ VỚI CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA THAM SỐ Trong đề thi đại học năm gần đây phần nhiều các bài tập câu 4b phương trình , hệ phương trình có sử dụng phương pháp hàm số Sau đây tôi xin giới thiệu vài kĩ sử dụng phương pháp đó Ta thường gặp số dạng toán sau: *Sử dụng tính đơn điệu đưa dạng là f(x)=g(m) và f(x)=f(y) với f(t) là hàm đơn điệu *Sử dụng việc khảo sát biến biến thiên để tìm điều kiện có nghiệm biện luận số nghiệm phương trình hệ phương trình Trong quá trình làm dạng trên nhiều trường hợp ta phải đánh giá dấu đạo hàm dựa vào phương pháp hàm số sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc : Côsi , Bunhiacopxki, Bài1 Chứng minh với m>0 phương trình sau luôn có nghiệm  x  mx   (1) log    2x  x  mx     2x    Giải x  mx   nên Vì  x  mx   ĐKXĐ:  (*) m>0 nên (*)  x  2x   1  log x  mx   x  mx   log  2x  1  2x  (2) Xét hàm số : f  x   log t  t; t   0;   f ' x   mà   0, t   0;   đó hàm số f(x) đồng biến trên  0;   t ln x  mx   0; 2x   nên phương trình (2)  x  mx   2x  (3) 1 thì  3  x  mx   4x  4x   m  3x   (4) x 1  1  Xét hàm số : g(x)= 3x   ; x   ;   , g’(x)>0 , x   ;   x 2  2  Với x  Từ Bảng biến thiên suy phương trình (4) luôn có nghiệm x  , m  điều này có nghĩa là phương trình (1) có nghiệm *Nhận xét : Cách làm chính dạng bài này chính là +Đưa phương trình ( hệ phương trình ) dạng f(x)=f(y) , x,y thuộc D và hàm f(t) đơn điệu trên D +Phần còn lại là sử dụng bảng biến thiên hàm g(x) để biện luận số nghiệm Bài Tìm a để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt Lop12.net CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC – GIÁO VIÊN : NGUYỄN MINH NHIÊN – ĐT 0976566882 x  3x  6x  ax  6x  3x   (1) Giải Vì x=0 không là nghiệm phương trình nên chia vế phương trình cho x3 ta : 1       x    3 x     x    a x   x   x  thì x2 –tx+1=0 , để tồn x thì   t    t  x Phương trình trở thành : t3 + 3t2 -9t = a + (2)  t  2 Để ý với  phương trình đã cho có đúng nghiệm x , còn với t mà |t| >2 cho tương ứng t  với giá trị x Do đó , (1) có nghiệm phân biệt  (2) có nghiệm t  2 có đúng nghiệm t cho |t| >2 2  a  *TH1 : (2) có nghiệm t  2   không thoả mãn 22  a  *TH2 : (2) có đúng nghiệm t cho |t| >2 Xét hàm số y=t3 +3t2 -9t với t   ; 2    2;   Đặt t  x  t  y’  3t  6t      t  3 BBT t -∞ y’ + -3 -2 - +∞ + +∞ 27 y 22 -∞ a   27 a  21 Từ BBT ta có 2) có đúng nghiệm t cho |t| >2    a   a  4 a  21 KL: giá trị a thoả mãn  a  4 *Nhận xét : Đây là dạng toán gặp khá nhiều , làm cần lưu ý +Đặt ẩn phụ t chuyển sang phương trình với t  D ( cần đánh giá để miền giá trị t ứng với miền giá trị x ) +Đưa phương trình dạng f(t)=g(m) , t  D  π Bài : Tìm m để phương trình : sin3x=cosx(x3+m3) (1) có nghiệm trên nửa khoảng  0;   3 Giải Lop12.net CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC – GIÁO VIÊN : NGUYỄN MINH NHIÊN – ĐT 0976566882  π Do x   0;  nên phương trình tương đương với : tgxsin x  x  m3  3 Xét hàm số f  x  =tgxsin x  x f '  x   tg x  2sin x  3x Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho số ta có  tg x  2sin x  1     tgx  2sin x  2  tg x  2sin 2  tgx  2sin x  x  π Ta cần chứng minh tgx  2sinx  3x; x   0;  là xong  3  π Xét hàm số g(x)=tgx+2sinx-3x , x   0;  ,  3 g ' x   1  π  cos x   3 cos x cos x   0; x   0;  2 cos x cos x  3  π  π nên hàm đồng biến trên nửa khoảng  0;  hay g(x)>g(0)=0, x   0;   3  3 Như , f '  x   tg x  2sin x  3x 2  tgx  2sin x    3x  3x    3x  đó , hàm số đồng biến  π trên nửa khoảng  0;   3 3 π3 π Từ đó ta có , phương trình (1) có nghiệm  f    m  f     m   27 3 *Nhận xét : Với dạng bài tập này ( là dạng f(x)=g(m) , m là tham số ) điều quan trọng là +Nếu với yêu cầu “tìm điều kiện để phương trình có nghiệm “ thì cần tìm miền giá trị hàm f(x) phương pháp hàm số sử dụng bất đẳng thức +Nếu với yêu cầu “tìm điều kiện để phương trình có k nghiệm “ thì thông thường ta hướng tới việc khảo sát biến thiên hàm f(x) Bài viết tôi còn điều chưa làm đó chính là “ nào , gặp dạng toán nào” thì sử dụng phương pháp này , mong các bạn cùng trao đổi để bài viết tốt BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm : x2  x 1  x2  x 1  m HD : xét biến thiên hàm y  x  x   x  x   π Bài Tìm a để phương trình ax   cos x có đúng nghiệm x   0;   2 x x x   2sin sin  sin     cos x 1 2 HD :   x  phương trình trở thành 2a   x  2 x x 2        Lop12.net CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC – GIÁO VIÊN : NGUYỄN MINH NHIÊN – ĐT 0976566882 sin t  π ; t   0;  t  4 Bài Chứng minh với m  R hệ sau luôn có nghiệm Và xét biến thiên hàm số y   yx  m  y (1)  2  x y  2y x  π  y (2) HD : để ý từ hệ suy x  y  1  y  x  y   π2  x  π  y thay vào phương trình (1) và đặt t  y phương trình : y t  m2 t   π  t   đến đây khảo sát hàm vế trái chứng minh nó là hàm đồng biến trên (0;+∞) Bài Tìm m để phương trình có nghiệm a,  x   x   2x  x  m b, x   x  x   x  m Bài Tìm m để phương trình có nghiệm a, cos x   cos x  cos x  cos x  m b,  4m  3 x    3m    x  m   Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt x  m  5 5x  m Lop12.net