Chuyên đề 8 - Các bài toán về đa thức một ẩn

Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên.. Chiều ngược lại cm tương tự.[r]

Chuyên đề 8 : Các toán đa thức ẩn

Bài : Cho đa thức P(x) = a x3 + bx2 + cx + d ( a khác 0)

Biết P(1) = 100 , P( -1) = 50 , P(0) = , P( 2) = 120 Tính P(3)

HD : ta có P(1) = 100  a + b + c + d = 100 P(-1) = 50  - a + b – c + d = 50 P( 0) =  d =

P(2) = 8a + 4b + c + d = 120

Từ tìm c, d, a XĐ P(x)

Bài 2 : Cho f(x)ax2bxc với a, b, c số hữu tỉ

Chứng tỏ rằng: f(2).f(3)0 Biết 13ab2c 0

HD : f( -2) = 4a – 2b + c f(3) = 9a + 3b + c  f(-2).f(3) =(4a – 2b + c)( 9a + 3b + c)

Nhận thấy ( 4a – 2b + c) + ( 9a + 3b + c) = 13a + b + 2c =  ( 4a – 2b + c ) = - ( 9a + 3b + c)

Vậy f(-2).f(3) = - ( 4a – 2b + c).( 4a – 2b + c) = - ( 4a -2b + c)2 

Bài Cho đa thức f(x)ax2bxc với a, b, c số thực Biết f(0); f(1); f(2) có giá trị nguyên Chứng minh 2a, 2b có giá trị nguyên

HD : f(0) = c , f(1) = a + b + c , f(2) = 4a + 2b + c

Do f(0) ,f(1), f(2) nguyên  c , a + b + c 4a + 2b + c nguên

 a + b 4a + 2b = (a + b) + 2a = 4( a + b) -2b ngyên  2a , 2b nguyên

Bài Chứng minh rằng: f(x)ax3bx2cxd có giá trị nguyên với x nguyên 6a, 2b, a + b + c d số nguyên

HD : f(0) = d , f(1) = a + b + c + d , f(2) = 8a +4 b + c + d

Nếu f(x) có giá trị nguyên với x  d , a + b + c + d, 8a +4b + c + d số nguyên Do d nguyên  a + b + c nguyên (a + b + c + d) + (a + b +c +) +2b nguyên 2b nguyên  6a nguyên Chiều ngược lại cm tương tự

Bài : Tìm tổng hệ số đa thức nhận sau bỏ dấu ngoặc biểu

thức: A(x) = 2004 2005

) ( )

(  xx  xx

HD : Giả sử A( x) = ao + a1x + a2x2 + … + a4018x4018

Khi A(1) = ao + a1 +a2 + …….+ a4018

A(1) = nên ao + a1 +a2 + …….+ a4018 =

Bài : Cho x = 2011 Tính giá trị biểu thức:

2011 2010 2009 2008

2012 2012 2012 2012 2012

x  x  x  x   x  x

HD : Đặt A = 2011 2010 2009 2008

2012 2012 2012 2012 2012

x  x  x  x   x  x

2010 2009 2008

( 2011) ( 2011) ( 2011) ( 2011) x x x x x x  x x  x

 x = 2012 A = 2011