Đang tải... (xem toàn văn)
Sau đó nhận thấy tiềm năng khai thác của nó tôi đã rất hứng thú, các bài toán trong bài viết tìm tòi xoay quanh bài toán gốc, chúng bổ trợ lẫn nhau tạo ra một chuỗi bài toán thú vị.. Bài[r]
(1)(2)Lời nói đầu Dạo gần có nhiều thời gian rảnh, tơi để ý hứng thú với toán đẹp Sau nhận thấy tiềm khai thác tơi hứng thú, toán viết tìm tịi xoay quanh tốn gốc, chúng bổ trợ lẫn tạo chuỗi toán thú vị
Bài toán 1(lovely kitty) Cho tam giác ABC nội tiếp (O) P,Q hai điểm liên hợp đẳng giác ứng với tam giác ABC AP cắt (O)tại điểm thứ hai P0 T đối xứng P qua BC S thuộc (O) cho AS vuông BC P0S cắt BC R Chứng minh QS vng góc RT
Lời giải 1(Nguyễn Đắc Quán) Gọi D hình chiếu P lênBC Điều phải chứng minh tương đương với ∠QS A=∠P SD Gọi AP∩BC=U AQ∩ (O)=Q06=A
Ta có: 4PBP0∼ 4BQQ0(g.g) Do đó: P P0.QQ0=P0B.Q0B.
Để ý 4RBP0 ∼ 4BSQ(g.g) suy ra: RP0.Q0S = P P0.QQ0 =P0B.Q0B suy ra:4RP0P ∼ 4QQ0S(c.g.c)suy ra:∠P RD=∠AU C−∠RPU=∠ASQ0−∠QSQ0=
∠QS A Do ta có điều phải chứng minh
(3)Lời giải 2(An Chu)
Bổ đề Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi D,E hai điểm liên hợp đẳng giác ứng với tam giác ABC AD cắt (O) M, ME cắt BC P, DP ËAE
Chứng minh. AE cắt BC Q, cắt (O)tại N,
∠B AM=∠C AN⇒M NËBC Bằng biến đổi góc
∠MDC=∠NCE, ∠NCQ=∠M AC
Từ 4MDCv4NCE, 4M ACv4NCQ (g.g), ý PQËM N thu M A
MD =
M A NC ·
NC
MD =
MC NQ ·
N E
MC =
N E
NQ =
(4)Quay trở lại toán Kéo dài AQ cắt(O) tạiQ0, P0Q cắt BC tại D, P0S cắt
P T E
Theo bổ đề P DËAQ,chú ý P,T đối xứng qua BC P TËAS ta có ∠DT P=∠DP T=∠S AQ0=1
2sđ SQÙ0=
2(sđ QÛ0SB−sđ ÙSB)=∠P
0RC.
Mặt khác P T⊥RC nên P0R⊥DT dẫn đến E là trực tâm tam giác DRT suy
ra DE⊥RT
Chú ý ASËP E, P DËAQ, định lý Thales ta có P0E
P0S =
P0P P0A =
P0D
P0Q ⇒QSËDE
Bởi vậyQS⊥RT
Tiếp tục khai thác thú vị bạn Hà Huy Khôi cho bài tốn 1
Bài tốn 2(Hà Huy Khơi) Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có trực tâm H P,Q điểm liên hợp đẳng giác tam giác ABC Gọi P0 đối xứng P quaBC Đường thẳng qua H⊥ AP cắtBCtại E Chứng minh rằngQE⊥HP0.
(5)Ta có: JB
JC = A(BC,J x)=H(CB,E I)= EC EB :
IC
IB (chiếu trực giao)
⇒ EC
EB =
JB JC
IC IB =(
AB AC
PaB PaC
).IC IB =(
AB IB
IC AC)
PaB PaC =
(DC D I
D I DB)
QaC QaB =
DC DB
QaC QaB
⇒E,Qa,D (bổ đề cát tuyến đảo)
Gọi Q0 đối xứng Q qua BC áp dụng bài tốn 1 ta có ngayQ0E⊥P D Qua phép đối xứng trục BC suy QE⊥P0H
Nhận xét Bài toán bổ đề bạn Khơi tìm tịi q trình giải bài tốn 3 đề nghị Kết bài toán 2 hay đáng lưu ý
Bài toán 3(Nguyễn Duy Khương) Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có trực tâm H, tâm nội tiếp I (I) tiếp xúc BC D Gọi (D,D I)cắt BC S,T Gọi K hình chiếu H lên A I Chứng minh H,K,S,T đồng viên
Lời giải (Hà Huy Khôi) Để bảo lưu lời văn tác giả lời giải xin lưu ý độc giả kí hiệu (X,Y,Z,T)c yc tức X,Y,Z,T đồng viên
Gọi I’ đối xứng I qua BC I I0 là đường kính của (D) Gọi HK cắt BC tại
E
Từ bổ đề, cho P=Q=I ta thu H I0⊥E I
⇒GọiH I0cắtI E tại J thì∠I J I0=90◦⇒(I,I0,J,S,T)
(6)⇒EH.EK=E I.E J=ES.ET ⇒(H,K,S,T)c yc
Nhận xét Ban đầu sáng tác tốn cách đặc biệt hóa bài tốn
giác ABC tiếp xúc BC K Phân giác ngồi góc BHC cắt BC D E trung điểm I H Chứng minh D I vng góc EK
Lời giải(Nguyễn Duy Khương) Gọi H M phân giác góc BHC với M∈BC ta có: ∠H MB=∠HCB+∠BHC
2 =90
◦−∠B+90◦−∠A
2 =∠C+ ∠A
2 suy ra:H MkA I HD⊥A I R Lấy I0 đối xứng I qua BC Ta cần I0H vuông I D Gọi H0 trực tâm tam giác I I0D Gọi (K;K I)∩BC=S,T J hình chiếu I0 lên I D Ta cần có: D J.D I=DH.DR=DS.DT hay là
ta quy chứng minh nội dung bài toán 3 Từ H,H0,J,I0 thẳng hàng Do đó: K E⊥I D
Nhận xét Bài toán cuối ứng dụng hay tính chất từ bài tốn 3 Thú vị thể toán số sinh để dùng toán
1 cho tâm nội tiếp có lời giải dài Lời giải bạn Khơi vận dụng đẹp bài tốn 2 Ngồi lời giải đẹp bạn tham khảo lời giải Eugeo Synthesis 32
(7)