Đang tải... (xem toàn văn)
Muốn cộng hai số nguyên khác dấu không đối nhau ta tìm hiệu hai giá trị tuyệt đối của chúng (số lớn trừ số nhỏ) và đặt trước kết quả tìm được dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn hơn. T[r]
(1)Chuyên đề 1
CÁC PHÉP TOÁN TRONG N
1. Tính chất giao hốn phép cộng phép nhân. D a + b = b + a ; a.b = b.a
Khi đổi chỗ số hạng tổng tổng khơng đổi Khi đổi chõ thừa số tích tích khơng đổi. 2. Tính chất kết hợp phép cộng phép nhân:
(a + b ) + c = a + ( b + c); (a.b).c = a(b.c);
Muốn cộng tổng hai số với số thứ ba , ta cộng số thứ nhất với tổng hai số thứ hai thứ ba.
Muốn nhân tích hai số với số thứ ba ,ta nhân số thứ với tích số thứ hai số thứ ba.
3. Tính chất phân phối phép nhân phép cộng.: a(b+ c) = ab + ac
Muốn nhân số với tổng , ta nhân số với số hạng của tổng cộng kết lại.
1. Điều kiện để thực phép trừ số bị trừ lớn số trừ. 2. Điều kiện để a chia hết cho b ( a,b ¿ N ; b ≠ 0) có số tự nhiên p sao
cho
a= b.p.
3. Trong phép chia có dưa;
số bị chia = số chia x thương + số dư ( a = b.p + r) số dư khác nhỏ số chia.
Ví dụ 1 a) Tính tổng sống tự nhiên từ đến 999;
b) Viết liên tiếp số tự nhiên từ đến 999 thành hang ngang ,ta số 123….999 tính tổng chữ số số
Giải a) Ta có + + + ……+ 997 + 998 + 999 = (1+ 999) + ( + 998 ) +(3 + 997 ) … + (409 + 501 ) = 1000.250 = 250000
b) số 999 có tổng chữ số 27, tách riêng số 999 , kết hợp với 998; với 997 ; với 996;… thành cặp để có tổng 999, tổng có tổng chữ số 27.vì có 499 tổng ,cộng thêm với số 999 có tổng chữ số 27.do tổng chữ số nêu 27.50= 13500
Bài tập : Tính
a) + + +15 + 23 + ….+ 160; b) + + + + 14 +….+ 60 + 97; c) 78.31 + 78.24 + 78.17 +22.72
(2)A = 100 + 98 + 96 + ….+ - 97 – 95 - …- ;
B = + – – + + – – + + 10 – 11 – 12 + …- 299 – 330 + 301 + 302; Tính nhanh
a) 53.39 +47.39 – 53.21 – 47.21 b)2.53.12 + 4.6.87 – 3.8.40; c) 5.7.77 – 7.60 + 49.25 – 15.42 3.Tìm x biết:
a) x : [( 1800+600) : 30] = 560 : (315 - 35); b) [ (250 – 25) : 15] : x = (450 - 60): 130 Ví dụ 2
Hãy chứng tỏ rằng: a) (22)3 = 22 3 ; (33)2 = 33 2 ; (54)3 = 5 3; b) (am)n = a m n ; (m,n
¿ N) Giải:
a) (22)3 = 22.22.22 = 22+ 2+2 = 26 = 22.3
tương tự làm tao có: (33)2 = 33 2 ; (54)3 = 5 3; b) Một cách tổng quát ta có (am)n = a m n ; (m,n ¿ N). Ví dụ a) Hãy so sánh : 23.53 với (2.5)3 ; 32 52 với (2.5)2; b) Hãy chứng minh : (a.b)n = an bn ; (n ≠ 0);
Giải a) 23.53 = 8.125 = 1000; (2.5)3 = 103 = 1000;
Vậy 23.53 = (2.5)3
Tương tự ta dễ dàng chưng minh : (a.b)n = an bn ; (n ≠ 0); 32 52 = (2.5)2;
Bài tập:
1 Viết số sau dạng lũy thừa: a) 10 ; 100 ; 1000; 10000; 100 0; (n số ); b) ; 25; 625; 3125;
2.So sánh số sau:
a) 3200 với 23000 ; b) 1255 với 257 ; c)920 với 2713 d)354 với 281; 3.Viết tích sau đướ dạng lũy thừa:
a) 5.125.625 ; b) 10.100.1000 ; c) 84.165.32; d) 274.8110 ; 4.So sánh:
a) 1030 với 2100 ; b) 540 với 62010 ; 5.Một hình lập phương có cạnh m
a) tính thể tích hình lập phương;
b) cạnh hình lập phương tăng lên lần , lần thể tích hình lập phương tăng lên lần
6 Trong cách viết hệ thập phân số 2100 có chữ số?
(3)1. Tính chất 1.nếu tất số hạng tổng chia hết cho số tổng chia hết cho số : a ⋮ m ; b ⋮ m ; c ⋮ m ⇒ a + b + c ⋮ m
2 Tính chất ,nếu có số hạng tổng không chia hết cho số ,các số hạng lại chia hết cho số thì tổng khơng chia hết cho số đó:
a m ; b ⋮ m ; c ⋮ m ⇒ a + b + c
m
Ví dụ: Cho ba số tự nhiên a, b, c, a b số chia hết cho dư c số chia cho dư
a) Chứng tổ tổng (hiệu)sau: a + c ; b + c ; a - b ; chia hết cho b) Mỗi tổng(hiệu) sau: a+ b + c ; a + b – c ; a+ c – b ;có chai hết cho không? Giải : đặt a = 5n + ; b = 5m + ; c = 5p + ;(n,m,p ¿ N)
a) từ ta có :
a + c = (5n + 5p + 5) ⋮ số hạng chia hết cho 5.
Tương tự: b + c = 5m + 5p + ⋮ ; a – b = 5n – 5m ⋮ 5
b) a + b + c = 5n+ 5m + 5p + khơng chia hết cho 5;
tương tự: a + b – c ; a + c – b
Bài tập:
1.Tìm số tự nhiên x để: a) 113 + x ⋮ 7
b) 113 + x ⋮ 13
2 Chứng tỏ rằng:
ab + ba ⋮ 11 ; abc - cba ⋮ 99;
3.Chứng tỏ rằng:
a) Trong ba số tự nhiên liên tiếp , có số chia hết cho 3; b) Trong hai số tự nhiên liên tiếp , cố số chia hết cho 4; Chứng tỏ :
810 – 9 - 8 ⋮ 55 ; 6 + 5 - 4 ⋮ 11; 81 7 – 27 9 - 13 ⋮ 45; 109 – 10 8 - 10 7
⋮ 555;
5.Chứng tỏ : số abcd ⋮ 99 ab + cd ⋮ 99 ngược lại.
6.Chứng tỏ : số abcd ⋮ 101 ab - cd ⋮ 101 ngược lại
7.Chứng tỏ rằng:
a) Mọi số tự nhiên có ba chữ số giống chia hết cho 37;
b) Hiệu số có dạng 1ab1 số viết số theo thứ tự ngược lại chia hết cho 90
(4)Ví dụ1 Dùng ba chữ số 9, ,5 để ghép thành số co ba chữ số thỏa mãn điều kiên sau:
a) Số chia hết cho 5;
b) Số chia hết cho cho
Giải a) Một số chia hết cho số tận có ba số có chữ số chia hết cho là: 950 ; 590 ; 905
b)Một số chia hết cho cho số tận có hai số có chữ số chia hết cho cho là: 950 ; 590 ;
Ví dụ2 Cho số 123x43y thay x,y chữ số để số cho chia hết cho
Giải Số 123x43y ⋮ nên y = y = 5.
Với y = , ta có số 123x430 số phải chia hết cho , nên + + + x +
4+ +3 ⋮ 3
hay 12 + (x+ 1) ⋮ , 1≤ x + ≤ 10 ,nên x + = ; ; 9.
- Nếu x + = x = ,ta 1232430 - Nếu x + = x = ,ta 1235430 - Nếu x + = x = ,ta 1238430
Với y = , ta có số 123x435 số phải chia hết cho , nên + + + x + 4+ +3 + ⋮ hay 18 + x ⋮ ,nên x = ; ; ; ta có số sau : 1230435;
1233435; 1236435 1239435 Bài tập :
1 Điền chữ số vào dấu * để số :
a) Chia hết cho : 3∗46 ; 199¿∗¿ ; 20∗1 ; b) Chia hết cho : 16∗5 ; 174¿∗¿ ; 53∗6 ;
2 Dùng ba số 5,6,9 để ghép thành số tự nhiên có ba chữ số: a) Lớn chia hết cho 5;
b) Nhỏ chia hết cho 2;
Tìm tập hợp số tự nhiên n vừa chia hết cho vừa chia hết cho 1995 ≤ n ≤2001
Chứng tỏ năm số tự nhiên liên tiếp luốn có số chia hết cho Chứng tỏ rằng:
a) Trong ba số tự nhiên chọn hai số có hiệu chia hết cho 2; b) Trong sáu số tự nhiên chọn hai số có hiệu chia hết cho 5; Chứng tỏ rằng:
a) (5n + )(4n + 6) ⋮ với số tự nhiên n;
b) (8n + )(6n + 5) với số tự nhiên n;
7 Người ta viết số tự nhiên tùy ý cho số số lẻ gấp đôi số số chẵn tổng số viết có chia hết cho hay khơng? Vì sao?
8 Có tờ giấy người ta xé tờ giấy thành mảnh lại lấy số mảnh giấy đó, xé mảnh thành mảnh.cứ sau số lần , người ta đếm 2001 mảnh giấy.hỏi người ta đếm hay sai?
(5)a) cố số có ba chữ số ,các chữ số số khhacs nhau, lập thành từ chữ số trên?
b) Trong số lập thành có số nhỏ 400? Bao nhiêu số số lẻ ? số chia hết cho 5?
Bài tập cñng cè:
1.Điền chữ số vào dấu * để: a) 2001 + 2∗3 chia hết cho 3;
b) 5∗793∗4 chia hết cho 9;
2 Điền chữ số vào dấu * để số chia hết cho mà không chia hết cho : 51∗¿¿
745∗¿ ¿
3.Dùng ba chữ số 3,6,9,0 ghép thành số tự nhiên có ba chữ số cho số đó:
a) Chia hết cho 9;
b) Chia hết cho mà không chia hết cho
4 Phải thay chữ số x, y chữ số để số 123x44y ⋮
5 Tổng (hiệu) sau có chia hết cho , cho không? 102001 + ; 102001 –
6 Tìm chữ số x,y biết số 56x3y chia hết cho Tìm chữ số x,y biết số 71x1y chia hết cho 445
8 Tìm tất số có dạng 6a14b , biết số chai hết cho , cho cho
9 Tìm hai số tự nhiên liên tiếp , có chữ số chia hết cho , biết tổng hai số thỏa mãn điều kiện sau:
a) Là só có ba chữ số; b) Là số chia hết cho 5;
(6)Chủ đề 3: CỘNG HAI SỐ NGUYÊN
Muốn cộng hai số nguyên dấu ta cộng hai giá trị tuyêt đối của chúng đặt trước kết dấu chúng
Ví dụ. tính tổng số nguyên x biết: a) - 10 ≤ x ≤ - ; b) < x < 15
Giải a) - 10 ≤ x ≤ - nên x = { - 10 , - , - , - , - , - , - , - , - , - 1} Vậy tổng phải tìm : A = (- 10) + (- 9) + (- 8) + (- 7) + (- 6) + (- 5) + (- 4) + (- 3) + (- 2) + ( - 1)
= - ( 10 + + + + + + + + + 1) = - 55 b) < x < 15 nên x = { ,7,8,9,10,11,12,13,14} tổng phải tìm B = + + + + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 90
Bài tập:
1 So sánh :
a) │3 + 5│ │3│ + │5│;
b) │(- 3) +(- 5)│ │- 3│ + │- 5│;
Từ rút nhận xét │a + b│ │a│ + │b│ với a , b ¿ Z Điền dấu < , > vào trống cách thích hợp:
a) + │- 23│ 15 + │- 33│ b)│- 11│ + │- 8│ + │- 2│ c) │- 21│+│- 6│ -
3 Tìm x ¿ Z biết :
a) (+ 22) + (+ 23) + x = 21 + │- 24│ b) │- 3│ + │- 7│ = x +
c) +│x│ = │- 8│+ 11; d) │x│ + 15 = -
Tìm cặp số nguyên x, y biết │x│ + │y│=
(7)1 Hai số nguyên đối có tổng
2 Muốn cộng hai số nguyên khác dấu không đối ta tìm hiệu hai giá trị tuyệt đối chúng (số lớn trừ số nhỏ) đặt trước kết tìm dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn
Với số nguyên a ta có a + = + a = a.
Ví dụ. Cho phép cộng (* 15) + ( * 7) dấu * dấu “ + “ dấu “ –“ xác định dấu số hạng để tổng bằng:
a) 22 ; b) – 22 ; c) ; d) -
Giải Trong câu a b , giá trị tổng tổng giá trị tuyệt đối hai số hạng nên phép cộng hai số nguyên dấu dấu tổng dấu chung hai số hạng đó, ta có :
a) (+ 15) + (+7) = 22; b) (- 15) + (- 7) = - 22
Trong câu c d , giá trị tuyệt đối tổng hiệu hai giá trị tuyệt đối hai số hạng nên phép cộng hai số nguyên khác dấu dấu tổng dấu số có giá trị tuyệt đối lớn hơn, ta có:
c) (+ 15) + (- 7) = 8; d) (- 15) + (+ 7) = - Bài tập
1 Tính tổng │a│ + b , biết: a) a = - 117 , b = 23; b) a = -375 , b = - 725; c) a = - 425 , b = - 425 Tìm x ¿ Z , biết :
a) x + 15 = 105 + ( - 5); b) x – 73 = (- 35) + │- 55│; c) │x│ + 45 = │- 17│ + │- 28│ thay dấu * chữ số thích hợp :
a) ( - *15) + ( - 35) = - 150; b) 375 + ( - 5*3) = - 288; c) 155 + ( - 1**) = Tính tổng hai số nguyên:
a) Liền tiếp liền sau số + 15; b) Liền trước liền sau số - 37; c) Liền trước liền sau số 0; d) Liền trước liền sau số a
5.a) Viết số - thành tổng hai số nguyên có giá trị tuyêt đối không lớn 10 b) Viết số - 15 thành tổng hai số nguyên có giá trị tuyêt đối không lớn 20
(8)QUY TẮC CHUYỂN VẾ
1 Quy tắc dấu ngoặc : bỏ dấu ngoặc có dấu “ – “ đằng trước , ta phải đổi dấu tất số hạng dấu ngoặc : dấu “ + “ thành dấu “ – “ dấu “ - “ thành dấu “ + “ Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “ + “ đằng trước dấu số hạng ngoặc vẫn giữ nguyên.
2 Tổng đại số: tổng đại số ta :
- Thay đổi tùy ý số hạng kèm theo dấu chúng;
- Đặt dấu ngoặc để nhóm số hạng cách tùy ý với ý rằng đằng trước dấu ngoặc dấu “ – “ phải đổi dấu tất cả số hạng ngoặc
Ví dụ Tính nhanh: A = - 3752 – ( 29 – 3632) – 51
Giải áp dụng quy tắc dấu ngoặc tính chất tổng đại số ta có: A = - 3752 – ( 29 – 3632) – 51 = - 3752 – 29 + 3632 – 51
= - (3752 – 3632) – ( 29 + 51) = - 120 – 80 = - 200
Bài tập
1 Tính nhanh:
a) 4524 – ( 864 – 999) – ( 36 + 3999); b) 1000 – ( 137 + 572) + ( 263 – 291 ); c) - 329 + ( 15 – 101) – ( 25 – 440) Tìm số nguyến x , biết :
a) – ( 17 – x) = 289 – ( 36 + 289) b) 25 – ( x + 5) = - 415 – ( 15 – 415); c) 34 + (21 – x) = ( 3747 – 30) – 3746 Tính giá trị biểu thức a – b – c , biết:
a) a = 45 , b = 175 , c = - 130; b) a = - 350, b = - 285, c = 85; c) a = - 720 , b = - 370 , c = - 250
4 Cho n số nguyên : a1, a2 ,…,an chứng tỏ S = │a1 – a2│ + │a2 – a3│+ ….+│an-1 + an│+│an – a1│ số chẵn
5 Cho 15 số tự nhiên khác khác , số khơng lớn 28 Chứng tỏ 15 số dã cho tìm nhóm gồm số mà số tổng hai số cịn lại nhóm gồm số mà số gấp đơi số cịn lại
Quy tắc chuyển vế.
(9)thường áp dụng tính chất sau: Nếu a = b a + c = b + c;
Nếu a + c = b + c a = b; Nếu a = b b = a
2. Quy tắc chuyển vế : chuyển số hạng từ vế sang vế đẳng thức ta phải đổi dấu số hạng đó: dấu “ + “ thành dấu “ – “ dấu “ – “ thành dấu “ + “. Ví dụ: Tìm x ¿ Z , biết :
a) – x = (- 21) – ( - 9) , hay – x = -21 + hay – x = - 12 , x = + 12 = 15
b) x – 15 = 17 – 48 hay x = - 16 Bài tập:
1 Tìm y ¿ Z , biết : a) y + 25 = - 63 – ( - 17); b) y + 20 = 95 _ 75; c) 2y – 15 = -11 – ( - 16); d) - _ 2y = - 37 – ( - 26)
2 Cho ba số - 25; 15; x (x ¿ Z) tìm x , biết : a) Tổng ba số 50;
b) Tổng ba số - 35; c) Tổng ba số – 10 Cho x , y ¿ Z Hãy chứng minh rằng:
a) x – y > x > y ; b) x > y x – y > Cho a ¿ Z tìm số nguyên x biết:
a) a + x = 11 ; b) a – x = 27
Trong trường hợp cho biết với giá trị a x số nguyên dương, số nguyên am , số 0?
5 Cho a ¿ Z tìm x ¿ Z biết a) │x│= a ;
b) │x + a│ = a
(10)1. Bội ước số nguyên : cho a , b ¿ Z b≠ có số nguyên q cho a = bq ta nói a chia hết cho b ta cịn nói a bội b va b ước a.
Chú ý :
Nếu a = bq ta cịn nói a chia cho b q viết a : b = q.
Số bội số nguyên khác 0.
Số ước số nguyên nào. Các số – ước số nguyên.
2. Tính chất:
Nếu a chia hết cho b b chia hết cho c a chia hết cho c :
a ⋮ b b ⋮ c ⇒ a ⋮ c.
Nếu a chia hết cho b bội a chia hết cho b : ∀ m ¿ Z ta có a ⋮ b ⇒ a = am ⋮ b.
Nếu hai số a ,b chai hết cho c tổng hiệu chúng chia hết cho c
a ⋮ c b ⋮ c ⇒ ( a + b ) ⋮ c ( a – b ) ⋮ c.
Ví dụ Tìm số ngun n , cho: (n - 6) ⋮ ( n – ).
Giải (n - 6) ⋮ ( n – ) hay [ ( n – ) – 5] ⋮ ( n – ) suy ( - 5) ⋮ ( n – ) hay (n
– 1) ước ( - 5) Do đó:
Nếu n – = -1 n = 0; Nếu n – = n = 2; Nếu n – = - n = -4; Nếu n -1 = n =
Thử lại:
Với n = n – = - , n- = -1 (– 6) ⋮ ( - 1); Với n = n – = - , n- = (– 4) ⋮ 1;
Với n = -4 n – = - 10 , n- = -5 (– 10) ⋮ ( - 5); Với n = n – = , n- = ⋮ 5;
(11)1 Chứng tỏ :
a) Tổng ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 3; b) Tổng năm số nguyên liên tiếp chia hết cho
2 Có hay khơng hình vuông mà số đo độ dài cạnh số nguyên số đo diện tihcs 111…11 ; ( 2001 chữ số 1)?
3 Tìm số nguyên n cho: a) (3n + 2) ⋮ ( n – ).
b) (3n + 24) ⋮ ( n – ).
c) (n2 + 5) ⋮ ( n + ).
4 Cho x, y số nguyên chứng tỏ 6x + 11y chia hết cho 31 x + 7y chia hết cho 31 điều ngược lại có đứng khơng?
5 Chứng tỏ với số nguyên n : a) ( n - 1)( n + 2) + 12 không chia hết cho 9; b) ( n + 2)( n + 9) + 21 không chia hết cho 49;
Chủ đề 6: RÚT GỌN PHÂN SỐ
(12)chúng để phân số đơn gian hơn.
2. Phân số tối giản phân số rút gọn nữa phân số
a
b tối giản │a│và│b│ hai số
nguyên tố nhau.
Ví dụ. Chứng tỏ phân số
5n+3
3n+2 phân số tối giản với ∀ n ¿ N Vì n ¿ N , nên 5n + ¿ N* 3n + ¿ N* để chứng minh phân số
5n+3
3n+2 phân số tối giản với ∀ n ¿ N at phải chứng minh 5n + 3n + hai số nguyên tố
Gọi ƯCLN 5n + 3n + d ( d ¿ N d≥ 1) , ta có 5n + ⋮ d 3n +
⋮ d , 3(5n + 3) ⋮ d 5(3n + 2) ⋮ d suy 5(3n + 2) - 3(5n + 3) ⋮ hay
15n + 10 – 15n – ⋮ d , hay ⋮ d , d = phân số
5n+3
3n+2 phân số tối giản với ∀ n ¿ N
Vì dụ tìm phân số phân số
−188887
211109 , biết tổng tử mẫu phân số 6.
Giải ta có:
−188887
211109 =
−17
19 Các phân số pahir tìm có dạng
−17k
19k (k ¿ Z , k ≠ 0)
Vì tổng tử mẫu phân số nên – 17k + 19k = suy k = Vậy phân số phải tìm :
−17.3
19.3 =
−51
57 Bài tập
1 Rút gọn phân số sau: a)
23.3
22.32.5 b)
(−2)3.33.55.7.8
3.24.53.14
Rút gọn phân số sau:
a)
52.611 162+62 126.152
2 612.104−812 9603 ; b)
2528+2524+ +254+1
2530+2528+ +252+1
(13)a)
15n+1
30n+1 b)
n3+2n n4+3n2+1
4 Tìm tất số nguyên để phân số
18n+3
21n+7 phân số tối giản.
5 a) Cho phân số
13
9 Phải them vào tử mẫu phân số , số tự nhiên để
được phân số phân số
5 ?
b) Cho phân số
19
44 Phải thêm vào tử mẫu phân số , số tự nhiên để
được phân số phân số
22 47 ?
6 Dung chín chữ số từ đến để ghép thành phân số mà phân số : ,3, 4, 5,6 ,7 , 8,
7 Tìm phân số tối giản
a
b , biết:
a) Cộng tử với mẫu với 10 phân số phân số cho;
b) cộng mẫu vào tử , cộng mẫu vào mẫu phân sơ gấp lần phân số cho
8 Tìm phân số , biết :
a) Phân số phân số
9
20 BCNN tử mẫu 360;
b) Phân số phân số
20
39 ƯCLN tử mẫu 36.
9 Tìm phân số a
ab , biết phân số phân số 6a .
10 Chứng tỏ phân số
5n2+1
6 số tự nhiên với n ¿ N cá phân số
n
2
n
(14)Chủ đề 7: QUY ĐỒNG MẪU NHIỀU PHÂN SỐ
Muốn quy đồng mẫu nhiều phân số với mẫu dương ta làm sau: Bước : Tìm bội chung mẫu ( thường BCNN) để làm mẫu chung.
Bươc 2: Tìm thừa số phụ mẫu ( cách chia mẫu chung cho mẫu).
Bước 3: Nhân tử mẫu phân số với thừa số phụ tương ứng. Ví dụ. Rút gọn quy đồng mẫu số phân số sau:
4.5+4.11
8.7−4.3 ;
−15.8+10
5.6+20.3
24.52.7 23.5.72.11
Giải rút gọn phân số:
4.5+4.11
8.7+4.3 =
4(5+11)
4(2.7−3) =
4.16 11 =
16 11 ;
−15 8+10.7
5.6+20.3 =
−5(3.8−2.7)
5(6+4.3) =
−5.10
5.18 =
−10
18 =
−5
9 ;
24.52.7 23.5.72.11
=
2.23.5.5.7 23.5.7.7.11
=
2.5 7.11 =
10 77 .
Quy đồng mẫu ba phân số :
16 11 ; −5 ; 10 77 .
Mẫu chung : 7.9.11 = 693
Các thừa số phụ tương ứng : 9.7 = 63 ; 7.11 = 77 Vậy :
16 11 =
16.63 11.63 =
1008 693 ;
−5
9 =
−5.77
9.77 =
−385
693 ; 10 77 = 10.9 77.9 = 90 693 . Bài tập:
(15)a)
13 22.3.52
11 24.32.5.7
; b) −19
32.7.11
−23
3.72.13
2 Tìm tất cá phân số mà tử mẫu số tự nhiên khác có chữ số , tủ mẫu đơn vị có
a) BC tử 210; b) BC mẫu 210; c) BC tử mẫu 210; Tìm chữ số a , b ,c để:
a) Phân số
36
ab = a + b; b) Phân số
1000
a+b+c = abc Cho ba phân số:
−52−5 32
53+52.32
;
46.95+69.120
84.312−611
;
2929−101
2 1919+404 Rút gọn quy đồng mẫu phân số
5 Tìm phân số có mẫu 11 , biết cộng tử với – 18, nhân mẫu với phân số phân số ban đầu
6 a) Tìm phân số phân số
8
18 , có tích tử mẫu 324;
(16)ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Mơn thi: Tốn lớp 6
Thời gian làm bài: 90 phút
C©u 1: (3 ®iĨm) TÝnh
a) 52 – (24 – 9) b)
7+6.(−1
2)
2
c)
5
5
2 2
Câu 2: (3 điểm) Tìm x biết
a) (x - 15) : + 22 = 24 b) |x+7|=15 -(- 4) c)
1 5
:
2 7
x
Câu 3: (5 điểm)
1) Cho: A = – + – + … + 99 – 100 a) TÝnh A
b) A cã chia hÕt cho 2, cho 3, cho không ?
c) A có ớc tù nhiªn? Bao nhiªu íc nguyªn? 2) Thay a, b chữ số thích hợp cho 24a68b45
3) Cho a số nguyên có dạng a = 3b + (b ¿ Z) Hái a cã thể nhận giá trị trong giá trị sau ? T¹i ?
a = 11 ; a = 2002 ; a = 2003 ; a = 11570 ; a = 22789 ; a = 29563 ; a = 299537 Câu 4: (3 điểm)
a) Tỡm số tự nhiên nhỏ biết số chia cho d 5, chia cho d chia cho d b) Cho A = + 2012 + 20122 + 20123 + 20124 + … + 201271 + 201272
B = 201273 - So sánh A B.
Câu 5: (6 ®iĨm)
Cho góc bẹt xOy, tia Ox lấy điểm A cho OA = cm; tia Oy lấy hai điểm M B cho OM = cm; OB = cm
a Chứng tỏ: Điểm M nằm hai điểm O B; Điểm M trung điểm đoạn thẳng AB b Từ O kẻ hai tia Ot Oz cho tOy = 1300, zOy = 300 Tính sốđo tOz.
HƯỚNG DẪN CHM THI HC SINH GII CP TRNG
Câu Đáp án Điểm
Câu 1: (3 điểm) a) 55 b) 17 c)
25(7+1)
25(25−3)=
8 22= 11 1 Câu 2: (3 điểm)
a) x= 25
b) x = 12 hc x = - 26
c) x =
7
(17)z' z t
y
x A O M B
(5 ®iĨm)
a) A = - 50
b) A ⋮ cho A kh«ng chia hÕt cho c) A cã ớc tự nhiên có 12 ớc nguyên
1 0,5 0,5 2) Ta cã 45 = 9.5 mµ (5; 9) =
Do 24a68b⋮45 suy 24a68b⋮5 Do 24a68b5
Nên b =
TH1: b = ta cã sè 24a680
§Ĩ 24a680⋮9 th× (2 + + a + + + 0) ⋮ Hay a + 20 ⋮
Suy a = ta cã sè 247680 TH2: b = ta có số 24a685
Để 24a6859 (2 + + a + + + 5) ⋮ Hay a + 25 ⋮
Suy a = ta cã sè 242685
Vậy để 24a68b⋮45 ta thay a = 7; b = a = 2; b =5
0,5
0,5
0,5
3) Sè nguyên có dạng a = 3b + (b Z) hay a lµ sè chia cho d 1 Vậy a nhận giá trị giá trị sau
a = 2002; a = 22789 ; a = 29563
0,5
1
Câu 4: (3 điểm)
a) Tỡm s t nhiên nhỏ biết số chia cho d 5, chia cho d chia cho thỡ d
Gọi số cần tìm a Ta cã a chia cho d
⇒ a = 9k + (k ¿ N) ⇒ 2a = 9k1 + ⇒ (2a- 1) ⋮ 9
Ta cã a chia cho d
⇒ a = 7m + (m ¿ N) ⇒ 2a = 7m1 + ⇒ (2a- 1) ⋮ 7 Ta cã a chia cho d
⇒ a = 5t + (t ¿ N) ⇒ 2a = 5t1 + ⇒ (2a- 1) ⋮ 5
⇒ (2a- 1) ⋮ 9; vµ 5
Mµ (9;7;5;) = a số tự nhiên nhỏ ⇒ 2a – = BCNN(9 ;7 ; 5) = 315
VËy a = 158
b) Cho A = + 2012 + 20122 + 20123 + 20124 + … + 201271 + 201272 vµ B = 201273 - So sánh A B.
Ta cã 2012A = 2012 + 20122 + 20123 + 20124 + … + 201271 + 201273 LÊy 2012A – A = 201273 – 1
VËy A = (201273 – 1) : 2011 < B = 201273 - 1.
0,5
0,5
0,5 0,5
0,5
0,5 Câu 5:
(6 điểm)
(18)a)
Trªn tia Oy ta cã OM = cm < OB = cm Vậy M điểm nằm O B
Do M nằm O vµ B ta cã OM + MB = OB
MB = OB – OM = – =
Do A thuéc tia Ox M thuộc tia Oy nên O nằm hai điểm A vµ M suy OM + OA = MA
MA = + = cm
Mặt khác A, B nằm hai tia đối nhau, M lại nằm O B nên suy M nằm A B
Vậy M trung điểm AB
b) TH1: Tia Ot tia Oz mặt ph¼ng
Do yOt = 1030 , yOz = 300 suy tia Oz nằm hai tia Ot Oy Ta cã tOz = tOy – yOz = 1300 – 300 = 1000
TH2: Tia Ot tia Oz không nằm mặt phẳng bờ xy Suy tia Oy nằm hai tia Ot Oz
Ta cã tOz = tOy – yOz = 1300 + 300 = 1600
(Học sinh không vẽ hình, vẽ hình sai không tính điểm)
0,5 0,5
0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
Ghi chú:- Thí sinh trình bày nội dung làm cho 20 điểm.
- Nếu trình bày theo cách khác mà cho điểm tối đa - Điểm toàn tổng điểm thành phần đợc làm trịn số đến 0,5đ.
§Ị thi chän học sinh giỏi lớp cấp trờng năm học
Môn: Toán - Thời gian : 90 phút Câu 1: (4đ)
Cho phân số
10
n A
n
(Víi n N*)
a) Viết A thành tổng hai phân số khơng mẫu b) Tìm n để A đạt giá trị lớn Tìm giá trị ln nht ú
Câu 2: (4đ) Tìm x biết: a) 60% x +
2
3 x = - 76
b)
2 2
462 0, 04 : ( 1,05) : 0,12 19
11.13 13.15 19.21 x
Câu 3: (4đ) Tại buổi học lớp 6A số học sinh vắng mặt
1
7 sè häc sinh cã mỈt Ngêi ta nhËn
thÊy r»ng nÕu líp cã thªm học sinh nghỉ học số học sinh vắng mỈt b»ng
1
6 sè häc sinh cã
(19)400 D 350 O B A C
Câu 4: (5đ)
Cho góc BOC 750 A điểm nằm gãc BOC BiÕt BOA = 400 a) TÝnh gãc AOC
b) Vẽ tia OD tia đối tia OA So sánh hai góc BOD COD
Câu 5 (3đ): Chứng minh a + 2b chia hÕt cho vµ chØ b + 2a chia hết cho
Đáp án bµi thi HSG cÊp trêng
Câu ỏp ỏn im
1 (4đ)
a) HS làm, cho kÕt qu¶
1
2
A
n
2®
b) Ta có A đạt GTLN
5
n lín nhÊt Víi n N* th×
5
n lín nhÊt n nhá nhÊt vµ
b»ng
Lúc A max =
1
2 + = 5,5 Vậy với n = A đạt giá trị lớn GTLN
b»ng 5,5
1® 1®
2 (4®)
a) HS thực phép tính đợc x = - 60 2đ
b) Ta cã:
2 2 1
462 462 20
11.13 13.15 19.21 11 21
Suy ra: 20 0,04 : (x1,05) : 0,12 19
Hay 0, 04 : (x1, 05) : 0,12 1 Từ tìm đợc x = - 43/ 60
0,5đ 0,5đ 1đ
(4đ) Lúc đầu số HS vắng mặt 1/8 số HS lớp Nếu có thêm HS vắng mặt số HS vắng mặt 1/7 số HS lớp Nh HS b»ng
1 1
7 56 ( HS c¶ líp) VËy sè HS lớp :
56 = 56 ( häc sinh)
1® 3đ
(5®)
5
(3®) * NÕu b + 2a ⋮ 3:
Ta cã :
3 3
2 a b b a ⋮ ⋮
=> ( 3a + 3b) - (b + 2a) ⋮ hay a + 2b ⋮ * Nếu a + 2b ⋮ , HS lập luận tơng tự đợc b + 2a
1,5đ 1,5đ a) (2,5đ) Vì điểm A n»m gãc BOC nªn
tia OA nằm hai tia OB OC Do đó: BOA + AOC = BOC Mà BOA = 400 , BOC = 750 nên
AOC = 750 - 400 = 350
b) (2,5đ) Vì OD tia đối tia OA nên góc AOB BOD; AOC COD hai góc kề bù, đó:
AOB + BOD = 1800 , HS suy đợc BOD = 1400 (1)
Lập luận tơng tự đợc : COD = 1450 (2)
(20)Vậy ta ln có a + 2b chia hết cho b + 2a chia hết cho Chú ý: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa.