Tập hợp và các phép toán trên tập hợp

(Discrete Mathematics and Its Applications)  Các đối tượng trong tập hợp:.  phần tử , hoặc[r]

(1)

Giảng viên: ThS Trần Quang Khải

TOÁN RỜI RẠC

Chương 2:

(2)

Nội dung

1 Giới thiệu tập hợp.

2 Tích Descartes.

3 Các phép toán tập hợp.

4 Hỏi đáp.

(3)

Giới thiệu Tập hợp

(4)

Giới thiệu



Tập hợp (set):



Cấu trúc rời rạc

cơ bản



các cấu trúc rời rạc

khác

.



Mục đích:



Nhóm

(group) đối tượng lại với nhau.



Các đối tượng thường có

tính chất tương tự

nhau.



Ví dụ:



Các sinh viên lớp Toán Rời Rạc.

(5)

Định nghĩa Tập hợp (set)

Một tập hợp một

“nhóm”

(collection)

các

đ

ối tượng.

(Discrete Mathematics and Its Applications)



Các đối tượng tập hợp:



phần tử

, hoặc



thành viên/thành phần

(6)

Biểu diễn



Kiểu liệt kê:

S

= {a,b,c,d

}

: tập hợp ký tự

a,b,c,d

.

a



S : a

là phần tử

S

.

e



S : e

không phải phần tử

S

.

∅

hoặc

{}

: tập rỗng.



Kiểu kí hiệu

builder

(xây dựng tập hợp):

(7)

Tập hợp “bằng nhau”



Equality

: tập hợp

A

và

B

là

nếu

chỉ nếu

chúng có

phần tử giống nhau

.

A

=

B

⇔ ∀

x(x

∈

A

↔

x

∈

B)



Ví dụ:

{1,4,5} = {4,1,5}

(8)

Biểu đồ Venn



John Venn (1834 - 1923)



Khơng gian

(

universe

):



Hình chữ nhật.



Thường kí hiệu:

U

.



Các

tập hợp

:



Hình trịn,



Các hình khép kín khác.



Các phần tử

:



Điểm.

Tên tập hợp

(9)

Lượng số (Cardinality)

Nếu tập

S

có

chính xác

n

(

n

≥

0, n Z

)

phần tử

phân biệt

nhau thì:



S

là tập

hữu hạn

(finite).



Lượng số

của

S

là

n

.



Kí hiệu:

|

S

| =

n

.



Ví dụ:



A

là tập số tự nhiên lẻ nhỏ 10:

|

A

| = ?



B

là tập sinh viên lớp Toán Rời Rạc:

|

B

| = ?

(10)



Tập vô hạn (

infinite

)?

(11)

Tập (Subset)

Tập

A

là tập

B

nếu mọi

phần tử

của

A

cũng

phần tử

của

B

.

Kí hiệu:

A



B

Nếu

A



B

và

A

là tập

B

thì

A



B.

Ví dụ:

{1,3,5,5,1}



{1,3,5}

(12)

Tập lũy thừa (Power set)

Cho t

ậ

p

S

, t

ậ

p lũy th

ừ

a c

ủ

a

S

là

t

ậ

p

t

ấ

t c

ả

các

t

ậ

p con

c

ủ

a

S

.

Ký hi

ệ

u:

P(S)

hay

2

S

.

(13)

Tập lũy thừa (Power set)

(14)

Tích Descartes

(Cartesian product)

(15)

Tập có thứ tự



Ordered

n

-tuples (

n

-bộ):

A

= (

a

1

,

a

2

, …,

a

n

)



a

1

là phần tử thứ

NHẤT

.



a

2

HAI

.



…



a

n

.



Nếu thay đổi thứ tự,

A

khơng cịn

A

.



Hai tập có thứ tự nhau?

(16)

Tích Descartes



René Descartes (1596-1650).



Cartesian Product

:

Cho tập

A

,

B

.

tích Descartes tập

A

và

B

được

định nghĩa sau:

A

×

B

= {(

a

,

b

)|

a

∈

A

,

b

∈

B

}

(17)

Tích Descartes



Tích Descartes

n

tập hợp:

A

1

×

A

2

× ×

A

n

=

{(

a

1

,

a

2

, …,

a

n

)|

a

1

A

1

,

a

2

A

2

,…,

a

n

A

n

}



Ví dụ:

A

= {0,1},

B

= {1, 2},

C

= {0,1,2)

(18)

Các phép toán tập hợp

(19)

Union



Phép tuyển:

A

∪

B

(20)

Intersection



Phép hội:

A

∩

B

(21)

Examples

Ví dụ: Cho tập

A

= {1,3,5}

và

B

= {1,2,3}

.

A

∪

B

= {1,2,3,5}

A

∩

B

= {3}

Cho tập

C

= {4,5}

.

B

∩

C

= ∅



Hai tập hợp gọi

tách rời

(22)

(23)

(24)

Phép hiệu Phần bù



Phép hiệu

(Difference):

A

−

B

= {

x

|

x

∈

A

∧

x

∉

B

}

(25)

Phép hiệu Phần bù

Ví dụ:

A

= {1,3,5}

và

B

= {1,2,3}

Universal set

U

= {

x

|

x

∈

Z

+

∧

x

< 10}

A

−

B

= {1,5}

(26)

Các công thức tập hợp

Công thức

Tên

A

∪ ∅

=

A

∩ U=

A

Luật đồng

nhất

A

∪

U=U

A

∩

∅

=

∅

Luật trội

A

∪

A

=

A

∩

A

=

A

Luật không

đổi

(

A

) =

A

Luật bù

Công thức

Tên

A

∪

B

=

B

∪

A

∩

B

=

B

∩

A

Luật giao

hoán

A

∪

(

B

∪

C

) = (

A

∪

B

)

∪

C

A

∩(

B

∩

C

) = (

A

∩

B

)∩

C

Luật kết

hợp

A

∩(

B

∪

C

) = (

A

∪

B

)∩(

A

∪

C

)

A

∪

(

B

∩

C

) = (

A

∩

B

)

∪

(

A

∩

C

)

Luật phân

phối

A

∪

B

=

A

∩

B

A

∩

B

=

A

∪

B

Luật

(27)

Exercises

1 Cho

A

= {1,2,3,4,5}

và

B

= {0,3,6}

Tìm:

a)

A

∪

B

b)

A

∩

B

c)

A – B

d)

B – A

2 Cho

A

= {

a,b,c,d,e

}

và

B

= {

a,b,c,d,e,f,g,h

}

Tìm:

a)

A

∪

B

b)

A

∩

B

c)

A – B

d)

B – A

3 Liệt kê tất phần tử

A

×

B

×

C

, với: