(Discrete Mathematics and Its Applications) Các đối tượng trong tập hợp:. phần tử , hoặc[r]
(1)Giảng viên: ThS Trần Quang Khải
TOÁN RỜI RẠC
Chương 2:
(2)Nội dung
1 Giới thiệu tập hợp. 2 Tích Descartes.
3 Các phép toán tập hợp. 4 Hỏi đáp.
(3)Giảng viên: ThS Trần Quang Khải
Giới thiệu Tập hợp
(4)Giới thiệu
Tập hợp (set):
Cấu trúc rời rạc cơ bản các cấu trúc rời rạc khác. Mục đích:
Nhóm (group) đối tượng lại với nhau.
Các đối tượng thường có tính chất tương tự nhau. Ví dụ:
Các sinh viên lớp Toán Rời Rạc.
(5)Định nghĩa Tập hợp (set)
Một tập hợp một “nhóm” (collection) các đối tượng.
(Discrete Mathematics and Its Applications) Các đối tượng tập hợp:
phần tử, hoặc
thành viên/thành phần
(6)Biểu diễn
Kiểu liệt kê:
S = {a,b,c,d } : tập hợp ký tự a,b,c,d. a S : a là phần tử S.
e S : e không phải phần tử S. ∅ hoặc {} : tập rỗng.
Kiểu kí hiệu builder (xây dựng tập hợp):
(7)Tập hợp “bằng nhau”
Equality: tập hợp A và B là nếu chỉ nếu chúng có phần tử giống nhau.
A = B ⇔ ∀x(x ∈A ↔ x ∈B)
Ví dụ:
{1,4,5} = {4,1,5}
(8)Biểu đồ Venn
John Venn (1834 - 1923)
Khơng gian (universe):
Hình chữ nhật.
Thường kí hiệu: U. Các tập hợp:
Hình trịn,
Các hình khép kín khác. Các phần tử:
Điểm.
Tên tập hợp
(9)Lượng số (Cardinality)
Nếu tập S có chính xác n (n ≥0, n Z) phần tử phân biệt nhau thì:
S là tập hữu hạn (finite). Lượng số của S là n.
Kí hiệu: |S| = n.
Ví dụ:
A là tập số tự nhiên lẻ nhỏ 10: |A| = ?
B là tập sinh viên lớp Toán Rời Rạc: |B| = ?
(10)Lượng số (Cardinality)
Tập vô hạn (infinite)?
(11)Tập (Subset)
Tập A là tập B nếu mọi phần tử
của A cũng phần tử của B.
Kí hiệu: A B
Nếu A B và A là tập B thì A B.
Ví dụ:
{1,3,5,5,1} {1,3,5}
(12)Tập lũy thừa (Power set)
Cho tập S, tập lũy thừa của S là tập tất cả các tập con của S.
Ký hiệu: P(S) hay 2S.
(13)Tập lũy thừa (Power set)
(14)Giảng viên: ThS Trần Quang Khải
Tích Descartes
(Cartesian product)
(15)Tập có thứ tự
Ordered n-tuples (n-bộ): A = (a1, a2, …, an) a1 là phần tử thứ NHẤT.
a2 là phần tử thứ HAI.
…
an là phần tử thứ n.
Nếu thay đổi thứ tự, A khơng cịn A.
Hai tập có thứ tự nhau?
(16)Tích Descartes
René Descartes (1596-1650). Cartesian Product:
Cho tập A, B. tích Descartes tập A và B được
định nghĩa sau:
A × B = {(a,b)|a ∈ A, b ∈ B}
(17)Tích Descartes
Tích Descartes n tập hợp: A1×A2× ×An=
{(a1, a2, …, an)| a1A1, a2A2,…, anAn } Ví dụ:
A = {0,1}, B = {1, 2}, C = {0,1,2)
(18)Giảng viên: ThS Trần Quang Khải
Các phép toán tập hợp
(19)Union
Phép tuyển: A ∪ B
(20)Intersection
Phép hội: A ∩ B
(21)Examples
Ví dụ: Cho tập A = {1,3,5} và B = {1,2,3}.
A ∪ B = {1,2,3,5}
A ∩ B = {3}
Cho tập C = {4,5}.
B ∩ C = ∅
Hai tập hợp gọi tách rời
(22)Lượng số (Cardinality)
(23)(24)Phép hiệu Phần bù
Phép hiệu (Difference): A−B = {x|x ∈ A ∧ x ∉ B}
(25)Phép hiệu Phần bù
Ví dụ:
A = {1,3,5} và B = {1,2,3}
Universal set U = {x|x ∈ Z+ ∧ x < 10} A−B = {1,5}
(26)Các công thức tập hợp
Công thức Tên A ∪ ∅=A
A ∩ U=A
Luật đồng nhất
A ∪ U=U
A ∩ ∅=∅
Luật trội
A ∪ A=A A ∩A=A
Luật không đổi
(A) =A Luật bù
Công thức Tên A∪B=B∪A
A∩B=B∩A
Luật giao hoán
A∪(B∪C) = (A∪B)∪C A∩(B∩C) = (A∩B)∩C
Luật kết hợp
A∩(B∪C) = (A∪B)∩(A∪C)
A∪(B∩C) = (A∩B)∪(A∩C)
Luật phân phối
A∪B=A∩B A∩B=A∪B
Luật
(27)Exercises
1 Cho A = {1,2,3,4,5} và B = {0,3,6} Tìm: a) A∪B b) A∩B
c) A – B d) B – A
2 Cho A = {a,b,c,d,e} và B = {a,b,c,d,e,f,g,h} Tìm: a) A∪B b) A∩B
c) A – B d) B – A
3 Liệt kê tất phần tử A×B×C, với: