Phát triển năng lực mô hình hóa toán học ở học sinh khi dạy các bài toán bằng cách lập hệ phương trình ập phương trình dạng làm chung làm riêng

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MƠ HÌNH HĨA TỐN HỌC Ở HỌC SINH KHI DẠY CÁC BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LẬP PHƯƠNG TRÌNH DẠNG : “LÀM CHUNG – LÀM RIÊNG” Phần I: LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI : Tốn học có nguồn gốc thực tiễn chìa khóa nhiều hoạt động người Toán học kết trừu tượng hóa vật tượng thực tiễn bình diện khác có vai trị quan trọng việc thực mục tiêu chung giáo dục phổ thơng Tốn học có mối quan hệ chặt chẽ với thực tế ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác : công cụ học tập môn học khác nhà trường, nghiên cứu nhiều ngành khoa học công cụ để hoạt động sản xuất, đời sống thực tiễn Trong chương trình tốn THCS học sinh nghiên cứu chủ đề “ giải toán cách lập phương trình hệ phương trình” Đây chủ đề quan trọng chương trình tốn THCS Hầu hết toán chủ đề gắn với nội dung thực tiễn Tuy nhiên, vốn trải nghiệm thực tiễn học sinh THCS cịn nên giải toán HS thường mắc sai lầm thoát ly khỏi thực tiễn, quên điều kiện ẩn số, không khai thác hết mối liên hệ ràng buộc yếu tố tốn … Dẫn đến lời giải sai sót thiếu xác, chặt chẽ Vì học sinh gặp nhiều khó khăn giải dạng tốn Qua nhiều năm phân cơng dạy mơn Tốn trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm qua nhiều lần kiểm tra, thân nhận thấy khả tiếp thu vận dụng kiến thức học sinh phần “giải tốn cách lập hệ phương trình” nhiều hạn chế Nguyên nhân toán dạng xuất phát từ thực tế sống học sinh khơng biết tìm hiểu, phân tích tốn cách rõ ràng, xác việc xác định cách giải khó - Trong chương trình tốn “giải tốn cách lập hệ phương trình” chiếm vị trí quan trọng Đây dạng toán vận dụng kiến thức vào thực tế sống mà em nắm tạo hứng thú học tập u thích mơn Khi giải tốn cách lập hệ phương trình nói chung dạng tốn “Làm chung – Làm riêng” nói riêng việc phân tích đề quan trọng thực tế làm tập học sinh chữa tập giáo viên chưa trọng đến bước phân tích đề bài, nên học sinh khơng biết cách lập hệ phương trình, dẫn đến học sinh thấy khó thấy chán học dạng tốn Bước khó học sinh giải dạng tốn khơng biết cách phân tích, lập luận để lập hệ phương trình - Để giúp học sinh nắm vững cách “phân tích giải tốn cách lập phương trình- lập hệ phương trình” – dạng tốn: “Làm chung – Làm riêng” để rèn luyện nâng cao trình độ chun mơn thân nên muốn trao đổi vài kinh nghiệm cơng việc giải dạng tốn q thầy Đó lý tơi chọn đề tài Phần II: ĐỐI TƯỢNG, CƠ SỞ VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1/ Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm năm học liên tiếp: 2012- 2013; 2013-2014; 2014-2015và áp dụng hai năm học liên tiếp sau đó: 2015-2016 ; 2016-2017; 2017-2018 2/ Cơ sở nghiên cứu: Căn vào chất lượng học sinh dựa việc dạy học giải toán cách lập hệ phương trình dạng “ Làm chung – Làm riêng” thực tế trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm qua nhiều năm 3/ Phương pháp nghiên cứu: *) Trong đề tài sử dụng phương pháp sau: - Nghiên cứu tài liệu: “ Một số vấn đề đổi phương pháp dạy học mơn Tốn trường THCS” - Qua lần tập huấn chuyên môn - Phương pháp hỏi đáp trực tiếp học sinh, giáo viên môn trường thành phố - Phương pháp luyện tập, thực hành qua kiểm tra - Phương pháp tổng kết rút kinh nghiệm Phần III: NỘI DUNG VÀ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU A/ MỞ ĐẦU: - Căn vào tình hình thực tế việc giải tốn cách lập hệ phương trình dạng “ Làm chung – Làm riêng” học sinh giáo viên nhiều năm tơi nhận thấy việc tìm cách phân tích đề cách hợp lý dễ hiểu bước quan trọng cần thiết Chỉ cần em có ý thức học tập tìm tịi cộng với việc phân tích đề cách hợp lý em lập hệ phương trình cách nhanh xác, từ làm cho em u thích mơn Tốn hơn, hướng em đến khả phân tích, tổng hợp, sáng tạo, linh hoạt giải toán thực tế sống Học sinh thấy Toán học gắn với thực tế sống quay lại phục vụ sống, dẫn đến em thấy cần thiết việc học mơn Tốn B/ CÁCH THỨC TIẾN HÀNH: Phương pháp Giải toán cách lập hệ phương trình phương trình nói chung gồm bước sau: */ Bước 1: Lập hệ phương trình phương trình, bao gồm: - Chọn ẩn số đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số - Biểu diễn đại lượng chưa biết qua ẩn số đại lượng biết - Từ lập hệ phương trình biểu diễn tương quan đại lượng */ Bước 2: Giải hệ phương trình phương trình: Giải hệ phương trình phương trình vừa lập */ Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem nghiệm hệ phương trình phương trình, nghiệm thỏa mãn điều kiện ẩn, nghiệm không ri tr li 1.1 Nếu thời gian hai đại lợng không phụ thuộc vào ta nên chọn hai ẩn làm thời gian hai đội đa dạng hệ phơng trình để giải - Nh vy bước phân tích đề khơng thấy có bước giải “ Giải toán cách lập hệ phương trình ”, theo tơi lại bước quan trọng để định hướng cách lập hệ phương trình Nếu học sinh khơng làm tốt bước khó khăn lập hệ phương trình -Bên cạnh cách gọi ẩn gián tiếp giúp học sinh giải hệ phương trình vừa lập cách nhanh dễ dàng Cụ thể là: Bài toán giải toán cách lập hệ phương trình dạng “ Làm chung – Làm riêng” nói chung hỏi thời gian làm đội Theo dạng toán trước, toán hỏi điều ta chọn đại lượng làm ẩn, dạng tốn ta : “ Gọi thời gian hồn thành cơng việc đội 1( người 1…) x (đv), đk Gọi thời gian hồn thành cơng việc đội 2( người 2…) y (đv), đk “ Nhưng bên cạnh gọi ẩn cách khác là: “ Gọi suất làm việc (1 ngày…) đội x (đv), đk Gọi suất làm việc (1 ngày…) đội y (đv), đk “ Từ ta suy ra: Thời gian hồn thành cơng việc đội 1( người 1…) x (đv) Thời gian hồn thành cơng việc đội 1( người 1…) y (đv) Với cách gọi ẩn thứ hai lập hệ phương trình hệ phương trình dễ giải cách ( Ta tìm hiểu cụ thể ví dụ sau) - Để áp dụng cách giải tốn cách lập hệ phương trình dạng “ Làm chung – Làm riêng” cách phân tích đề cách hợp lý việc phải giúp học sinh nhận dạng toán Điều khơng khó khăn dạng tốn “ Làm chung – Làm riêng” đề cho: “ Thời gian làm chung hai đội ( hai người,…)” yêu cầu tìm: “ Thời gian làm đội ( người,…) để hồn thành cơng việc” - Có nhiều cách phân tích đề tơi dùng cách phân tích cách lập bảng, sau: Hai đội ( vòi ) Đội (vòi ) Đội (vịi ) Thời gian hồn thành cơng việc a x y Năng suất làm việc ngày ( ) a x y Ngoài giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh: “ Thời gian hồn thành cơng việc suất làm việc hai đại lượng tỉ lệ nghịch” Ví dụ: */ Bài toán 1: ( Bài 33/24 SGK Toán – Tập 2) “ Hai người thợ làm cơng việc 16 xong Nếu người thứ làm người thứ hai làm hồn thành 25% cơng việc Hỏi làm riêng người hồn thành cơng việc ?” */ Gv hướng dẫn học sinh phân tích đề cách lập bảng sau: ( Gv dùng hệ thống câu hỏi, học sinh trả lời, gv điền vào bảng phân tích) -Yêu cầu h/s đọc đề Cho h/s xác định dạng toán Gv nhấn mạnh: Có cách gọi ẩn a/ Gv học sinh lập bảng phân tích: ( gọi ẩn trực tiếp) Thời gian hồn thành cơng việc (giờ) Năng suất làm việc Hai người Người Người 16 x (đk: 16 < x) y (đk: 16 < y) 16 x y -Bài tốn cho biết thời gian hồn thành cơng việc người ? h/s: thời gian hoàn thành công việc người 16 - gv điền bảng - Thời gian hồn thành cơng việc suất làm việc hai đại lượng có quan hệ ? h/s: thời gian hồn thành cơng việc suất làm việc hai đại lượng tỉ lệ nghịch - Gv nhấn mạnh: Vì thời gian hồn thành công việc suất làm việc đại lượng tỉ lệ nghịch , nên suất làm việc người ? h/s: Năng suất làm việc người 16 (cv) - Gv điền vào bảng -Bài tốn u cầu ? h/s: Nếu làm riêng người phải hồn thành cơng việc -Gv nhấn mạnh: Dạng tốn này, đề yêu cầu tìm thường gọi đại lượng làm ẩn Vậy tốn ta gọi ẩn ? h/s: gọi thời gian hồn thành cơng việc đội x (giờ) thời gian hồn thành cơng việc đội y (giờ) -Điều kiện ẩn ? h/s: 16 < x, 16 < y - Gv điền vào bảng -Vậy suất làm việc người ? h/s: suất làm việc người x công việc -Vậy suất làm việc người ? h/s: suất làm việc người y công việc - Gv điền vào bảng -Năng suất làm việc người cịn tính ? h/s: suất người + suất người = suất người -Vậy ta lập phương trình ? 1 + = x y 16 h/s : 1 + = x y 16 Gv ghi xuống bảng phân tích: Pt (1) : Gv nhấn mạnh : Pt (1) lập: suất người + suất người = suất người Gv hướng dẫn học sinh lập pt(2) (Gv hỏi - H/s trả lời – Gv ghi bảng ) -Bài tốn cịn cho biết gì? Thời gian làm khối lượng c/việc x y người 1: người 2: (c/việc) (c/việc) 25% = người làm (c/việc) -Vậy người htws làm phần công việc? h/s trả lời : người làm x (c/việc) – Gv ghi sang bên -Vậy người làm phần công việc? h/s trả lời : người làm y (c/việc) – Gv ghi sang bên Gv nhấn mạnh: Khối lượng c/việc = Thời gian x suất -Dựa vào quan hệ ta lập pt ? 1 + = x y h/s: Gv nhấn mạnh : cách lập pt (2): K/lượng c/việc người + K/lượng c/việc người = K/lượng c/việc người làm *> Gv nhấn mạnh lại cách phân tích đề lập bảng Giải: (Gv hướng dẫn học sinh lập luận để lập hệ phương trình dựa vào bảng phân tích làm theo sơ đồ bước: từ bước (1) đến bước (6) để lập pt(1); từ bước (7) đến bước (9) để lập pt (2) theo sơ đồ đây: ) Hai người Người Người Thời gian hồn thành cơng việc (giờ) (5) 16 Năng suất làm việc (6) (1) x (đk: 16 < x) (2) y (đk: 16 < x) (3) (4) 16 x y 1 + = x y 16 -Yêu cầu h/s dựa vào bảng phân tích lập luận để lập pt (1): Thời gian làm (7) người 1: (8) người 2: khối lượng c/việc x y (9) người làm 25% = 1 + = y -Yêu cầu h/s dựa vào phần phân tích thứ để lập pt (2): x (c/việc) (c/việc) (c/việc) -Vậy ta có hệ phương trình ? 1 1  x + y = 16   3 + = y h/s:  x -Yêu cầu lớp làm tiếp bước giải hệ phương trình  x = 24  h/s giải hpt tìm nghiệm :  y = 48 (TM) -Kiểm tra lại điều kiện trả lời toán Gv củng cố lại cách làm b/ Gv học sinh lập bảng phân tích: ( gọi ẩn gián tiếp) Hai người Thời gian hồn thành cơng việc (giờ) 16 Năng suất làm việc 16 Người Người x y x (đk: < x < 16 ) y (đk: < y < 16 ) */ Gv ý h/s cách phân tích đề giống ta gọi ẩn gián tiếp -Gv nhấn mạnh: Nếu ta gọi ẩn gián tiếp tức gọi suất làm việc người ẩn tốn ta gọi ẩn ? h/s: gọi suất làm việc đội x (c/việc) suất làm việc đội y (c/việc) -Điều kiện ẩn ? 1 h/s: < x < 16 , < y < 16 - Gv điền vào bảng -Vậy thời gian hồn thành cơng việc người ? h/s: thời gian hoàn thành công việc người x (giờ) -Vậy thời gian hồn thành cơng việc người ? h/s: thời gian hồn thành cơng việc người y (giờ) - Gv điền vào bảng -Vậy ta lập phương trình (!) ? x+ y = 16 h/s : Gv nhấn mạnh : Tương tự pt (1) lập: suất người + suất người = suất người -Bài toán cịn cho biết ? Thời gian làm Khối lượng c/việc (h/s trả lời – Gv ghi bảng) người 1: 3.x (c/việc) người 2: 6.y (c/việc) 25% = người làm -Vậy người làm phần công việc? h/s trả lời : 3.x – Gv ghi sang bên -Vậy người làm phần công việc? h/s trả lời : 6.y – Gv ghi sang bên (c/việc) -Tương tự ta lập pt ? 3x + 6y = h/s: Gv nhấn mạnh cách lập pt (2) tương tự trên: K/lượng c/việc người + K/lượng c/việc người = K/lượng c/việc người làm *> Gv nhấn mạnh lại cách phân tích đề lập bảng Giải: (Gv hướng dẫn học sinh lập luận để lập hệ phương trình dựa vào bảng phân tích làm theo sơ đồ bước: từ bước (1) đến bước (6) để lập pt(1); từ bước (7) đến bước (9) để lập pt (2) theo sơ đồ đây: ) Thời gian hoàn Năng suất làm việc thành công việc (giờ) Hai (5) 16 16 người (6) Người (1) x x (3) (đk: < x < 16 ) Người (2) y y (4) (đk: < y < 16 ) x+ y = 16 -Yêu cầu h/s dựa vào bảng phân tích lập luận để lập pt (1): Thời gian làm Khối lượng c/việc (7) người 1: 3.x (c/việc) (8) người 2: 6.y (c/việc) (9) người làm -Yêu cầu h/s dựa vào phần phân tích thứ để lập pt (2) : -Vậy ta có hệ phương trình ?   x + y = 16  3 x + y =  h/s: -Yêu cầu lớp làm tiếp bước giải hệ phương trình (c/việc) 25% = 3x + y = 1   x = 24  x = 24 ⇔   = 48 y =  y  48 (TM) h/s giải hpt tìm nghiệm : -Kiểm tra lại điều kiện trả lời tốn: Vậy người thứ hồn thành cơng việc 24 người thứ hai hồn thành cơng việc 48 Gv nhấn mạnh: Với cách gọi ẩn trả lời phải ý: Thời gian hồn thành cơng việc người là: x Thời gian hoàn thành công việc người là: y Gv củng cố lại cách làm -Em so sánh hệ phương trình cách gọi ẩn trực tiếp gọi ẩn gián tiếp hệ phương trình dễ giải hơn? h/s: hệ pt cách gọi ẩn gián tiếp dễ giải Gv nhấn mạnh lại: Trong dạng toán ta nên gọi ẩn gián tiếp lập hệ phương trình hệ phương trình dễ giải cách gọi ẩn trực tiếp phải ý trả lời */Bài toán 2: ( Bài 38/24 SGK Tốn – Tập 2) “Nếu hai vịi nước chảy vào bể cạn (khơng có nước) bể đầy sau 20 phút Nếu mở vòi thứ 10 phút mở vòi thứ hai 12 phút 15 bể nước Hỏi mở riêng vịi thời gian để vòi chảy đầy bể ? ” */ Gv học sinh phân tích đề bài: -Yêu cầu h/s đọc đề toán -Bài toán thuộc dạng ? - Hãy đổi thời gian giờ? 20 phút = , 10 phút = , 12 phút = Gv lưu ý học sinh đổi thời gian phải đưa dạng phân số Tương tự toán 1: Gv dùng hệ thống câu hỏi – h/s trả lời – Gv ghi vào bảng pt: Thời gian chảy đầy bể Năng suất chảy (h/thành c/việc) (giờ) (làm việc) Hai vòi (5) (6) Vòi (1) x (3) Vòi (đk: < x < ) (2) y (4) x y ( đk: < y < ) -Nhìn vào bảng phân tích lập pt (1) ? x + y = h/s: -Bài tốn cho biết thêm điều ? h/s trả lời: Thời gian chảy (7) (8) vòi 1: vòi 2: Khối lượng c/việc được x (bể) y (bể) 15 (bể) (9) vòi chảy -Vậy với thời gian vịi chảy phần bể ? h/s trả lời – Gv ghi lên tóm tắt -Từ phân tích, lập pt (2) ? 1 x+ y = h/s: 15 -Từ ta có hệ phương trình ?    x + y = x + y = ⇔  1 x + y = 5 x + y = h/s: có hpt:  15 Giải: Gv yêu cầu hs lập luận để lập hpt dựa vào bước bảng phân tích h/s đứng trả lời 1  x =  x =  ⇔  1 = y = -Yêu cầu h/s giải hpt nghiệm :  (TM)  y -Yêu cầu h/s đứng trả lời tốn: Vậy vịi thứ chảy đầy bể vịi thứ hai chảy đầy bể Gv nhấn mạnh lại: Khi trả lời phải ý: Thời gian hồn thành cơng việc người là: x Thời gian hồn thành cơng việc người là: y 1.2 Nếu có hai đối tợng làm công việc biết thời gian đại lợng hơn, đại lợng ta nên chọn ẩn đa phơng trình bậc hai Ví dụ1 : Hai thợ đào mơng sau 2giờ 55 phút xong việc Nếu họ làm riêng đội hoàn thành công việc nhanh đội Hỏi làm riêng đội phải làm xong công việc? Giải : Gọi thời gian đội làm xong công việc x (x > 0; giờ) Gọi thời gian đội làm xong công việc x + (giờ) công việc x Mỗi đội làm đợc công việc x + Mỗi đội làm đợc 11 35 = 12 12 (giờ) xong Vì hai đội sau giê 55 = 12 Trong giê hai đội làm đợc 35 công việc Theo ta có phơng trình : 1 12 + = ⇔ 35x + 70 + 35 = 12x2 + 24x x x + 35 Ta cã ⇔ 12x2 − 46x − 70 = ⇔ 6x2 − 23x − 35 = ∆ = (−23)2 − 4.6.(−35) = 529 + 840 = 1369 > ⇒ ∆ = 1369 = 37 Vậy ph ơng trình có hai nghiệm x1 = 23+ 37 23− 37 = 5(thoa m· n); x2 = = 2(loại) 12 12 Vậy đội thứ hoàn thành công việc Đội hai hoàn thành công việc Vớ d : Hai vòi nước chảy vào bể nước chảy đầy bể 55 phút Nếu chảy riêng vòi thứ chảy đầy bể nhanh vòi thứ hai Hỏi vòi chảy đầy bể bao lâu? (ĐS vòi 1: giờ; vòi :7 giờ) C KẾT LUẬN : Qua ví dụ trên, ta thấy giải tốn cách lập hệ phương trình dạng “ Làm chung – Làm riêng” dạng tốn q khó, mà cần biết cách phân tích toán gọi ẩn cách hợp lý học sinh nhìn vào bảng phân tích để lập luận lập hệ phương trình giải tốn từ khiến em u thích mơn Sau thực SKKN ba năm học gần đây, thấy số học sinh nắm cách lập hệ phương trình giải tốn cách lập hệ phương trình dạng “ Làm chung – Làm riêng” tăng lên rõ rệt Đa số em có chiều hướng tích cực, ham làm tập, em trước lười học lười làm tập có chuẩn bị tốt hơn, tiết học thấy sôi nổi, hào hứng hơn, học sinh muốn phát biểu để phân tích lập hệ phương trình khơng cịn đơn điệu thầy giải trước Học sinh bàn luận với cách phân tích giải tập khác sách tập, sách tham khảo không tiết học mà cịn ngồi học, khơng khí học tập sơi tạo tâm lí tốt cho thầy cô bước vào tiết dạy Học sinh biết vận dụng kiến thức Toán học vào thực tế sống cách động, sáng tạo, linh hoạt yêu cầu nhiệm vụ mà người học Toán cần rèn luyện tích lũy  ... Với cách gọi ẩn thứ hai lập hệ phương trình hệ phương trình dễ giải cách ( Ta tìm hiểu cụ thể ví dụ sau) - Để áp dụng cách giải toán cách lập hệ phương trình dạng “ Làm chung – Làm riêng? ?? cách. .. giúp học sinh giải hệ phương trình vừa lập cách nhanh dễ dàng Cụ thể là: Bài tốn giải tốn cách lập hệ phương trình dạng “ Làm chung – Làm riêng? ?? nói chung hỏi thời gian làm đội Theo dạng toán. .. giải “ Giải tốn cách lập hệ phương trình ”, theo tơi lại bước quan trọng để định hướng cách lập hệ phương trình Nếu học sinh khơng làm tốt bước khó khăn lập hệ phương trình -Bên cạnh cách gọi ẩn