Toan Dai So 9 (6-4 _ 13-4)

[r]

BÀI : HỆ THỨC VI–ÉT VÀ ỨNG DỤNG A) LÝ THUYẾT :

1) Định lý Vi–ét :

Nếu phương trình ax2bx c a 0     có hai nghiệm x , x1 :

1 2

b S x x

a c P x x

a  

  

  

  

 

Ví dụ : 4x2 16x 0  a 4, b 16, c 7 

 

2 b 4ac 16 4.4.7 144

     

 

Áp dụng hệ thức Viet ta có :

1

b

S x x

a c P x x

a 

   

  

2) Áp dụng định lý Vi–ét :

a) Tìm hai số biết tổng tích chúng : Tìm hai số u v biết :

u v S u.v P

  

  

Khi hai số u v nghiệm phương trình bậc hai :

x  Sx P 0 

Điều kiện để có hai số S2 4P 0

Ví dụ : Tìm hai số u v biết u + v = 2; u.v = –15

Hai số cần tìm nghiệm phương trình :

2 b 4ac 4.1.15 64

64   

   

   

Phương trình có nghiệm phân biệt :

2

b

x

2a

b

x

2a

    

  

    

  

Vậy hai số cần tìm u = v = –15 (hoặc v = –15 v = 3)

B) ÁP DỤNG :

Ví dụ 1: Cho phương trình: 3x2 2x 0 

a) Chứng tỏ phương trình ln có nghiệm phân biệt b) Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức sau:

A = x12 + x22

Giải

a) Chứng tỏ phương trình ln có nghiệm phân biệt

Phương trình: 3x2 - 2x – = 0(a = 3; b = -2; c = -7)

∆ = b2 – 4ac

= (-2)2 – 4.3.(-7)

= 86 >

Vậy phương trình có nghiệm phân biệt

Cách khác:

Vì a c = 3.( -7)= -21< nên phương trình ln có nghiệm phân biệt

* Chú ý :

 Khi làm ta thường sử dụng công thức sau :

 

2 2

1 2

2 2

1 2

3 2

1 2 2

( )

2

( )( ) ( )

x x x x x x S P

x x x x x x S P

x x x x x x x x S S P

      

      

       

b) Vì phương trình có nghiệm x1, x2 nên theo hệ thức Viét ta có: 2 b

S x x

a c P x x

a                

 A = x12 + x22

= S2 − 2P

=

2

2 46

2

3



   

 

   

   

Ví dụ 2: Cho phương trình 2x2 - x - = có nghiệm x 1, x2

Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức sau: a/ x12 + x22 b/

1 2

x x

x x c/ x

12x22 - x12 - x22

Giải

Vì phương trình có nghiệm x1, x2 nên theo hệ thức Viét ta có:

2 b

S x x

a c P x x

a                

a) x12 + x22 = S2 – 2P b)

2

1 2

2 1

x x x x

x x x x

   = 2               = 2 S P P  = 13

4 = 13  = 13 

c) x12 x22 - x12 - x22 =    

2 2 2

1 2 x x  x x

= P2 – (S2 – 2P)

= 13          

C) BÀI TẬP :

1) Cho phương trình 3x2 7x 0 

a) Chứng tỏ phương trình ln có nghiệm phân biệt b) Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức sau :

2 2

1 2 1

2

x x

A x x x x ; B x x

x x

    

2) Cho phương trình 2x2 5x 0 

a) Chứng tỏ phương trình ln có nghiệm phân biệt dương b) Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức sau :

2 3

1 2

A x x ; B x  x ; C x x

3) Cho phương trình 3x2 3x 0 

a) Chứng tỏ phương trình ln có nghiệm phân biệt

b) Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức A x 12 3x x1 2x22

4) Cho phương trình 3x2 2x 0 

a) Chứng tỏ phương trình ln có nghiệm phân biệt b) Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức sau :

   

1

2

A ; B x x 3

x x

     

5) Cho phương trình 3x2 – x – = có nghiệm x 1, x2

Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức: M =x12+x22 (TS10_2018)

6) Cho phương trình 2x2 – 3x – = có nghiệm x 1, x2

Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức: A=

x1−1

x2+1+

x2−1