Do ñoù HK laø ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa BC vaø SA.[r]
(1)BỘ GIÁO DỤC VAØ ĐAØO TẠO ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
−−−−−−−−−− ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014
ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN; Khối D
(Đáp án - Thang điểm gồm 03 trang) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Câu Đáp án Điểm
1 a) (1,0 điểm)
(2,0đ) • Tập xác định D = R • Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: y0
= 3x2
− 3; y0
= ⇔ x = ±1
0,25 Các khoảng đồng biến: (−∞; −1) (1; +∞); khoảng nghịch biến: (−1; 1)
- Cực trị: Hàm số đạt cực đại x = −1, yCĐ= 0; đạt cực tiểu x = 1, yCT = −4 - Giới hạn vô cực: lim
x→−∞y= −∞; limx→+∞y= +∞
0,25
- Bảng biến thiên:
x −∞ −1 +∞
y0
+ − +
y
0 +∞
−∞ −4
1 PP P
P PPq
1
0,25
• Đồ thị:
x
y
−1
−4
1
O
−2
0,25
b) (1,0 điểm)
M ∈ (C) ⇒ M(a; a3− 3a − 2). 0,25
Hệ số góc tiếp tuyến M baèng ⇔ y0
(a) = 0,25
⇔ 3a2
− = ⇔ a = ±2 0,25
Tọa độ điểm M thỏa mãn yêu cầu toán M(2; 0) M(−2; −4) 0,25 Đặt z = a + bi (a, b ∈ R) Từ giả thiết ta [3(a + bi) − (a − bi)](1 + i) − 5(a + bi) = 8i − 1 0,25 (1,0đ)
⇔
3a + 4b =
2a − b = 0,25
⇔
a=
b= −2. 0,25
Do mơđun z p32+ (−2)2=√13. 0,25
(2)Câu Đáp án Điểm
(1,0ñ) I =
π
R
0
(x + 1) sin 2x dx Đặt u = x + vaø dv = sin 2xdx, suy du = dx vaø v = −1
2cos 2x 0,25 Ta coù I = −1
2(x + 1) cos 2x
π
0 +
1
π
R
0
cos 2xdx 0,25
= −1
2(x + 1) cos 2x
π
0 +
1 4sin 2x
π
0 0,25
=
4 0,25
4
(1,0đ) a) Điều kiện: x > Phương trình cho tương đương với log2 x− 1
3x − = −2 0,25
⇔ x− 3x − =
1
4 ⇔ x =
Đối chiếu điều kiện, ta nghiệm phương trình cho x = 0,25 b) Số đường chéo đa giác n đỉnh C2
n− n =
n(n − 3)
2 0,25
Từ giả thiết ta có phương trình n(n − 3)
2 = 27 ⇔
h n= n= −6. Do n ∈ N n ≥ nên ta giá trị n cần tìm n =
0,25
5 Mặt cầu (S) có tâm I(3; 2; 1) bán kính R = 0,25
(1,0đ)
Ta có khoảng cách từ I đến (P) d(I, (P)) = |6.3 + 3.2 − 2.1 − 1|
p62+ 32+ (−2)2 = < R
Do (P) cắt (S) theo giao tuyến đường tròn (C)
0,25
Tâm (C) hình chiếu vng góc H I (P) Đường thẳng ∆ qua I vng góc với (P) có phương trình x−
6 =
y− 2
3 =
z− 1
−2 Do H ∈ ∆ neân H(3 + 6t; + 3t; 1− 2t)
0,25
Ta có H ∈ (P), suy 6(3+6t)+3(2+3t)−2(1−2t)−1 = ⇔ t = −37.Do H3 7;
5 7;
13
7 0,25
(1,0đ) Gọi H trung điểm BC, suy AH =
BC
2 =
a 2, SH ⊥ (ABC), SH =
√ a
2 vaø S∆ABC =
2BC.AH = a2
4
0,25
Thể tích khối chóp VS.ABC =
1
3.SH.S∆ABC= √
3 a3
24 0,25
Gọi K hình chiếu vuông góc H SA, suy H K ⊥ SA Ta có BC ⊥ (SAH) nên BC ⊥ HK.
Do HK đường vng góc chung BC SA 0,25
A
B
C
S
H
K
Ta coù H K2 =
1 SH2 +
1 AH2 =
16 3a2
Do d(BC, SA) = HK = √
3 a
0,25
2
dethivn.com
(3)Câu Đáp án Điểm
(1,0đ) Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ phương trình
3x + 2y − = x+ 2y − = 0.
Suy A(1; 3) 0,25
B
C
A
D
E
Gọi ∆ tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC E giao điểm ∆ với đường thẳng BC (do AD khơng vng góc với ∆ nên E ln tồn ta giả sử EB < EC) Ta có \EAB = \ACB \BAD = \DAC, suy \
EAD= \EAB+ \BAD= \ACB+ \DAC = \ADE Do đó, tam giác ADE cân E
0,25
Elà giao điểm ∆ với đường trung trực đoạn AD, nên tọa độ điểm E thỏa mãn hệ phương trình x+ 2y − =
y− = 0. Suy E(5; 1)
0,25
Đường thẳng BC qua E nhận −−→DE = (4; 2) làm vectơ
chỉ phương, nên BC : x − 2y − = 0,25
8
(1,0đ) Điều kiện: x ≥ −2 Bất phương trình cho tương đương với
(x + 1)(√x+ − 2) + (x + 6)(√x+ − 3) − (x2+ 2x − 8) ≥ 0 0,25 ⇔ (x − 2)√ x+
x+ + +
x+ √
x+ + − x −
≥ (1) 0,25
Do x ≥ −2 neân x + ≥ vaø x + > Suy x+
√
x+ + +
x+ √
x+ + − x − =
x+ √
x+ + − x+
2
+ x+
√
x+ + 3− x+
2
−√
x+ + <0 Do (1) ⇔ x ≤
0,25
Đối chiếu điều kiện, ta nghiệm bất phương trình cho là: −2 ≤ x ≤ 0,25
(1,0đ) Do ≤ x ≤ nên (x − 1)(x − 2) ≤ 0, nghóa x
2
+ ≤ 3x Tương tự, y2
+ ≤ 3y Suy P ≥ 3x + 3y + 3x+ 2y + y+ 2x
3y + 3x + 3+
1
4(x + y − 1) =
x+ y x+ y + +
1 4(x + y − 1)
0,25
Đặt t = x + y, suy ≤ t ≤ Xeùt f(t) = t+ 1t +
4(t − 1), với ≤ t ≤ Ta có f0
(t) = (t + 1)2 −
1
4(t − 1)2 Suy f
(t) = ⇔ t =
0,25
Maø f(2) = 11
12; f(3) =
8; f(4) = 53
60 neân f(t) ≥ f(3) =
8 Do P ≥
8 0,25
Khi x = 1, y = P =
8 Vậy giá trị nhỏ P 78 0,25 −−−−−−Hết−−−−−−
3 dethivn.com
... EAB = ACB BAD = DAC, suyEAD= EAB+ BAD= ACB+ DAC = ADE Do đó, tam giác ADE cân E
0,25
Elà giao điểm ∆ với đường trung trực đoạn AD, nên tọa độ điểm E thỏa mãn... 3a2
Do d( BC, SA) = HK = √
3 a
0,25
2
dethivn.com< /h3>
(3)Câu... neân f(t) ≥ f(3) =
8 Do P ≥
8 0,25
Khi x = 1, y = P =
8 Vậy giá trị nhỏ P 78 0,25 −−−−−−Hết−−−−−−
3 dethivn.com< /h3>