Hàm nhiều biến số - Công thức học tập

• Chi phí cho mỗi phút quảng cáo trên đài phát thanh là 1 triệu đồng, trên đài truyền hình là 4 triệu đồng.. Hãy cho biết doanh nghiệp đó sử dụng bao nhiêu đơn vị tư bản và bao nhiêu đơn[r]

(1)

Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến

HÀM NHIỀU BIẾN

CHƯƠNG 3

Khái niệm hàm hai biến

• Định nghĩa:Cho khơng gian:

• Ánh xạ:

• Được gọi hàm hai biến xác định tập hợp D • Mỗi cặp (x,y)∈ tương ứng với số thực z • x, y biến độc lập; z biến phụ thuộc

   

:

, ,

f D R

x y z f x y 

 

 





2 , : ,

R  x y x yR va D R

Khái niệm hàm ba biến

• Định nghĩa:Cho khơng gian:

• Ánh xạ:

• Được gọi hàm ba biến xác định tập hợp D • Mỗi cặp (x,y,z)∈ tương ứng với số thực u • x, y, z biến độc lập; u biến phụ thuộc

   

:

, , , ,

f D R

x y z u f x y z 

 









3 , , : , ,

R  x y z x y z R va DR

Tập xác định hàm hai biến

• Tập xác định hàm số tập hợp tất

cặp (x,y) cho giá trị biểu thức f(x,y) số thực

• Ví dụ: Tìm tập xác định hàm số sau:

 

   

2 ) ,

) , ln

a f x y y x

b f x y x y

 

  

Tập xác định hàm ba biến

• Tập xác định hàm số tập hợp tất

cặp (x,y,z) cho giá trị biểu thức f(x,y,z) số thực

Đạo hàm riêng

• Cho hàm hai biến z=f(x,y) xác định tập D

• Xem y số ta hàm biến theo

x

• Lấy đạo hàm hàm số ta đạo hàm

riêng theo biến x

• Ký hiệu:

• Tương tự ta đạo hàm riêng theo biến y

'x z z hay

(2)

Đạo hàm riêng

• Cho hàm hai biến z=f(x,y) xác định tập D

• Các đạo hàm riêng z theo x,y:

• Lấy đạo hàm riêng theo biến đạo hàm

của hàm biến xem biến lại số

     

0

0 0 0

0

0 0 0

0

, , ,

' lim

, , ,

' lim

x x x

y y y

f x y f x y f x y

z z

x x x x

f x y f x y f x y

z z

y y y y



 



  

  

 



  

  

Ví dụ

• Cho hàm số

• Đạo hàm riêng theo x (xem y số)

• Đạo hàm riêng theo y (xem x số)

3 3

zx  xy y

3 'y z  xy y

2

'x 3 z  x  y

Vi phân hàm nhiều biến

• Cho hàm hai biến z=f(x,y) có đạo hàm riêng

z’x; z’y

• Khi biểu thức:

• Được gọi vi phân toàn phần hàm hai biến

đã cho

• Ý nghĩa:

'

x

'

y

dz



z dx



z dy

Ví dụ

• Hàm số

• Có vi phân tồn phần

3

z



x



y



xy









3

2

dz



x



y dx



x



y dy

Đạo hàm riêng cấp 2

• Cho hàm hai biến z=f(x,y) có đạo hàm riêng

z’x; z’y

• Đây đạo hàm riêng cấp

• Đạo hàm riêng đạo hàm riêng cấp gọi

đạo hàm riêng cấp

• Các đạo hàm riêng cấp

   

 

2

'' '' ''

' '

xx xy

x x y

yx yy y

x y

x x

y y

z z z z z

  

• Các đạo hàm riêng cấp cịn ký hiệu lần

lượt là:

• Ví dụ: Các đạo hàm riêng của:

2 2

2; ; ;

z z z z

x x y y x y

   

     

3 zx y xy

2

' '

" "

x y

xx xy

yy

z x y z y x

z x z

z z

    

 

  

(3)

• Bài tập: Tính đhr cấp hàm số:

) y ) xy ) ln x

a z x b z e c z y

 

    

 

Vi phân cấp 2

• Vi phân cấp hàm hai biến z=f(x,y) biểu

thức có dạng:

• Chú ý:

2

2 2

" xy" "

x y

d zz dx  z dxdyz dy

 





2

2 2

' '

" " " " " " "

x y

xx xy yx yy

xy

x y

d z d dz d z dx z dy

d z z dx z dxdy z dydx z dy d z z dx z dxdy z dy

  

   

  

Ví dụ

• VD1 Vi phân cấp hàm số:

•

• VD2 Tính vi phân cấp hàm số:









2 2 3

2

) ln )

) z sin

a z x y b z xy x y

c x y

   

 

3 zx y xy

2 6 2 2

d z xdx  dxdy dy

Cực trị hàm hai biến_Cực đại

• Khái niệm: cho hàm hai biến z=f(x,y) xác định

trên D

• Xét điểm M0(x0; y0) ∈

• Nếu điểm M(x,y) nằm quanh M0và M≠

M0ta có:

• Thì M0gọi điểm cực đại hàm số

 













f M

hay f x y

f x y

Cực trị hàm hai biến_Cực tiểu

• Khái niệm: cho hàm hai biến z=f(x,y) xác định

trên D

• Xét điểm M0(x0; y0) ∈

• Nếu điểm M(x,y) nằm quanh M0và M≠

M0ta có:

• Thì M0gọi điểm cực tiểu hàm số

 













f M

hay f x y

f x y

Khái niệm cực trị

• Các điểm cực đại cực tiểu gọi chung điểm

cực trị

• Ví dụ: Xét hàm số f(x,y)=x2+y2-2x+3 điểm

M01; ∈ =

• Ta có:

• Vậy

• M0là điểm cực tiểu hàm số

   

     

0

2

2 2

1;

, 2

f M f

f M f x y x y x x y

 

         

 0    0

(4)

Cực trị hàm nhiều biến

• Một cách tương tự ta định nghĩa cực đại, cực

tiểu hàm nhiều biến

• Cho hàm nhiều biến f(x1,x2,…,xn) xác định có

các đạo hàm riêng theo tất biến độc lập D

• Điểm điểm:

• Cực đại khi?

• Cực tiểu khi?

1 ( , , , n)

M x x x D

Điều kiện cần để có cực trị

• Nếu hàm số f(x1,x2,…,xn) xác định có đạo

hàm riêng theo tất biến độc lập D đạt cực trị (cực đại cực tiểu) điểm

thì

• Điểm thỏa mãn điều kiện gọi điểm

dừng hàm số

• Hàm số đạt cực trị điểm dừng

• Đây điều kiện cần, chưa phải điều kiện đủ.

1

( , , ,n)

M x x x D

1

( , , , n) , 1, 2, ,

i

f

x x x i n

x



 

 

Ma trận Hess

• Giả sử hàm số n biến số f(x1,x2,…,xn) có đạo hàm

riêng cấp Khi đó, ma trận vng cấp n

gọi ma trận Hess hàm số Nếu hàm số

f(x1,x2,…,xn) có đạo hàm riêng cấp liên tục

ma trận Hess ma trận đối xứng

1 1 2 2

1

n n

n n n n

x x x x x x

f f f

H

f f f

                              

Ví dụ

• Ma trận Hess hàm biến

• ma trận

2 5 4

2 5 3

2 4 3 4

6 12 15

12 12 20

15 20 20

x y z x y z x y z H x y z x y z x y z x y z x y z x y z

 

 

  

 

 

3

( , , )

f x y z



x y z

Điều kiện đủ cực trị

• Giả sử

• điểm dừng hàm số f(x1,x2,…,xn)

điểm hàm số có tất đạo hàm riêng cấp hai liên tục

• Đặt:

1

( , , , n)

M x x x D

2

1

( , , , ) ( , 1, 2, , )

ij n

i j

f

a x x x i j n

x x



 

  

Điều kiện đủ để có cực trị

• Ma trận Hess:

• Xét định thức chính: 11 12 21 22

1 n n

n n nn

a a a

H

a a a

                   

11 12 11 12

21 22 21 22

11 12 11

21

1 2

, , , , ,

k n

k k kk n n nn

a a a a a a

a a

D a D D D

a a

a a a a a a

(5)

Tiêu chuẩn xét cực trị

• i) Nếu D1>0, D2>0, …, Dn>0 M điểm cực tiểu

của hàm số

• ii) Nếu D1<0, D2>0, …, (-1)nDn>0 M điểm cực

đại hàm số

• iii) Nếu Di≥0 (hay (-1)iD

i>0 ) tồn k cho

Dk=0 chưa thể kết luận cực trị địa phương

của hàm số Hàm số đạt cực trị không đạt cực trị điểm M Muốn có kết luận ta phải sử dụng phương pháp khác

• iv) Trong trường hợp khác M

điểm cực trị

Áp dụng cho hàm biến

• Giả sử hàm số f(x,y) có đạo hàm riêng cấp

liên tục M0(x0, y0) điểm M0(x0, y0) điểm

dừng hàm số

• Ta đặt:

2

0 0

2

2 0

2

( ; y ) B ( ; y )

( ; y )

f f

A x x

x x y

A B f

C x AC B

B C y

 

 

  



    



Áp dụng cho hàm biến

• i) Nếu A>0, >0 M0là điểm cực tiểu

• ii) Nếu A<0, >0 M0là điểm cực đại

• iii) Nếu <0 M0khơng điểm cực trị

• iv) Nếu =0 chưa có kết luận

Bài giảng Tốn Cao cấp Nguyễn Văn Tiến

Các bước tìm cực trị hàm biến

• Tìm tập xác định

• Tính đạo hàm riêng cấp 1, cấp

• Giải hệ pt tìm điểm dừng

• Tính đhr cấp điểm dừng

• Xét dấu định thức cấp

• Kết luận điểm cực trị tính cực trị (nếu

có)

' '

x

y

z z

      

Ví dụ

• Tìm cực trị hàm số

• Đ/S: cực tiểu M(1;1)

3

( , )

3

f x y



x



y



xy

Ví dụ

• Đ/S: cực tiểu M(1;-2;1/2)

3 2

( , , )

2

3

1.

(6)

Bài tập

• Tìm cực trị hàm số:

4 2 5

2

3

) )

8

) )

)

a z x y x xy y b z xy x y

x

c z y d z x xy y x y

x y e z x y xy

       

       

  

CỰC TRỊ CĨ ĐIỀU KIỆN

• a) Cực trị có điều kiện ràng buộc với hai biến chọn phương trình ràng buộc.

• b) Cực trị có điều kiện ràng buộc với n biến chọn phương trình ràng buộc

Ví dụ

• Tìm cực trị hàm số:

• Với điều kiện:

 , 

f x y xy x

8x4y120

Hai biến chọn – ĐK cần

• Cho hàm số z=f(x,y) với ràng buộc ϕ(x,y)=0

• Giả sử M(x0;y0) điểm cực trị hàm số z với

ràng buộc tồn số λ cho:

• Số λ gọi nhân tử Lagrange

• Hàm số L(x,y, λ)=f(x,y)+ λϕ(x,y) gọi hàm số

Lagrange

0 0

0

( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

f

x y x y

x x

f

x y x y

y y

x y

 

  

 



 

  



 



 



 



 

 

Hai biến chọn – ĐK cần

• Ta viết lại phương trình cho dạng:

• Trong đó: L(x,y, λ)=f(x,y)+ λϕ(x,y)

• Giải phương trình ta có λ, x0,y0

0

0 ( , ) ( , )

( , ) L

x y x L

x y y L

x y   

  

 

 

   

 

 

Hai biến chọn – ĐK đủ

• Ta xét giá trị định thức

• Hoặc

• Tại điểm dừng tìm

xx xy x

yx yy y

x y

L L L

D L L L

L L L



  

      

  

0

x y x y

x xx xy x xx xy

y yx yy y yx yy

L L L

D L L L L L

L L L L L

  



  



    

     

 

(7)

Hai biến chọn – ĐK đủ

• Nếu D>0 M(x0;y0) điểm cực đại có điều

kiện hàm số

• Nếu D<0 M(x0;y0) điểm cực tiểu có điều

kiện hàm số

• Nếu D=0 chưa có kết luận điểm

M(x0;y0) xét

Ví dụ

• với điều kiện:

• Đ/S: cực tiểu M(4/3; 5/3)

• Cực đại N(-4/3;-5/3)

( , ) 4

3

f x y

 

x



y

2

1.

x



y



n biến chọn (tham khảo)

• Cho hàm số z=f(x1,x2,…,xn) với ràng buộc ϕ(x1,x2,…,xn)=0 Giả sử:

• điểm cực trị hàm số z với ràng buộc tồn số λ cho:

• Số λ gọi nhân tử Lagrange

• Hàm số L(x1,x2,…,xn,λ)=f(x1,x2,…,xn)+ λϕ(x1,x2,…,xn) gọi

hàm số Lagrange

1

( , , , n)

M x x x

1 2

1

( , , , ) ( , , , ) ( , , , )

n n

i i

n

f

x x x x x x

x x

x x x

             

• Ta viết lại hệ phương trình:

1

( , , , ) ; 1, 2, ,

( , , , )

n i

n

L

x x x i n

x L

x x x

               

• Ta lập ma trận:

• Trong đó:

1 11 12 21 22

1

0 n

n n

n n n nn

L L L H L L L L L L

                                2

( , , , ) ; 1, 2, ,

( , , , , ) ; , 1, 2, ,

k n

k

ij n

i j

x x x k n

x L

L x x x i j n

x x              

• Xét định thức:

• Nếu D2>0, D3<0, …, (-1)nDn>0 M điểm cực

đại có điều kiện hàm số

• Nếu D2<0, D3<0, …, Dn<0 M điểm cực tiểu

có điều kiện hàm số

1 11 12 21 22

1

0

( 2,3, , )

k k

k k k kk

L L L

D L L L k n L L L

(8)

Ví dụ

1 Tìm cực trị hàm số: Với điều kiện:

2 Tìm cực trị hàm số: Với điều kiện:

, 

f x y   x y

2 x y 

 ,  15

f x y  x y 2

2x 3y 107

GTLN, GTNN (tham khảo)

• Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số trên tập đóng, bị chặn

• Cho D tập đóng, bị chặn miền có biên

cho phương trình ϕ(x1,x2,…,xn)=0

• Giả sử f(x1,x2,…,xn) hàm số liên tục D.

• Sau quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị

nhỏ D.

GTLN, GTNN (tham khảo)

• B1 Tìm điểm nghi ngờ có cực trị với

điều kiện ϕ(x1,x2,…,xn)=0

• B2 Tìm điểm dừng f(x1,x2,…,xn) thuộc D.

• B3 Giá trị lớn (nhỏ nhất) f D giá

trị lớn (nhỏ nhất) giá trị hàm điểm tìm

Ví dụ

• Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm

• miền

• Đ/S:

2

( , )

x

2

f x y





y



x

2

:

1

D x



y



1 1

min , ; max ,

2 2

D f f D f f

 

       

   

Ví dụ

• Miền D: 2+ 2≤ 1

• Biên miền D 2+ 2= 1

• Bước Tìm điểm nghi ngờ có cực trị với điều

kiện:

• Bước Tìm điểm dừngthuộc Dcủa hàm số

• Bước So sánh giá trị hàm số điểm tìm

được kết luận

2

1

0

x



y

 

2

( , )

2

f x y



x



y



x

Ví dụ

Bước 1.

• Hàm Lagrange:

• Ta có hệ phương trình:

  2





, ,

L x y x  y  x  x y 

 

2 2

2 2 2

0 2

0

0 2

2

0

1

x

y

x x

L x x

y

L y y y

x y

L x y

x y



 



 



  



      



 

  

        

     



    

  

    

     

(9)

Ví dụ

• Giải tiếp hpt ta có nghiệm

• Như có điểm nghi ngờ có cực trị với điều

kiện:

• Đặt điểm sau:

1 / / 2

0 / /

1 / /

y y x x

x x y y

       

 

 

     

   

      

  

   

2

1

0

x



y

 

   









11; ; 1;0 ; / 2; / ; / 2; /

M M  M  M 

Ví dụ

Bước 2.

• Hệ phương trình tìm điểm dừng:

• Ta nhận điểm thuộc miền D do:

 

5 1 /

1 / 2;0

0 0

x

y

f x x

M

f y y

 

     



  

  

   

  



2 1

0

4

x y    

Ví dụ

Bước 3.

• Ta có:

• Tương tự:

    2

1 1;0 2.0

f M f    

       

   

 

2

3

5

1; 2.0

1 9

; ; ;

2 2

1

;0

2

f M f

f M f f M f

f M f

       

   

      

   

     

 

Ví dụ

• So sánh giá trị hàm số M1, M2, M3, M4, M5

ta có:

 

   

5

3

1

min ,

2

1

max ,

2

D

f f M f

f f M f M f

      

 

 

     

 

Khái niệm hàm ẩn

• Cho phương trình F(x,y)=0

• Nếu với giá trị x ta tìm

nhất giá trị y thỏa mãn phương trình F(x,y)=0 xác định hàm ẩn y theo x

• Kí hiệu: y = , ∈ ( ; )

• Nếugiải đượcphương trình F(x,y)=0 để biểu diễn y theo x biểu thức ta đưa y dạng hàm tường minh

Ví dụ

• Cho phương trình:

• Giải phương trình ta có hàm y

theo x:

• Ta nói phương trình x+y3-1=0 xác định hàm ẩn y

theo x R





,

F x y xy  

31

y x

3

(10)

Ví dụ

• Cho phương trình:

• Với giá trị x ta có:

• Ta nói phương trình x2+y2-1=0 khơng xác định

hàm ẩn y theo x





,

F x y x y  

2

y  x

Khái niệm hàm ẩn

• Trong nhiều trường hợp, ta

chứng minh phương trình F(x,y)=0 xác định hàm số y=y(x) ta biểu diễn y theo x cách trực tiếp Trong trường hợp ta phải xét hàm số y gián tiếp dạng phương trình F(x,y)=0

• Kí hiệu y=y(x) mang ý nghĩa hình thức để nói

y hàm số biến số x.

Đạo hàm hàm ẩn

• Giả sử y=y(x) hàm ẩn xác định phương

trình F(x,y)=0 Ta có: ( , ) ( )

( , )

F x y x y x

F x y y

 



 

 

' '

'

x x

y

F y

F 



Ví dụ

• Tính đạo hàm hàm y hàm ẩn x xác

định phương trình:

• Đ/S:





2

2x y  1 y0

2

'x x

y y

 

ỨNG DỤNG

HÀM NHIỀU BIẾN

TRONG KINH TẾ

Hàm nhiều biến kinh tế

• Hàm sản xuất

• Hàm tổng chi phí, tổng doanh thu, tổng lợi

nhuận

• Hàm lợi ích

(11)

Hàm sản xuất

• Hàm sản xuất hàm dạng:

Q=Q(K,L)

• K vốn, L lao động

• Hàm Cobb-Douglas hàm sản xuất dạng:

• a, α, β số dương

,

QaK L 

Hàm tổng chi phí, tổng doanh thu, tổng lợi nhuận

• Hàm tổng chi phí hàm TC=TC(Q) tính

theo yếu tố sản xuất thì:

TC=WKK+WLL+C0

• WKlà giá thuế đơn vị vốn, WLlà

giá thuế đơn vị lao động, C0là chi phí cố định

• Hàm tổng doanh thu hàm TR=PQ=PQ(K,L)

trong P giá thị trường sản phẩm

• Hàm tổng lợi nhuận hàm TT=TR-TC

Hàm lợi ích

• Người ta dùng biến lợi ích u để biểu diễn mức

độ ưa thích người tiêu dùng tổ hợp hàng hóa cấu tiêu dùng Mỗi tổ hợp hàng hóa gọi giỏ hàng Giả sử cấu người tiêu dùng có mặt hàng giỏ hàng ba số thực (x,y,z) Hàm lợi ích cho tương ứng giỏ hàng với giá trị u=u(x,y,z)

Hàm cung, hàm cầu

• Giả sử thị trường có n loại hàng hóa với giá trị

tương ứng P1, P2,…,Pn Khi

• Hàm cung:

• Hàm cầu:

1

( ,

,

)

i

S i n

Q



S P P



P

1 ( , , , )

i

D i n

Q D P P  P

Đạo hàm riêng giá trị cận biên

• Xét mơ hình hàm kinh tế:

• xilà biến số kinh tế

• Đạo hàm riêng hàm w theo biến xitại điểm M

được gọi giá trị w – cận biên theo xitại điểm

• Biểu diễn lượng thay đổi giá trị biến w giá

trị xithay đổi đơn vị điều kiện giá trị

biến độc lập cịn lại khơng thay đổi



,

, ,

n



w



f x x

x

Giá trị cận biên_hàm sx

• Xét hàm sản xuất: Q=f(K;L)

• Các đạo hàm riêng:

• gọi tương ứng hàm sản phẩm cận biên

của tư (MPK) hàm sản phẩm cận biên lao động (MPL) điểm (K, L)

'K ( , ); 'L ( , )

f f

Q K L Q K L

K L

 

 

(12)

Giá trị cận biên_hàm sx

• Đạo hàm riêng:

• Biểu diễn xấp xỉ lượng sản phẩm vật gia

tăng sử dụng thêm đơn vị tư giữ nguyên mức sử dụng lao động

• Biểu diễn xấp xỉ lượng sản phẩm vật gia

tăng sử dụng thêm đơn vị lao động giữ nguyên mức sử dụng tư

'K ( , )

f

Q K L

K

 



'L ( , )

f

Q K L

L

 



Ví dụ

• Giả sử hàm sản xuất doanh nghiệp là:

• trong K, L, Q mức sử dụng tư bản, mức sử

dụng lao động sản lượng hàng ngày Giả sử doanh nghiệp sử dụng 16 đơn vị sản phẩm 81 đơn vị lao động ngày tức K=16; L=81 Xác định sản lượng cận biên tư lao động điểm giải thích ý nghĩa

1 4 20

Q K L

Giá trị cận biên_hàm lợi ích

• Cho hàm lợi ích:

• MUi gọi hàm lợi ích cận biên hàng hóa thứ i

• Biểu diễn xấp xỉ lợi ích tăng thêm người tiêu

dùng có thêm đơn vị hàng hóa thứ i trong điều kiện số đơn vị hàng hóa khác khơng thay đổi

1 ( , , , n)

UU x x x

( 1, )

i i

U

MU i n

x



 



Ví dụ

• Giả sử hàm tiêu dùng hàng ngày người

tiêu dùng loại hàng hóa

• Trong x1, x2là mức sử dụng hàng hóa

hàng hóa 2, U lợi ích người tiêu dùng hàng ngày

• Giả sử người tiêu dùng sử dụng 64 đơn vị

hàng hóa 25 đơn vị hàng hóa ngày Xác định lợi ích cận biên hàng hóa điểm giải thích ý nghĩa

3

2

1

2

U x x

Hệ số co giãn riêng

• Cho hàm kinh tế w=f(x1,x2,…,xn)

• Hệ số co giãn của hàm w theo biến xi

điểm M số đo lượng thay đổi tính phần

trăm w xi thay đổi 1% điều kiện

giá trị biến độc lập khác không đổi, ký hiệu xác định sau:













0 0

1 0

1 , , ,

, , ,

i

n

f i

x n

i n

f x x x x

voi M x x x x f x x x

  

Ví dụ

• Giả sử hàm cầu hàng hóa thị trường hai hàng hóa có liên quan có dạng:

• p1, p2: giá hàng hóa 1,

a) Xác định hệ số co giãn cầu theo giá p1 giá hàng hóa (p1,p2)

b) Xác định hệ số co giãn cầu theo giá p2 giá hàng hóa thứ hai (p1,p2)

c) Xác định hệ số co giãn cầu theo giá (p1,p2), cho biết ý nghĩa điểm (20,30)

2

1

5 6300

3 d

(13)

Giải

• Ta có:

• Tại điểm (20,30) ta có:

• Điều có nghĩa hàng hóa mức giá 20 hàng hóa mức giá 30 tăng giá hàng hóa lên 1% cịn giá hàng hóa khơng đổi cầu hàng hóa giảm 0,4% Tương tự, giá hàng hóa khơng đổi giá hàng hóa tăng thêm 1% cầu hàng hóa giảm 0,75%

1

2 2

1 2

10

4 ;

5

6300 6300

3

d d

Q Q

p p

p p p p

     

   

1

1 0, 4; 0, 75

d d

Q Q

p p

     

Quy luật lợi ích cận biên giảm dần

• Xét hàm kinh tế hai biến số z=f(x,y)

• hàm cận biên hàm kinh

tế theo biến x.

• hàm cận biên hàm kinh

tế theo biến y.

'x ( , ) z f

z x y

x x    

 

'y ( , ) z f

z x y

y y

   

 

• Trong kinh tế học, quy luật lợi ích cận biên giảm

dần nói

• Giá trị z – cận biên biến x giảm dần x

tăng y khơng đổi.

• Giá trị z – cận biên biến y giảm dần y

tăng x khơng đổi

• Chú ý: xét điều kiện giá trị của

các biến x, y đủ lớn.

• Cơ sở tốn học:

• hàm số giảm

2

2 2( , )

z f x y x x

 

 

 

( , )

z f x y x x

 



 

( , )

z f x y y y

 



 

2

2 2( , )

z f x y y y

 

 

 

Ví dụ

• Hàm sản xuất doanh nghiệp có dạng

Cobb – Douglas sau:

• Tìm điều kiện α, β để hàm số tuân

theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần

( , ,

0)

Q



aK L

a

 



Hàm nhất

• Hàm số z=f(x,y) gọi hàm

cấp k với t>0 ta có:

• Ví dụ: hàm Q=a.Kα.Lβ là hàm cấp

(α+β) với t>0 ta có:

( , )

k

( , )

f tx ty



t f x y





( , ) ( ) ( ) ( , )

Q tK tL a tK  tL t  aK L  t  Q K L

(14)

Ví dụ

• Các hàm sau có hàm khơng? Tìm

cấp tương ứng

0,5 0,5

2

1 4

)

9 9

2 )

a Q K K L L

xy b z

x y

  

 

Hiệu theo quy mô sản xuất

• Xét hàm sản xuất Q=f(K;L)

• trong K, L yếu tố đầu vào, Q yếu tố đầu

ra

• Bài tốn đặt là: Nếu yếu tố đầu vào K, L

tăng gấp m lần đầu Q có tăng gấp m lần hay khơng ?

• Ta tiến hành so sánh:

( , ) ( , )

Q mK mL vs mQ K L

Hiệu theo quy mơ sản xuất

• Nếu Q(mK; mL)>m.Q(K;L) hàm sản xuất có hiệu tăng theo quy mơ

• Nếu Q(mK; mL)<m.Q(K;L) hàm sản xuất có hiệu giảm theo quy mơ

• Nếu Q(mK; mL)=m.Q(K;L) hàm sản xuất có hiệu không đổi theo quy mô

Hiệu quy mơ với bậc nhất

• Giả sử hàm sản xuất Q=f(K;L) hàm

cấp k.

• + Nếuk>1 hàm sản xuất có hiệu quảtăng

theo quy mơ

• + Nếuk<1 hàm sản xuất có hiệu quảgiảm

theo quy mơ

• + Nếuk=1thì hàm sản xuất có hiệu quảkhơng

đổitheo quy mơ

Ví dụ

• Xét vấn đề hiệu theo quy mơ hàm

sản xuất sau:

0,5 0,5

1 4

)

9 9

)

a Q K K L L

b Q aK L 

  



Cực trị hàm kinh tế – VD1

• Một xí nghiệp sản xuất độc quyền loại sản phẩm

Biết hàm cầu loại sản phẩm xí nghiệp đơn vị thời gian là:

• hàm tổng chi phí xét đơn vị thời gian

• Tìm mức sản lượng để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa

1 2

1

1230 1350

,

14 14

P P P P

Q   Q   

2

1 1 2

( , )

(15)

• Hướng dẫn:

• Ta có:

• Hàm tổng doanh thu:

1

1 1

1 2 2

2

1230

5 1230 14 360

14

1350 3 1350 14 570

14 P P

Q P P Q P Q Q

P P P P Q P Q Q

Q

  



        



 

  

          

   

   

1 2 1 2 2

1 2

360 570

3 360 570

TR PQ P Q Q Q Q Q Q Q

TR Q Q Q Q Q Q

       

     

• Hàm tổng chi phí:

• Hàm lợi nhuận:

• Hệ pt tìm điểm dừng:

2

1 2

TCQ Q QQ

2 2

1 2 1 2

2

1 2

3 360 570

4 360 570

TR TC Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q

Q Q Q Q Q Q

 

          

     

1

2

1

1 2

8 360 30

3 12 570 40

Q Q

Q Q Q

 

     

  





 

       

 

• Ta có:

• Vậy lợi nhuận đạt cực đại Q1=30; Q2=40

    

1 1 22

2

8 12

8 0; 12 87

Q Q Q Q Q Q

A

                   

• Cho hàm lợi nhuận cơng ty

sản phẩm là:

• là lợi nhuận, R doanh thu, C chi

phí, L lượng lao động, w tiền lương cho một lao động, K tiền vốn, r lãi suất tiền vốn, P đơn giá bán sản phẩm.

• Giả sử Q hàm sản xuất Cobb – Douglas dạng:

• Ta tìm L, K để lợi nhuận đạt tối đa cho trường

hợp w = 1, r = 0,02, P = 3.

w

R C PQ L rK

    

1/3 1/3

QL K

• Cho biết hàm lợi nhuận doanh nghiệp

sản xuất loại sản phẩm là:

• Hãy tìm mức sản lượng Q1, Q2, Q3 để doanh

nghiệp thu lợi nhuận tối đa

• Đáp số: Q1=400; Q2=50; Q3=200

2 2

1 300 1200 20

Q Q Q Q Q Q Q

       

• Một hãng độc quyền sản xuất loại sản phẩm

Cho biết hàm cầu hai loại sản phẩm sau:

• Với hàm chi phí kết hợp là:

• Hãy cho biết mức sản lượng Q1, Q2 giá bán

tương ứng để doanh nghiệp thu lợi nhuận tối đa

1 1300 675 0,

Q  p Q   p

2

1 2

(16)

Đáp án

• Ta có:

1

2

250; 1050

100; 1150

Q p

 

• Một công ty độc quyền sản xuất loại sản phẩm

ở hai sở với hàm chi phí tương ứng là:

• Q1, Q2 lượng sản xuất sở 1,2

• Hàm cầu ngược sản phẩm cơng ty có dạng:

• A) Xác định lượng sản phẩm cần sx sở đề

tối đa hóa lợi nhuận

• B) Tại mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận, tính

độ co giãn cầu theo giá

2

1 128 0, 1; 156 0,1

TC   Q TC   Q

1

600 0,1 ; 600

P  Q QQQ 

Đáp án

• A) Q1=600; Q2=1200

• B) Hệ số co giãn cầu theo giá: -13/6

• Một doanh nghiệp có hàm sản xuất:

• Giả sử giá thuê đơn vị vốn 6$, giá thuê

một đơn vị lao động 4$ Giá bán sản phẩm 2$

• Tìm mức sử dụng vốn lao động để lợi nhuận

của doanh nghiệp tối đa

• Đáp số: K=1/36; L=1/16





0,5 0,5

0;

QK L K L

Cực trị có điều kiện – VD1

• Cho hàm lợi ích tiêu dùng loại hàng

hóa:

• (x số đơn vị hàng hóa 1, y số đơn vị hàng

hóa 2; x>0, y>0)

• Giả sử giá mặt hàng tương ứng 2USD,

3USD thu nhập dành cho người tiêu dùng 130USD Hãy xác định lượng cầu mặt hàng để người tiêu dùng thu lợi ích tối đa





U x y

x

y

Cực trị có điều kiện – VD2

• Một trung tâm thương mại có doanh thu phụ thuộc vào thời lượng quảng cáo đài phát (x phút) và trên đài truyền hình (y phút) Hàm doanh thu:

• Chi phí cho phút quảng cáo đài phát triệu đồng, đài truyền hình triệu đồng Ngân sách chi cho quảng cáo B=180 triệu đồng

• a) Tìm x, y để cực đại doanh thu.

• b) Nếu ngân sách chi cho quảng cáo tăng triệu đồng doanh thu cực đại tăng lên ?





, 320 540 2000

(17)

Bài tập 1

• Một doanh nghiệp có hàm sản xuất

Q=40K0,75L0,25trong Q_sản lượng; K_vốn;

L_lao động Doanh nghiệp thuê đơn vị vốn 3$; đơn vị lao động 1$ Ngân sách chi cho yếu tố đầu vào B=160$

• A) Với hàm sản xuất tăng quy mơ sản

xuất hiệu thay đổi nào? Nếu K tăng lên 1%; L tăng lên 3% sản lượng tăng lên % mức (K,L)?

Bài tập 1

• B) Xác định mức sử dụng vốn lao động để

sản lượng tối đa Nếu tăng ngân sách chi cho yếu tố đầu vào 1$ sản lượng tối đa tăng lên đơn vị?

• C) Hàm số có tuân theo quy luật lợi ích cận

biên giảm dần hay khơng?

• D) Xác định hàm sản lượng cận biên theo vốn,

theo lao động?

Đáp án

• A) Hiệu khơng đổi

• Sản lượng tăng 1,5%

• B) K=L=40; Qmax=1600

• Tăng yếu tố đầu vào Qmax tăng khoảng 10

đơn vị

• C) Q tn theo quy luật lợi ích cận biên giảm

dần

Bài tập 3

• Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q=K0,4L0,3

(Q: sản lượng, K: vốn L: lao động)

• A) Hãy đánh giá hiệu việc tăng quy mơ

sản xuất

• B) Giả sử thuê tư 4$, giá thuê lai động

3$ doanh nghiệp tiến hành sản xuất với ngân sách cố định 1050$ Hãy cho biết doanh nghiệp sử dụng đơn vị tư đơn vị lao động thu sản lượng tối đa

Đáp án

• A) Hiệu theo quy mơ

• B) Q(150;150) lớn

(18)

Bài

• 1.1 Tìm giới hạn sau:

• 1.2 Tìm a để hàm số có đạo hàm 0:















2

3

0

1 cosx ln cos x

) lim ) lim

4sin ln 3sin

x

x x

e

a b

x x x

 

 

 

 

,

1 ,

x

e x

f x

x ax x

 

   

 



Bài 2.

• Một doanh nghiệp đưa vào thị trường sản phẩm A

có thơng tin sau:

• Hàm cầu là: P=600-2Q

• Hàm chi phí là: TC=0,2Q2+28Q+200

• A) Tìm mức sản xuất Q để doanh nghiệp đạt lợi

nhuận tối đa Khi giá bán lợi nhuận đạt

• B) Nếu đơn vị sản lượng Q công ty phải nộp