ĐIỂM cực TRỊ của đồ THỊ hàm số (đề số 01)

BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ (Đề 01) *Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam – website: www.vted.vn Video giảng lời giải chi tiết có vted.vn (1) Điểm cực trị đồ thị hàm số y = ax + bx + cx + d(a ≠ 0) Xét hàm số y = ax + bx + cx + d • b2 −3ac ≤ hàm số khơng có điểm cực trị ⎧ ⎪ b2 −3ac > ⎪ hàm số có điểm cực trị ⎨ ⎪ ⎪ ⎩a = ⎧b2 −3ac > ⎪ ⎪ hàm số có điểm cực trị x1 , x2 nghiệm phương trình: ⎨ ⎪ a ≠ ⎪ ⎩ • • Với y ′ = ⇔ 3ax + 2bx + c = 0, có x1 + x2 = −2b c b2 −3ac , x1x2 = ⇒ x1 − x2 = 3a 3a a2 Khi đó: • • • 2⎛ b2 ⎞ bc Đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số d : y = ⎜⎜⎜c − ⎟⎟⎟ x + d − ⎟ ⎜ 3⎝ 3a ⎠ 9a 2⎛ b2 ⎞ Hệ số góc đường thẳng qua hai điểm cực trị k = ⎜⎜⎜c − ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 3a ⎟⎠ ⎛ 2⎛ b2 ⎞ bc ⎞⎟ ⎛ ⎛ b2 ⎞ bc ⎞⎟ Toạ độ điểm cực trị A⎜⎜⎜ x1; ⎜⎜⎜c − ⎟⎟⎟ x1 + d − ⎟⎟⎟, B⎜⎜⎜ x2 ; ⎜⎜⎜c − ⎟⎟⎟ x2 + d − ⎟⎟⎟ ⎜⎝ ⎜⎝ 3a ⎟⎠ 9a ⎟⎠ ⎜⎝ ⎜⎝ 3a ⎟⎠ 9a ⎟⎠ ⎛⎜ b2 ⎞⎟⎟ 1+ ⎜⎜c − ⎟ x1 − x2 ⎜⎝ 3a ⎟⎠ • Độ dài đoạn thẳng AB • 1⎛ bc ⎞ Diện tích tam giác OAB S = ⎜⎜ d − ⎟⎟⎟(x1 − x2 ) ⎜⎝ 9a ⎟⎠ • Trung điểm I AB điểm uốn đồ thị hàm số, tức hoành độ I ⎛ b bc 2b3 ⎞⎟⎟ nghiệm phương trình y ′′ = 0, I ⎜⎜⎜− ;d − + ⎟ ⎜⎝ 3a 3a 27a ⎟⎠ Ví dụ Gọi A, B hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x −5x −3x +1 Tìm toạ độ trung điểm AB ⎛ 358 ⎞⎟ ⎟ A M ⎜⎜ ;− ⎜⎝ 27 ⎟⎟⎠ ⎛ 338 ⎞⎟ ⎟ B N ⎜⎜− ;− ⎜⎝ 27 ⎟⎟⎠ C Q(−5;−234) Hoành độ trung điểm AB nghiệm phương trình y ′′ = ⇔ x = − D P(5;−14) b −5 358 =− = ⇒ y =− 3a 3.1 27 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN Chọn đáp án A Các dạng tốn hay gặp: • AB ⊥ Δ ⇔ k.kΔ = −1 • AB / /Δ ⇒ k = kΔ • ( AB,Δ) = α ⇔ tanα = • d( M (x0 ; y0 ),Δ : ax + by + c) = k − kΔ 1+ k.kΔ ax0 + by0 + c a + b2 ⎡ AB / /Δ A, B cách Δ ⇔ ⎢ ⎢I ∈ Δ ⎣ >> Cụ thể: AB / /Δ( A, B nằm phía với Δ); I ∈ Δ( A, B nằm hai phía với Δ) ⎧ ⎪I ∈ Δ • A, B đối xứng qua Δ ⇔ ⎪⎨ ⎪ k.k = −1 ⎪ ⎩ Δ • A, B nằm hai phía trục hồnh ⇔ y = có ba nghiệm phân biệt !!" !!!" • ΔABC cân C ⇔ CI AB = !!" !!!" AB • ΔABC ⇔ CI AB = 0,CI = • Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y = ax + bx + cx + d trục hoành chia làm hai phần, phần phía trục hồnh phần phía trục hồnh chúng có diện tích ⎛ b⎞ bc 2b3 tâm đối xứng thuộc trục hoành, tức y ⎜⎜− ⎟⎟⎟ = ⇔ d − + = ⎜⎝ 3a ⎟⎠ 3a 27a Thủ thuật casio (tham khảo) viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số y ′ y ′′ ⎛⎜ b2 ⎞ bc *Chú ý có y ′′ = 6ax + 2b ⇒ y = + ⎜⎜c − ⎟⎟⎟ x + d − ⎟ 18a ⎜⎝ 3a ⎠ 9a • Suy ⎛⎜ b2 ⎞ bc y ′ y ′′ ⎜⎜c − ⎟⎟⎟ x + d − = y − ⎜⎝ 3a ⎟⎠ 9a 18a Do máy tính ta tìm nhanh đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số cách MODE (Vào môi trường số phức) y ′ y ′′ Nhập vào biểu thức y − 18a Calc với x = i, (CALC ENG) ta kết mi + n, đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = mx + n Ví dụ Gọi A, B hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = −x + x + 2x −1 Viết phương trình đường thẳng AB 14 14 7 14 14 A y = − x + B y = x − C y = x − D y = − x + 9 9 9 9 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN Giải Nhập (−X + X + X −1) − (−3X ) + X + (−6 X + 2) 18×−1 14 14 Nhấn CALC ENG thu kết − + i Vậy đường thẳng AB y = x − 9 9 Chọn đáp án B HÀM TRÙNG PHƯƠNG Xét hàm số y = ax + bx + c A – CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Với điều kiện ab < hàm số có điểm cực trị −b −b ; Khi hàm số có điểm cực trị điểm cực trị 0;− 2a 2a ⎧ A(0;c) ⎪ ⎪ ⎪ Toạ độ điểm cực trị tương ứng đồ thị hàm số ⎪⎨ ⎛⎜ −b b2 ⎞⎟⎟ ⎛⎜ −b b2 ⎞⎟⎟ ⎜ ⎜ ⎪ B⎜− ;c − ⎟⎟,C ⎜ ;c − ⎟⎟ ⎪ ⎜ 2a 4a ⎟⎠ ⎜⎝ 2a 4a ⎟⎠ ⎪ ⎪ ⎩ ⎝ Nhận xét: ΔABC cân A, có A ∈ Oy, AB = AC = b4 −8ab −2b , BC = a 16a • Các điểm cực trị đồ thị hàm số thuộc trục toạ độ ⇔ b2 = 4ac b2 • Điểm (0; y0 ) trọng tâm tam giác ABC ⇔ 3y0 = 3c − 2a 8a + b3 • Điểm (0; y0 ) trực tâm tam giác ABC ⇔ y0 − c = − 4ab 8a − b3 • Điểm (0; y0 ) tâm ngoại tiếp tam giác ABC ⇔ y0 − c = 8ab b3 + 8a −b5 (*) S ABC = Do cos∠BAC = 32a b −8a • Tam giác ABC vuông A ⇔ cos∠BAC = ⇔ b3 = −8a • Tam giác ABC ⇔ cos∠BAC = ⇔ b3 = −24a • Tam giác ABC có góc 1200 ⇔ cos∠BAC = − ⇔ 3b3 = −8a Lưu ý, cần nhớ công thức (*) để suy ba trường hợp đặc biệt Suy bán kính ngoại tiếp bán kính nội tiếp sau: b3 −8a • Bán kính ngoại tiếp tam giác ABC R = 8ab BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN 4 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN • Bán kính nội tiếp tam giác ABC r = b2 ⎛ ⎞ 2b3 ⎟⎟ ⎜ a ⎜⎜4 + 16− ⎟ ⎜⎜⎝ a ⎟⎟⎠ Xét hàm số y = ax + bx + c B – GIAO ĐIỂM VỚI TRỤC HOÀNH Với ab < 0,ac > 0,b2 − 4ac > đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt Khi đó: • Hồnh độ giao điểm lập thành cấp số cộng ⇔ 9b2 = 100ac • Cắt trục hoành điểm phân biệt, tạo thành đoạn thẳng có độ dài ⇔ 9b2 = 100ac • Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số trục hồnh có phần phía Ox phần phía Ox ⇔ 5b2 = 36ac Câu Gọi Δ đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x −3x −9x +15 Viết phương trình Δ A Δ : y = 8x −12 B Δ : y = −8x +12 C Δ : y = 12x −8 D Δ : y = 12x + Câu Tìm điều kiện tham số a,m cho đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = 2x + 3(m−1)x + 6(m− 2)x −1 song song với đường thẳng d : y = ax A m = ± a(a > 0) B m = 3± a (a > 0) C m = 3± −a (a < 0) D m = ± −a (a < 0) Câu Cho hàm số y = ax + bx + cx + d (a ≠ 0) có đồ thị (C) Biết b2 −3ac > 0, tìm phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị (C) 2⎛ b⎞ bc ⎛⎜ b2 ⎞⎟⎟ bc A y = ⎜⎜c − ⎟⎟⎟ x + d − B y = c − x + d − ⎜ ⎟ ⎜⎝ 3a ⎟⎠ 9a ⎜⎜⎝ 3a ⎟⎠ 9a 2⎛ b2 ⎞ bc 2⎛ b⎞ bc C y = ⎜⎜⎜c − ⎟⎟⎟ x + d + D y = ⎜⎜c − ⎟⎟⎟ x + d + ⎜ ⎟ ⎜⎝ 3a ⎟⎠ 9a 3⎝ 3a ⎠ 9a Câu Cho hàm số y = x + ax + bx + c, (a −3b > 0) có đồ thị (C) Biết đường thẳng qua hai điểm cực trị (C) qua gốc toạ độ O Mệnh đề ? A c = 9ab B 9c = ab C c = 3ab D 3c = ab Câu Tìm điều kiện tham số a,m cho đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = 2x + 3(m−1)x + 6m(1− 2m)x vng góc với đường thẳng y = ax 1⎛ ⎞⎟ 1⎛ ⎞⎟ ⎟⎟ (a > 0) ⎟⎟ (a < 0) A m = ⎜⎜1± B m = ⎜⎜1± 3⎜⎝ 3⎜⎝ a ⎟⎠ −a ⎟⎠ 1⎛ ⎞⎟ ⎟⎟(a > 0) C m = ⎜⎜1± ⎜⎝ a ⎟⎠ 1⎛ ⎞⎟ ⎟⎟ (a < 0) D m = ⎜⎜1± ⎜⎝ −a ⎟⎠ BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN Câu Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x −3mx + 4m3 có hai điểm cực trị A, B cho tam giác OAB vuông cân O 1 B m = ± D m = ±1 A m = ± C m = ± Câu Biết với m hàm số y = x − 2mx + (m2 −1)x −1 có hai điểm cực trị x1 , x2 Tính giá trị biểu thức k = f (x1 )− f (x2 ) x1 − x2 2 B k = 3m2 − 2m−3 3m2 + 2m−3 9 2(m −3) 2(m2 + 3) C k = − D k = − 9 Câu Gọi A, B hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x −3x +5 Tính bán kính R đường trịn ngoại tiếp tam giác OAB A R = C R = 10 B R = D R = Câu Gọi Δ đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x −3x −6x + Viết phương trình Δ A Δ : y = −6x + B Δ : y = 6x −6 C Δ : y = −6x −6 D Δ : y = 6x + Câu 10 Tìm tất giá trị thực tham số m cho đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = 2x + 3(m−1)x + 6m(1− 2m)x đường thẳng y = −4x A k = ( ) ( ) 1 C m = D m = − Câu 11 Tìm tất giá trị thực tham số m để đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x + mx + 7x + vng góc với đường thẳng y = x +1 A m = ±5 B m = ±6 C m = ±12 D m = ±10 Câu 12 Kí hiệu dmin khoảng cách nhỏ hai điểm cực đại cực tiểu đồ thị hàm số A m = B m = 1 y = x − mx − x + m+1 Tìm dmin 4 13 13 A dmin = C dmin = B dmin = D dmin = 3 3 Câu 13 Tìm tất giá trị thực tham số m để điểm cực đại điểm cực tiểu đồ thị hàm số 3m y = x3 − x + m nằm khác phía với đường thẳng y = x A m > B m < C m ≠ D < m ≠ Câu 14 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hai điểm cực đại cực tiểu đồ thị hàm số y = x −3x + m2 x + m đối xứng qua đường thẳng Δ : y = x − 2 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN 6 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN D m = Câu 15 Với m >1, đồ thị hàm số y = mx −3mx + (2m+1)x + 3− m ln có hai điểm cực trị gọi Δ đường thẳng qua hai điểm cực trị Tìm điểm cố định K mà Δ qua ⎛1 ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ 1⎞ 1⎞ A K ⎜⎜ ;−3⎟⎟⎟ B K ⎜⎜3;− ⎟⎟⎟ C K ⎜⎜− ;3⎟⎟⎟ D K ⎜⎜−3; ⎟⎟⎟ ⎜⎝ ⎜⎝ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎟⎠ ⎟⎠ Câu 16 Tìm tất giá trị thực tham số m để hai điểm cực trị A, B đồ thị hàm số A m = −1 B m = C m = y = x −3mx + 4m3 với gốc toạ độ tạo thành tam giác có diện tích A m = ±2 B m = C m = D m = ±1 Câu 17 Tìm tất giá trị thực tham số m để đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x −3(m−1)x + (2m2 −3m+ 2)x − m2 + m có hệ số góc − C m ∈ {0;3} D m ∈ {−1;4} A m = −1 B m = Câu 18 Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y = x − mx + m có hai 27 điểm cực trị A, B với gốc toạ độ tạo thành tam giác có tâm ngoại tiếp I(1;2) A < m Câu 37 Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x − 2mx + m3 có hai điểm cực trị A B cho góc ! AOB = 1200 A m = ±2 27 25 B m = ±6 C m = ±2 Câu 38 Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x − D m = ± 12 9m 27m3 có hai điểm x + 2 cực trị A B với gốc toạ độ O ba đỉnh tam giác vuông A Với m B m = C m = D m ≠ Câu 39 Biết đồ thị hàm số y = x −6x + 4x + có ba điểm cực trị A, B,C Hỏi ba điểm cực trị đồ thị hàm số thuộc đường cong đây? A y = −3(x − x − 2) B y = 4x −12x + C y = 3(x − x − 2) D y = −4x +12x − Câu 40 Điều kiện đầy đủ tham số m để đồ thị hàm số y = x − 2m2 x + 2m−1 có ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác có trực tâm H (0;1) là? A m = B m = C 1− m (m + 2− 2m) = D 1+ m2 (m4 + 2− 2m) = Câu 41 Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x − 4(m−1)x + 2m−1 có ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác có góc 1200 1 1 A m = 1+ B m = 1+ C m = 1+ D m = 1+ 24 16 48 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN Câu 42 Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x − mx + (m2 −1)x có hai điểm cực trị A, B cho A, B nằm khác phía cách đường thẳng y = 5x −9 Tính tổng tất phần tử S A B C −6 D Câu 43 Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số 1 y = x − (2m−1)x + (m2 − m)x −1 có hai điểm cực trị A, B cho tam giác OAB có diện tích Hỏi S có tất phần tử nguyên ? A B C D Câu 44 Cho hàm số y = x − mx + (m2 −1)x −1 có đồ thị (Cm ) Biết tồn điểm A(a;b) cho A điểm cực đại (Cm ) tương ứng với m = m1 A điểm cực tiểu (Cm ) tương ứng với m = m2 Tính S = a + b A S = B S = −1 C S = −2 D S = −3 Câu 45 Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y = x −3mx + 4m3 có hai điểm cực trị A, B nằm phía cách đường thẳng x + y −1= Tính tổng tất phần tử S 1 A C B − D 2 Câu 46 Cho điểm C(5;9) Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x − mx + (m2 −1)x có hai điểm cực trị A, B cho tam giác ABC cân C Tính tổng tất phần tử S 15 15 A B C − D 2 Câu 47 Cho (Cm ) đồ thị hàm số y = x + 3mx +1 (với m < tham số thực) Gọi d đường thẳng qua hai điểm cực trị (Cm ) Đường thẳng d cắt đường trịn tâm I(−1;0) bán kính R = hai điểm phân biệt A, B Gọi S tập hợp tất giá trị m cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn Hỏi S có tất phần tử ? A B C D Câu 48 Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số OA y = x −3mx + 3(m2 −1)x − m3 + m có hai điểm cực trị A, B cho = Tính tổng tất OB phần tử S A −6 B C −3 D 2 Câu 49 Với m ∈ [−1;1], đồ thị hàm số y = x −3mx + 3(m −1)x − m + m có hai điểm cực trị A, B tam giác OAB có bán kính đường trịn nội tiếp có giá trị lớn M , đạt m = m0 Tính P = M + m0 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM 10 PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN A B C D 5 3 Câu 50 Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x −3mx + 3(m2 −1)x − m3 + m có hai điểm cực trị A, B cho tam giác OAB có diện tích Hỏi S có tất phần tử nguyên ? A B C D Câu 51 Hỏi có tất số nguyên m thuộc đoạn [0;2017] để đồ thị hàm số y = x −(2m+1)x + (3m+ 2)x −(m+ 2) có hai điểm cực trị A, B nằm hai phía trục hồnh ? A 2014 B 2015 C 2013 D 2012 Câu 52 Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = mx −3x có hai diểm cực trị A, B cho tam giác ABC với C(2;1) Tính tổng tất phần tử S D C 3 Câu 53 Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x −3mx + 4m3 có hai điểm cực trị A B cho tam giác OAB có diện tích với O gốc toạ độ 1 C m = − ;m = D m = −1;m = A m ≠ B m = 2 Câu 54 Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x − 2mx có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích nhỏ A m