Ôn tập học kì I toán 10

ÔN TẬP HỌC KÌ I NĂM HỌC 2010 – 2011 PHẦN I: ĐẠI SỐ A. Lý Thuyết 1) Tập hợp và các phép toán trên tập hợp . 2) Tập xác định, sự biến thiên, tính chẵn lẻ của hàm số . 3) Hàm số y = ax + b và y = ax 2 + bx + c : Sự biến thiên và đồ thị của hàm số, xác định hàm số thỏa điều kiện cho trước. 4) Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn, hệ PT bậc nhất 2 ẩn. CÁC DẠNG BÀI TẬP B B ài tập CHƯƠNG I. TẬP HỢP. MỆNH ĐỀ Bài 1. Tìm A ∩ B ; A ∪ B ; A \ B ; B \ A , biết rằng a) A = (2, + ∞) ; B = [−1, 3] b) A = (−∞, 4] ; B = (1, +∞) c) A = {x ∈ R / −1 ≤ x ≤ 5}B = {x ∈ R / 2 < x ≤ 8} Bài 2. Cho 2 khoảng A=(a;a+1) và B= (1;4). a) Tìm a để A∪B là một khoảng . b) Tìm a để A B ∩ = ∅ Bài 3. Cho A,B,C là các tập hợp chứng minh rằng: ( ) ( ) ( )A B C A B A C∪ ∩ = ∪ ∩ ∪ CHƯƠNG II: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Bài 4. Tìm tập xác định của các hàm số sau: a) 3 2 x y x = + b) 1y x= + c) 2 1 x y x − = − d) 5 ( 1) 3 x y x x + = − − e) 3 6 x y x − = − Bài 5. Xét tính chẵn lẻ của hàm số sau a) 3 4 3y x x= + b) 2 3y x x= + + c) 4 2 7y x x= + + d) 2 9 x y x = − Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: a) 3 2y x= − b) 2 5y x= − + c) 1 2y x x= + + + Bài 7. Xác định a, b để đồ thị hàm số y=ax+b a) Đi qua hai điểm A(0;1) và B(2;-3) b) Đi qua C(4, −3) và song song với đường thẳng 2 1 3 y x= − + c) Đi qua D(1, 2) và có hệ số góc bằng 2 d) Đi qua E(4, 2) và vuông góc với đường thẳng y = − 2 1 x + 5 Bài 8. Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị ham số sau a) 2 4 3y x x= − + b) y = −x 2 + 2x − 3 c) y = x 2 + 2x Bài 9. Cho hàm số 2 ( 1) 2 1 ( )y mx m x m m= + − − + ∈ ¡ (1) a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi 1m = − b) Tìm giao điểm của (C) với đường thẳng 1y x= − c) Tìm điểm cố định của họ đồ thị hàm số (1) khi m thay đổi Bài 10. Xác định parabol y = ax 2 +bx+1 biết parabol đó: a) Đi qua hai điểm A(1;2) và B(-2;11) b) Có đỉnh I(1;0) c) Qua M(1;6) và có trục đối xứng có phương trình là x=-2 d) Qua N(1;4) có tung độ đỉnh là 0. Bài 11. Tìm Parabol y = ax 2 - 4x + c, biết rằng Parabol a) Đi qua hai điểm A(1; -2) và B(2; 3) b) Có đỉnh I(-2; -2) c) Có hoành độ đỉnh là -3 và đi qua điểm P(-2; 1) d) Có trục đối xứng là đường thẳng x = 2 và cắt trục hoành tại điểm (3; 0) Bài 12. Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = x 2 - 4x + 3 . a) Cho biết sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số. b) Tìm giao điểm của (P) với đường thẳng d : y = x - 1. Bài 13. Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = x 2 + bx + c . a) Cho biết sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số khi b = 4, c = 3 b) Xác định b; c để hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng -1 khi x = 1. Bài 14. Cho parabol (P): y = ax 2 + bx + c ( 0a ≠ ). a) Tìm a, b, c biết rằng (P) đi qua điểm A(0;3) và có đỉnh S(2; -1). b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số tìm được ở câu a. Bài 15. Cho parabol (P): y = ax 2 + bx + c ( 0a ≠ ). a) Tìm a, b, c biết rằng (P) đi qua điểm A(1;2) và có đỉnh S(2; 3). b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số tìm được ở câu a. Bài 16. Cho hàm số 2 2 3y x x= − − + a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 2 2 3 1 0x x m+ − − − = c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 2 2 0x x m+ + = CHƯƠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài 17. Giải các phương trình sau 1) − + = + −3 1 3x x x 2) 2 2 1x x− = − + 3) 1 2 1x x x− = − 4) 2 3 5 7 3 14x x x+ − = + 5) 4 2x + = 6) 1x − (x 2 − x − 6) = 0 + = 2 3x 1 4 7/ x-1 x-1 + + = 2 x 3 4 8/ x+4 x+4 x Bài 18. Giải các phương trình sau 1) − − + = − − 2 2 2 1 2 2 x x x x 2) 1 + 3x 1 − = 3x x27 − − 3) 2 1 2 2 ( 2) x x x x x − − = + − Bài 19. Giải các phương trình sau 1) 2 1 3x x+ = − 2) |2x − 2| = x 2 − 5x + 6 3) |x + 3| = 2x + 1 4) |x − 2| = 3x 2 − x − 2 Bài 20. Giải các phương trình sau: 1) 2 5 10 3x x x+ − = − 2) x − 5x2 − = 4 3) 3 2 3 4 1 1x x x x+ − + = − 4) 2 5 5x x+ + = 5) 3 2 1 1x x− = − − 6) 3 2 3 2 3 6 5 8 0x x− + − − = Bài 21. Giải và biện luận các phương trình sau 1) 2mx + 3 = m − x 2) (m − 1)(x + 2) + 1 = m 2 3) (m 2 + m)x = m 2 − 1 4) (m 2 – 4)x = m + 2 Bài 22. Giải các phương trình sau a. 2 3 5 3 3 x y x y + =   + = −  b. 2 2 2 2 2 2 x y x y  + =   − =   c. 7 4 41 3 3 3 5 11 5 2  + =     − = −   x y x y d) 1 2 2 3 2 2 5 x y z x y x x y z + − =   − + = −   + + =  Bài 23. Giải và biện luận theo m phương trình : a) 2 4 2 1 mx m x − + = + b) 4 2 3 5 m m x − = + − c) 1 2 3mx x m+ = − − . d) 2 2 1 ( 1) 1 1 1 mx m m x x x x − + + = − + − e) 2 ( 1) 7 12 0m x x− + − = Bài 24. Cho phương trình x 2 − 2(m − 1)x + m 2 − 3m = 0.Tìm m để phương trình a) Có hai nghiệm phân biệt b) Có hai nghiệm c) Có nghiệm kép, tìm nghiệm kép đó. d) Có một nghiệm bằng -1 tính nghiệm còn lại e) Có hai nghiệm thoả 3(x 1 +x 2 )=- 4 x 1 x 2 f) Có hai nghiệm thoả x 1 =3x 2 Bài 25. Giải hệ phương trình: a) 2 2 2 5 2 2 5 x y x y xy + =   + − =  b) 2 2 2 2 5 2 7 x y xy x y  + − =  + =  c) 2 2 5 8 xy x y x y x y + + =   + + + =  d) 2 2 4 13 x y x y xy + =   + + =  PHẦN II: HÌNH HỌC A) LÝ THUYẾT: I. Chương I: Véc tơ 1) Một số khái niệm + Vectơ là một đoạn thẳng có hướng + Hai véc tơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. + Ba điểm A,B,C phân biệt thẳng hàng khi và chỉ khi AB uuur và AC uuur cùng phương. + Hai véc tơ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. + Hai véc tơ được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng hướng và cùng độ dài + Véc tơ – không là véc tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. 2) Tổng và hiệu của hai véc tơ: + Cho 3 điểm A,B,C tùy ý . Ta có: Quy tắc ba điểm: AB uuur + BC uuur = AC uuur . Quy tắc trừ : AB uuur – AC uuur = CB uuur +Quy tắc hình bình hành : Nếu ABCD là hình bình hành thì AB uuur + AD uuur = AC uuur . + I là trung điểm của đoạn thẳng AB IA IB O⇔ + = uur uur ur . + G là trọng tâm của ∆ ABC GA GB GC O⇔ + + = uuur uuur uuur ur . 3) Tính chất của véc tơ với một số: + Trung điểm của đoạn thẳng: I là trung điểm của đoạn thẳng AB 2MA MB MI⇒ + = uuur uuur uuur , ∀ M. + G là trọng tâm của ∆ ABC 3MA MB MC MG⇔ + + = uuur uuur uuuur uuuur . + Điều kiện để hai véc tơ cùng phương: a r và b r ( 0b ≠ r ) cùng phương ⇔ tồn tại một số k: a kb= r r . 4) Hệ toạ độ: + Liên hệ giữa toạ độ của điểm và toạ độ của véc tơ trong mặt phẳng. Cho: A(x A ; y A ), B(x B ; y B ). Ta có: AB uuur = (x B - x A ; y B - y A ). + Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng: Cho A(x A ; y A ), B(x B ; y B ). Khi đó toạ độ trung điểm I(x I ; y I ) của đoạn thẳng AB là: ; 2 2 A B A B I I x x y y x y + + = = + Toạ độ trọng tâm của tam giác: Cho A(x A ; y A ), B(x B ; y B ), C(x C ; y C ). Khi đó toạ độ trọng tâm G(x G ; y G ) của tam giác ABC là: ; 3 3 A B C A B C G G x x x y y y x y + + + + = = II. Chương II: Tích vô hướng của hai véc tơ và ứng dụng. 1) Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ từ 0 0 đến 180 0 . (xem lại sgk) Chú ý: 1. 2 2 sin cos 1 α α + = với 0 0 0 180 α ≤ ≤ 2. 2 2 1 1 tan cos α α + = với 0 0 0 180 α ≤ ≤ ; 0 90 α ≠ 3. 2 2 1 1 cot sin α α + = với 0 0 0 180 α < < 4. α là góc nhọn thì GTLG của α đều dương. α là góc tù thì chỉ có sin α dương còn các GTLG khác của α là âm 2) Tích vô hướng của hai véc tơ. + Định nghĩa: a r và b r ≠ 0 r , ta có: . . . os(a, )a b a b c b= r r r r r r + Biểu thức toạ độ của tích vô hướng: cho a r = (a 1 ; a 2 ), b r = (b 1 ; b 2 ) Khí đó : .a b r r = a 1 b 1 + a 2 b 2 * Chú ý : a r = (a 1 ; a 2 ), b r = (b 1 ; b 2 ) khác 0 r a r ⊥ b r ⇔ a 1 b 1 + a 2 b 2 = 0 + Độ dài của véc tơ: Cho a r = (a 1 ; a 2 ). Khi đó: 2 2 1 2 a a a= + r + Góc giữa hai véc tơ: a r = (a 1 ; a 2 ), b r = (b 1 ; b 2 ) cos ( ,a b r r ) = . . a b a b r r r r = 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 . . a b a b a a b b + + + + Khoảng cách giữa hai điểm: Cho A(x A ; y A ), B(x B ; y B ). Khi đó: AB = 2 2 ( ) ( ) B A B A x x y y− + − B) CÁC VÍ DỤ: 1) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho 3 điểm A(1 ; 3), B(-2 ; 1), C(2 ; 5) a) Tìm toạ độ các véc tơ AB uuur , BC uuur , CA uuur b) Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AC và toạ độ trọng tâm G của ∆ABC c) Tìm toạ độ điểm D để tức giác ABCD là hình bình hành. Giải: a) Ta có : AB uuur = (-3 ; -2); BC uuur = (4 ; 4); CA uuur = (-1 ; -2) b) Giả sử I (x I ; y I ) . Ta có : x I = 3 2 2 A C x x+ = ; y I = 4 2 A C y y+ = Vậy I ( 3 2 ; 4) + Giả sử G (x G ; y G ). Ta có : x G = 1 3 3 A B C x x x+ + = ; y G = 9 3 3 A B C y y y+ + = Vậy G ( 1 3 ; 3) c) Giả sử D (x D ; y D ) . Để tức giác ABCD là hình bình hành thì AB uuur = DC uuur Ta có : AB uuur = (-3 ; -2) ; DC uuur = (2 – x D ; 5 - y D ) Khi đó : AB uuur = DC uuur ⇒ 2 3 5 2 D D x y − = −   − = −  ⇒ 5 7 D D x y =   =  Vậy D (5 ; 7) 2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A(-1 ; 5), B(2 ; 3), C(5 ; 2) a) Chứng minh rằng 3 điểm A, B, C không thẳng hàng b) Tìm toạ độ của véc tơ 3 2x AB AC= − r uuur uuur . Giải: a) Ta có : AB uuur = (3 ; -2); AC uuur = (6 ; -3) Xét tỉ số 3 6 ≠ 3 2 − − ⇒ AB uuur không cùng phương với AC uuur Vậy 3 điểm A, B, C không thẳng hàng. b) Ta có : x r = 3 AB uuur - 2 AC uuur = (3.3 - 2.6 ; 3(-2) - 2(-3)) = (-3 ; 0) 3) Cho a r = (1 ; -1), b r = (2 ; 1). Hãy phân tích véc tơ c r = (4 ; -1) theo 2 véc tơ a r và b r Giải: Giả sử c r = k a r + h b r = (k + 2h ; - k + h) Ta có : 2 4 1 k h k h + =   − + = −  ⇒ 2 1 k h =   =  Vậy c r = 2 a r + b r 4) Cho góc x, với cosx = 1 2 . Tính giá trị của biểu thức: P = 3sin 2 x - cos 2 x Giải: Ta có : sin 2 x + cos 2 x = 1 ⇒ sin 2 x = 1 - cos 2 x Khi đó : P = 3(1 - cos 2 x) - cos 2 x = 3 - 4cos 2 x Mà cosx = 1 2 ⇒ P = 3 - 4( 1 2 ) 2 = 3 - 1 = 2 5) Cho ∆ đều ABC có cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng .AB AC uuur uuur , .AC CB uuur uuur Giải: Ta có : .AB AC uuur uuur = .AB AC uuur uuur .cos( ,AB AC uuur uuur ) = a .a.cos 60 0 = 1 2 a 2 .AC CB uuur uuur = a.a.cos 120 0 = 1 2 − a 2 6) Trên mặt phẳng Oxy, tính góc giữa hai véc tơ a r , và b r trong các trường hợp sau: a) a r = (2 ; -3) , b r = (6 ; 4) b) a r = (3 ; 2) , b r = (5 ; -1) C) BÀI TẬP: Bài 1. Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Tính độ dài của các véc tơ AB uuur + BC uuur và AB uuur - BC uuur . Bài 2. Cho 6 điểm M, N, P, Q, R, S bất kỳ. Chứng minh rằng MP uuur + NQ uuur + RS uuur = MS uuur + NP uuur + RQ uuur Bài 3. Cho tứ giác MNPQ gọi G 1 là trọng tâm tam giác MNP, trên G 1 Q lấy điểm G sao cho 1 1 4G G G Q= uuuur uuuur Chứng minh: a) 0=+++ GQGPGNGM . b) O là điểm tùy ý, chứng minh rằng 4OM ON OP OQ OG+ + + = uuuur uuur uuur uuur uuur c) Gọi G 2 ; G 3 ; G 4 lần lượt là trọng tâm của tam giácNPQ, PQM, QMN .Chứng minh 4 đường thẳng QG 1 ;MG 2 ; NG 3 ; PG 4 đồng qui tại G. Bài 4. Chứng minh rằng AB uuur = CD uuur ⇔ trung điểm của đoạn thẳng AD và BC trùng nhau Bài 5. Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm K sao cho 3 KA uuur + 2 KB uuur = O ur Bài 6. Cho U ur = 1 2 i r - 5 j r , V ur = m i r - 4 j r . Tìm m để U ur và V ur cùng phương. Bài 7. Cho a r = (3 ; 2) , b r = (4 ; -5) , c r = (-6 ; 1) a) Tìm toạ độ của véc tơ U ur = 3 a r + 2 b r - 4 c r b) Tìm toạ độ véc tơ x r + a r = b r - c r c) Tìm các số k và h sao cho c r = k a r + h b r Bài 8. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A(-5 ; -2) , B(-5 ; 3) , C(3 ; 3) a) Tìm toạ độ các véc tơ AB uuur , BC uuur , CA uuur b) Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng BC và toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC. c) Tìm toạ độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành. Bài 9. Cho 3 điểm A(-1 ; 5) , B(5 ; 5) , C(-1 ; 11) a) Chứng minh rằng 3 điểm A, B, C không thẳng hàng b) Tìm toạ độ véc tơ U ur = 2 AB uuur - AC uuur Bài 10.Cho a r = (3 ; -4) , b r =(-1 ; 2). Phân tích véc tơ c r = (1 ; 3) theo hai véc tơ a r và b r Bài 11.Cho góc x ( 0 0 0 180x≤ ≤ ), với sinx= 1 2 . Tính giá trị của biểu thức P=3 sin 2 x+cos 2 x Bài 12. Tính giá trị của các biểu thức: a) A = (2 sin30 0 + cos135 0 - 3 tag150 0 ).(cos180 0 - cotg60 0 ) b) B = sinx + cosx khi x = 0 0 , 45 0 , 60 0 c) C = 2 sinx + cos2x khi x = 60 0 , 45 0 , 30 0 Bài 13.Trên mặt phẳng Oxy, tính góc giữa hai véc tơ a r và b r trong các trường hợp sau a) a r = (3 ; 2) , b r = (5 ; -1) b) a r = (-2 ; 2 3 ) , b r = (3 ; 3 ) Bài 14. Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho 4 điểm A(7 ; -3) , B(8 ; 4) , C(1 ; 5) , D(0 ; -2). Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông Bài 15.Trong mặt phẳng toạ độ, cho U ur = 1 2 i r - 5 j r và V ur = k i r - 4 j r a) Tìm các giá trị của k để U ur ⊥ V ur b) Tìm các giá trị của k để U ur = V ur Bài 16.Cho tam giác ABC vuông ở A và góc B = 30 0 . Tính giá trị của các biểu thức sau a) ( ) ( ) ( ) , cos , sin , tan 2 AC CB AB BC AB BC+ + uuur uuur uuur uuur uuur uuur b) ( ) ( ) ( ) sin , cos , cos ,AB AC BC BA CA BA+ + uuur uuur uuur uuur uuur uuur Bài 17.Trong mặt phẳng tọa độ cho ba điểm A(3, -1); B( 2, 4 ); C( 5,3). a) Chứng minh A, B, C không thẳng hàng b) Tìm điểm D sao cho ABCD là hình bình hành c) Tìm tọa độ của M sao cho C là trọng tâm của tam giác ABM Bài 18. Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(-3, 4); B(1, 2) a) Tính cosin của góc OAB. b) Tìm điểm M trên Ox sao cho AM = BM c) Tìm điểm C sao cho O là trọng tâm của tam giác ABC Bài 19. Trong mặt phẳng toạ độ cho ba điểm A(-3;4) , B(1;1) , C(9;-5) a) Chứng minh ba điểm A , B , C thẳng hàng b) Tìm toạ độ điểm D sao cho A là trung điểm BD c) Tìm toạ độ điểm E trên trục Ox sao cho A, B, E thẳng hàng Bài 20. Trong hệ tọa độ Oxy cho 3 điểm A(4; 3), B(2;7), C(-3;-8). a) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành, tìm tọa độ tâm của hình bình hành ABCD. b) Tìm tọa độ trực tâm tam giác ABC. c) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tính bán kính đường tròn đó. Bài 21. Trong hệ tọa độ Oxy cho A(- 4;1), B(2;4), C(2;- 2) a) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác, tính chu vi tam giác ABC. b) Tính cosABC? c) Tìm tọa độ điểm M sao cho: 2 3 0MA MB MC+ − = uuur uuur uuuur r . Bài 22. Cho tam giác vuông cân OAB với OA = OB = a a) Dựng vectơ 3 4OA OB+ uuur uuur b) Tính độ dài vectơ vừa mới dựng . ÔN TẬP HỌC KÌ I NĂM HỌC 2 010 – 2011 PHẦN I: Đ I SỐ A. Lý Thuyết 1) Tập hợp và các phép toán trên tập hợp . 2) Tập xác định, sự biến thiên, tính. đó. d) Có một nghiệm bằng -1 tính nghiệm còn l i e) Có hai nghiệm thoả 3(x 1 +x 2 )=- 4 x 1 x 2 f) Có hai nghiệm thoả x 1 =3x 2 B i 25. Gi i hệ phương trình: