BÀI HỌC TRỰC TUYẾN TUẦN 27..4.2020 - LỚP 12

hạn bởi nhiều hơn hai đồ thị và việc dựng các đồ thị này là tương đối dễ dàng) ta nên kết hợp với việc vẽ đồ thị để phân chia thành các hình phẳng đơn giản... Ứng dụng Tíc[r]

(1)

I Tính diện tích hình phẳng

1) Hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh Ứng dụng Tích phân

(trục hồnh)

f(x)=0.7(x-1)^3-4(x-1)+1 Bóng

-3 -2 -1

x y

a b

f(x)

( ) (1)

b

a

S f x dx

  

 

( ) :

0

x a x b H

y f x y

(2)

1) Hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành Chú ý:

 Nếu đoạn [a; b] hàm số f(x) khơng đổi dấu

 Nếu khoảng (a; b) phương trình f(x) = có nghiệm c, d thì

Ứng dụng Tích phân

 

( )

b b

a a

f x dx  f x dx

 

1

( ) = S + S + S b

a

S   f x dx

( ) ( ) ( )

c d b

a c d

f x dx f x dx f x dx

     

( ) ( ) ( )

c d b

a c d

(3)

1) Hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường:

Lời giải

3

) 2, 2, 3 4, 0

a x   x  y  x  x  y 

) 0, , tan , 0

4

b x  x   y  x y  3 2

a) ( ) : 16

3

0

x x

H S x x dx

y x x

y               0

b) ( ) : tan ln 0,35

2 tan            x x

H S x dx

y x

(4)

2) Hình phẳng giới hạn hai đường cong

 

( ) g (2)

b

a

S f x x dx

   

   

( ) :

x a

x b

H

y f x

y g x

   

f(x)=x^2+3 f(x)=-0.1x^3+2

y<x^2+3; (y>-0.1x^3+2)and(x>-1.2)and(x<=2) x(t)=-1.2 , y(t)=t

x(t)=2 , y(t)=t

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1.5 2.5

2

x y

a

b

f(x)

(5)

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường:

Lời giải

a)

b) Phương trình hđgđ:

) 0, , cos , sin

a x  x   y  x y  x

3

) x,

b y  x  y  x x

0

( ) : cos sin 2 2,828427

cos sin

x x

H S x x dx

y x y x                 1

3

2

1 37

( ) : x x

x 12

x x

H S x x x dx x x dx

y x

y x x

                    

3 x 2 0 1

(6)

Chú ý 1: Khi so sánh với dạng chuẩn (hình phẳng giới hạn

đường x = a, x = b, y = f(x) y = g(x)), thiếu cận cận cịn

thiếu xác định thơng qua việc giải phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số y = f(x) y = g(x) và:

+ Cận a nghiệm nhỏ phương trình f(x) =

g(x).

+ Cận b nghiệm lớn phương trình f(x) = g(x).

Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn Lời giải

Phương trình hđgđ: (cận dưới)

, 1,

x

y  e y  x 

1

x x

e   e   x

 

2 2

2

0 0 0

1  1 2  1,44

              

   

   

x x

(7)

Chú ý 2: Một số trường hợp (thường hình phẳng giới

hạn nhiều hai đồ thị việc dựng đồ thị tương đối dễ dàng) ta nên kết hợp với việc vẽ đồ thị để phân chia thành hình phẳng đơn giản.

(8)

Ứng dụng Tích phân II Tính thể tích

1) Thể tích vật thể

S(x)

a x b x

S(x )

O

P Q

   3

b

a

V S x dx

(9)

1 ) Thể tích vật thể

Ví dụ : Tính thể tích vật thể nằm hai mặt phẳng x = -1

x = 1, biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ hình vng có cạnh

Lời giải

Diện tích thiết diện:

Áp dụng cơng thức (3), ta được:

(đvtt)

 1 1

x   x

2

2 1 x .

   

1

2

1

16 4 1

3

V S x dx x dx

 

     

   2 1  4 1 

(10)

2) Thể tích khối trịn xoay

Hình phẳng quay quanh trục hồnh:

Khi cho (H) quay quanh Ox, ta vật thể trịn xoay tích:

   

2 4

b

a

V    f x dx

   

( ) :

0

x a x b

H a b

y f x y

 

 

(11)

Hình phẳng quay quanh trục tung:

Khi cho (H) quay quanh Oy, ta vật thể trịn xoay tích:

O x

y

x=g(y) c

d

   

2 5

d

c

V    g y dy

   

( ) :

0

y c y d

H c d

x g y x

 

 

(12)

2 ) Thể tích khối trịn xoay

Ví dụ Tính thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn

các đường sau quay quanh trục Ox:

Lời giải

a) Áp dụng công thức (4), ta được:

b) Phương trình hđgđ đồ thị hai hàm số:

Do (H) hình phẳng giới hạn đường x = -1, x = 1, Áp dụng công thức (4), ta được:

) x 0, x , cos , 0

a    y  x y  b) y  1 x y2,  0

 

2

0

1 2 0,93

2 2

   



      

V cos x dx cos x dx

2

1 x    0 x 1

2

1 , 0

y   x y 

   

1

2

1

16

1 1 2 .

15

V  x dx  x x dx 

 

(13)

Ví dụ Một khối chỏm cầu có bán kính R chiều cao h Tính thể

tích V khối chỏm cầu theo R h.

Lời giải

Chọn hệ tọa độ Oxy hình vẽ

Chỏm cầu bán kính R, chiều cao h khối trịn xoay thu quay hình phẳng

(H) giới hạn đường: x = R - h

quanh trục Ox, áp dụng (4), ta được:

O x

y

R R-h

2

y  R x

2

x  R y,  R  x , y  0

 2 

3 3

R R

R h R h

x h

V  R x dx  R x  h R

 

   

         

 

(14)

Ví dụ Cho hình phẳng (B) giới hạn đường y = 1, y = 8,

trục Oy Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành

khi quay hình (B) quanh trục tung.

Lời giải

Áp dụng công thức (5), ta được:

x  2 y

 

1 8

2 0

y y B

x y

x

   

 

8 2

8

1

2 2 63

(15)

Ví dụ Cho hình phẳng A giới hạn đường cong có phương

trình đường thẳng y = 2, x = Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay A:

a) Quanh trục hoành; b) Quanh trục tung

Lời giải

a) Hoành độ giao điểm đường cong đường thẳng y = là

nghiệm phương trình Gọi V thể tích khối tròn xoay tạo

thành quay A quanh trục hồnh thì dễ thấy , đó:

2

x y  0

2

x y  0

x   2 x 4

1

(16)

Lời giải

Vậy: V  V1 V2 16 8  8 

 1

0 4 2 0 x x H y y    

 

0 4 0 x x H y x y     2 16

V  dx 

   

 

4 2

2

0 0

8 2

x

V  x dx  x dx  

(17)

Lời giải

b) Gọi V’ thể tích khối trịn xoay tạo thành quay A quanh trục tung.

Ta có:

  2

0 2 0

y y A

x y x

   

 

2

0 0

32 '

5 5

y

V  y dy  y dy  

(18)

Ứng dụng Tích phân III Tính quãng đường được

Chú ý: Kí hiệu s(t), v(t) a(t) quãng đường, vận tốc

gia tốc vật Khi ta có mối liên hệ:

Ví dụ Một vật chuyển động với gia tốc

Khi t = vận tốc vật Tính qng đường vật di chuyển sau giây (m mét, s giây).

Lời giải

Vận tốc vật: Theo ra:

Quãng đường cần tính là:

   

20 2

a t    t 

  '  '' 

a t  v t  s t

 m s/  30 m s/ 

    10

20 2

1 2

v t t dt C

t



    





 0 30 10 30 20

1 2.0

v    C   C 



  10 20 / 

1 2

v t m s

t        2 0 10

20 5ln 2 20 48( ).

1 2

S dt t t m

(19)

Ứng dụng Tích phân III Tính quãng đường được

Ví dụ Một ô tô chạy với vận tốc 36km/h tăng tốc chuyển

động nhanh dần với gia tốc Tính quãng

đường mà ô tô sau 6s kể từ bắt đầu tăng tốc.

Lời giải

Đổi 36km/h = 10m/s Chọn mốc thời gian lúc ôtô bắt đầu tăng tốc Vận tốc vật:

Theo ra:

Quãng đường cần tính là:

  1  /  .

3

t

a t   m s

  1

3 6

t t

v t     dt  t  C

 



 0 10 0 02 10 10

6

v     C   C 

  10 / 

6

t

v t t m s

    

6

2

6

0

10 10 90( ).

6 2 18

t t t

S  t   dt     t   m

   

(20)

( ) (1)

 

b

a

S f x dx ( )  

b b

a a

f x dx  f x dx

 

( ) ( ) ( )

c d b

a c d

     

   

2 4

b

a

V    f x dx

   

2 5

d

c

V    g y dy S

     ' ''

(21)