Bài toán phương trình mặt phẳng – Diệp Tuân | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Bài toán tìm điểm M sao độ dài các vec tơ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.. Bài tập minh họa.[r]

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam BÀI Chương III-Bài Phương Trình Mặt Phẳng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG A LÍ THUYẾT GIÁO KHOA I VÉCTƠ PHÁP TUYẾN: Định nghĩa: Cho mặt phẳng   Véc tơ n  gọi véc tơ pháp tuyến z M0 (VTPT) mp   giá n vng góc với   , n H (α) Kí hiệu n    O x y Chú ý: Nếu n VTPT   k n (k  0) VTPT   Vậy mp   có vơ số VTPT Nếu hai véc tơ a, b (khơng phương) có giá song song (hoặc nằm trên) mp   n   a, b  VTPT mp   Nếu ba điểm A, B, C phân biệt khơng thẳng hàng → nP véc tơ n   AB, AC  VTPT mp  ABC  B A P C II Phương trình tổng quát mặt phẳng : Phương trình tổng quát Cho mp   qua M  x0 ; y0 ; z0  , có n   A; B; C  VTPT Khi phương trình tổng qt () có dạng: A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   Nếu   : Ax  By  Cz  D  n   A; B; C  VTPT () Nếu A  a;0;0  , B  0; b;0  , C  0;0; c  ; abc  phương trình  ABC  có dạng: z C(0;0;c) x y z    gọi a b c phương trình theo đoạn chắn () O B(0;b;0) y A(a;0;0) x Ví dụ Lập phương trình mặt phẳng  P  biết: a)  P  qua A 1;2;3 , B  4; 2; 1 , C  3; 1;2  ; b)  P  mặt phẳng trung trực đoạn AC ( Với A, C câu 1); c)  P  qua M  0;0;1 , N  0;2;0  song song với AB ; d)  P  qua hình chiếu A lên trục tọa độ Lời giải 51 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài Phương Trình Mặt Phẳng III Vị trí tương đối hai mặt phẳng : Cho hai mp  P  : Ax  By  Cz  D   Q  : A ' x  B ' y  C ' z  D '   P  cắt  Q   A : B : C  A ' : B ' : C ' A B C D    A' B ' C ' D ' A B C D  P   Q      A' B ' C ' D '  P    Q   AA ' BB ' CC '   P  / / Q    Ví dụ Xét vị trí tương đối cặp mặt phẳng sau cho phương trình sau a) x  y  z   10 x  10 y  20 z  40  b) 3x  y  3z   x  y  z   c) x  y  z   x  y  z   d) x  y  z   x  y  z   Lời giải 52 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài Phương Trình Mặt Phẳng IV Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Khoảng cách từ M  x0 ; y0 ; z0  đến mp  P  : Ax  By  Cz  D  là: d  M ,  P   Ax0  By0  Cz0  D A2  B  C Ví dụ Lập phương trình  P  biết  P  song song với  Q  : x  y  z  14  khoảng cách từ O đến  P  Lời giải B PHÂN DẠNG VÀ VÍ DỤ MINH HỌA DẠNG Lập phương trình mặt phẳng biết điểm M  x0 ; y0 ; z0  véc tơ pháp tuyến Phương pháp chung Để lập phương trình  P  ta cần tìm điểm mà  P  qua VTPT  P  Khi tìm VTPT  P  cần lưu ý số tính chất sau : Nếu giá hai véc tơ khơng phương a, b có giá song song nằm  P  n   a, b  VTPT  P  Nếu hai mặt phẳng song song với VTPT mặt phẳng VTPT mặt phẳng Nếu  P  chứa (hoặc song song) với AB giá véc tơ AB nằm (hoặc song song) với  P  Nếu  P    Q  VTPT mặt phẳng có giá nằm song song với mặt phẳng Nếu  P   AB AB VTPT  P  Các trường hợp đặc biệt Mặt phẳng () qua ba điểm không trùng với gốc tọa độ A  a;0;0  , B  0; b;0  , C  0;0; c  x y z có phương trình    a b c Các mặt phẳng tọa độ  Oyz  : x  0,  Ozx  : y  0,  Oxy  : z  Mặt phẳng () qua gốc tọa độ Ax  By  Cz  Mặt phẳng () song song ( D  0) chứa ( D  0) trục Ox có dạng : By  Cz  D  Mặt phẳng () song song ( D  0) chứa ( D  0) trục Oy có dạng : Ax  Cz  D  Mặt phẳng () song song ( D  0) chứa ( D  0) trục Oz có dạng : Ax  By  D  Mặt phẳng () song song ( D  0) với mặt phẳng  Oxy  có phương trình là: Cz  D  Mặt phẳng () song song ( D  0) với mặt phẳng  Oyz  có phương trình là: Ax  D  Mặt phẳng () song song ( D  0) với mặt phẳng  Ozx  có phương trình là: By  D  Bài toán tổng quát tập minh họa 53 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài Phương Trình Mặt Phẳng Bài tốn Phương trình mặt phẳng  P  qua điểm M song song với mặt phẳng  cho trước Phương pháp Mặt phẳng  P  song song với mặt phẳng   nên VTPT → nP Mx0;y0;z0  P  VTPT mặt phẳng   P → nα Từ viết phương trình mặt phẳng  P  qua M có VTPT n  n α Bài tập Viết phương trình mặt phẳng  P  qua M  1;2;3 song song với mặt phẳng Q : 2x  y  2z   Lời giải Bài toán Phương trình mặt phẳng  P  qua điểm M vng góc với mp  Q  mp  R  Phương pháp Mặt phẳng  P  vng góc với mặt phẳng  Q  mặt n  nQ phẳng  R  nên  P  n   nQ , nR  với nP , nQ , nP lần n  n  P R lượt VTPT mặt phẳng  P  ,  Q  ,  R  Phương trình mặt phẳng  P  qua M có VTPT nP R Q → nP → n P Mx0;y0;z0 R → nQ Bài tập Viết phương trình mặt phẳng  P  qua 1; 1;2  vng góc với mặt phẳng  Q  : x  3z   0;  R  : x  y  z   Lời giải Bài tốn Phương trình mặt phẳng  P  qua hai điểm A, B vng góc với mặt phẳng  Q  Phương pháp Gọi n, nQ VTPT mp  P  mặt phẳng  Q  Q Vì mặt phẳng  P  qua A, B mp  P  vng góc với mặt  n  nQ phẳng  Q  nên    nQ , AB  n  AB Từ viết phương trình mặt phẳng  P  54 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân → nQ B A P Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài Phương Trình Mặt Phẳng Bài tập Viết phương trình mặt phẳng  P  qua hai điểm A  0;1;0  B 1;2; 2  vng góc với mặt phẳng  Q  : x  y  3x  13  Lời giải Bài toán Viết phương trình mặt phẳng  P  qua điểm A, B, C cho trước Phương pháp Gọi n VTPT mặt phẳng  P    n  AB Vì mp  P  qua A, B, C nên   n   AB, AC   n  AC Phương trình mặt phẳng  P  qua M có VTPT n → nP B A P C Bài tập Viết phương trình mặt phẳng  P  qua A 1;0;1 , B  0;2;0  , C  0;1;2  Lời giải Bài toán Viết phương trình mặt phẳng  P  qua giao tuyến mặt phẳng  Q  ,  R  có  Q  : Ax  By  Cz  D  dạng  thỏa mãn giả thiết qua điểm M song song  R  : A ' x  B ' y  C ' z  D '  với mặt phẳng vng góc với mặt phẳng Phương pháp ⋆ Trường hợp 1: mp  P  qua giao tuyến  điểm M Mọi điểm thuộc giao tuyến có tọa độ nghiệm hệ gồm phương trình mặt phẳng  Q   R   Q  : Ax  By  Cz  D  1   R  : A ' x  B ' y  C ' z  D '  → nP Q B M A R P Từ hệ 1 chọn điểm A, B thuộc giao tuyến sau viết phương trình mặt phẳng qua điểm A, B, M dạng ⋆ Trường hợp 2: mp  P  qua giao tuyến  song song với mp   55 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài Phương Trình Mặt Phẳng Nếu mp  P  song song với mp   : A1 x  By1  Cx1  D1  → nα qua hai giao tuyến mặt phẳng n p  n   A1 ; B1 ; C2  α Khi đó, mp  P  : A1 x  By1  Cx1  d  , d  D1 → nP Tìm d cách thay hai điểm A, B vào phương trình mp  P  giải hệ Q B A R P ⋆ Trường hợp 3: mp  P  qua giao tuyến  song song với mp   Nếu mp  P  vng góc với mp   : A1 x  By1  Cx1  D1  α qua hai giao tuyến mặt phẳng mp  P  nhận véctơ → nα n   A1 ; B1 ; C2  làm véc tơ có giá song song nằm mp  P  Mà mp  P  qua giao tuyến  nên qua hai điểm A, B Q P B A R Suy mp  P  có cặp véctơ nên n p    n , AB  Bài tập a) Viết phương trình mặt phẳng  P  qua M  2;0;1 giao tuyến mặt phẳng  R  : x  y  z   0; Q  : x  y  z   b) Viết phương trình mặt phẳng  P  qua giao tuyến mặt phẳng  R  : y  z   0;  Q  : x  y  z   song song với mặt phẳng   : x  y  z   c) Viết phương trình mặt phẳng  P  qua giao tuyến mặt phẳng  R  : 3x  y  z   0;  Q  : x  y   vng góc với mặt phẳng   :2 x  z   Lời giải 56 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài Phương Trình Mặt Phẳng Bài toán Viết phương trình mặt phẳng  P  qua điểm A  a;0;0  , B  0; b;0  , C  0;0; c  thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp Sử dụng phương pháp mặt phẳng đoạn chắn : Mặt phẳng  P  qua điểm A  a;0;0  , B  0; b;0  , C  0;0; c  z C(0;0;c) ; abc  phương trình  ABC  có dạng: x y z   1 a b c Sử dụng điều kiện giả thiết để tìm a, b, c O B(0;b;0) y A(a;0;0) x Bài tập Lập phương trình mặt phẳng   qua điểm M 1;9;4  cắt trục tọa độ điểm A, B, C (khác gốc tọa độ) cho 1) M trực tâm tam giác ABC 2) Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng   lớn 3) OA  OB  OC 4) 8OA  12OB  16  37OC x A  0, zC  Lời giải 57 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài Phương Trình Mặt Phẳng Bài tập Lập phương trình mặt phẳng   qua M 1;4;9  cho   cắt tia Ox, Oy ,Oz điểm A, B, C thỏa: 1) M trọng tâm tam giác ABC , 2) Tứ diện OABC tích nhỏ nhất, 3) Khoảng cách từ O đến  ABC  lớn nhất, 4) OA  OC  4OB OA  OB  Lời giải 58 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài Phương Trình Mặt Phẳng Bài tập rèn luyện Bài Lập phương trình  P  trương hợp sau: 1)  P  qua A 1;2;1 song song với  Q  : x  y  3z   ; 2)  P  qua M  0;1;2  , N  0;1;1 , P  2;0;0  ; 3)  P  mặt phẳng trung trực đoạn MN (với M , N ý 2) ; 4)  P  qua hình chiếu A(1;2;3) lên trục tọa độ ; 5)  P  qua B 1;2;0  , C  0;2;0  vng góc với  R  : x  y  z   ; 6)  P  qua D  1;2;3 vuông góc với hai mặt phẳng :   : x   ;    : y  z   Lời giải 59 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III-Bài Phương Trình Mặt Phẳng Bài Lập phương trình mặt phẳng   , biết: 1)   qua M  2;3;1 song song với mặt phẳng  P  : x  y  3z   ; 2)   qua A  2;1;1 , B  1; 2; 3 () vuông góc với    : x  y  z  ; 3)   chứa trục Ox vng góc với  Q  : x  y  z   4)   qua giao tuyến hai mặt phẳng  P   Q  , đồng thời   vng góc với mặt phẳng    : 3x  y  z   Lời giải 60 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 ... phương trình là: By  D  Bài toán tổng quát tập minh họa 53 Lớp Toán Thầy? ?Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III -Bài Phương Trình Mặt Phẳng Bài tốn Phương trình. .. Lớp Toán Thầy? ?Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương III -Bài Phương Trình Mặt Phẳng Câu 46.(Chuyên Nguyễn Du-Đăk Lăk) Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng. .. với mặt phẳng  Oxy  có phương trình là: Cz  D  Mặt phẳng () song song ( D  0) với mặt phẳng  Oyz  có phương trình là: Ax  D  Mặt phẳng () song song ( D  0) với mặt phẳng  Ozx  có phương