Chương 3. Biến ngẫu nhiên

Từ các tính chất trên ta nhận thấy rằng: Khi biết hàm phân phối xác suất ñồng thời của véc tơ ngẫu nhiên (X, Y) ta hoàn toàn xác ñịnh ñược qui luật xác suất của nó cũng như các qui luậ[r]

Chương Biến ngẫu nhiên ðịnh nghĩa xác mang tính tốn học t biến ngẫu nhiên vượt khỏi u cầu giáo trình ðịnh nghĩa trình bày mang tính mơ tả, nhiên giúp cho người học hiểu ñược biến ngẫu nhiên, biến ngẫu nhiên rời rạc, biến nhiên liên tục Các khái niệm khác bảng phân phối xác suất hàm phân phối hàm mật ñộ xác suất trình bày với kiến thức ñơn giản Các số ñặc trưng quan trọng biến ngãu nhiên kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn trình bày kĩ số đặc trưng khác.Các biến ngẫu nhiên rời rạc liên tục thường gặp thực tế số ñặc trưng chúng ñược giới thiệu kĩ Khái niệm véctơ ngẫu nhiên ñược gới thiệu cách sơ lược Các ví dụ liên quan tới kiến thức lý thuyết ứng dụng thực tế giúp người học hiểu có hứng thú mơn học Luật số lớn, số định lí luật số lớn số ñịnh lý giới hạn ñược giới thiệu sơ lược chương I Biến ngẫu nhiên Khi tiến hành phép thử ngẫu nhiên, kết phép thử thường đặc tính ñịnh tính Tuy nhiên nhiều phép thử kết phép thử thường ñược gán tương ứng với giá trị định lượng Chẳng hạn chơi trò chơi ăn tiền kết lần chơi ñược gán tương ứng với số tiền ( đặc tính định lượng) mà người chơi ñược hay nhằm bắn phát ñạn vào bia, kết việc bắn tương ứng với điểm số ( đặc tính định lượng) mà xạ thủ ñạt ñược 1.ðịnh nghĩa: Biến ngẫu nhiên (thực) biến nhận giá trị số thực phụ thuộc vào kết phép thử ngẫu nhiên Ta thường dùng chữ hoa X, Y, Z ñể biến ngẫu nhiên chữ thường x, y, z xi , yj ñể giá trị cụ thể mà biến ngẫu nhiên nhận Các ví dụ: Ví dụ 1: Tung ñồng thời hai xúc xắc Gọi X tổng số chấm hai mặt trên, X biến ngẫu nhiên nhận giá trị từ đến 12 Ví dụ 2: Một người nhằm bắn vào bia cho tời trúng bia ngừng Gọi Y số ñạn cần dùng Y biến ngẫu nhiên nhận giá trị: 1, 2, , n, Ví dụ 3: Thắp sáng liên tục bóng đèn điện dây tóc bóng đèn bị cháy Gọi Z thời gian bóng ñèn sáng Z biến ngẫu nhiên Qua ba ví dụ ta thấy có hai loại biến ngẫu nhiên: Loại thứ loại biến ngẫu nhiên nhận số hữu hạn hay vơ hạn đếm giá trị *Một tập gọi vơ hạn ñếm ñược tồn phép tương ứng - tới tập số tự nhiên N Trường ðại học Nơng nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Xác suất thống kê…………………… 35 Loại thứ hai loại biến ngẫu nhiên mà nhận giá trị khoảng số khoảng thực Loại biến ngẫu nhiên thứ gọi biến ngẫu nhiên rời rạc Loại biến ngẫu nhiên thứ hai gọi biến ngẫu nhiên liên tục Việc ñưa định nghĩa t tốn học biến ngẫu nhiên khơng trình bày Người đọc muốn biết tham khảo tài liệu dẫn cuối giáo trình Bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc 3.1 ðịnh nghĩa: Bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc X bảng gồm hai dịng Dịng ghi giá trị có biến ngẫu nhiên X, dịng ghi xác suất tương ứng Nếu X nhận số hữu hạn giá trị bảng phân phối xác suất X là: X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn Nếu X nhận số vơ hạn đếm giá trị bảng phân phối xác suất X X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn pi = P(X= xi) xác suất ñể X nhận giá trị xi n Do X nhận nhận giá trị xi nên ta có ∑p i = bảng thứ i =1 ∞ ∑p i = ñối với bảng thứ hai i =1 3.2 Các ví dụ Ví dụ 1: Một người chơi trị chơi ăn tiền cách tung ñồng thời ñồng tiền cân ñối ñồng chất Nếu hai xuất mặt sấp ñược 100 ñồng, hai xuất mặt ngửa 40 đồng cịn xuất sấp ngửa 30 ñồng Gọi X số tiền nhận ñược sau ván chơi Lập bảng phân phối xác suất X Nhận thấy X nhận giá trị - 40, - 30, 100 tương ứng với việc 40 ñồng , 30 ñồng ñược 100 ñồng 1 Ta có P(X = - 40) = , P(X = −30) = , P(X = 100) = 4 Vậy bảng phân phối xác suất X X - 40 P - 30 100 Ví dụ2 : Một phịng thí nghiệm cấp ba triệu đồng để tiến hành thí nghiệm tìm chủng vi rút gia cầm Một lần thí nghiệm chi phí triệu đồng Nếu phát chủng vi rút ngừng thí nghiệm Nếu khơng phát làm thí nghiệm phát chủng vi rút hết kinh phí dừng Gọi Y số tiền mà Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Xác suất thống kê…………………… 36 phịng thí nghiệm tiết kiệm Lập bảng phân phối xác suất Y biết thí nghiệm độc lập với xác suất để tìm chủng vi rút lần thí nghiệm 0,3 Ta thấy Y nhận ba giá trị 0, 1, Với xác suất tương ứng P(Y= ) = 0,72 = 0,49; P( Y = ) = 0,7.0,3 = 0,21; P( Y = ) = 0,3 Vậy bảng phân phối xác suất Y Y P 0,49 0,21 0,3 Ví dụ 3: Một người nhằm bắn vào mục tiêu trúng đích dừng Các lần bắn độc lập, xác suất trúng đích lần bắn p (0 < p < 1) Gọi Z số ñạn phải dùng Lập bảng phân phối xác suất Z Nhận thấy Z nhận giá trị 1, 2, , n, P(Z = n) = qn-1p (q = - p) Vậy bảng phân phối xác suất Z Z P p qp i i-1 n n-1 q p q p Hàm phân phối xác suất 4.1 ðịnh nghĩa: Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X hàm số F(x) FX(x) cho F(x) = P( X Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Xác suất thống kê…………………… 37 ðồ thị F(x) Hình Ví dụ 2: ðể thử sức chịu nén loại vật liệu người ta tiến hành theo ba mức sau: Mức 1: Tiến hành thử với áp lực 200 kG / cm Nếu vật liệu chịu ñược áp lực chuyển sang mức hai Mức 2: Tiến hành thử với áp lực 230 kG / cm Nếu vật liệu chịu áp lực chuyển sang mức ba Mức 3: Tiến hành thử với áp lực 250 kG / cm Biết lần thử ñộc lập với xác suất ñể loại vật liệu chịu ñược mức thử tương ứng 0,90; 0,60; 0,40 Gọi X số lần thử Y số lần thử thành cơng Hãy tìm hàm phân phối xác suất X Y Ta thấy: X nhận giá trị 1, 2, Y nhận giá trị 0, 1, 2, P( X = 1) = 0,1; P( X = 2) = 0,9.0,4 = 0,36; P( X = 3) = 0,9.0,6 = 0,54 Vậy hàm phân phối xác suất X x ≤   0,1 ≤ x <  FX ( x ) =   0,46 ≤ x <  x > P(Y = 0) = 0,1; P(Y = 1) = 0,9.0,4 = 0,36; P(Y = 2) = 0,9.0,6.0,6 = 0,324 P(Y = 3) = 0,9.0,6.0,4 = 0,216 Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Giáo trình Xác suất thống kê…………………… 38 x ≤0 0 0,1 ≤ x <  FY ( x) = 0,46 ≤ x < 0,784 ≤ x <  1 x>3 Các tính chất hàm phân phối: Hàm phân phối F(x) biến ngẫu nhiên X có tính chất sau Tính chất 5.1: ≤ F ( x) ≤ Tính chất suy từ ñịnh nghĩa hàm phân phối xác suất Tính chất 5.1: lim F( x ) = ; lim F( x ) = x → −∞ x →∞ Việc chứng minh tính chất vượt khỏi kiến thức giáo trình Tuy nhiên ñặt lim F( x ) = F(−∞) ; lim F( x ) = F(∞) x → −∞ x →∞ ta hiểu x → −∞ kiện X < x trở thành kiện khơng thể có x → +∞ kiện X < x trở thành kiện tất yếu Từ suy kết tính chất Tính chất 5.3: Hàm phân phối xác suất F(x) hàm không giảm Thật vậy: ∀ x1, x2 ∈ R, x1 < x2 Xét F(x2) = P(X